Z równania wreszcie
gdy w niém napiszemy -c zamiast c, otrzymamy
Tym sposobem prawidło znaków w mnożeniu jest wynikiem określeń formalnych teoryi działań.
Prawidło znaków w dzieleniu wynika bezpośrednio z prawidła znaków w mnożeniu.
Powyższy wywód stosuje si oczywiście nietylko do liczb ujemnych całkowitych ale i do liczb ujemnych ułamkowych, jeżeli liczby ułamkowe wprowadzimy na podstawie teoryi, wyłożonej w rozdziale poprzedzającym.
Kronecker podał o teoryi liczb ujemnych krótką uwagę polegającą na tém, że równość taką, jak np.
można zastąpić kongruencyą
gdzie “nieoznaczona„ x zastępuje jednostkę -1. Kongruencya ta ma treść szerszą od poprzedniéj równości, bo dla każdéj liczby całkowitej x wyrażenia 7 + 9x i 3 + 5x, przy podzieleniu przez x + 1, dają reszty równe. Przy dołączeniu warunku x + 1 = 0, kongruencya przechodzi na równość i otrzymujemy liczby ujemne. Teorya liczb ujemnych wypływa przeto z teoryi kongruencyj powyższego kształtu.
W myśl tej uwagi Kroneckera, możemy z łatwością wyrazić wzory główne, odnoszące się do działań nad liczbami ujemnemi, pod nową postacią. Przedewszystkiém liczby ujemne
możemy nastąpić wyrażeniami
gdzie x jest liczbą “nieoznaczoną„. Równania
możemy zastąpić kongruencyami
