Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/082

Ta strona została przepisana.

nie, jak to przekonamy się na przykładach w rozmaitych dziedzinach, może nie być przemienném ^[1].
Własności formalne działań ∆₁ i ∆₂ oraz związek 12. pomiędzy niemi nie wystarczają wszakże do zupełnego określenia dodawania i mnożenia w każdej specyalnéj dziedzinie, wymagającéj jeszcze odpowiedniego ustanowienia w niej znaczenia dodawania.
Możemy wyprowadzić wzór analogiczny do wzoru 12., a wyrażający związek między działaniem ∆₂ i działaniem odwrotnem ∇₁.
W saméj rzeczy, według określenia tego działania, mamy

∆₁[∇₁(a, b), b] = a;

łącząc obie strony z formą c za pomocą działania ∆₂, otrzymujemy

∆₂{∆₁[∇₁(a, b), b] c₁} = ∆₂(a, c).

Do strony pierwszéj możemy zastosować pierwszy z wzorów 12., zastępując w nim a przez ∇₁(a, b), otrzymamy wtedy

∆₁{∆₂[∇₁(a, b), c], ∇₂(b, c)} = ∆₂(a, c)

Łącząc obie strony z formą ∆₂(b, c) za pomocą działania odwrotnego ∇₁, mieć będziemy po redukcyi

12׳.

∆₂[∇₁(a, b),c]

=

∇₁[∆₂(a, c), ∆₂(b, c)]

c. b. d. o.

Dziedzina form a, b, c,... nad któremi wykonywamy działania proste, zawiera według naszego założenia, wszystkie wyniki działań prostych ∆(a, b), ∆(a, b, c)... Wykonywając w niéj i inne działania proste ∆₂(a, b), ∆₃(a, b)..., przyjmowaliśmy, że wyniki tych działań do naszéj dziedziny należą, a równania takie jak 12., określają związki, zachodzące pomiędzy działaniami prostemi ∆₁ i ∆₂. Związek pomiędzy trzema działaniami prostemi jednowartościowemi ∆₂, ∆₂, ∆₃, może mieć np. postać następującą

∆₂[∆₃(a, b), ∆₃(a, c)] = ∆₃[a, ∆₁(b, c)],

przy założeniu.że wyniki działania ∆₃ prowadzą do form, należących do dziedziny pierwotnéj; już z tego związku wnieść można, że działanie ∆₃ względem form b i c jest przemienném, jeżeli działania ∆₁ i ∆₂ są przemiennemi. Rozmaitości podobnych związków nie podobna z góry wyczerpać: każde badanie specyalne nasuwa je umysłowi. Najprostszym byłby taki system form, w którym wszelkie wyniki

↑ N. Thiele w pracy, Analytiske Studier de rene Mathematiks Principer [Tidskrift for Mathematik, 1880], której treść znamy tylko ze sprawozdania [Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, XII, str. 46—48], poddał ogólnemu badaniu związek, zachodzący pomiędzy dodawaniem i mnożeniem, oparty na wzorach
a + b = c, ab = c, a′ + c = b, (a + b)c = a + (b + c),
a + b = b + a, (a + b)c = ac + bc,

wyrażających jednowartościowość dodawania i mnożenia, odwracalność, łączność i przemienność dodawania oraz rozdzielność mnożenia. Najogólniejsze działania, czyniące zadość tym związkom, nazywa on “pseudodowaniem„ i “pseudomnożeniem„ i oznacza pierwsze przez x # y = z, drugie przez x ○ y = z. Z badania, przeprowadzonego przez Thielego, wynika, że obie funkcye suma i iloczyn zawarte są w funkcyi

z = exy + fx + gy + h/axy + bx + cy + d

lub też, że pomiędzy x, y, z muszą zachodzić równania postaci

f(z) = g(x)h(y), F(z) = G(x) H(y),

Z wzorów, wyrażających własności działań, tylko wzór, określający zasadę rozdzielności, stanowi jedyną różnicę pomiędzy mnożeniem a dodawaniem; do zupełnego wszakże określenia mnożenia wzory powyższe nie wystarczają i potrzebném jest jeszcze twierdzenie

a. a + a + a + . . . (n razy) = n . a

które dla “pseudodziałań„, może być przedstawione pod postacią ogólniejszą

a # a # a . . . (n razy) = e_n ○ a

gdzie

nω(e - o) + o(ω - e)/n(e - o) + (ω - e) = n ÷ 0n - ∞ ○ 1 - ∞1 ÷ ∞.

Tu ÷ i oznaczają “pseudoodejmowanie„ i “pseudodzielenie,.. Dla o = 0, e = 1, ω = ∞ jest e_n = n, i wtedy przechodzimy do Arytmetyki zwykłéj.
Bez uwagi na twierdzenie dodatkowe, “pseudodziałanla„ czynią zadość warunkom

F(x # y) = F(x) + F(y)

F(x ○ y) = F(x) . F(y)

gdzie F(x) = x - o/x - ω e - ω/e - o.

