W teoryi formalnéj działań nad ułamkami można albo wprost wynik ten uważać za określenie, albo też przyjąć, że ułamek, będący sumą dwóch ułamków, uważa się za większy od każdego ze składników. Przyjmując to określenie, będziemy w zupełnéj zgodzie ze zwykłą teoryą i potrafimy każdemu ułamkowi, stosownie do wielkości jego, wyznaczyć miejsce właściwe w dziedzinie liczb całkowitych i ułamkowych.
Wszystkie ułamki właściwe, to jest mniejsze od jedności, których mnogość jest nieskończona, możemy uporządkować w sposób następujący.
Wyobraźmy sobie wszystkie te ułamki w postaci nieprzywiedlnéj, to jest w takiéj, aby ich liczniki i mianowniki były liczbami względnie pierwszemi. Niechaj suma licznika i mianownika równa się liczbie całkowitej p. Otóż każdemu ułamkowi właściwemu odpowiada oznaczona wartość liczby p, i odwrotnie, do każdéj danéj liczby p należeć może tylko skończona mnogość ułamków. Jeżeli przeto pomyślimy sobie wszystkie ułamki właściwe, uporządkowane w ten sposób, aby te, które odpowiadają mniejszéj wartości liczby p, znajdowały się przed temi, które odpowiadają wartości większéj, i aby ułamki różne, odpowiadające jednéj i téj saméj wartości liczby p, następowały po sobie porządkiem wielkości, to wtedy oczywiście każdy z ułamków właściwych będzie miał miejsce zupełnie oznaczone; to znaczy, że jeden z nich będzie pierwszym, inny — drugim, inny znów — trzecim, i że licząc w ten sposób, nie pominiemy żadnego. Mnogość zatém nieskończona wszystkich ułamków właściwych, jest, wyrażając się słowami Dedekinda, podobna do mnogości
albo, według terminologii Cantora, posiada tę samą moc, t. j. tę samą liczbę kardynalną, jaką, ma szereg nieskończony liczb całkowitych, jest mnogością odliczalną.
Tym samym sposobem można dowieść, że mnogość wszystkich liczb ułamkowych, a więc mniejszych i większych od jedności, jest również odliczalną, czyli, innemi słowy, mnogość wszystkich liczb wymiernych jest odliczalną.
Twierdzenie to, dające się jeszcze uogólnić, zawdzięczamy G. Cantorowi[1].
- ↑ G. Cantor. Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre. [Journal für die reine und angewandte Mathematik, LXXXIV, str. 250.]
