Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/109

Ta strona została przepisana.

sności formalne, jakie mają odpowiednie działania nad liczbami całkowitemi.
Można łatwo dowieść, że wszystkie powyższe wzory utrzymują się w zupełności i wtedy, gdy w nich a, b, c, d ... są już nietylko liczbami całkowitemi, ale dowolnemi liczbami ułamkowemi. Tym sposobem przez wprowadzenie liczb ułamkowych działania arytmetyczne, otrzymują znaczenie ogólniejsze od tego, jakie miały w przypadku liczb całkowitych.
Ponieważ mnożenie przez ułamek 1/b daje ten sam wynik, co dzielenie przez liczbę b, mnożenie przez ułamek a/b zastępuje działanie, złożone z mnożenia przez a i dzielenia przez b, można przeto liczby ułamkowe, uważać jako znaki działań i na tém oprzeć teoryą działań nad ułamkami. Myśl ta, nienowa zresztą, stanowi podstawę nowéj teoryi elementarnéj Ch. Méray’a^[1].
Teorya Weierstrassa^[2] opiera się na wprowadzeniu nowych jednostek ε_n, określonych równaniem

ε_n . n = 1.

Za pomocą takich jednostek dają się przedstawić liczby całkowite. np. liczba całkowita a = a . 1 będzie miała postać aε_nn, lub też naε_n, jeżeli przyjmiemy prawo przemienności. Ogólnie liczba całkowita lub ułamkowa daje się przedstawić pod postacią

a₀ + a₁ε_n₁ + a₂ε_n₂ + . . . + a_mε_{n_m}

gdzie a₀, a₁, a₂ . . . a_n są liczbami całkowitemi, ε_n₁, ε_n₂, . . . ε_{n_m} — jednostkami, określonemi jak wyżéj.
Ponieważ na zasadzie tegoż określenia jest

m . n . ε_{m n} = 1,

gdzie m i n są liczbami całkowitemi, wnosimy więc stąd, że

(m ε_{m n}) n = 1,	a więc	m ε_{m n} = ε_n
(n ε_{m n}) m = 1,	„	n ε_{m n} = ε_m

Na téj zasadzie można każdą liczbę

a = a₀ + a₁ε_n₁ + . . . + a_mε_{n_m}

przekształcić w ten sposób, aby zawierała tylko jednostki ε_n jednego gatunku. W saméj rzeczy, jeżeli n jest najmniejszą wspólną

↑ Ch. Méray. Les fractions et les quantités imaginaires, nouvelle théorie élémentaire. 1890, w ten sposób wprowadza pojęcie ułamka:
Wynik działania, polegającego na pomnożeniu danéj całkowitéj E przez liczbę całkowitą m i następnie na podzieleniu iloczynu przez trzecią liczbę całkowitą n [nie równą zeru], przy założeniu, że to dzielenie jest możliwe, może być także otrzymany jednym z dwóch sposobów: 1. Jeżeli E jest podzielne przez n, dzielimy E przez n i iloraz mnożymy przez m. 2. Jeżeli m jest podzielne przez n, uskuteczniamy to dzielenie, a następnie E mnożymy przez otrzymany iloraz. Aby zachować korzyści, wynikające z drugiego sposobu i w tym przypadku, gdy m nie jest podzielne przez n, umawiamy się, by wynik działania, o ktorém mowa, przedstawić w tym przypadku przez
E . m/n [lub m/n × E]

i nazwać go iloczynem liczby E przez czynnik “fikcyjny„ [facteur fictif] m/n. Te czynniki “fikcyjne„ są liczbami ułamkowemi lub ułamkami.
Łatwo już widzieć, jak na téj podstawie buduje się dalsza teorya, Jeżeli przy pomnożeniu jednéj i téj saméj liczby całkowitéj E, nie równéj zeru, przez dwa ułamki m′/n′, i m″/n″ zachodzi jeden z trzech związków

E m′/n′ >/< E m″/n″,

to związek ten pozostanie niezmienny dla każdéj innéj liczby całkowitéj E [zakładamy, rozumie się, że mnożenie przez czynniki “fikcyjne„ są wykonalne]. Ten związek stały wyrażamy pisząc:

m′/n′ >/< m″/n″

i mówimy, że wartość pierwszego ułamka jest większa, równa lub mniejsza od wartości drugiego.
Aby zachodził jeden z tych trzech przypadków, warunkiem koniecznym i dostatecznym jest

m′ n′ >/< m″ n″

Z warunku tego wynika bezpośrednio, że mnożąc licznik i mianownik ułamka przez jednę i tę samę liczbę całkowitą lub dzieląc licznik i mianownik przez ich wspólny dzielnik, otrzymujemy ułamek równy danemu.
Na téj własności polega sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.

