Wzór
w którym a - b i c - d są liczbami ujemnemi, możemy zastąpić wzorem
Prawo rozdzielności wyraża się pod postacią:
Prawidło znaków, np. wzór
wypływa z kongruencyi
W podobny sposób wszystkie inne wzory z łatwością uzasadnić się dają. Wiążąc zaś tę teoryą z wyłożoną w artykule 13. teoryą liczb ułamkowych, możemy te prawidła rozciągnąć do wszystkich liczb wymiernych dodatnich i ujemnych, tak że w teoryi Kroneckera występować będą tylko kongruencye pomiędzy liczbami całkowitemi dodatniemi[1].
Liczby ujemne całkowite i ułamkowe stanowią nowe uzupełnienie dziedziny liczb dodatnich całkowitych i ułamkowych, której własności poznaliśmy w artykułach poprzedzających.
Liczby całkowite ujemne
| 1. | -1, -2, -3 . . . |
stanowią mnogość nieskończoną, złożoną z wyrazów, odpowiadających wyrazom mnogości
| 2. | 1, 2, 3 . . . ; |
Każdy wyraz szeregu 2. nazywa się wartością bezwzględną odpowiedniego wyrazu szeregu 1.; możemy zatém powiedzieć, że każdy wyraz szeregu 1. ma wartość bezwzględną większą od wartości bez-
- ↑ Lerch we wspomnianej wyżej pracy podaje teoryą liczb ujemnych, polegającą na zasadzie, podobnéj do téj, na jakiéj oparł teoryą liczb ułamkowych. Wprowadza on formy czyli pary liczb (a | b), w których a i b są liczbami całkowitemi. Dwie takie formy (a | b) i (c | d) nazywają się równoważnemi, jeżeli czynią zadość równości a+d=b+c. Określenie to stosuje się zarówno do przypadku, w którym a≥b, c≥d, jako téż do przypadku, w którym a<b, c<d.
Z dwóch równoważności(a | a′) ∼ (b | b′)(c | c′) ∼ (b | b′)wyniku, na zasadzie powyższego określenia, równoważność
(a | a′) ∼ (c | c′)Wyrażenie, przedstawiające ogół form wzajem równoważnych, nazywa Lerch “differentą„. Tak np. differenta (1 | 4) obejmuje formy (2 | 5), (3 | 6), (4 | 7)...
Differerenta (x | x) = (0 | 0) nazywa się differentą zerową.
Sumą form (a | a′) i (b | b′) nazywamy formę (a + b | a′ + b′). Z tego określenia wynika, że jeżeli(a | a′) ∼ (c | c′), (b | b′) ∼ (d | d′),to (a | a′) + (b | b′) ∼ (c | c′) + (d | d′) (a+b | a′+b′) ∼ (c+d | c′+d′) Jednowartościowość i przemienność dodawania stwierdzamy na zasadzie powyższego, bez trudności:
Sumę m form (a | b) oznaczamy przez m(a | b); jeżeli A jest znakiem formy (a | b), to sumę tę oznaczyć możemy przez mA lub Am, przyczémmA = (ma | mb).
Każda differenta jest postaci mE, gdzie E jest diff. (1 | 0) lub postaci m′E′ gdzie E′=diff. (0 | 1). E nazywa się jednostką dodatnią, E′ jednostką ujemną. Ogólnie jest
mE + nE′ = diff (m | n).Iloczyn form (a | b), (c | d) określamy za pomocą równania
(a | b) . (c | c) = (ac + bd | ad+bc),z którego wynika jednowartościowość i przemienność mnożenia.
Jeżeli A i B są dwie “differenty dowolne„ (a | a′), (b | b′) dwie odpowiadające im formy, to differenta C iloczynu (a | a′), (b | b′) nazywa się iloczynem different A i B, co oznaczamy w ten sposób C = AB = BA. Na podstawie tego określenia można łatwo dowieść, żemE . nE = mnE, mE . nE′ = mnE′, mE′ . nE′ = mnE,co wyraża. znane prawidło znaków w mnożeniu.
Teorya Lercha nie jest w istocie rzeczy nową, bo zawiera się jako szczególny przypadek w teoryi “par algebraicznych„ [algebraic couples] ogłoszonéj przez Sir Rowana Hamiltona. jeszcze w roku 1835. O téj teoryi podamy wzmiankę w następującym rozdziale.
Ogłoszona niedawno teorya elementarna liczb ujemnych Ch. Meray’a [Les fractious et les quantités négativés, 1890], polega na tém, że uważa wielkości dodatnie i ujemne, jak to czyni Wroński, za dwa stany, różnéj jakości [quantités qualifiées] i zamiast znaków + i - wprowadza na początek dla objaśnienia teoryi znaki → i ←, umieszczone nad głoskami. Iloczyn określa Méray za pomocą wzorów:→a×→b = ←a×←b = →(ab),←a×→b = →a×←b = ←(ab).
