odpowiadają dwa działanie odwrotne, a mianowicie pierwiastkowanie [właściwie: wyciąganie pierwiastka] i logarytmowanie.
Pierwiastkowanie jest działaniem, za pomocą którego wyznaczamy liczbę x, czyniącą zadość równaniu
| 5. | xn2 = n1 |
Liczba x czyli podstawa potęgi otrzymuje nazwę pierwiastka [pierwiastka n2-ego lub pierwiastka n2-éj potęgi] i oznacza się w ten sposób:
Jeżeli to oznaczenie wprowadzimy do równania 5., otrzymamy wzór
| 6. | (n2√n1)n2 = n1 |
który można uważać za określenie pierwiastka i pierwiastkowania. Jeżeli n1 i n2 są liczbami calkowitemi, to na x wtedy tylko otrzymujemy odpowiedź w szeregu 1., gdy liczba n1 jest potęgą zupełną t. j. iloczynem n2 równych czynników; IV przeciwnym razie odpowiedź nie może zawierać się w szeregu 1. Jeżeli więc co do n1 i n2 nie czynimy żadnych zastrzeżeń, to wynika stąd potrzeba nadania znaczenia pierwiastkowaniu i w tym przypadku, w którym warunek powyższy się nie spełnia. To prowadzi nas znowu do rozszerzenia dziedziny liczb, to jest do tworzenia liczb niewymiernych, przyczém równanie 6. może służyć za formalne ich określenie.
Równanie 5. stanowi przypadek szczególny równania algebraicznego ogólnego, to też liczby niewymierne, określone formalnie za pomocą takiego równania, zawierają się w pojęciu ogólnlejszém liczb algebraicznych.
Logarytmowanie jest działaniem, za pomocą którego wyznaczamy liczbę x czyniącą zadość równaniu wykładniczemu
| 7. | n2x = n1. |
Liczba x nazywa się logarytmem liczby n1 przy podstawie n2 i oznacza się w ten sposób:
Wstawiając to oznaczenie w 7., otrzymujemy równość
| 8. | n2logn2n1 = n1, |