Jeżeli działania, oznaczone przez

E m′/n′, E m″/n″, E m‴/n‴. . . .

są możliwe, to połączenie ich wyników za pomocą dodawania i odejmowania

E m′/n′ ± E m″/n″ ± E m‴/n″ ±....

daje liczbę, którą możemy otrzymać, mnożąc E przez pewną liczbę ułamkową. Ta liczba ułamkowa nazywa się sumą ułamków, m′/n′, m″/n″, m″/n″″ i nie zmienia się, jeżeli za punkt wyjścia przyjmiemy inną liczbę całkowitą, od E różną.
Jeżeli działania

E m′/n′, (E m′/n′) × m″/n″

są możliwe, to wynik ostatniego z nich, oczywiście równy

E m′ m″/n′ n″,

można otrzymać, mnożąc E przez ułamek m′ m″/n′ n″, który nazywamy iloczynem ułamków m′/n″, m″/n′ .
Jeżeli mamy dwa ułamki

M/N, m/n, [m jest nie zerem]

to ułamek

x/y = Mn/Nm

ma tę własność, że iloczyn jego przez ułamek m/n daje wynik równy ułamkowi M/N. Ten ułamek x/y nazywa się ilorazem ułamków M/N i m/n.
Lerch [Základove ryzé arithmetické theorie veliczin, Athenaeum, 1886] podaje teoryą ułamków, polegającą na wprowadzeniu form liczbowych postaci (a/b). Równoważność dwóch takich form

(a/b) ~ (c/d)

określamy za pomocą równania

a d = b c.

Z tego określenia wynika bezpośrednio

(0/a) ~ (0/b).

Forma (a + a′/b) nazywa się sumą form (a/b) i (a′/b).
Na zasadzie tych określeń dowieść można, że

(a/b) + (c/d) ~ (ad + bc/bd)

Iloczyn form

(a/b), (c/d)

określamy za pomocą równania

(a/b) . (c/d) = (a c/b d);

skąd wynika, że jeżeli

(a/b) ~ (a′/b′) . (c/d) ~ (c′/d′),

to będzie także

(a/b) . (c/d) ~ a′/b′) . (c′/d′).

Z określenia iloczynu wynika pojęcie ilorazu.
Jeżeli przez a/b oznaczymy wyrażenie, przedstawiające każdą z form równoważnych formie (a/b), to na zasadzie poprzedzających wzorów można już będzie wyprowadzić wszystkie własności działań nad liczbami ułamkowemi.
↑ Porówn. Pincherle, Saggio di una introduzione alla teoria delle funzioni analitiche [Giornale di Matematiche, XVIII, str. 179.], oraz Biermann, Theorie der analytischen Functionen, 1887., str. 9.

[1] Ch. Méray. Les fractions et les quantités imaginaires, nouvelle théorie élémentaire. 1890, w ten sposób wprowadza pojęcie ułamka:
Wynik działania, polegającego na pomnożeniu danéj całkowitéj E przez liczbę całkowitą m i następnie na podzieleniu iloczynu przez trzecią liczbę całkowitą n [nie równą zeru], przy założeniu, że to dzielenie jest możliwe, może być także otrzymany jednym z dwóch sposobów: 1. Jeżeli E jest podzielne przez n, dzielimy E przez n i iloraz mnożymy przez m. 2. Jeżeli m jest podzielne przez n, uskuteczniamy to dzielenie, a następnie E mnożymy przez otrzymany iloraz. Aby zachować korzyści, wynikające z drugiego sposobu i w tym przypadku, gdy m nie jest podzielne przez n, umawiamy się, by wynik działania, o ktorém mowa, przedstawić w tym przypadku przez
E . m/n [lub m/n × E]

i nazwać go iloczynem liczby E przez czynnik “fikcyjny„ [facteur fictif] m/n. Te czynniki “fikcyjne„ są liczbami ułamkowemi lub ułamkami.
Łatwo już widzieć, jak na téj podstawie buduje się dalsza teorya, Jeżeli przy pomnożeniu jednéj i téj saméj liczby całkowitéj E, nie równéj zeru, przez dwa ułamki m′/n′, i m″/n″ zachodzi jeden z trzech związków