Wzorów, wyrażających związki pomiędzy działaniami, nie uważa Thiele za pewniki, lecz pragnie dojść do twierdzeń jeszcze prostszych, opier-ając się na oryginalnym poglądzie na istotę liczb. Według tego poglądu liczba niemianowana nie jest abstrakcyą, lecz opisaniem liczby mianowawanéj [realnéj] za pomocą innéj takiéj liczby, liczby zaś mianowane są znowu opisaniem “objektów matematycznych„, jakiemi są np. punkty czasowe, przestrzenne i t. d. [porówn. str. 33]. Według téj teoryi liczba niemianowana może być określona jako stosunek anharmoniczny, wyznaczający dokładnie dany przedmiot przy pomocy związku α, przez trzy inne dowolne tego samego gatunku, po ustaleniu punktów 0, 1, ∞.
W rozprawie Om Definitionerne for Tallet, Talarterne og de tallignende Bestimmelser, 1886, Thiele rozwija w dalszym ciągu pogląd swój na istotę liczb i działali nad niemi. Punktem wyjścia są dla niego tak nazwane “numerale„ [Numeraler], t. j. “bezwarunkowe, pojedyńcze, względne i zupełne jednowartościowe oznaczenia„, których najprostszy przykład stanowią “punkty rzeczowe„ “wyrazy„, i t. d. Jeżeli B jest numeralem, to pojęcie B określa się za pomocą pojęcia A w ten sposób:

B = B ∗ A.

“Numeral tożsamościowy„ O określa tożsamość

A = O ∗ A, t. j. A = A.

Nad numeralami wykonywać można dwa działania: “przeciwstawienie„ [Modsaetning] i “przydawanie„ [Tilfjolse]. Pierwsze z nich oznacza, że z równości

B = N ∗ A

wynika równość

A = (÷ N) ∗ B,

gdzie numeral (÷ N) jest przeciwstawieniem numeralu N. Drugie wyraża, że z równań

B = A ∗ A,

C = B ∗ B

wynika równanie

C = C ∗ A,

Działanie to, jak łatwo się przekonać, czyni zadość prawu łączności.
Jeżeli wprowadzimy oznaczenia

A ∗ A = 2∗ A,

A ∗ A ∗ A = 3∗ A,

. . . . . . . . . . . = . . .

A ∗ (A ∗ (A . . . ∗ (A)) = n∗ A.,

to stąd wypływają równości

(n∗ A) ∗ (m∗ A) = (m∗ A) ∗ (n∗ A).

n∗ (÷ A) = ÷ (n∗ A)

i t. d.
Znak n∗ jest “numeralem numeralu„ czyli liczbą. Powyższe własności numeralów prowadzą do własności liczb i działań nad liczbami. Do liczb dochodzi się tu zatém od wielkości.
Na téj drodze, jakkolwiek w sposób odmienny, stara się uzasadnić teoryą działań A. Fick we wspomnianém wyżej dziełku [Das Grössengebiet i t. d.].
Każda jednostka J i każda wielkość A jest, według Ficka, miarą pewnej wzajemności [związku, stosunku, Beziehung] pomiędzy dwoma przedmiotami. J eden z przedmiotów, do którego odnosimy wszystkie przedmioty badane, jest przedmiotem zerowym; jego wartość względna [Beziehungswerth] jest zerem. Wielkości, których przedmioty zerowe są różne [t. j. wielkości różnorodne], nie mogą wchodzić z sobą w połączenia.
Dodawanie określa Fick w sposób następujący: suma A + B wyraża wzajemność względem przedmiotu zerowego takiego przedmiotu, którego wzajemność względem jednego ze składników [A lub B] jest równa wzajemności drugiego ze składników [B lub A] względem tegoż przedmiotu zerowego. Z tego określenia wynika bezpośrednio własność A + B = B + A i zarazem twierdzenie, że każda suma, o ile ma być wielkością uważanéj dziedziny, może być przedstawioną jako wielokrotność pewnéj jednostki lub jéj części. Ta jednostka nie będzie wogóle tą samą jednostką, któréj wielokrotnością jest B. Jeżeli więc założymy, że A = mJ_φ, B = nJ_ψ, to otrzymamy A + B = pJ_χ, gdzie J_φ, J_ψ, J_χ są różnemi jednostkami.
Ogólna wykonalność odejmowania poddaje dziedzinę wielkości warunkowi, aby każdéj wzajemności odpowiadała wzajemność przeciwna [odwrotna], tak że do każdéj wielkości A można znaleźć drugą, która, dodana do niéj, daje na wynik zero. Warunek ten spełnia się, jeżeli do każdéj jednostki J_φ pomyślimy sobie inną φJ taką, aby było J_φ + φJ = 0; wtedy odejmowanie dwóch wielkości A - B = mJ_φ - nJ_ψ sprowadza się do dodawania mJ_φ + nψJ i jest zawsze wykonalne.
Mnożenie wielkości opiera Fick na pojęciu stosunku, które uważa jako niezależne od pojęcia dzielenia i dające się określić za pomocą pewnych warunków. Tu, jak i wszędzie, najważniejszą rzeczą jest określenie równości; równość stosunków przedstawia Fick za pomocą wzoru

