Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/064

Ta strona została przepisana.

cia niezmiennika danéj mnogości nieskończonej, podobnego do pojęcia niezmiennika, stosującego się do mnogości skończonych. Niezmiennik ten, który Cantor nazwał najprzód mocą (potęgą, Mächtigkeit, puissance), a później liczbą kardynalną, danéj mnogości odpowiadającą, powstaje przy pomocy téj samej abstrakcyi, przez którą w mnogości skończonej dochodzimy do pojęcia liczby skończonéj. Jeżeli mianowicie w danej rozmaitości albo mnogości M, składającéj się z oznaczonych i dobrze wyróżnionych przedmiotów konkretnych lub z pojęć abstrakcyjnych, które nazwiemy elementami mnogości, odwrócimy uwagę tak od natury elementów jako też od ich porządku, to dojdziemy do określonego pojęcia ogólnego [universale], który można nazwać mocą mnogości M, albo odpowiadającą jéj liczbą, kardynalną.
To ogólne określenie liczby kardynalnéj obejmuje w sobie pojęcie liczby skończonéj i nadskończonéj; dają się z niego wyprowadzić, jak to pokazujemy w przypisach, ogólne prawa działań, odnoszące się do jednych i drugich, jako też różnice, charakteryzujące oba rodzaje liczb.
Prócz pojęcia liczb kardynalnych utworzył jeszcze Cantor pojęcie typów lub liczb porządkowych, nazwanych tak dla tego, że w procesie abstrakcyjnym, o którym mowa wyżéj, nie odwracamy już uwagi od porządku elementów^[1].

¹ O szeregu tym mówi Kerry, Ueber Auschauung i t. d. [l. c., str. 324], że jest wielością miarową przyrodzoną [uatürliche Massvielheit] do mierzenia wszystkich innych wielości, podobnie jak nasze oko, nasze ucho, nasze organa dotyku, nasza pamięć są przyrodzonemi wzorcami do mierzenia długości.

O pojęciu liczby całkowitéj traktuje obszernie Frege w pracy, Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch-mathematische Untersnchung über den Begriff der Zahl, 1884.
² Kronecker, Ueber den Zahlbegriff... l. c. str. 342.
³ Suma złożona z dwóch liczb może być utworzona 2 sposobami, z trzech liczb — 18-ma, z czterech — 264-ma, z pięciu — 5400-ma, z szeciu 141840-ma sposobami. Toż samo stosuje się i do mnożenia.

⁴ Nazwy praw przemienności, łączności i rozdzielności podajemy w nawiasach po angielsku dlatego, że one rozpowszechniły się najwcześniéj w literaturze angielskiéj, jakkolwiek pierwszy i trzeci termin wprowa-

↑ Dajemy tu krótki wykład teoryi liczb kardynalnych i porządkowych, opierając się głównie na dwóch pracach Cantora: Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre, 1883 i Zur Lehre vom Transtiniten Erste Abtheilung, 1890. Porówn. także artykuły tegoż w Acta Mathematica, II. 1883.
Dwie oznaczone mnogości M i M₁ nazywają się równoważnemi, co wyrażamy przez M ~ M₁ jeżeli można je przyporządkować wzajemnie tak, aby każdemu elementowi pierwszéj odpowiadał jeden oznaczony element drugiéj, i odwrotnie.
Jeżeli M ~ M₁ i M₁ ~ M₂, to wynika stąd, że M ~ M₂.
Przykłady. Mnogość barw tęczowych [czerwona, pomarańczowa, żółta, zielona, błękitna, niebieska, fioletowa] i mnogość tonów gamy [C, D, E, F, G, A, H] są mnogościami równoważnemi: obie podchodzą pod pojęcie ogólne siedm.
Mnogość palców obu rąk i mnogość punktów w tak nazwanym trójkącie arytmetycznym

			·
		·		·
	·		·		·
·		·		·		·

są równoważne. Liczbą kardynalną, im odpowiadającą, jest dziesięć.
Mnogość nieskończona (ν) wszystkich liczb całkowitych szeregu 1. [str. 55.] jest równoważna: mnogości wszystkich liczb parzystych, mnogości wszystkich liczb nieparzystych. mnogości (μ + νi) wszystkich liczb zespolonych całkowitych μ + νi, gdzie μ i ν przyjmują niezależnie od siebie wszystkie wartości całkowite. Wszystkie te mnogości są znów równoważne mnogości (μ/ν) wszystkich liczb rzeczywistych μ/ν, gdzie μ i ν są. liczbami względnie pierwszemi, nawet mnogość wszystkich liczb algebraicznych jest równoważna każdéj z powyższych mnogości. [Porówn. art. 14.]. Oznacza to, że wszystkie nieskończone mnogości, o których tu mowa, można przystosować do szeregu 1. w sposób, wyżéj podany.
Przeciwnie, mnogości wszystkich liczb rzeczywistych [t. j. liczb wymiernych, niewymiernych, algebraicznych i przestępnych], jak tego dowiódł Cantor, Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen [Journal für die reine und angewandte Mathematik, LXXVII, 1874, str. 258], nie jest równoważną mnogości (ν).
[Możemy też wspomnieć tu o ważném twierdzeniu Cantora, że rozmaitość n-wymiarowa ciągła, uważana jako rozmaitość punktów jest równoważna continuum linearnemu. [Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre Journ. f. die reine u. ang. Mathem. LXXXIV. 1878, str. 242.].
Z poprzedzającego wynika, że mnogości równoważne mają moc albo liczbę kardynalną równą i że naodwrót mnogości o równej liczbie kardynalnéj są równe. Jeżeli więc M ~ M₁, to M ~ M₁ i odwrotnie. Tu przez M i M₁ oznaczamy liczby kardynalne.
Jeżeli dwie dane mnogości nie są równoważne, to musi zachodzić jeden z dwóch następujących przypadków: 1-o można z N wydzielić część składową N′, aby było M ~ N′; 2-o można z M wydzielić część składową M′aby było M′ ~ N. W pierwszym przypadku mówimy, że M jest mniejsze od N, w drugim: M jest większe od N.
Mnogość, powstałą z połączenia mnogości M i N, — na porządek połączenia nie zwracamy tu uwagi — oznaczamy przez M + N. Jeżeli mamy dwie inne mnogości M′ i N′ tak, że M ~ M′, N ~ N′, to

