Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/081

Ponieważ działanie ∆₁ jest łączne, przeto równanie to napisać można pod postacią

∆₁[∆₂(a, c), ∆₂(a, d), ∆₂(b, c), ∆₂(b, d)] = ∆₁[∆₂(a, c), ∆₂(b, c), ∆₂(a, d), ∆₂(b, d)]

Obie strony różnią się tu tylko porządkiem wyrazów; kładąc więc dla skrócenia

∆₂(a, c) = p, ∆₂(a, d) = q, ∆₂(b, c) = r, ∆₂(b, d) = s

i stosując do równania

∆₁(p, q, r, s) = ∆₁(p, q, r, s)

prawo łączności, możemy napisać

∆₁[∆₁(p, q, r), s] = ∆₁[∆₁(p, r, q), s],

skąd, z przyczyny jednowartościowości działania ∆₁, otrzymujemy

∆₁(p, q, r) = ∆₁(p, r, q)

co można napisać pod postacią

∆₁[p, ∆₁(q, r)] = ∆₁[p, ∆₁(r, q)].

Stąd też, z powodu jednowartościowości działania ∆₁, otrzymujemy

∆₁(q, r) = ∆₁(r, q)

co dowodzi przemienności działania ∆₁. Ważne to twierdzenie w teoryi działań formalnych możemy wyrazić w sposób następujący:
 “Jeżeli dwa różne działania jednowartościowe i łączne są związane z sobą prawem rozdzielności, to wtedy jedno z nich musi być przemienne„.
 W podobny sposób możnaby dowieść, że działanie ∆₂ jest przemienne, jeżeli czyni zadość następującym dwóm związkom

∆₂[∆₂(a, b), c] = ∆₂[∆₁(a, c), ∆₁(b, c)],

∆₁[a, ∆₂(c, d)] = ∆₂[∆₁(a, c), ∆₁(a, d)].

Związek, wyrażony ogólnie równaniem 12., obejmuje w sobie związek, zachodzący między dodawaniem i mnożeniem liczb; wynika z niego, że prawo rozdzielności, wiążące mnożenie i dodawanie, pociąga za sobą przemienność dodawania, jeżeli założymy, że oba działania są jednowartościowe i łączne. Przemienność zaś mnożenia nie jest koniecznym wynikiem tego założenia; istotnie, mnoże-