Dedekind dowodzi istnienia układów nieskończonych w następujący sposób:
Świat moich myśli albo ogół S wszystkich rzeczy, które mogą być przedmiotem mojego myślenia, jest nieskończony. Gdy bowiem s jest elementem układu S, to myśl s′, że s jest przedmiotem mojéj myśli, jest także elementem układu S. Jeżeli s′ będziemy uważali za obraz elementu s, t. j. za φ(s), to odwzorowanie φ(S), jakie tym sposobem otrzymujemy, ma tę własność, że obraz S′ jest częścią układu S i mianowicie częścią właściwą, bo w S zachodzą elementy [n. p. moje własne ja], które sę różne od każdéj takiéj myśli s′, a więc nie są w S′ zawarte. Daléj widoczna, że jeżeli a i b są różnemi elementami układu S, to i ich obrazy a′ i b′ są różne, odwzorowanie φ jest podobne, układ S-nieskończony[1].
Z poprzedzającego wynika: że jeżeli R i S są układy podobne, to R jest układem skończonym lub nieskończonym, stosownie do tego, czy układ S jest skończony lub nieskończony; że każdy układ, podobny do części układu skończonego, jest sam skończony.
Układ N nazywa się pojedyńczo-nieskończonym, jeżeli istnieje takie odwzorowanie φ, w skutek którego układ N jest łańcuchem elementu, nie zawartego w obrazie φ(N). Ten element nazywamy elementem zasadniczym, oznaczamy go przez 1, i mówimy, że układ pojedyńczo-nieskończony jest przez odwzorowanie φ uporządkowanym. Warunki, którym czyni zadość układ pojedyńczo-nieskończony, można w skróceniu przedstawić w sposób następujący:
α. N′ З N,
β. N = 10,
γ. Element 1 nie zawiera się w N′,
δ. Odwzorowanie φ jest podobne.
W każdym układzie nieskończonym S zawiera się jako część układ pojedyńczo-nieskończony. W saméj rzeczy, według określenia układu nieskończonego, istnieje takie odwzorowanie φ, że φ(S) albo S′ jest częścią właściwą S, istnieje przeto taki element 1 w S, który nie zawiera się w S′. Łańcuch N = 10, odpowiadający temu odwzorowaniu układu S w samym sobie, jest układem pojedyńczo-nieskończonym, uporządkowanym przez odwzorowanie φ.
Jeżeli w układzie pojedyńczo-nieskończonym, uporządkowanym
- ↑ Dowód “istnienia„ układów nieskończonych, podany przez Dedekinda, jest właściwie inną postacią dowodu, jaki znajdujemy u Bolzano, [Paradoxien des Unendlichen, str. 14] który twierdzi, że mnogość twierdzeń i prawd samych w sobie [Wahrheiten an sich] jest nieskończoną. Jeżeli bowiem uważamy jaką prawdę A, np twierdzenie, że prawdy istnieją, to twierdzenie: “A jest prawdą„ jest czémś różném od A, bo podmiotem jego jest samo twierdzenie A. Według tego samego prawa, za pomocą którego z twierdzenia A wyprowadzamy różne od niego twierdzenie B, można znów z B wyprowadzić twierdzenie C i tak daléj bez końca. Ogół tych wszystkich twierdzeń obejmuje mnogość części, [twierdzeń], która jest większą od każdéj mnogości skończonéj.
Keferstein, Ueber den Begriff der Zahl, [Festschrift, herausqeqeben von der mathematischen Gesellschaft in Hamburg, 1890, str. 119—124], uważa dowód Dedekinda za nieudany, gdyż przy określeniu układów podobnych, pojęcie równości jest przyjęte jedynie w tém znaczeniu, że a = b tylko wtedy, gdy a i b są znakami jednéj i téj saméj rzeczy, a równość taka nie może oczywiście zachodzić pomiędzy układem i jego częścią właściwą.