M + N ~ M′ + N′.

Na tém twierdzeniu opiera się określenie sumy dwóch lub więcéj liczb kardynalnych. Jeżeli a = M, b = N, to przez a + b rozumiemy taką liczbę kardynalną, która odpowiada mnogości M + N, to jest

a + b = M + N

Prawo przemienności a + b = b + a i prawo łączności a + (b + c) = (a + b) + c wynikają tu wprost z uwagi, że liczby kardynalne już ze względu na sam akt abstrakcyi, przez który powstają, są od porządku elementów niezależne.
Jeżeli M i N są dwie mnogości, to przez M.N rozumiemy trzecią mnogość, powstającą z mnogości N w ten sposób, że na miejsce każdego pojedyńczego jéj elementu kładziemy mnogość równoważną mnogości M — porządek elementów tu nie ma wpływu. — Wszystkie mnogości M i N, otrzymane według tego sposobu, są równoważne, a liczba, im odpowiadająca, jest

ab = MN.

Z tego określenia wynikają z łatwością: prawo przemienności ab = ba, prawo łączności a.(b.c) = (ab)c oraz prawo rozdzielności a(b + c) = ab + ac.
Wszystko, co wyżéj powiedziano, odnosi się zarówno do mnogości i liczb skończonych, jako też do liczb i mnogości nieskończonych.
Dla mnogości skończonych można dowieść, że gdy z trzech liczb kardynalnych a, b, c jedna jest równa sumie dwóch drugich np, a + b = c, to liczba c nie może być równa żadnemu ze składników. Jeżeli wszakże pominiemy warunek skończoności, to twierdzenie to przestaje być prawdziwém, i w tém tkwi, jak twierdzi Cantor, głęboka i istotna różnica pomiędzy liczbami skończonemi i nadskończonemi. Dla liczb nadskończonych stosują się twierdzenia

a + ν = a, a.ν = a, a^ν. = a

gdzie ν jest liczbą skończoną, a zaś liczbą nadskończoną.
Oprócz pojęcia liczby kardynalnej wprowadza Cantor do swojéj teoryi pojęcie liczby porządkowej [Ordnungszahl], które rozwija w najnowszéj swojéj wyżéj cytowanéj pracy. Aby pojęcie to uzasadnić, trzeba najprzód poznać, co Cantor rozumie przez pojęcie mnogości dobrze uporządkowanéj.
Mnogością dobrze uporządkowaną nazywamy każdą określoną mnogość któréj elementy są związane z sobą pewném z góry określoném prawem następstwa, według którego pewien element mnogości jest pierwszym, po nim [o ile on nie jest ostatnim] następuje określony drugi, i wogóle po każdej skończonej lub nieskończonej mnogości elementów następuje element rozmaitości zupełnie określony. O takich rozmaitościach czyli mnogościach mówić można, że są odliczalnemi [abzählbar] jedna na drugiéj. Takiemi rozmaitościami są np.

(a, a′, a″) i (b, b′, b″)

(a, a′, a″) . . . a^(ν) . . .) i (b, b′, b″ . . . b^(ν) . . .)

(a, a′, a″ . . . a^(ν) . . c, c′, c″) i (b, b′, b″ . . . b^(ν) . . . d, d′, d″)

Pojęcie mnogości dobrze uporządkowanéj daje się uogólnić w sposób następujący:
Wyobrażamy sobie, że mnogość dobrze uporządkowana składa się z elementów E, E′, E″ . . ., które są uporządkowane w n różnych niezależnych kierunkach [bierzemy tu pojęcie kierunku w znaczeniu ogólniejszém od geometrycznego]. Nazwijmy te kierunki 1-ym, 2-gim,... ν-ym,... a samą mnogość nazwijmy n-krotnie uporządkowaną.
Wprowadźmy następujące oznaczenia: Jeżeli E i E′ są jakiekolwiek dwa elementy mnogości M, to pomiędzy niemi w każdym z n kierunków istnieje określony stosunek położenia [ein bestimmtes Rangverhältniss], do oznaczenia którego użyjmy znaków <, =, >, Jeżeli ν jest jedna z liczb 1, 2, 3, . . . n, to w kierunku ν-ym zachodzi jeden z trzech przypadków

E < E′, E = E′, E > E′.

