W “Arytmetyce„ Diofanta, o któréj powiedział Lagrange, że jest jedném z dzieł, przynoszących największy zaszczyt duchowi ludzkiemu, znajdujemy już prawidła znaków w mnożeniu liczb dodatnich i ujemnych, jakkolwiek same liczby ujemne nie występują nigdzie u Diofanta wyraźnie. Przeciwnie, wszystkie zagadnienia, o ile mogłyby prowadzić do rozwiązań ujemnych, arytmetyk grecki opatruje starannie warunkami, mającemi na celu ominięcie podobnych rozwiązań[1]. Liczby ujemne w dzisiejszém znaczeniu tego pojęcia nie istniały wówczas w dziedzinie matematyki; nawet w dziesięć wieków po Diofancie matematycy włoscy Fibonacci, Paccioli, Cardano, natrafiając przy rozwiązywaniu równań na pierwiastki ujemne, odrzucali je, jako liczby fałszywe, fikcyjne, niemożliwe. Fakt analogiczny, jak to powiemy niżéj, powtórzył się następnie z liczbami urojonemi: duch uogólnienia, stanowiący wybitną cechę późniejszych badań, nie panował jeszcze tak dalece nad umysłami, aby bez pewnego oporu można było ogłosić równouprawnienie dla liczb, które według pojęć ówczesnych były niejako przeciwieństwem rzeczywistości. Wprowadzenie liter do Algebry, a więc powstała stąd konieczność przywiązywania znaczenia do działań w przypadkach ogólnych; a następnie zastosowanie rachun-
- ↑ Porówn. najnowsze wydanie Arytmetyki Diofanta w przekładzie niemieckim G. Wertheima, 1890., gdzie we wstępie [str. 6.] znajdujemy następujące twierdzenie: “Liczba, mająca być odjętą, pomnożona przez takąż liczbę, daje liczbę, którą należy dodać; liczba zaś, mająca być odjętą, pomnożona przez liczbę, mającą być dodaną, daje liczbę, którą należy odjąć„. Twierdzenie to [“λεῖψις έπί λεῖψιν πολλαπλασιασθεῖσα ποιεῖ ὕπαρξιν, λεῖψις δέ επί ὕπαρξιν ποιεῖ λεῖψιν„]. Wyrazy λεῖψις i ὕπαρξις przełożono tu umyślnie za pomocą wyrazów “liczba, mająca być odjętą„, “liczba, mająca być dodaną„, dla zaznaczenia, że liczby te nie występują, jako samoistne liczby ujemne. Jako przykład starannego omijania liczb ujemnych samoistnych przez naszego autora niechaj posłuży np. zadanie 5-e księgi I-ej: “Liczbę daną podzielić na dwie inne liczby w ten sposób, aby pewna przepisana część pierwszéj, dodana do pewnéj, również przepisanéj części drugiéj liczby, dała sumę daną„, do którego Diofant dodaje warunek następujący: “Suma dana musi być zawartą pomiędzy dwiema liczbami, które powstają, gdy weźmiemy przepisane części obu liczb danych„
Rozwiążemy zadanie to ogólnie. Liczbę a rozłożyć na dwie liczby, aby m-a część pierwszéj, powiększona o n-ą część drugiéj, równała się b. Niewiadomą liczbę pierwszą x znajdujemy z równaniaxm + a - xn = b,z którego otrzymujemy
x = mn - m (bn - a),a - x = nn - m (a - bm).Aby liczby x i a - x były dodatnie, trzeba aby było jednocześnie
b n >< a. b m >< a,skąd oczywiście wynika, że b musi być zawarte pomiędzy liczbami a/m i b/n. Przy spełnieniu się tego warunku, zagadnienie nie będzie miało rozwiązań ujemnych.
