tak że w ogólności liczba, bezpośrednio następująca po liczbie n, jest równa n + 1.
Proces ten, za pomocą, którego przechodzimy od elementu do elementu, jest szczególnym przypadkiem działania zasadniczego dla naszego szeregu. Działanie to, dodawanie, określamy za pomocą równań
| a + (b + 1) | = | (a + b) + 1 |
| a + 1 | = | 1 + a |
[porówn. art. 8.], które nazwijmy pewnikami dodawania [Helmholtz nazywa pierwsze z nich pewnikiem Grassmanna][1]. Działanie odwrotne, odejmowanie, określamy za pomocą równania, odpowiadającego równaniu 1.
| 1a. | (a - b) + b = a |
Dodawanie jest jednowartościowém, bo jeżeli a + b doprowadza raz do sumy c, drugi raz do sumy c′, to według pierwszego pewnika tego działania musi być
stąd oczywiście wynika c = c′. Stąd na zasadzie wyłożonéj teoryi wynika, że jeżeli w działaniu a + b lub w działaniu a - b zmienimy pierwszą liczbę a, to wynik działania zmienić się musi, a więc i równanie x - b = c może mieć jedno tylko rozwiązanie.
Związkowi 2. odpowiada w naszym przypadku związek
| 2a. | (a + b) - b = a. |
Równaniu 3. odpowiada równanie
| 3a. | a + (b + c) = (a + b) + c, |
wyrażające prawo łączności. Wynika ono z pierwszego równania, określającego dodawanie. W saméj rzeczy, zakładając, że wzór 3a sprawdza się dla danéj liczby c, możemy stwierdzić, że sprawdza się i dla liczby c + 1, gdyż na zasadzie pierwszego pewnika mamy
kładąc po stronie drugiéj w miejsce pierwszego wyrazu jego wartość z równania 3a, a następnie stosując znowu pierwszy pewnik dodawania, otrzymujemy:
- ↑ Helmholtz, Zählen und Messen, l. c. str. 24.