Dla rozmaitych kierunków stosunek ten może być taki sam, jak dla kierunku ν, lub różny.
Jeżeli E, E′, E″ są jakiekolwiek trzy elementy rozmaitości M i jeżeli w kierunku ν-ym zachodzą związki

E ≤ E′ i E ≤ E″.

to w tym samym ν-ym kierunku musi być

E ≦ E″,

przyczém równość zachodzi w ostatnim związku tylko wtedy, jeżeli zachodzi jednocześnie w obu związkach poprzednich.
Przy takiém założeniu, dana n-krotna rozmaitość albo mnogość nazywa się uporządkowaną w n kierunkach porządkowych 1, 2, 3, . n-ym.
Jako przykłady podobnych rozmaitości służyć mogą: trójkrotnie uporządkowana mnogość punktów w przestrzeni odnośnie do układu trzech osi prostokątnych; dwukrotnie uporządkowana mnogość punktów płaszczyzny odnośnie do układu dwóch osi prostokątnych; utwór muzyczny [melodya, symfonia i t. p.], będący mnogością tonów czterokrotnie uporządkowaną ze względu na następstwo tonów w czasie, ich trwanie, wysokość i natężenie, i t. d.
Jeżeli w takiej oznaczonej n-krotnie uporządkowanéj mnogości M odwrócimy uwagę od istoty elementów, przy zachowaniu związków ich położenia w n różnych kierunkach, powstanie w nas obraz intelektualny, pojęcie ogólne, które Cantor nazywa typem porządkowym [Ordnungstypus] albo też liczbą idealną, odnoszącą się do danéj mnogości [tych liczb idealnych nie należy mieszać z liczbami idealnemi Kummera, o których mówić będziemy w części drugiéj niniejszego tomu] i oznacza ją przez M.
Pojedyńczym elementom E, E′, E″ mnogości M odpowiadają w jéj typie porządkowym M same jedności e = 1, e′ = 1, e″ = 1 . . ., które różnią się tylko wzajemném położeniem w M; ich związki są takie same, jak związki pomiędzy elementami mnogości M.
Tym sposobem n-krotny typ porządkowy jest niejako liczbą całkowitą n-wymiarową, jest organiczném skupieniem jedności, uporządkowanych w n różnych kierunkach.
Typ porządkowy nazywa Cantor czystym, jeżeli każde dwie jedności tego typu e i e′ mają przynajmniéj w jednym z n kierunków położenie różne; w przeciwnym razie typ nazywa mieszanym. W typie mieszanym jedności łączą się w oznaczone grupy, tak, że jedności, należące do jednéj i téj samej grupy, mają we wszystkich kierunkach położenie jednakowe i zlewają się w jednę liczbę kardynalną, gdy jedności, należące do grup różnych, przynajmniej w jednym z n-kierunków mają położenie różne. Typ mieszany powstaje z oznaczonego typu czystego, jeżeli w tym ostatnim zamiast jedności podstawimy pewne liczby kardynalne.
Dwie mnogości M i N, n-krotne uporządkowane, nazywają się podobnemi, jeżeli można je wzajemnie przyporządkować w ten sposób, aby, gdy E i E′ są dwoma elementami pierwszej mnogości, F i F′ — odpowiedniemi elementami drugiéj, to dla ν = 1, 2, 3 . . . n położenie elementu E względem E′ w kierunku ν-ym jest w rozmaitości M takie same, jak położenie F względem F′ wewnątrz rozmaitości N. Podobieństwo takich dwóch mnogości oznaczać będziemy przez

M ≅ N.

Dwie n-krotnie uporządkowane mnogości mają wtedy i tylko wtedy jeden typ porządkowy, jeżeli są podobne, i odwrotnie. Jest tedy

M = V, jeżeli M ≅ N

i odwrotnie

M ≅ N, jeżeli M = V.

Typem porządkowym danéj mnogości n-krotnej M jest więc to pojęcie ogólne, pod które podpadają mnogość M i wszystkie jéj podobne.
Z podobieństwa mnogości M i N wynika ich równoważność; odwrotnie wszakże, z równoważności dwóch mnogości nie można wogóle wnosić o ich podobieństwie. Możemy przeto wypowiedzieć twierdzenie. Jeżelidwie mnogości dobrze uporządkowane mają ten sam typ porządkowy, to mają i jednę liczbę kardynalną; t. j. jeżeli M = N, to M = N.
Tak więc liczba kardynalna czyli moc mnogości M jest jednocześnie liczbą kardynalną jéj typu porządkowego M i powstaje z tego ostatniego, jeżeli oderwiemy uwagę od położenia jego jedności. Jeżeli α jest znakiem dla typu porządkowego M, to α jest znakiem dla liczby kardynalnéj M.
Stosownie do tego, czy liczba kardynalna mnogości jest skończoną lub nadskończoną, i samą mnogość oraz jej typ porządkowy nazywamy skończonym lub nadskończonym.
Typ n-krotny α składa się z pewnych jedności e, e′, e″ . . . , mających oznaczone położenie w n kierunkach. Jeżeli weźmiemy pod uwagę tylko pewną część tych jedności, to określi ona pewien typ γ, który można uważać za część “przygotowaną„ [możliwą, virtuell] typu α. Każdy typ α składa się z takich typów przygotowanych γ, γ′, γ″ . . . , które w części znajdują się jeden zewnątrz drugiego, w części zachodzą wzajem na siebie.
Rozpatrzmy działania elementarne, wykonalne na dwóch takich typach α i β.
Wyobraźmy sobie dwie mnogości M i N o typach M = α i N = β i utwórzmy z nich nową uporządkowaną mnogość M + N pod następującemi warunkami. Elementy M niechaj mają wewnątrz M + N to samo położenie w n kierunkach, jakie miały w M, podobnież elementy mnogości N niechaj mają w M + N względem siebie to samo położenie w n kierunkach, jakie miały w N, wreszcie niechaj w M + N wszystkie elementy mnogości N mają w każdym z n kierunków położenie wyższe od wszystkich elementów mnogości N. Wszystkie mnogości M + N, czyniące zadość tym warunkom, są oczywiście mnogościami n-krotnie uporządkowanemi i podobnemi, i określają ten typ, który nazywamy α + β. Mamy więc

