Ta strona została przepisana.
czać będzie oczywiście odwzorowanie tożsamościowe, gdyż warunkom
ψ(1) = 1, ψ(n′) = χψ(n) = φψ(n) = [ψ(n)]′
staje się zadość, jeżeli przyjmiemy φ(n) = n.
Jeżeli chcemy mieć inne odwzorowanie układu N, przyjmujemy za ω liczbę różną od 1, np. liczbę m′ zawartą w N′. Oznaczmy obraz φ(n) liczby n przez m + n i nazwijmy go sumą liczb m i n. Otrzymamy tedy według twierdzeń powyższych:
| II. | m + 1 = m′ |
| III. | m + n′ = (m + n)′ |
Z równań tych wynikaj następujące własności dodawania:
| m′ + n | = | m + n′, |
| m′ + n | = | (m + n)′ |
| 1 + n | = | n′ |
| 1 + n | = | n + 1, |
| m + n | = | n + m |
| (l + m) + n | = | l + (m + n) |
| m + n | > | m. |
Mnożenie. Załóżmy Ω = N, χ(n) = m + n = n + m; będzie tedy
I. ψ(N) З N.
Wybierzmy ω = m, obraz ψ(n) oznaczmy przez mn i nazwijmy go iloczynem. Według twierdzeń powyższych będzie
| II. | m . 1 = m |
| III. | m n′ = m n + m, |
skąd wynikają następujące własności mnożenia:
| m′ | = | m n + n |
| 1 . n | = | n |
| m . n | = | nm |
| m n + m | = | n m + m |