A : : B = C : : D,

który ma wyrażać, że wielkość D powstaje z wielkości C przy pomocy tych samych prawideł, przy pomocy których B powstaje z A. Prawidła te mają czynić zadość następującym warunkom:
I. Prawidło musi być odwracalne, to jest, z prawidła, według którego B powstaje z A, otrzymujemy wprost prawidło, według którego A powstaje z B: z proporcyi A :: B = C :: D wynika proporcya B :: A = D :: C.
II. Z proporcyi A :: B = C : : D wynikają proporcye A :: C = B :: D i D :: B = C :: A.
III. Stosunek pozostaje bez zmiany, jeżeli do jego wyrazów dodajemy wielkości, będące w tym samym stosunku, t. j. z proporcyi A :: B = C :: D wynika proporcya A + C :: B + D = C :: D.
Do definicyi mnożenia potrzebny jest jeszcze wybór jednostki pierwotnéj [Ureinheit] pomiędzy rozmaitemi jednostkami dziedziny. Jednostkę tę oznaczmy przez 1.
Definicya mnożenia jest następująca: “Pomnożyć wielkość A przez wielkość B, t. j. utworzyć iloczyn AB, jest to znaleźć wielkość, będącą w takim stosunku do wielkości A, w jakim wielkość B jest do jednostki pierwotnéj„.
Ponieważ według warunku II, z proporcyi 1 :: B = A :: A B wynika proporcya 1 :: A = B :: AB, ostatni zaś wyraz drugiéj proporcji, według określenia, winien być BA, jest przeto AB = BA. Z trzeciego warunku wynika znowu prawo rozdzielności (A + B) = AC + BC oraz (A - B)C = AC - BC.
Dzielenie w téj teoryi polega na znalezieniu ilorazu A/B lub A : B, który ma się tak do wielkości A, jak jednostka pierwotna do wielkości B. Na téj podstawie łatwo okazać można twierdzenia

A + B/C = A/C + B/C, A . B/C = A/C . B

i t. d.
Potęgowanie i wyciąganie pierwiastka określaj się sposobem zwykłym.
Dalsze rozwinięcie swojéj teoryi opiera Fick już na pojęciu ciągłości.
Próba Ficka zbudowania teoryi działań niezależnie od nauki o liczbach nie wydaje nam się dostatecznie ogólną, z tego względu, że autor odrazu przyjmuje wielkości, jako złożone z jednostek; że nie poddaje ogólnemu badaniu związków pomiędzy działaniami, lecz działania te odrazu specyalizuje; że wreszcie określenie mnożenia na podstawie pojęcia stosunku zbyt jest skornplikowaném.
Droga, wskazana w teoryi działań formalnych przez Grassmanna i Hankela, zdaje się być dotąd jedyną drogą, na któréj można zbudować teoryą wielkości. Najnowsze w tym względzie badania Kroneckera w rozprawie, Zur Theorie der allgemeinen complexen Zahlen und der Modul-Systeme [Mittheilungen der Berliner Akademie, 1888., str. 379-396, 615—648], które wiążą się z przedstawioną wyżéj teorya Helmholtza [art 2.] w gruncie rzeczy nie różnią się pod względem zasad od teoryi formalnéj.
Kronecker uważa układ elementów [wielkości, wartości, liczb]

z₁, z₂, z₃, . . . z_n...,

który dla krótkości oznacza przez (z). Wyobraźmy sobie proces, za pomocą którego układ (z) przechodzi w inny równoważny układ (z′), przy zachowaniu warunku, że z równoważności

(z) ~ (z′), (z′) ~ (z″)

wynika równoważność

(z) ~ (z″).