α + β = M + N,

gdzie α nazwijmy dla odróżnienia składnikiem pierwszym [augendus], β składnikiem drugim [addendus].
Stąd wynika łatwo stosowalność prawa łączności

α + (β + γ) = (α + β) + γ.

Prawo przemienności w ogólności się nie stosuje, gdyż α + β i β + α są różnemi typami.
Zauważmy jeszcze, że liczba kardynalna sumy α + β równa się sumie liczb kardynalnych odpowiadających typom α i β,

α + β = α + β.

Dla otrzymania iloczynu α . β, wyobraźmy sobie mnogość n o typie β, tak że N = β, i oznaczmy elementy, z których składa się N, przez F₁, F₂, . . . F_λ . . .

Niechaj daléj M₁, M₂, . . . M_λ będą mnogości typu α, tak że

M₁ = M₂ . . . = M_λ = ... = α.

Odwzorujmy wzajemnie te mnogości, tak że

E_1,1, E_1,2 . . . E_1,μ . . . . .

będą

elementami

mnogości

M₁,

E_2,1, E_2,2 . . . E_2,μ . . . . .

„

M₂,

.

E_λ,1, E_λ,2 . . . E_λ,μ . . . . .

„

M_λ,

.

E_1,μ, E_2,μ . . . E_λ,μ [μ = 1, 2 . . .] są odpowiadejącemi sobie

elementami mnogości M₁, M₂, . . . M_λ . . .

Utwórzmy nową mnogość MN z mnogości N w ten sposób, że w miejsce elementów F₁, F₂ . . . F_λ . . . podstawiamy odpowiednio M₁, M₂ . . . M_λ . . ., przyczem wzajemność położenia podlegać ma następującym warunkom: Wszystkie elementy E_λμ, E_λμ′ jednéj i téj saméj mnogości M_λ mają wewnątrz MN zachować względem siebie to samo położenie, jakie miały w M_λ; dla dwóch elementów E_χ,μ, E_λ,μ′ należących do różnych mnogości M_χ i M_λ należy przyjąć następujące rozróżnienie: 1.) Jeżeli F_χ i F_λ mają wewnątrz N w kierunku ν-ym położenie różne, to wzajemne położenie elementów E_χ,μ, E_λ,μ′ wewnątrz MN w kierunku ν-ym ma być to samo, jakiém jest położenie elementów F_χ i F_λ w rozmaitości N w kierunku ν-ym; 2.) Jeżeli F_χ i F_λ mają wewnątrz N w kierunku ν-ym położenie jednakowe, to położenie E_χ,μ względem E_χ,μ′ wewnątrz MN w kierunku ν-ym ma być takie, jak położenie E_χ,μ względem E_χ′,μ′ wewnątrz M_χ, albo, co na jedno wychodzi, jakiém jest położenie E_χμ względem E_λ,μ′ wewnątrz M_λ w kierunku ν-ym.
Wszystkie mnogości MN, utworzone według tego przepisu, są podobne, iloczyn zaś, im odpowiadający, αβ określa się w ten sposób:

α . β = MN

gdzie α nazywamy czynnikiem pierwszym [mnożną], β - czynnikiem drugim [mnożnikiem].
Stosuje się tu prawo łączności

α . (β . γ) = (α . β)γ,

gdy tymczasem α . β jest w ogóle różne od β . α.
Prawo rozdzielności

α . (β + γ) = α . β + α . γ

ma tu miejsce.
Liczba kardynalna iloczynu dwóch typów równa się iloczynowi liczb kardynalnych czynników, t. j.

αβ = α . β.

