działań prostych i ich kombinacyj dają się przedstawić, jako wyniki jednego działania prostego ∆, stosowanego do form pierwotnych. Taki system stanowią dodawanie, mnożenie i potęgowanie w układzie liczb całkowitych.
Co się tyczy działań odwrotnych, to związek ich z odpowiedniemi działaniami prostemi określamy za pomocą wzorów 1. i 2. Jeżeli wyniki tych działań należą wprost do form badanych, to wykonywanie działań prostych nad niemi podlega prawom, wyżéj przedstawionym; jeżeli zaś te wyniki nie znajdują się w dziedzinie pierwotnéj, to równania powyższe określają nowe formy, które do téj dziedżiny wcielamy. Powstaje tedy pytanie, w jaki sposób wykonywać należy połączenia form dawnych z nowemi i nowych pomiędzy sobą. Zasada zachowania uczy nas, jak należy postąpić; według jéj wymagań, winniśmy połączenia nowych form z dawnemi i nowych pomiędzy sobą określić w ten sposób, aby one czyniły zadość tym samym własnościom formalnym, jakim czynią zadość działania na formach pierwotnych.
Niechaj ∇(a, b), ∇(c, d) oznaczają formy dawne; na podstawie równań 4. otrzymamy z łatwością wzór
| 13. | ∆[∇(a, b), ∇(c, d)] = ∇[∆(c, a), ∆(d, b)], |
który przyjmujemy za określenie działania prostego i w przypadku ogólnym, t. j. i wtedy, gdy jedna lub obie formy ∇(a, b), ∇(c, d) nie znajdują się w dziedzinie pierwotnéj.
Ze związku 13. wnieść można, że działanie proste nad nowemi formami: 1-o jest przemienne, 2-o jest łączne. Zbadajmy jeszcze działanie odwrotne, wykonane na dwóch formach nowych ∇(a, b) i ∇(c, d); w tym celu połóżmy
gdzie x niechaj będzie wynikiem działania. ∇(y, z), w którem y i z są formami dziedziny pierwotnéj.
Łącząc obie strony z formą, ∇(c, d) za pomocą działania ∆, otrzymujemy na zasadzie wzoru 13.
Aby z tego równania wyprowadzić związek między formami szukanemi y i z a danemi, zauważmy, że z równania