Jeżeli w szczególności układ (z″) jest identyczny z układem (z′), to stąd wyniknie, że każdy układ jest równoważny samemu sobie; jeżeli zaś układ (z″) jest identyczny z układem (z), to otrzymujemy

(z′) ~ (z)

jako wynik dwóch równoważności

(z) ~ (z′), (z′) ~ (z)

Niechaj (z), (z′), (z″) . . . będą układy różne i niechaj

1. φ((z), (z′)) ~ z″.

wyraża, że układ z″ za pomocą pewnego procesu powstaje z układów (z) i (z′). Załóżmy przytem, że zachodzi warunek

2. φ[(z), φ((z′), (z″))] ~ φ[(z′), φ((z), (z″))

t. j. że dochodzimy do tego samego wyniku, łącząc układ (z) z wynikiem połączenia układów (z′) i (z″), czy też łącząc układ (z′) z wynikiem połączenia układów (z) i (z″).
Niechaj będą dwa układy (z⁰) i (z′), dla których

φ((z⁰), (z′)) ~ (z′).

Jeżeli więc zachodzi związek

φ((z″), (z′)) ~ (z),

to zachodzi także związek

φ[(z″), φ((z⁰), (z′))] ~ (z).

Uwzględniając tu warunek 2., otrzymamy

φ((z⁰), (z)) ~ (z).

Dodając teraz nowy warunek

3. φ((z), (z′)) ~ φ((z′), (z)),

z łatwością dochodzimy do wniosku, że wynik połączenia ilukolwiek układów nie zależy wcale od porządku, w jakim je łączymy.

Jeżeli mamy układ (z⁽¹⁾) i oznaczymy wyniki połączeń: φ((z¹), (z¹)) przez (z⁽²⁾), φ((z⁽¹⁾), (z⁽²⁾)) przez (z⁽³⁾) . . . i ogólnie
φ((z⁽¹⁾), (z^(m))) przez (z^(m+1)),

to oczywiście dla jakichkolwiek liczb całkowitych m i n będzie

φ((z^(m)), (z⁽ⁿ⁾)) przez (z^(m+n))

t.j. skaźnik układu, powstającego z połączenia układów (z^(m)) i (z⁽ⁿ⁾) równa się sumie ich skaźników. Twierdzenie to utrzymuje się, jeżeli wprowadzimy układy $\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {z\;\;\;\;\;}}$ ze skaźnikami ułamkowemi; $\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {z\;\;\;\;\;}}$ oznaczać ma taki układ, że połączenie φ równoważnych mu n układów daje wynik równy układowi (z⁽ⁿ⁾).
Jeżeli dane układy nie dają się wyczerpać za pomocą układów oznaczonych przez $\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {z\;\;\;\;\;}}$ i jeżeli (z) jest nowym jakimś układem, to można oznaczyć szereg układów nowych za pomocą $\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {{\overline {z}}\;\;\;\;\;}}$ i każdy z układów, utworzonych z połączenia układów

$\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {z\;\;\;\;\;}}\ \textstyle {{\left({\frac {{m}'}{{n}'}}\right)} \choose {{\overline {z}}\ \ \ \ \ }}$

scharakteryzować za pomocą układu skaźników $\textstyle {\left({\frac {m}{n}},\ {\frac {{m}'}{{n}'}}\right)}$ . Postępując w ten sposób daléj, dojdziemy do oznaczenia wszystkich danych układów za pomocą układów skaźników

ζ₁, ζ₂, ζ₃ . . .

którego elementy ζ₁, ζ₂, ζ₃ . . . są liczbami wymiernemi. W ten sposób połączenie układów, którym odpowiadają układy skaźników

ζ₁, ζ₂, ζ₃ . . .; ζ₁′, ζ₂′, ζ₃′ . . .;

charakteryzuje układ

ζ₁ + ζ₁′, ζ₂ + ζ₂′, ζ₃ + ζ₃′ . .

Jeżeli np. układ (z) jest układem liczb całkowitych mniejszych od M, a połączenie φ mnożeniem, to każda liczba układu daje się przedstawić pod postacią

n = p_1^ζ₁ p_2^ζ₂ p_3^ζ₃ . . .

gdzie p, p₁, p₂ są liczbami pierwszemi, ζ₁, ζ₂, ζ₃ . : . przyjmują wartości 0, 1, 2 . . . Układ skaźników będzie zatém

ζ₁, ζ₂, ζ₃ . . .