Z danym typem n-krotnym α związane są ściśle inne typy, które nazywamy sprzężonemi.
Można wzajemność położenia właściwą typowi α przemienić w ten sposób, że położenia wzajemne jedności e, e′, e″ . . . w kierunkach μ-ym i ν-ym przestawiają się, w innych zaś kierunkach pozostają bez zmiany. Takich przekształceń, które nazwać można przestawieniami ze względu na kierunki μ-y i ν-y, jest oczywiście n(n - 1)/2, a wszystkie one, kolejno stosowane, dają wraz z typem danym wogóle 1.2. . . n typów sprzężonych.
Jeżeli odmienimy typ α przez to, że odwrócimy położenie jedności w jednym ν-ym kierunku, t. j. jeżeli położenie jedności e i e′ w nowym typie będzie takiém, jakiém było położenie jedności e′ i e w typie dawnym, to przekształcenie takie nazwać można odwróceniem. Takich odwróceń jest n, a kolejne ich stosowanie daje wraz z typem danym 2n typów różnych.
Wszystkich typów różnych sprzężonych z danym będzie zatem wogóle 2.n . 1 . 2 . . . n.
Cantor zajmuje się jeszcze zagadnieniem o oznaczeniu liczby wszystkich typów porządkowych danéj liczby m, po rozwiązanie którego odsyłamy czytelnika do drugiej z cytowanych prac lub do rozprawy H. C. Schwartza, Ein Beitrag zur Theorie der Ordnungstypen, 1888.
Teorya Cantora, któréj zarys przedstawiliśmy, zawiera w sobie cenne zadatki przyszłego rozwoju. Pomysły w niéj tkwiące, stosował Cantor już wcześniéj do badania rozmaitości punktowych [mówić o nich będziemy w tomie drugim], gdzie doszedł do wyników bardzo ważnych dla teoryi funkcyj. Nauka już teraz z tych pomysłów czerpie pożytek, przedewszystkiém zaś wpłynęły one na pogłębienie i udokładnienie badań analitycznych.

[1] Dajemy tu krótki wykład teoryi liczb kardynalnych i porządkowych, opierając się głównie na dwóch pracach Cantora: Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre, 1883 i Zur Lehre vom Transtiniten Erste Abtheilung, 1890. Porówn. także artykuły tegoż w Acta Mathematica, II. 1883.
Dwie oznaczone mnogości M i M₁ nazywają się równoważnemi, co wyrażamy przez M ~ M₁ jeżeli można je przyporządkować wzajemnie tak, aby każdemu elementowi pierwszéj odpowiadał jeden oznaczony element drugiéj, i odwrotnie.
Jeżeli M ~ M₁ i M₁ ~ M₂, to wynika stąd, że M ~ M₂.
Przykłady. Mnogość barw tęczowych [czerwona, pomarańczowa, żółta, zielona, błękitna, niebieska, fioletowa] i mnogość tonów gamy [C, D, E, F, G, A, H] są mnogościami równoważnemi: obie podchodzą pod pojęcie ogólne siedm.
Mnogość palców obu rąk i mnogość punktów w tak nazwanym trójkącie arytmetycznym

·

· ·

· · ·

· · · ·

są równoważne. Liczbą kardynalną, im odpowiadającą, jest dziesięć.
Mnogość nieskończona (ν) wszystkich liczb całkowitych szeregu 1. [str. 55.] jest równoważna: mnogości wszystkich liczb parzystych, mnogości wszystkich liczb nieparzystych. mnogości (μ + νi) wszystkich liczb zespolonych całkowitych μ + νi, gdzie μ i ν przyjmują niezależnie od siebie wszystkie wartości całkowite. Wszystkie te mnogości są znów równoważne mnogości (μ/ν) wszystkich liczb rzeczywistych μ/ν, gdzie μ i ν są. liczbami względnie pierwszemi, nawet mnogość wszystkich liczb algebraicznych jest równoważna każdéj z powyższych mnogości. [Porówn. art. 14.]. Oznacza to, że wszystkie nieskończone mnogości, o których tu mowa, można przystosować do szeregu 1. w sposób, wyżéj podany.
Przeciwnie, mnogości wszystkich liczb rzeczywistych [t. j. liczb wymiernych, niewymiernych, algebraicznych i przestępnych], jak tego dowiódł Cantor, Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen [Journal für die reine und angewandte Mathematik, LXXVII, 1874, str. 258], nie jest równoważną mnogości (ν).
[Możemy też wspomnieć tu o ważném twierdzeniu Cantora, że rozmaitość n-wymiarowa ciągła, uważana jako rozmaitość punktów jest równoważna continuum linearnemu. [Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre Journ. f. die reine u. ang. Mathem. LXXXIV. 1878, str. 242.].
Z poprzedzającego wynika, że mnogości równoważne mają moc albo liczbę kardynalną równą i że naodwrót mnogości o równej liczbie kardynalnéj są równe. Jeżeli więc M ~ M₁, to M ~ M₁ i odwrotnie. Tu przez M i M₁ oznaczamy liczby kardynalne.
Jeżeli dwie dane mnogości nie są równoważne, to musi zachodzić jeden z dwóch następujących przypadków: 1-o można z N wydzielić część składową N′, aby było M ~ N′; 2-o można z M wydzielić część składową M′aby było M′ ~ N. W pierwszym przypadku mówimy, że M jest mniejsze od N, w drugim: M jest większe od N.
Mnogość, powstałą z połączenia mnogości M i N, — na porządek połączenia nie zwracamy tu uwagi — oznaczamy przez M + N. Jeżeli mamy dwie inne mnogości M′ i N′ tak, że M ~ M′, N ~ N′, to

M + N ~ M′ + N′.

