Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/056

Ta strona została przepisana.

Jeżeli pojedyńcze składniki sumy n₁ + n₂ + . . . + n_r są wszystkie równe jednéj liczbie n, wtedy dodawanie przechodzi w mnożenie, suma zaś n₁ + n₂ + . . . + n_r = n + n + . . . + n przyjmuje nazwę iloczynu liczb n i r i oznacza się przez nr. Liczba nr jest niezmiennikiem, odpowiadającym szeregowi utworzonemu ze złączenia r szeregów, z których każdy zawiera po n przedmiotów. Jeżeli w tym szeregu złożonym zmienimy ustawienie przedmiotów w ten sposób, aby najprzód stały obok siebie wszystkie przedmioty, które w szeregach danych były pierwszemi, następnie wszystkie, które były drugiemi i t. d., wreszcie wszystkie, które były ostatniemi, to dojdziemy tym sposobem do liczby rn. Ponieważ liczba przedmiotów nie uległa zmianie, a zatém

6.	n r = r n.

Wzór ten wyraża prawo przemienności mnożenia dla przypadku dwóch czynników. Jeżeli określimy mnożenie trzech [i więcéj] czynników za pomocą wzoru

7.	n₁(n₂n₃) = (n₁n₂)n₃,

wyrażającego prawo łączności, przyczém pierwsza i druga strona wzoru 7. wyrażają iloczyn n₁ n₂ n₃, to na zasadzie tego określenia będzie można wzór 6. rozszerzyć na dowolną [skończoną] liczbę czynników t. j. napisać ogólnie

n_α n_β . . . n_ρ = n₁ n₂ . . . n_r

gdzie α, β, . . . , ρ oznacza jakąkolwiek przemianę szeregu 1, 2, ..., r.
Łącząc prawo przemienności i łączności mnożenia w jedno prawidło, możemy powiedzieć, że mając do mnożenia ilekolwiek liczb n₁ n₂ . . , n_r, możemy otrzymać iloczyn ich, tworząc z którychkol- i ilukolwiek z nich iloczyn cząstkowy, z pozostałych ilukolwiek tworząc drugi iloczyn cząstkowy i t. d. póki nie wyczerpiemy wszystkich czynników, i mnożąc następnie przez siebie iloczyny cząstkowe w jakimkolwiek porządku.
Oprócz przemienności i łączności mnożenie liczb całkowitych posiada jeszcze jedną ważną własność, nazwaną prawem rozdzielności [distributive Law]^[1], które wyraża się wzorami

8.	(n₁ + n₂)n₃ = n₁n₃ + n₂n₃ n₃(n₁ + n₂) = n₃n₁ + n₃n₂

Pierwszy z tych wzorów daje się dowieść przez rozkład iloczynu po

↑ Nazwy praw przemienności, łączności i rozdzielności podajemy w nawiasach po angielsku dlatego, że one rozpowszechniły się najwcześniéj w literaturze angielskiéj, jakkolwiek pierwszy i trzeci termin wprowadził do nauki prawdopodobnie Servois w r. 1814. Porówn. Hankel, Ueber die complexen Zahlensysteme str. 3.

[1] Nazwy praw przemienności, łączności i rozdzielności podajemy w nawiasach po angielsku dlatego, że one rozpowszechniły się najwcześniéj w literaturze angielskiéj, jakkolwiek pierwszy i trzeci termin wprowadził do nauki prawdopodobnie Servois w r. 1814. Porówn. Hankel, Ueber die complexen Zahlensysteme str. 3.

[1]