Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/097

 Teorya, którą przedstawiliśmy w streszczeniu, nasuwa następujące uwagi: Odwzorowanie stanowi bezwątpienia działanie zasadnicze, będące podstawą tak liczenia jak i działań arytmetycznych; twierdzenia Dedekinda, oznaczone wyżéj przez I, II, III, ukazują wspólne źródło tych działali w postaci ścisłéj i wyraźnéj. Określenie szeregu liczb naturalnych, jako łańcucha elementu 1, charakteryzuje ten szereg wśród innych szeregów nieskończonych i określa zarazem jego znaczenie zasadnicze. Wreszcie twierdzenia o liczbie elementów układu wskazują wyraźnie, że liczenie jakiegokolwiek układu Σ jest oparte na odwzorowywaniu wzajemném tego układu i układu Z_n. Teorya Dedekinda jest odmienném rozwinięciem téj samej myśli, która kierowała badaniami G. Cantotra, która ujawnia się w rozważaniach Kroneckera. Układy podobne pierwszego z nich — to układy o równéj mocy drugiego lub układy równoważne trzeciego [porówn. niżéj str. 96.]. Ukazując nam liczby całkowite, jako formy szczególne, wynikające z pewnego rodzaju odwzorowania, teorya Dedekinda zadawalnia w wysokim stopniu upodobanie do ogólności w badaniach matematycznych. Uderzającém w teoryi téj jest to, że układy nieskończone zajmują w niéj niejako pierwsze miejsce, są w niéj pierwotnemi, bo po określeniu ich następuje dopiero określenie układów skończonych. Dowód wszakże istnienia układów nieskończonych niezupełnie nas zadawalnia. Punktem głównym tego dowodu jest to, że układ S′ jest częścią układu S, ponieważ w S isthieją elementy jak np. moje własne ja, które są różne od każdéj myśli zawartéj w S′. Ale zapytać można, dlaczego by własnemu ja w układzie S nie miała odpowiadać myśl o własnem ja w układzie S′. Naszém zdaniem, “istnienie„ układów nieskończonych, jak to już powiedziano w art. 10., nie może wyrażać nic innego nad możność odwzorowywania kolejnego, bez żadnych przeszkód, albo możność liczenia tak daleko, jak chcemy. Ta to możność w formie matematycznéj przedstawia się jako nieskończoność i jest źródłem wszelkich innych form, jakie za pomocą odpowiednich konstrukcyj tworzyć możemy i tworzymy w Matematyce.