| 2. | (n1 - n2) + n2 = n1. |
Wzór 2. może być uważany za określenie różnicy lub odejmowania.
Z istoty odejmowania wynika, że jeżeli n1 i n2 są liczbami szeregu 1., że wtedy tylko na x otrzymujemy odpowiedź, to jest otrzymujemy liczbę, znajdującą się w tym szeregu, jeżeli liczba n1 znajduje się w szeregu na prawo od liczby n2, jest od liczby n2 większa. Jeżeli zaś co do n1 i n2 nie czynimy z góry żadnych zastrzeżeń, wynika potrzeba nadania znaczenia odejmowaniu i w tym przypadku, w którym warunek powyższy się nie spełnia. To prowadzi do rozszerzenia dziedziny liczb, to jest do utworzenia zera i liczb ujemnych, przyczém naturalnie równanie 2. służyć winno za określenie nowych liczb. Tak więc definicya formalna liczb ujemnych jest tożsama z definicyą odejmowania.
Dzielenie jest działaniem odwrotném względem mnożenia; jest to działanie, za pomocą, którego wyznaczamy liczbę x, czyniącą zadość równaniu
| 3. | x n2 = n1, |
gdzie n1 i n2 są liczbami szeregu 1. Liczba x oznacza się przez
i nazywa się ilorazem. Kładąc za x to wyrażenie w równaniu 3., otrzymamy równość
| 4. | n1n2n2 = n1, |
która może być uważana za określenie ilorazu lub dzielenia.
Z istoty dzielenia wynika, że jeżeli n1 i n2 są liczbami szeregu 1, to wtedy tylko otrzymujemy na x odpowiedź, to jest otrzymujemy liczbę zawartą w 1., jeżeli liczba n1 jest wielokrotnością liczby n2. Jeżeli zaś co do n1 i n2 nie czynimy żadnych zastrzeżeń, to wynika wtedy potrzeba nadania znaczenia dzieleniu i w tym przypadku, w którym warunek powyższy się nie spełnia. To prowadzi do nowego rozszerzenia dziedziny liczb, to jest do utworzenia liczb ułamkowych, przyczém naturalnie równość 4. winna służyć za ich określenie. Tak więc definicya formalna liczb ułamkowych zawartą jest w definicyi dzielenia.
Z przyczyny prawa przemienności, stosującego się do dodawania i mnożenia, każdemu z tych działań odpowiada jedno działanie odwrotne, tymczasem potęgowaniu, które przemienném nie jest