W zastosowaniu do wielkości teorya ta przedstawia. się w ten sposób:
Układom (z), (z′), (z″) . . . odpowiadają wielkości fizyczne O, O′, O″, które wchodzą w połączenia, podlegające warunkom 2. i 3., zastępującym warunki łączności i przemienności w teoryi Helmholtza. Jeżeli wyjdziemy z pewnéj wielkości O(1), to można wszystkie inne scharakteryzować [w przypadku wymierności] za pomocą skaźników całkowitych lub ułamkowych. Wielkość O otrzymuje skaźnik $\textstyle {\left({\frac {m}{n}}\right)}$ , jeżeli połączenie n wielkości równoważnych wielkości O daje wynik, równoważny połączeniu m wielkości równoważnych wielkości O(1).
Jeżeli uporządkujemy wielkości według skaźników w ten sposób, aby wielkość ze skaźnikiem $\textstyle {\left({\frac {m}{n}}\right)}$ poprzedzała wielkość ze skaźnikiem $\textstyle {\left({\frac {{m}'}{{n}'}}\right)}$ , gdy mn′ < m′n, to, jeżeli skaźniki odpowiadają np. masom lub ciężarom, skaźnik mniejszy należeć będzie do wielkości mniejszéj. Porównanie rozmaitych wielkości fizycznych daje się przeto sprowadzić teoretycznie do porównania ich skaźników, praktyczna wszakże strona tego oznaczenia wymaga metod, pozwalających na rozstrzygnięcie pytania, która z dwóch wielkości jest większa lub mniejsza.
Pięknie skreślony wykład teoryi wielkości znaleźć można w świeżo ogłoszonej rozprawie Bettazzi’ego, Teoria della grandezze, uwieńczonej przez Akademią dei Lincei, 1890. Opierając się na podstawach, danych przez Grassmanna, Hankela, Cantora i Dellekinda, autor przedstawia związek pojęcia wielkości [formy] matematycznéj z działaniem zasadniczém, za pomocą którego wytwarzamy “klasy„ wielkości i przedstawia następnie teoryą działań na liczbach.

[1] N. Thiele w pracy, Analytiske Studier de rene Mathematiks Principer [Tidskrift for Mathematik, 1880], której treść znamy tylko ze sprawozdania [Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, XII, str. 46—48], poddał ogólnemu badaniu związek, zachodzący pomiędzy dodawaniem i mnożeniem, oparty na wzorach
a + b = c, ab = c, a′ + c = b, (a + b)c = a + (b + c),
a + b = b + a, (a + b)c = ac + bc,

wyrażających jednowartościowość dodawania i mnożenia, odwracalność, łączność i przemienność dodawania oraz rozdzielność mnożenia. Najogólniejsze działania, czyniące zadość tym związkom, nazywa on “pseudodowaniem„ i “pseudomnożeniem„ i oznacza pierwsze przez x # y = z, drugie przez x ○ y = z. Z badania, przeprowadzonego przez Thielego, wynika, że obie funkcye suma i iloczyn zawarte są w funkcyi

z = exy + fx + gy + h/axy + bx + cy + d

lub też, że pomiędzy x, y, z muszą zachodzić równania postaci

f(z) = g(x)h(y), F(z) = G(x) H(y),

Z wzorów, wyrażających własności działań, tylko wzór, określający zasadę rozdzielności, stanowi jedyną różnicę pomiędzy mnożeniem a dodawaniem; do zupełnego wszakże określenia mnożenia wzory powyższe nie wystarczają i potrzebném jest jeszcze twierdzenie

a. a + a + a + . . . (n razy) = n . a

które dla “pseudodziałań„, może być przedstawione pod postacią ogólniejszą

a # a # a . . . (n razy) = e_n ○ a

gdzie

nω(e - o) + o(ω - e)/n(e - o) + (ω - e) = n ÷ 0n - ∞ ○ 1 - ∞1 ÷ ∞.

Tu ÷ i oznaczają “pseudoodejmowanie„ i “pseudodzielenie,.. Dla o = 0, e = 1, ω = ∞ jest e_n = n, i wtedy przechodzimy do Arytmetyki zwykłéj.
Bez uwagi na twierdzenie dodatkowe, “pseudodziałanla„ czynią zadość warunkom

F(x # y) = F(x) + F(y)

F(x ○ y) = F(x) . F(y)

gdzie F(x) = x - o/x - ω e - ω/e - o.

Wzorów, wyrażających związki pomiędzy działaniami, nie uważa Thiele za pewniki, lecz pragnie dojść do twierdzeń jeszcze prostszych, opier-ając się na oryginalnym poglądzie na istotę liczb. Według tego poglądu liczba niemianowana nie jest abstrakcyą, lecz opisaniem liczby mianowawanéj [realnéj] za pomocą innéj takiéj liczby, liczby zaś mianowane są znowu opisaniem “objektów matematycznych„, jakiemi są np. punkty czasowe, przestrzenne i t. d. [porówn. str. 33]. Według téj teoryi liczba niemianowana może być określona jako stosunek anharmoniczny, wyznaczający dokładnie dany przedmiot przy pomocy związku α, przez trzy inne dowolne tego samego gatunku, po ustaleniu punktów 0, 1, ∞.
W rozprawie Om Definitionerne for Tallet, Talarterne og de tallignende Bestimmelser, 1886, Thiele rozwija w dalszym ciągu pogląd swój na istotę liczb i działali nad niemi. Punktem wyjścia są dla niego tak nazwane “numerale„ [Numeraler], t. j. “bezwarunkowe, pojedyńcze, względne i zupełne jednowartościowe oznaczenia„, których najprostszy przykład stanowią “punkty rzeczowe„ “wyrazy„, i t. d. Jeżeli B jest numeralem, to pojęcie B określa się za pomocą pojęcia A w ten sposób:

B = B ∗ A.