Na tém twierdzeniu opiera się określenie sumy dwóch lub więcéj liczb kardynalnych. Jeżeli a = M, b = N, to przez a + b rozumiemy taką liczbę kardynalną, która odpowiada mnogości M + N, to jest

a + b = M + N

Prawo przemienności a + b = b + a i prawo łączności a + (b + c) = (a + b) + c wynikają tu wprost z uwagi, że liczby kardynalne już ze względu na sam akt abstrakcyi, przez który powstają, są od porządku elementów niezależne.
Jeżeli M i N są dwie mnogości, to przez M.N rozumiemy trzecią mnogość, powstającą z mnogości N w ten sposób, że na miejsce każdego pojedyńczego jéj elementu kładziemy mnogość równoważną mnogości M — porządek elementów tu nie ma wpływu. — Wszystkie mnogości M i N, otrzymane według tego sposobu, są równoważne, a liczba, im odpowiadająca, jest

ab = MN.

Z tego określenia wynikają z łatwością: prawo przemienności ab = ba, prawo łączności a.(b.c) = (ab)c oraz prawo rozdzielności a(b + c) = ab + ac.
Wszystko, co wyżéj powiedziano, odnosi się zarówno do mnogości i liczb skończonych, jako też do liczb i mnogości nieskończonych.
Dla mnogości skończonych można dowieść, że gdy z trzech liczb kardynalnych a, b, c jedna jest równa sumie dwóch drugich np, a + b = c, to liczba c nie może być równa żadnemu ze składników. Jeżeli wszakże pominiemy warunek skończoności, to twierdzenie to przestaje być prawdziwém, i w tém tkwi, jak twierdzi Cantor, głęboka i istotna różnica pomiędzy liczbami skończonemi i nadskończonemi. Dla liczb nadskończonych stosują się twierdzenia

a + ν = a, a.ν = a, a^ν. = a

gdzie ν jest liczbą skończoną, a zaś liczbą nadskończoną.
Oprócz pojęcia liczby kardynalnej wprowadza Cantor do swojéj teoryi pojęcie liczby porządkowej [Ordnungszahl], które rozwija w najnowszéj swojéj wyżéj cytowanéj pracy. Aby pojęcie to uzasadnić, trzeba najprzód poznać, co Cantor rozumie przez pojęcie mnogości dobrze uporządkowanéj.
Mnogością dobrze uporządkowaną nazywamy każdą określoną mnogość któréj elementy są związane z sobą pewném z góry określoném prawem następstwa, według którego pewien element mnogości jest pierwszym, po nim [o ile on nie jest ostatnim] następuje określony drugi, i wogóle po każdej skończonej lub nieskończonej mnogości elementów następuje element rozmaitości zupełnie określony. O takich rozmaitościach czyli mnogościach mówić można, że są odliczalnemi [abzählbar] jedna na drugiéj. Takiemi rozmaitościami są np.

(a, a′, a″) i (b, b′, b″)

(a, a′, a″) . . . a^(ν) . . .) i (b, b′, b″ . . . b^(ν) . . .)

(a, a′, a″ . . . a^(ν) . . c, c′, c″) i (b, b′, b″ . . . b^(ν) . . . d, d′, d″)

Pojęcie mnogości dobrze uporządkowanéj daje się uogólnić w sposób następujący:
Wyobrażamy sobie, że mnogość dobrze uporządkowana składa się z elementów E, E′, E″ . . ., które są uporządkowane w n różnych niezależnych kierunkach [bierzemy tu pojęcie kierunku w znaczeniu ogólniejszém od geometrycznego]. Nazwijmy te kierunki 1-ym, 2-gim,... ν-ym,... a samą mnogość nazwijmy n-krotnie uporządkowaną.
Wprowadźmy następujące oznaczenia: Jeżeli E i E′ są jakiekolwiek dwa elementy mnogości M, to pomiędzy niemi w każdym z n kierunków istnieje określony stosunek położenia [ein bestimmtes Rangverhältniss], do oznaczenia którego użyjmy znaków <, =, >, Jeżeli ν jest jedna z liczb 1, 2, 3, . . . n, to w kierunku ν-ym zachodzi jeden z trzech przypadków

E < E′, E = E′, E > E′.

Dla rozmaitych kierunków stosunek ten może być taki sam, jak dla kierunku ν, lub różny.
Jeżeli E, E′, E″ są jakiekolwiek trzy elementy rozmaitości M i jeżeli w kierunku ν-ym zachodzą związki

E ≤ E′ i E ≤ E″.

