mają posiadać pewne własności formalne, stanowiące określenie każdego z nich i wyróżniające jedne od drugich.
Połączenie dwóch form oznaczać będziemy najczęściéj za pomocą symbolu ∆(a, b) lub też ∇(a, b). W przypadku, gdy działań różnych będzie więcej, pisać będziemy
∆(a, b, c) oznaczać będzie połączenie trzech form, ∇(a, b, c, d) — połączenie czterech form i t. d. Znaczenie połączeń trzech i większéj [skończonéj] liczby form będzie dopiero ustanowione i wyjaśnione po ustanowieniu prawideł dla połączeń dwóch form.
Równanie
oznaczać ma, że wynik połączenia form a i b jest pewną formą c. Podobnież równanie
oznacza, że wynik innego połączenia tych samych form jest pewną formą d, równą formie c lub różną od niéj.
Niechaj będą, dwa działania ∆ i ∇. Zastosujemy pierwsze do dwóch form m i n, drugie do form a i b, i niechaj będzie
Między temi dwoma działaniami ustanowimy związek następujący: jeżeli w pierwszém z równań zastąpimy m przez c, n przez b, to p równać się będzie a. Założenie to daje się wyrazić w ten sposób:
| 1. | 1=∆[∇(a, b), b] = a |
i określa związek, zachodzący między formalnemi działaniami ∆ i ∇, lub określa działanie ∇, gdy dane jest działanie ∆.
Obok tego związku przyjmijmy jeszcze, że działania ∆ i ∇ są jednowartościowe, co ma oznaczać, że jeżeli działanie np. ∆(a, b) doprowadza raz do wyniku c, drugi raz do wyniku c′, to formy c i c′ są tożsamościowo równe. Toż samo rozumie się o działaniu ∇(a, b).
Z tych dwóch założeń daje się wyprowadzić nowa własność naszych działań, wyrażająca się następującém twierdzeniem:
