Dla rozszerzenia naszych działań na większą liczbę form, załóżmy, że do działania ∆ stosuje się prawo łączności. Jeżeli marny trzy formy, to prawo to wyraża, że otrzymamy jeden i ten sam wynik, łącząc pierwszą formę z wynikiem połączenia drugiéj i trzeciéj: czy też łącząc wynik połączenia pierwszéj i drugiéj formy z formą trzecią. Działania ∆, posiadające podobną własność — i tylko takie działania — nazywać będziemy prostemi. Działania ∇, związane z takiemi działaniami ∆ na podstawie równań 1. lub 2., nazywać będziemy odwrotnemi. Własność łączności przedstawić możemy za pomocą wzoru
| 3. | ∆[a, ∆(b, c)] = ∆[∆(a, b), c]. |
Przez ∆(a, b, c) rozumieć będziemy którekolwiek z tych dwóch równych sobie wyrażeń 3.
Przy takiém założeniu, można już dowieść, że prawo łączności stosuje się do działania prostego nad czterema i więcéj formami. W saméj rzeczy, na zasadzie równania 3. mamy
i także
Każde z tych sześciu równych wyrażeń nazwiemy połączeniem ∆(a, b, c, d). W podobny sposób określić można połączenie jakiéjkolwiek [skończonéj] liczby form. Do wszystkich tych połączeń stosować się musi prawo łączności, jeżeli założymy, że ono stosuje się do trzech form, i jeżeli połączeniem n form nazwiemy połączenie jednéj formy z wynikiem połączenia n - 1 pozostałych.
Określiwszy działania proste łącznościowe, podamy wynikające z określeń tych twierdzenia, wyrażające własności naszych działań. Własności te wyrazić się dają następującemi trzema wzorami:
| 4. | ∆[a, ∇(b, c)] = ∇[∆(a, b), c] ∇[a, ∆(c, b)] = ∇[∇(a, b), c] ∇[∆(a, c), b] = ∇[a, ∇(b, c)] |
Pierwsza tych własności dowodzi się w sposób następujący. Niechaj będzie
