Z poprzedzającego wnieść można, że dodawanie dwóch [i więcéj liczb] jest tylko uogólnieniem liczenia. W dodawaniu zestawiamy szeregi przedmiotów, z których każdemu odpowiada jedna z liczb szeregu 1., w liczeniu zaś te szeregi składają się każdy z jednego przedmiotu, któremu w szeregu 1. odpowiada pierwszy wyraz. Jeżeli liczbę, odpowiadającą takiemu pojedyńczemu przedmiotowi, nazwiemy jednością, to liczenie będzie można nazwać dodawaniem jedności. Widzimy zarazem: 1. że gdy idzie o dodawanie i wogóle o działania na liczbach całkowitych, wszystkie przedmioty liczone, bez względu na różnice, jakie pomiędzy niemi istnieć mogą, zamieniają się w procesie liczenia wszystkie na jedności, wszystkie zatém stają się równemi. 2. że każdą liczbę szeregu 1. wyrazić można jako sumę liczby, bezpośrednio przed nią się znajdującéj, i jedności, czyli, liczbą szeregu 1., bezpośrednio następującą po liczbie n, jest n + 1. Z prawa przemienności 2. wynika
| 3. | n + 1 = 1 + n. |
Jeżelibyśmy wzór 3. stanowiący przypadek szczególny wzoru 2., przyjęli za założenie zasadnicze, to z niego i przy pomocy określenia
| 4. | n1 + (n2 + 1) = (n1 + n2) + 1, |
moglibyśmy wyprowadzić tak wzór 2. jako też i wszystkie własności dodawania.
Wzór 4. stanowi przypadek szczególny ogólniejszego wzoru
| 5. | n1 + (n2 + n3) = (n1 + n2) + n3, |
wyrażającego prawo łączności [associative Law] dodawania. Prawo to określa właśnie sumę trzech składników: jedna i druga strona wzoru 5. oznacza sumę trzech liczb n1 + n2 + n3. Prawo to rozciąga się na jakąkolwiek [skończoną] liczbę składników.
Łącząc prawo przemienności i łączności w jedno prawidło, możemy powiedzieć, że mając do dodania ilekolwiek liczb n1, n2, ..., nr, możemy otrzymać sumę ich, łącząc którekolwiek i ilekolwiek z nich w sumę cząstkową, z pozostałych liczb łącząc znów którekolwiek i ilekolwiek w drugą sumę cząstkową i t. d., póki nie wyczerpiemy wszystkich składników danych, i dodając następnie sumy cząstkowe w dowolnym porządku[1].
- ↑ Suma złożona z dwóch liczb może być utworzona 2 sposobami, z trzech liczb — 18-ma, z czterech — 264-ma, z pięciu — 5400-ma, z szeciu 141840-ma sposobami. Toż samo stosuje się i do mnożenia.