“Numeral tożsamościowy„ O określa tożsamość

A = O ∗ A, t. j. A = A.

Nad numeralami wykonywać można dwa działania: “przeciwstawienie„ [Modsaetning] i “przydawanie„ [Tilfjolse]. Pierwsze z nich oznacza, że z równości

B = N ∗ A

wynika równość

A = (÷ N) ∗ B,

gdzie numeral (÷ N) jest przeciwstawieniem numeralu N. Drugie wyraża, że z równań

B = A ∗ A,

C = B ∗ B

wynika równanie

C = C ∗ A,

Działanie to, jak łatwo się przekonać, czyni zadość prawu łączności.
Jeżeli wprowadzimy oznaczenia

A ∗ A = 2∗ A,

A ∗ A ∗ A = 3∗ A,

. . . . . . . . . . . = . . .

A ∗ (A ∗ (A . . . ∗ (A)) = n∗ A.,

to stąd wypływają równości

(n∗ A) ∗ (m∗ A) = (m∗ A) ∗ (n∗ A).

n∗ (÷ A) = ÷ (n∗ A)

i t. d.
Znak n∗ jest “numeralem numeralu„ czyli liczbą. Powyższe własności numeralów prowadzą do własności liczb i działań nad liczbami. Do liczb dochodzi się tu zatém od wielkości.
Na téj drodze, jakkolwiek w sposób odmienny, stara się uzasadnić teoryą działań A. Fick we wspomnianém wyżej dziełku [Das Grössengebiet i t. d.].
Każda jednostka J i każda wielkość A jest, według Ficka, miarą pewnej wzajemności [związku, stosunku, Beziehung] pomiędzy dwoma przedmiotami. J eden z przedmiotów, do którego odnosimy wszystkie przedmioty badane, jest przedmiotem zerowym; jego wartość względna [Beziehungswerth] jest zerem. Wielkości, których przedmioty zerowe są różne [t. j. wielkości różnorodne], nie mogą wchodzić z sobą w połączenia.
Dodawanie określa Fick w sposób następujący: suma A + B wyraża wzajemność względem przedmiotu zerowego takiego przedmiotu, którego wzajemność względem jednego ze składników [A lub B] jest równa wzajemności drugiego ze składników [B lub A] względem tegoż przedmiotu zerowego. Z tego określenia wynika bezpośrednio własność A + B = B + A i zarazem twierdzenie, że każda suma, o ile ma być wielkością uważanéj dziedziny, może być przedstawioną jako wielokrotność pewnéj jednostki lub jéj części. Ta jednostka nie będzie wogóle tą samą jednostką, któréj wielokrotnością jest B. Jeżeli więc założymy, że A = mJ_φ, B = nJ_ψ, to otrzymamy A + B = pJ_χ, gdzie J_φ, J_ψ, J_χ są różnemi jednostkami.
Ogólna wykonalność odejmowania poddaje dziedzinę wielkości warunkowi, aby każdéj wzajemności odpowiadała wzajemność przeciwna [odwrotna], tak że do każdéj wielkości A można znaleźć drugą, która, dodana do niéj, daje na wynik zero. Warunek ten spełnia się, jeżeli do każdéj jednostki J_φ pomyślimy sobie inną φJ taką, aby było J_φ + φJ = 0; wtedy odejmowanie dwóch wielkości A - B = mJ_φ - nJ_ψ sprowadza się do dodawania mJ_φ + nψJ i jest zawsze wykonalne.
Mnożenie wielkości opiera Fick na pojęciu stosunku, które uważa jako niezależne od pojęcia dzielenia i dające się określić za pomocą pewnych warunków. Tu, jak i wszędzie, najważniejszą rzeczą jest określenie równości; równość stosunków przedstawia Fick za pomocą wzoru

