W przedstawionéj w poprzednim artykule teoryi działań, myśl podstawową stanowiło łączenie form, należących do pewnéj dziedziny, według praw, utworzonych na podobieństwo prawideł, jakim podlegają działania na liczbach całkowitych. Dedekind wystąpił niedawno[1] z nową teoryą, któréj podstawę stanowi zasada odwzorowania, stosowana już przez nas wart. 9. do szeregu liczb całkowitych. Według poglądu Dedekinda, liczby są swobodnemi tworami ducha ludzkiego, są środkiem łatwego i ścisłego przedstawiania rozmaitości rzeczy; cała umiejętność liczb polega na zdolności umysłu do wzajemnego przyporządkowania rzeczy, do ustanawiania pomiędzy niemi odpowiedniości.
Odwzorowaniem φ układu elementów nazywa Dedekind prawo, według którego do każdego elementu układu S należy przedmiot oznaczony s, nazwany obrazem elementu s, a który przedstawić można pod postacią φ(s). Mówimy, że φ(s) odpowiada elementowi s, że φ(s) przez odwzorowanie φ powstaje z s, lub wreszcie, że s za pomocą odwzorowania φ przechodzi w φ(s). Przykładem takiego odwzorowania jest już samo nadawanie nazw oznaczonych lub znaków elementom układu; najprostrzém zaś odwzorowaniem jest to, przez które elementy układu przechodzą same w siebie. Takie odwzorowanie nazywamy tożsamościowém.
Odwzorowanie nazywa się podobném [wyraźném], jeżeli różnym elementom a i b układu S odpowiadają zawsze obrazy różne a′ = φ(a) i b′ = φ(b). Ponieważ w tym przypadku z równości s′ = t′ wynika odwrotnie równość s = t, zatém każdy z elementów układu S′ = φ(S) jest obrazem s′ pewnego zupełnie oznaczonego elementu układu S. Odwzorowanie tedy, za pomocą którego od układu S′ przechodzimy do układu S, jest również podobném. Oznaczmy je przez φ, będzie tedy φ(S′) = S. Odwzorowanie, złożone z odwzorowań φ i φ, a które oznaczmy przez φφ, prowadzi do układu pierwotnego, jest więc odwzorowaniem tożsamościowém.
Dwa układy R i S nazywają się podobnemi, jeżeli istnieje takie odwzorowanie podobne φ, że φ(S) = R lub φ(R) = S.
Z tych określeń wynika, że każdy układ jest podobny do siebie
- ↑ Dedekind, Was sind und sollen die Zahlen, 1888.
