Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/077

Połączywszy obie strony z formą c zapomocą działania ∆, otrzymamy

∆(x, c)	=	∆{∆[a, ∇(b, c)],c,}
	=	∆{a, ∆[∆(b, c), c]}
	=	∆(a, b);

stąd

∇[∆(x, c), c]	=	∇[∆(a, b),c],
x	=	∇[∆(a, b),c],

czyli

∆[a, ∇(b, c)]

=

∇[∆(a, b),c]

c. b. d. o.

Drugą własność okażemy, zakładając

x′ = ∇[∇(a, b) c].

Polączenie obu stron z formą c za pomocą działania ∆ daje

∆(x′, c) = ∆{∇[∇(a, b) c], c}
= ∇(a, b),

skąd

∆[∆(x′, c), b] = ∆[∇(a, b) b] = a,

a więc także

∆[x′, ∆(c, b)] = a,

Połączywszy obie strony z formą ∆(c, b) za pomocą działania ∇ otrzymamy

x′ = ∇[a, ∆(c, b)]

czyli

∇[∇(a, b),c]

=

∇[a, ∆(c, b)]

c. b. d. o.

Dla okazania trzeciej własności połóżmy

x″ = ∇[∆(a, c) b]

i połączmy obie strony z formą b za pomocą działania ∆:

∆(x″, c)	=	∆{∇[∆(a, c)],b], b}
	=	∆(a, c).