A : : B = C : : D,

który ma wyrażać, że wielkość D powstaje z wielkości C przy pomocy tych samych prawideł, przy pomocy których B powstaje z A. Prawidła te mają czynić zadość następującym warunkom:
I. Prawidło musi być odwracalne, to jest, z prawidła, według którego B powstaje z A, otrzymujemy wprost prawidło, według którego A powstaje z B: z proporcyi A :: B = C :: D wynika proporcya B :: A = D :: C.
II. Z proporcyi A :: B = C : : D wynikają proporcye A :: C = B :: D i D :: B = C :: A.
III. Stosunek pozostaje bez zmiany, jeżeli do jego wyrazów dodajemy wielkości, będące w tym samym stosunku, t. j. z proporcyi A :: B = C :: D wynika proporcya A + C :: B + D = C :: D.
Do definicyi mnożenia potrzebny jest jeszcze wybór jednostki pierwotnéj [Ureinheit] pomiędzy rozmaitemi jednostkami dziedziny. Jednostkę tę oznaczmy przez 1.
Definicya mnożenia jest następująca: “Pomnożyć wielkość A przez wielkość B, t. j. utworzyć iloczyn AB, jest to znaleźć wielkość, będącą w takim stosunku do wielkości A, w jakim wielkość B jest do jednostki pierwotnéj„.
Ponieważ według warunku II, z proporcyi 1 :: B = A :: A B wynika proporcya 1 :: A = B :: AB, ostatni zaś wyraz drugiéj proporcji, według określenia, winien być BA, jest przeto AB = BA. Z trzeciego warunku wynika znowu prawo rozdzielności (A + B) = AC + BC oraz (A - B)C = AC - BC.
Dzielenie w téj teoryi polega na znalezieniu ilorazu A/B lub A : B, który ma się tak do wielkości A, jak jednostka pierwotna do wielkości B. Na téj podstawie łatwo okazać można twierdzenia

A + B/C = A/C + B/C, A . B/C = A/C . B

i t. d.
Potęgowanie i wyciąganie pierwiastka określaj się sposobem zwykłym.
Dalsze rozwinięcie swojéj teoryi opiera Fick już na pojęciu ciągłości.
Próba Ficka zbudowania teoryi działań niezależnie od nauki o liczbach nie wydaje nam się dostatecznie ogólną, z tego względu, że autor odrazu przyjmuje wielkości, jako złożone z jednostek; że nie poddaje ogólnemu badaniu związków pomiędzy działaniami, lecz działania te odrazu specyalizuje; że wreszcie określenie mnożenia na podstawie pojęcia stosunku zbyt jest skornplikowaném.
Droga, wskazana w teoryi działań formalnych przez Grassmanna i Hankela, zdaje się być dotąd jedyną drogą, na któréj można zbudować teoryą wielkości. Najnowsze w tym względzie badania Kroneckera w rozprawie, Zur Theorie der allgemeinen complexen Zahlen und der Modul-Systeme [Mittheilungen der Berliner Akademie, 1888., str. 379-396, 615—648], które wiążą się z przedstawioną wyżéj teorya Helmholtza [art 2.] w gruncie rzeczy nie różnią się pod względem zasad od teoryi formalnéj.
Kronecker uważa układ elementów [wielkości, wartości, liczb]

z₁, z₂, z₃, . . . z_n...,

który dla krótkości oznacza przez (z). Wyobraźmy sobie proces, za pomocą którego układ (z) przechodzi w inny równoważny układ (z′), przy zachowaniu warunku, że z równoważności

(z) ~ (z′), (z′) ~ (z″)

wynika równoważność

(z) ~ (z″).

Jeżeli w szczególności układ (z″) jest identyczny z układem (z′), to stąd wyniknie, że każdy układ jest równoważny samemu sobie; jeżeli zaś układ (z″) jest identyczny z układem (z), to otrzymujemy

(z′) ~ (z)

jako wynik dwóch równoważności

(z) ~ (z′), (z′) ~ (z)

Niechaj (z), (z′), (z″) . . . będą układy różne i niechaj

1. φ((z), (z′)) ~ z″.

wyraża, że układ z″ za pomocą pewnego procesu powstaje z układów (z) i (z′). Załóżmy przytem, że zachodzi warunek

2. φ[(z), φ((z′), (z″))] ~ φ[(z′), φ((z), (z″))

t. j. że dochodzimy do tego samego wyniku, łącząc układ (z) z wynikiem połączenia układów (z′) i (z″), czy też łącząc układ (z′) z wynikiem połączenia układów (z) i (z″).
Niechaj będą dwa układy (z⁰) i (z′), dla których

φ((z⁰), (z′)) ~ (z′).

Jeżeli więc zachodzi związek

φ((z″), (z′)) ~ (z),

to zachodzi także związek

φ[(z″), φ((z⁰), (z′))] ~ (z).

Uwzględniając tu warunek 2., otrzymamy

φ((z⁰), (z)) ~ (z).

Dodając teraz nowy warunek

3. φ((z), (z′)) ~ φ((z′), (z)),

z łatwością dochodzimy do wniosku, że wynik połączenia ilukolwiek układów nie zależy wcale od porządku, w jakim je łączymy.

