Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/110

wielokrotną liczb n₁, n₂ .... n_m, to można napisać

n₁ ν₁ = n₂ ν₂ = . . . . = n_m ν_m = n

gdzie ν₁, ν₂, . . ., ν_m są liczbami całkowitemi; będzie zatém

ε_nμ = ν_μ.ε_nμνμ = ν_μ ε_n, (μ = 1, 2,..., m),

skutkiem czego a przyjmuje postać

a = (a₀ n + a₁ ν₁ + . . . + a_m ν_m) ε_n.

Na téj podstawie wykonywamy dodawanie i odejmowanie liczb ułamkowych o dowolnych mianownikach.
 Mnożenie liczb ułamkowych winno czynić zadość prawidłom mnożenia liczb całkowitych i dla tego będzie

(ε_m + ε_m + . . . m razy) (ε_n + ε_n + . . . + n razy) = m n (ε_m ε_n);

ponieważ zaś

m ε_m = 1, n ε_n = 1, m n (ε_m ε_n) = 1,

przeto:

m n (εm εn)	=	(m εm) . (n εn) = m n εm m,
εm εn	=	εm m,
p εm . q εn	=	p q εm n.

Wzory te wystarczają do znalezienia iloczynu jakichkolwiek liczb ułamkowych.
 Iloraz dwóch liczb ułamkowych otrzymujemy za pomocą prawidła

p ε_m/q ε_n = p n . ε_m q,

które stwierdzić możemy, mnożąc obie strony przez q ε_n, przez co otrzymujemy po jednéj i drugiéj stronie iloczyn p ε_m.
 Jeżeli ε_n zastąpimy przez 1/n, m ε_n przez m/n, otrzymamy wszystkie wzory działań nad ułamkami w postaci zwykłéj.

 Kronecker^[1] dla ominięcia pojęcia liczb ułamkowych, zastępuje czynnik 1/m formą nieoznaczoną x_m a równość — kongruencyą. [O kongruencyach mówimy w części II]. Prawidła działań nad ułamkami, a mianowicie prawidło dodawania i odejmowania

1. Kronecker, Ueber den Zahlbegriff, [l. c. str. 346].