to w tym samym ν-ym kierunku musi być

E ≦ E″,

przyczém równość zachodzi w ostatnim związku tylko wtedy, jeżeli zachodzi jednocześnie w obu związkach poprzednich.
Przy takiém założeniu, dana n-krotna rozmaitość albo mnogość nazywa się uporządkowaną w n kierunkach porządkowych 1, 2, 3, . n-ym.
Jako przykłady podobnych rozmaitości służyć mogą: trójkrotnie uporządkowana mnogość punktów w przestrzeni odnośnie do układu trzech osi prostokątnych; dwukrotnie uporządkowana mnogość punktów płaszczyzny odnośnie do układu dwóch osi prostokątnych; utwór muzyczny [melodya, symfonia i t. p.], będący mnogością tonów czterokrotnie uporządkowaną ze względu na następstwo tonów w czasie, ich trwanie, wysokość i natężenie, i t. d.
Jeżeli w takiej oznaczonej n-krotnie uporządkowanéj mnogości M odwrócimy uwagę od istoty elementów, przy zachowaniu związków ich położenia w n różnych kierunkach, powstanie w nas obraz intelektualny, pojęcie ogólne, które Cantor nazywa typem porządkowym [Ordnungstypus] albo też liczbą idealną, odnoszącą się do danéj mnogości [tych liczb idealnych nie należy mieszać z liczbami idealnemi Kummera, o których mówić będziemy w części drugiéj niniejszego tomu] i oznacza ją przez M.
Pojedyńczym elementom E, E′, E″ mnogości M odpowiadają w jéj typie porządkowym M same jedności e = 1, e′ = 1, e″ = 1 . . ., które różnią się tylko wzajemném położeniem w M; ich związki są takie same, jak związki pomiędzy elementami mnogości M.
Tym sposobem n-krotny typ porządkowy jest niejako liczbą całkowitą n-wymiarową, jest organiczném skupieniem jedności, uporządkowanych w n różnych kierunkach.
Typ porządkowy nazywa Cantor czystym, jeżeli każde dwie jedności tego typu e i e′ mają przynajmniéj w jednym z n kierunków położenie różne; w przeciwnym razie typ nazywa mieszanym. W typie mieszanym jedności łączą się w oznaczone grupy, tak, że jedności, należące do jednéj i téj samej grupy, mają we wszystkich kierunkach położenie jednakowe i zlewają się w jednę liczbę kardynalną, gdy jedności, należące do grup różnych, przynajmniej w jednym z n-kierunków mają położenie różne. Typ mieszany powstaje z oznaczonego typu czystego, jeżeli w tym ostatnim zamiast jedności podstawimy pewne liczby kardynalne.
Dwie mnogości M i N, n-krotne uporządkowane, nazywają się podobnemi, jeżeli można je wzajemnie przyporządkować w ten sposób, aby, gdy E i E′ są dwoma elementami pierwszej mnogości, F i F′ — odpowiedniemi elementami drugiéj, to dla ν = 1, 2, 3 . . . n położenie elementu E względem E′ w kierunku ν-ym jest w rozmaitości M takie same, jak położenie F względem F′ wewnątrz rozmaitości N. Podobieństwo takich dwóch mnogości oznaczać będziemy przez

M ≅ N.

Dwie n-krotnie uporządkowane mnogości mają wtedy i tylko wtedy jeden typ porządkowy, jeżeli są podobne, i odwrotnie. Jest tedy

M = V, jeżeli M ≅ N

i odwrotnie

M ≅ N, jeżeli M = V.

Typem porządkowym danéj mnogości n-krotnej M jest więc to pojęcie ogólne, pod które podpadają mnogość M i wszystkie jéj podobne.
Z podobieństwa mnogości M i N wynika ich równoważność; odwrotnie wszakże, z równoważności dwóch mnogości nie można wogóle wnosić o ich podobieństwie. Możemy przeto wypowiedzieć twierdzenie. Jeżelidwie mnogości dobrze uporządkowane mają ten sam typ porządkowy, to mają i jednę liczbę kardynalną; t. j. jeżeli M = N, to M = N.
Tak więc liczba kardynalna czyli moc mnogości M jest jednocześnie liczbą kardynalną jéj typu porządkowego M i powstaje z tego ostatniego, jeżeli oderwiemy uwagę od położenia jego jedności. Jeżeli α jest znakiem dla typu porządkowego M, to α jest znakiem dla liczby kardynalnéj M.
Stosownie do tego, czy liczba kardynalna mnogości jest skończoną lub nadskończoną, i samą mnogość oraz jej typ porządkowy nazywamy skończonym lub nadskończonym.
Typ n-krotny α składa się z pewnych jedności e, e′, e″ . . . , mających oznaczone położenie w n kierunkach. Jeżeli weźmiemy pod uwagę tylko pewną część tych jedności, to określi ona pewien typ γ, który można uważać za część “przygotowaną„ [możliwą, virtuell] typu α. Każdy typ α składa się z takich typów przygotowanych γ, γ′, γ″ . . . , które w części znajdują się jeden zewnątrz drugiego, w części zachodzą wzajem na siebie.
Rozpatrzmy działania elementarne, wykonalne na dwóch takich typach α i β.
Wyobraźmy sobie dwie mnogości M i N o typach M = α i N = β i utwórzmy z nich nową uporządkowaną mnogość M + N pod następującemi warunkami. Elementy M niechaj mają wewnątrz M + N to samo położenie w n kierunkach, jakie miały w M, podobnież elementy mnogości N niechaj mają w M + N względem siebie to samo położenie w n kierunkach, jakie miały w N, wreszcie niechaj w M + N wszystkie elementy mnogości N mają w każdym z n kierunków położenie wyższe od wszystkich elementów mnogości N. Wszystkie mnogości M + N, czyniące zadość tym warunkom, są oczywiście mnogościami n-krotnie uporządkowanemi i podobnemi, i określają ten typ, który nazywamy α + β. Mamy więc

α + β = M + N,

gdzie α nazwijmy dla odróżnienia składnikiem pierwszym [augendus], β składnikiem drugim [addendus].
Stąd wynika łatwo stosowalność prawa łączności

α + (β + γ) = (α + β) + γ.