Jeżeli mamy układ (z⁽¹⁾) i oznaczymy wyniki połączeń: φ((z¹), (z¹)) przez (z⁽²⁾), φ((z⁽¹⁾), (z⁽²⁾)) przez (z⁽³⁾) . . . i ogólnie
φ((z⁽¹⁾), (z^(m))) przez (z^(m+1)),

to oczywiście dla jakichkolwiek liczb całkowitych m i n będzie

φ((z^(m)), (z⁽ⁿ⁾)) przez (z^(m+n))

t.j. skaźnik układu, powstającego z połączenia układów (z^(m)) i (z⁽ⁿ⁾) równa się sumie ich skaźników. Twierdzenie to utrzymuje się, jeżeli wprowadzimy układy $\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {z\;\;\;\;\;}}$ ze skaźnikami ułamkowemi; $\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {z\;\;\;\;\;}}$ oznaczać ma taki układ, że połączenie φ równoważnych mu n układów daje wynik równy układowi (z⁽ⁿ⁾).
Jeżeli dane układy nie dają się wyczerpać za pomocą układów oznaczonych przez $\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {z\;\;\;\;\;}}$ i jeżeli (z) jest nowym jakimś układem, to można oznaczyć szereg układów nowych za pomocą $\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {{\overline {z}}\;\;\;\;\;}}$ i każdy z układów, utworzonych z połączenia układów

$\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {z\;\;\;\;\;}}\ \textstyle {{\left({\frac {{m}'}{{n}'}}\right)} \choose {{\overline {z}}\ \ \ \ \ }}$

scharakteryzować za pomocą układu skaźników $\textstyle {\left({\frac {m}{n}},\ {\frac {{m}'}{{n}'}}\right)}$ . Postępując w ten sposób daléj, dojdziemy do oznaczenia wszystkich danych układów za pomocą układów skaźników

ζ₁, ζ₂, ζ₃ . . .

którego elementy ζ₁, ζ₂, ζ₃ . . . są liczbami wymiernemi. W ten sposób połączenie układów, którym odpowiadają układy skaźników

ζ₁, ζ₂, ζ₃ . . .; ζ₁′, ζ₂′, ζ₃′ . . .;

charakteryzuje układ

ζ₁ + ζ₁′, ζ₂ + ζ₂′, ζ₃ + ζ₃′ . .

Jeżeli np. układ (z) jest układem liczb całkowitych mniejszych od M, a połączenie φ mnożeniem, to każda liczba układu daje się przedstawić pod postacią

n = p_1^ζ₁ p_2^ζ₂ p_3^ζ₃ . . .

gdzie p, p₁, p₂ są liczbami pierwszemi, ζ₁, ζ₂, ζ₃ . : . przyjmują wartości 0, 1, 2 . . . Układ skaźników będzie zatém

ζ₁, ζ₂, ζ₃ . . .

W zastosowaniu do wielkości teorya ta przedstawia. się w ten sposób:
Układom (z), (z′), (z″) . . . odpowiadają wielkości fizyczne O, O′, O″, które wchodzą w połączenia, podlegające warunkom 2. i 3., zastępującym warunki łączności i przemienności w teoryi Helmholtza. Jeżeli wyjdziemy z pewnéj wielkości O(1), to można wszystkie inne scharakteryzować [w przypadku wymierności] za pomocą skaźników całkowitych lub ułamkowych. Wielkość O otrzymuje skaźnik $\textstyle {\left({\frac {m}{n}}\right)}$ , jeżeli połączenie n wielkości równoważnych wielkości O daje wynik, równoważny połączeniu m wielkości równoważnych wielkości O(1).
Jeżeli uporządkujemy wielkości według skaźników w ten sposób, aby wielkość ze skaźnikiem $\textstyle {\left({\frac {m}{n}}\right)}$ poprzedzała wielkość ze skaźnikiem $\textstyle {\left({\frac {{m}'}{{n}'}}\right)}$ , gdy mn′ < m′n, to, jeżeli skaźniki odpowiadają np. masom lub ciężarom, skaźnik mniejszy należeć będzie do wielkości mniejszéj. Porównanie rozmaitych wielkości fizycznych daje się przeto sprowadzić teoretycznie do porównania ich skaźników, praktyczna wszakże strona tego oznaczenia wymaga metod, pozwalających na rozstrzygnięcie pytania, która z dwóch wielkości jest większa lub mniejsza.
Pięknie skreślony wykład teoryi wielkości znaleźć można w świeżo ogłoszonej rozprawie Bettazzi’ego, Teoria della grandezze, uwieńczonej przez Akademią dei Lincei, 1890. Opierając się na podstawach, danych przez Grassmanna, Hankela, Cantora i Dellekinda, autor przedstawia związek pojęcia wielkości [formy] matematycznéj z działaniem zasadniczém, za pomocą którego wytwarzamy “klasy„ wielkości i przedstawia następnie teoryą działań na liczbach.

[1]

A ∗ A	=	2∗ A,
A ∗ A ∗ A	=	3∗ A,
. . . . . . . . . . .	=	. . .
A ∗ (A ∗ (A . . . ∗ (A))	=	n∗ A.,