E m′/n′ >/< E m″/n″,

to związek ten pozostanie niezmienny dla każdéj innéj liczby całkowitéj E [zakładamy, rozumie się, że mnożenie przez czynniki “fikcyjne„ są wykonalne]. Ten związek stały wyrażamy pisząc:

m′/n′ >/< m″/n″

i mówimy, że wartość pierwszego ułamka jest większa, równa lub mniejsza od wartości drugiego.
Aby zachodził jeden z tych trzech przypadków, warunkiem koniecznym i dostatecznym jest

m′ n′ >/< m″ n″

Z warunku tego wynika bezpośrednio, że mnożąc licznik i mianownik ułamka przez jednę i tę samę liczbę całkowitą lub dzieląc licznik i mianownik przez ich wspólny dzielnik, otrzymujemy ułamek równy danemu.
Na téj własności polega sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.

Jeżeli działania, oznaczone przez

E m′/n′, E m″/n″, E m‴/n‴. . . .

są możliwe, to połączenie ich wyników za pomocą dodawania i odejmowania

E m′/n′ ± E m″/n″ ± E m‴/n″ ±....

daje liczbę, którą możemy otrzymać, mnożąc E przez pewną liczbę ułamkową. Ta liczba ułamkowa nazywa się sumą ułamków, m′/n′, m″/n″, m″/n″″ i nie zmienia się, jeżeli za punkt wyjścia przyjmiemy inną liczbę całkowitą, od E różną.
Jeżeli działania

E m′/n′, (E m′/n′) × m″/n″

są możliwe, to wynik ostatniego z nich, oczywiście równy

E m′ m″/n′ n″,

można otrzymać, mnożąc E przez ułamek m′ m″/n′ n″, który nazywamy iloczynem ułamków m′/n″, m″/n′ .
Jeżeli mamy dwa ułamki

M/N, m/n, [m jest nie zerem]

to ułamek

x/y = Mn/Nm

ma tę własność, że iloczyn jego przez ułamek m/n daje wynik równy ułamkowi M/N. Ten ułamek x/y nazywa się ilorazem ułamków M/N i m/n.
Lerch [Základove ryzé arithmetické theorie veliczin, Athenaeum, 1886] podaje teoryą ułamków, polegającą na wprowadzeniu form liczbowych postaci (a/b). Równoważność dwóch takich form

(a/b) ~ (c/d)

określamy za pomocą równania

a d = b c.

Z tego określenia wynika bezpośrednio

(0/a) ~ (0/b).

Forma (a + a′/b) nazywa się sumą form (a/b) i (a′/b).
Na zasadzie tych określeń dowieść można, że

(a/b) + (c/d) ~ (ad + bc/bd)

Iloczyn form

(a/b), (c/d)

określamy za pomocą równania

(a/b) . (c/d) = (a c/b d);

skąd wynika, że jeżeli

(a/b) ~ (a′/b′) . (c/d) ~ (c′/d′),

to będzie także

(a/b) . (c/d) ~ a′/b′) . (c′/d′).

Z określenia iloczynu wynika pojęcie ilorazu.
Jeżeli przez a/b oznaczymy wyrażenie, przedstawiające każdą z form równoważnych formie (a/b), to na zasadzie poprzedzających wzorów można już będzie wyprowadzić wszystkie własności działań nad liczbami ułamkowemi.

[2] Porówn. Pincherle, Saggio di una introduzione alla teoria delle funzioni analitiche [Giornale di Matematiche, XVIII, str. 179.], oraz Biermann, Theorie der analytischen Functionen, 1887., str. 9.

[1]

[2]