pomiędzy formami nowemi; czyli innemi słowy, że dziedzina form dawnych i nowych mieści w sobie wszystkie możliwe wyniki działań, jakie otrzymujemy przy łączeniu jéj form za pomocą działań ∆ i ∇. Toż samo powiedzieć można o każdéj innej parze działań.
Przy stosowaniu teoryi formalnéj do poszczególnych rozmaitości, trzeba przedewszystkiém określić, co w tych rozmaitościach przyjmujemy za dziedzinę form pierwotnych czyli elementów. Określenie to wyrażamy, wskazując proces, za pomocą którego przechodzimy od elementu do elementu w danéj dziedzinie, a następnie badamy, czy istnieje dla tych form działanie proste, mające cechy zasadnicze dodawania. Po znalezieniu dodawania, badamy, czy istnieje inne działanie proste, związane z poprzedniém za pomocą równań 12. Niekiedy przyjęcie podobnego równania dla przypadków szczególnych pozwala już na uogólnienie, gdy się uwzględni istotę badanéj dziedziny. Po określeniu własności działań prostych, przechodzimy do działań odwrotnych, które za pomocą znanych równań określamy i których wyniki sposobem wyżéj opisanym badamy.
Teorya powyższa stosuje się do działań elementarnych i do ich kombinacyj, przy założeniu, że tak liczba elementów jak i działań, kolejno stosowanych jest skończoną. Kolejne stosowanie działań do elementów danych prowadzi do pewnych form liczbowych, i dla tego teorya działań stanowi istotną, podstawę rachunku elementarnego takich form liczbowych, jest podstawą Arytmetyki i Algebry. Przypadki, w których liczba elementów i liczba kolejnych działań, lub jedna i druga s nieskończone, należą w ogóle do dziedziny Analizy wyższéj. Wreszcie teorya działań może być rozwiniętą i w innym kierunku, wypływającym ze spostrzeżenia, że pojęcie dodawania i mnożenia można objąć w jedném pojęciu działania prostego, któremu, jeżeli z góry nie zakładamy przemienności, odpowiadają dwa działania odwrotne. Tą drogą poszedł Schröder, któremu zawdzięczamy pierwsze w tym kierunku badania [1].
Przedstawimy tu zastosowanie powyższéj teoryi do dziedziny liczb całkowitych, to jest do szeregu
którego wyrazy otrzymujemy kolejno w następujący sposób
- ↑ W dziele E. Schrödera, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, 1873, zwłaszcza w rozdziale IV-ym (str. 174—294) o związkach wzajemnych pomiędzy działaniami, znaleźć można obszerny wykład teoryi formalnéj działań z drobiazgowém rozwinięciem wszelkich konsekwencyj, jakie z określeń ich wynikają. Badania te proponuje autor objąć nazwą Algebry formalnéj, do której zadań należy przeto: 1. zbadanie wszystkich założeń, koniecznych do scharakteryzowania każdego działania rachunkowego w danéj dziedzinie liczb; 2. wyczerpanie wszelkich wniosków z każdéj przesłanki lub kombinacyj przesłanek; 3. znalezienie zamkniętych układów liczbowych, podległych prawom połączeń i dających się zbudować za pomocą znalezionych działań; wreszcie 4. zbadanie, jakie podścieliska realne można dać tym liczbom i działaniom, t. j. jakie nadać im znaczenie geometryczne, fizykalne i. t. d. Dwa ostatnie zadania stanowią już, zdaniem Schrödera, przejście od Algebry formalnéj do bezwzględnéj [absolute Algebra].
Pomysły swoje rozwinął autor w następnych pracach: Ueber die formalen Elemente der absoluten Algebra. 1873, Uber v. Staud's Rechnung mit Würfen und verwandte Processe [Mathematische Annalen, X, 1876. str. 289—317]. Ueber eine eigenthümliche Bestimmung einer Function durch formale Anforderungen [Journal für die reine und angewandte Mathematik, XC, 1881, str. 189—220], Ueber Algorithmen und Calculn [Archiv der Mathematik und Physik, 1887, ctr. 225—278] i Tafeln der eindentig umkehrbaren Functionen [Mathematische Annalen. XXIX, 1887, str. 299—326]. Interesujące te badania, mające niejaką analogią do odmiennie przeprowadzonych badań Thielego, wkraczają już w części w dziedzinę Tèoryi funkcyj, i dlatego powiemy tylko krótko, że polegają one głównie: 1. na przyjęciu za podstawę działania jednowartościowego i nieprzemiennego a b, które Schröder nazywa mnożeniem “symboliczném„; mnożeniu temu odpowiadają zatém dwa działania odwrotne, t.j. dwa dzielenia “symboliczne„ 2. na ustanowieniu możliwych związków zasadniczych, jakie pomiędzy temi trzema działaniami zachodzić mogą, a więc np. w przypadku dwóch elementów a i b, następujących czterech układów czyli “algorytmów„,a:b = a b = ba,a:b = b a, a:b = ab;a:b = b:a, ba = ba;ba = ab ab = ba;w których jest razem 9 równań — i badaniu wniosków, jakie stąd wynikają. W przypadku trzech elementów a, b, c, otrzymujemy takich wzorów wogóle 990; z nich zbiór 150 równań, ze wszelkiemi konsekwencyami stanowi to, co Schröder nazywa algorytmem Algebry zwyczajnéj, a któremu podlega nietylko mnożenie i dodawanie liczb rzeczywistych i urojonych, ale i dodawanie geometryczne punktów płaszczyzny oraz dodawanie logiczne pojęć i sądów. W ogóle te badania mają związek z dziedziną Logiki formalnéj; we wspomnianém zaś dziele Schrödera [art. 6.] znajdzie czytelnik najnowsze w tym przedmiocie poszukiwania, które nie wchodzą już w zakres niniejszéj książki.