Prawo przemienności w ogólności się nie stosuje, gdyż α + β i β + α są różnemi typami.
Zauważmy jeszcze, że liczba kardynalna sumy α + β równa się sumie liczb kardynalnych odpowiadających typom α i β,

α + β = α + β.

Dla otrzymania iloczynu α . β, wyobraźmy sobie mnogość n o typie β, tak że N = β, i oznaczmy elementy, z których składa się N, przez F₁, F₂, . . . F_λ . . .

Niechaj daléj M₁, M₂, . . . M_λ będą mnogości typu α, tak że
M₁ = M₂ . . . = M_λ = ... = α.

Odwzorujmy wzajemnie te mnogości, tak że

E_1,1, E_1,2 . . . E_1,μ . . . . . będą elementami mnogości M₁,

E_2,1, E_2,2 . . . E_2,μ . . . . . „ „ „ M₂,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E_λ,1, E_λ,2 . . . E_λ,μ . . . . . „ „ „ M_λ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E_1,μ, E_2,μ . . . E_λ,μ [μ = 1, 2 . . .] są odpowiadejącemi sobie

elementami mnogości M₁, M₂, . . . M_λ . . .

Utwórzmy nową mnogość MN z mnogości N w ten sposób, że w miejsce elementów F₁, F₂ . . . F_λ . . . podstawiamy odpowiednio M₁, M₂ . . . M_λ . . ., przyczem wzajemność położenia podlegać ma następującym warunkom: Wszystkie elementy E_λμ, E_λμ′ jednéj i téj saméj mnogości M_λ mają wewnątrz MN zachować względem siebie to samo położenie, jakie miały w M_λ; dla dwóch elementów E_χ,μ, E_λ,μ′ należących do różnych mnogości M_χ i M_λ należy przyjąć następujące rozróżnienie: 1.) Jeżeli F_χ i F_λ mają wewnątrz N w kierunku ν-ym położenie różne, to wzajemne położenie elementów E_χ,μ, E_λ,μ′ wewnątrz MN w kierunku ν-ym ma być to samo, jakiém jest położenie elementów F_χ i F_λ w rozmaitości N w kierunku ν-ym; 2.) Jeżeli F_χ i F_λ mają wewnątrz N w kierunku ν-ym położenie jednakowe, to położenie E_χ,μ względem E_χ,μ′ wewnątrz MN w kierunku ν-ym ma być takie, jak położenie E_χ,μ względem E_χ′,μ′ wewnątrz M_χ, albo, co na jedno wychodzi, jakiém jest położenie E_χμ względem E_λ,μ′ wewnątrz M_λ w kierunku ν-ym.
Wszystkie mnogości MN, utworzone według tego przepisu, są podobne, iloczyn zaś, im odpowiadający, αβ określa się w ten sposób:

α . β = MN

gdzie α nazywamy czynnikiem pierwszym [mnożną], β - czynnikiem drugim [mnożnikiem].
Stosuje się tu prawo łączności

α . (β . γ) = (α . β)γ,

gdy tymczasem α . β jest w ogóle różne od β . α.
Prawo rozdzielności

α . (β + γ) = α . β + α . γ

ma tu miejsce.
Liczba kardynalna iloczynu dwóch typów równa się iloczynowi liczb kardynalnych czynników, t. j.

αβ = α . β.

Z danym typem n-krotnym α związane są ściśle inne typy, które nazywamy sprzężonemi.
Można wzajemność położenia właściwą typowi α przemienić w ten sposób, że położenia wzajemne jedności e, e′, e″ . . . w kierunkach μ-ym i ν-ym przestawiają się, w innych zaś kierunkach pozostają bez zmiany. Takich przekształceń, które nazwać można przestawieniami ze względu na kierunki μ-y i ν-y, jest oczywiście n(n - 1)/2, a wszystkie one, kolejno stosowane, dają wraz z typem danym wogóle 1.2. . . n typów sprzężonych.
Jeżeli odmienimy typ α przez to, że odwrócimy położenie jedności w jednym ν-ym kierunku, t. j. jeżeli położenie jedności e i e′ w nowym typie będzie takiém, jakiém było położenie jedności e′ i e w typie dawnym, to przekształcenie takie nazwać można odwróceniem. Takich odwróceń jest n, a kolejne ich stosowanie daje wraz z typem danym 2n typów różnych.
Wszystkich typów różnych sprzężonych z danym będzie zatem wogóle 2.n . 1 . 2 . . . n.
Cantor zajmuje się jeszcze zagadnieniem o oznaczeniu liczby wszystkich typów porządkowych danéj liczby m, po rozwiązanie którego odsyłamy czytelnika do drugiej z cytowanych prac lub do rozprawy H. C. Schwartza, Ein Beitrag zur Theorie der Ordnungstypen, 1888.
Teorya Cantora, któréj zarys przedstawiliśmy, zawiera w sobie cenne zadatki przyszłego rozwoju. Pomysły w niéj tkwiące, stosował Cantor już wcześniéj do badania rozmaitości punktowych [mówić o nich będziemy w tomie drugim], gdzie doszedł do wyników bardzo ważnych dla teoryi funkcyj. Nauka już teraz z tych pomysłów czerpie pożytek, przedewszystkiém zaś wpłynęły one na pogłębienie i udokładnienie badań analitycznych.

[1]