Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/092

Ta strona została przepisana.

samego; że jeżeli dwa układy R i S są podobne, to każdy układ, podobny do układu R, jest podobny do układu S.
Na téj zasadzie można wszystkie układy podzielić na klasy. Do jednéj klasy należą wszystkie — i tylko te wszystkie — układy Q, R, S,... które są podobne do jednego z nich R; ten układ R można uważać za przedstawiciela klasy. Jeżeli R i S są układy, należące do jednéj klasy, to każda część układu R jest podobna do pewnéj części układu R. [Częścią układu R nazywa się układ R′, którego każdy element jest elementem układu R; częścią właściwą nazywa się układ R′, jeżeli przytém nie jest identyczny z układem R, to jest jeżeli w R jest przynajmniéj jeden element, którego w R′ niema].
Jeżeli stosując odwzorowanie [podobne lub niepodobne] φ do układu S, otrzymujemy układ φ(S), który jest częścią pewnego układu Z, to φ(S) nazywamy “odwzorowaniem układu S w układzie Z„. Odwzorowanie to możemy wyrazić w ten sposób

φ(S) З S

gdzie znak З oznacza, że układ pierwszy jest częścią drugiego.
Każdy układ, którego obraz jest częścią samego układu, nazywa Dedekind łańcuchem [Kette]. Zwracamy uwagę na to, że nazwa łańcucha stosuje się do układu lub do części układu ze względu na odwzorowanie oznaczone φ; przy inném odwzorowaniu układ może nie być łańcuchem.
Łatwo dowieść, że obraz łańcucha jest także łańcuchem, i, jeżeli pewien układ A jest częścią łańcucha, to i obraz jego jest częścią tegoż łańcucha.
Niechaj układ A będzie częścią układu S; wyobraźmy sobie wewnątrz S wszystkie łańcuchy, których A jest częścią. Układ A₀, którego elementami są wszystkie elementy wspólne tym łańcuchom, jest oczywiście sam łańcuchem; Dedekind nazywa go łańcuchem układu A ^[1].

Układy bywają skończone i nieskończone. Układ nazywa się nieskończonym, gdy jest podobny do części właściwéj samego siebie; w przeciwnym razie jest skończonym. Wynika stąd, że każdy układ, składający się z pojedyńczego elementu, jest skończony, bo nie posiada wcale części właściwéj [inaczéj mówiąc, część właściwa tego układu nie zawiera wcale elementów].

↑ Na teoryi łańcucha opiera Dedekind używaną w Matematyce metodę indukcyi zupełnéj, która według niego ma swoję podstawę w następującém twierdzeniu:
“Aby dowieść, że łańcuch A₀ jest częścią pewnego układu Σ, który jest lub nie jest częścią układu S, wystarcza dowieść:
α. że З Σ;
β. że obraz każdego elementu wspólnego układom A₀ i Σ jest takie elementem układu Σ„.
Twierdzenie to można wypowiedzieć w ten sposób:
“Aby dowieść, że wszystkie elementy α łańcucha A₀ posiadają pewną własność η [lub że pewne twierdzenie τ, w ktorém jest mowa o nieoznaczonym elemencie n, stosuje się do wszystkich elementów łańcucha A₀], wystarcza dowieść:
α. że wszystkie elementy α układu A mają własność η [lub że twierdzenie τ stosuje się do wszystkich elementów α].
β. że obraz n′ każdego elementu n łańcucha A₀ ma też samą własność η. [lub że twierdzenie τ, jeżeli stosuje się do elementu n łańcucha A₀ jest prawdziwém także i dla obrazu n′ tegoż elementu.]

[1] Na teoryi łańcucha opiera Dedekind używaną w Matematyce metodę indukcyi zupełnéj, która według niego ma swoję podstawę w następującém twierdzeniu:
“Aby dowieść, że łańcuch A₀ jest częścią pewnego układu Σ, który jest lub nie jest częścią układu S, wystarcza dowieść:
α. że З Σ;
β. że obraz każdego elementu wspólnego układom A₀ i Σ jest takie elementem układu Σ„.
Twierdzenie to można wypowiedzieć w ten sposób:
“Aby dowieść, że wszystkie elementy α łańcucha A₀ posiadają pewną własność η [lub że pewne twierdzenie τ, w ktorém jest mowa o nieoznaczonym elemencie n, stosuje się do wszystkich elementów łańcucha A₀], wystarcza dowieść:
α. że wszystkie elementy α układu A mają własność η [lub że twierdzenie τ stosuje się do wszystkich elementów α].
β. że obraz n′ każdego elementu n łańcucha A₀ ma też samą własność η. [lub że twierdzenie τ, jeżeli stosuje się do elementu n łańcucha A₀ jest prawdziwém także i dla obrazu n′ tegoż elementu.]

[1]