Sumy

Sumy

Sumy

Wzory na sumy n pierwszych wyrazów pewnych ciągów kolejnych liczb naturalnych:

Sumy potęg kolejnych liczb naturalnych

• Suma n pierwszych liczb naturalnych: $1+2+3+4+\dots +n=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}=s_{1}$

• Suma kwadratów n pierwszych liczb naturalnych: $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\dots +n^{2}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}=s_{2}$

• Suma sześcianów n pierwszych liczb naturalnych: $1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+\dots +n^{3}=\sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}=(s_{1})^{2}$

• Suma czwartych potęg n pierwszych liczb naturalnych: $\sum _{k=1}^{n}k^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}=s_{4}=s_{2}\cdot {\frac {3n^{2}+3n-1}{5}}$

• Suma piątych potęg n pierwszych liczb naturalnych: $\sum _{k=1}^{n}k^{5}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}(2n^{2}+2n-1)}{12}}=s_{5}={\frac {2n^{6}+6n^{5}+5n^{4}-n^{2}}{12}}$

Sumy potęg kolejnych nieparzystych liczb naturalnych

• Suma n pierwszych nieparzystych liczb naturalnych: $1+3+5+\dots +(2n-1)=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}=\sigma _{1}$

• Suma kwadratów n pierwszych nieparzystych liczb naturalnych: $1^{2}+3^{2}+5^{2}+\dots +(2n-1)^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)^{2}={\frac {n(4n^{2}-1)}{3}}=\sigma _{2}$

• Suma sześcianów n pierwszych nieparzystych liczb naturalnych: $1^{3}+3^{3}+5^{3}+\dots +(2n-1)^{3}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)^{3}=\sigma _{1}(2n^{2}-1)$

Ten tekst nie jest objęty majątkowymi prawami autorskimi lub prawa te wygasły. Jest zatem w domenie publicznej.