“Jeżeli w działaniu ∆(a, b) lub ∇(a, b) pierwszą formę zmienimy, drugą zaś pozostawimy bez zmiany, to wynik działania zmienić się musi„.
W saméj rzeczy, niechaj będzie
gdzie a′ różne od a; twierdzimy, że c′ musi być różne od c. Gdyby bowiem c′ równało się c, mielibyśmy
a łącząc obie strony z formą b za pomocą działania ∆:
Stosując wreszcie do obu stron wzór zasadniczy 1., otrzymalibyśmy
co się sprzeciwia założeniu.
Wynika stąd, że równanie
może mieć tylko jedno rozwiązanie, które możemy znaleźć, łącząc obie strony z formą b za pomocą działania ∆. Otrzymujemy wtedy na zasadzie wzoru 1.
a wstawiając znalezioną wartość do poprzedniego równania, związek
| 2. | ∇[∆(c, b), b] = c, |
analogiczny ze związkiem 1. i określający działanie ∆, gdy daném jest działanie ∇. Na podstawie związku 2. możemy dowieść, że gdy a jest różne od a′, to i ∆(a, b) jest różne od ∆(a′, b′).
Za określenie działali ∆ i ∇ przyjęliśmy związek 1. i jednowartościowość obu tych działań; stąd wynikło powyższe twierdzenie i związek 2. Oczywista, że gdybyśmy zamiast równania 1. przyjęli za podstawę równania 2., to przyszlibyśmy do równania 1., jako do wyniku tego przyjęcia oraz jednowartościowości obu działań. Można zresztą uczynić i inne założenia, np. przyjąć za określenie działań związek 1. i założyć, że jedno z działań ∆ i ∇ jest jednowartościcciowém i posiada własność, wyrażoną powyższém twierdzeniom; wyniknie stąd związek 2. oraz podobna własność drugiego z działań.
