[452] Algebra. Wyraz algebra wyprowadzają niektórzy od nazwiska: Geber, znakomitego arabskiego filozofa i matematyka, któremu odkrycie tej nauki przypisują; lecz mniemanie to, równie jak wiele innych na podobieństwie brzmienia wyrazów opartych, jest nieprawdopodobnem, i podług Montucla (Histoire des mathematiques, tom I, str. 382), wywód tego wyrazu podany przez Łukasza de Burgo, który pierwszy we Włoszech pracował nad algebrą, zasługuje najwięcej na wiarę. Burgo wyprowadza ten wyraz z arabskiego al gebr wal mokabala, które tłómaczy przez restauratio et oppositio, to jest: odnowienie i przeciwstawienie; trudno wykazać związek pierwszego wyrazu z naszym przedmiotem, lecz drugi dość trafnie maluje układanie równań, przy którem w rzeczy samej stawimy na przeciw siebie wielkości i te między sobą porównywamy. Z tego też powodu wielu włoskich pisarzy nazywało algebrę almokabala, a nawet znakomity matematyk Cardan (ob.) tak ją nazywał: włoscy matematycy zwali ją także Arte maggiore, lub częściej regola della cosa, dla tego, że niewiadomą w równaniu algebraicznem nazywali cosa: ztąd nazwa: Regel Coss, lub die Coss, często napotykana u dawnych niemieckich autorów. Newton radził ją nazywać arytmetyką powszechną, aby tem oznaczyć naukę o liczbach, uważaną w najrozleglejszém znaczeniu, obejmującą zatem arytmetykę i algebrę. Ampere w swoim podziale wiadomości ludzkich nazywa ją arytmologiją; wielu nakoniec znakomitych uczonych używało wyrazu algorytmija: obecnie nazwisko algebra powszechnie jest przyjęte. Wszystkie zjawiska przyrodzone mają miejsce w czasie i przestrzeni, z których porównania wyradza się liczba. Pojęcie liczby początkowo było nierozdzielne od przedmiotów, które ona przedstawiała; lecz wkrótce człowiek przekonał się, że działania z liczbami odbywane, są zawsze też same, chociaż one rozmaite wyrażają przedmioty. Umysł więc ludzki wzniósł się do pojęcia systematu rachunków oderwanych, w których liczba została zupełnie wolną od wyobrażenia o materyi i to był początek arytmetyki. Liczby więc jakkolwiek oddzielnie uważane były niezależne od jakiegobądż przymiotu fizycznego, przecież zachowały jeszcze wielkość oznaczoną, to jest taką, jaką one przedstawiają. Później dopiero odkryto to prawo zasadnicze, że liczby same przez się mogą służyć za przedmiot do nowych spostrzeżeń, nie bacząc na właściwą wartość im przypisywaną; i to dało początek algebrze. Tak więc przejście pojęcia o liczbie z materyjalnego do oderwanego dało początek arytmetyce, przejście zaś tego pojęcia od szczegółów do ogółu dało początek algebrze. Można więc zgodzić się na definicyję algebry Wrońskiego: „algebra jest nauką o prawach, arytmetyka zaś o faktach uważanych na liczbach.“ Algebrę uważaną w całej rozległości, nazywają [453]niekiedy analizą matematyczną (ob.) i wtedy ona obejmuje nietylko algebrę elementarną, lecz nadto algebrę wyższą czyli transcendentalną, która przecież nie wchodzi do składu zwykłych traktatów algebry. Algebra przedstawia, liczby i rachunki, którym one dają początek, sposobem ogólnym i za pomocą znaków umówionych, których doskonały systemat dzielnie przyczynił się do ogromnych postępów tej części matematyki. Znaki, czyli symbole używane w algebrze są dwojakiego rodzaju: jedne służą do wyrażania wielkości, czyli ilości, bez względu na ich naturę, i to są litery alfabetu; drugie służą do oznaczania stosunków zachodzących pomiędzy ilościami i działaniami którym tamte poddajemy, to są znaki algebraiczne. O algebrze można powiedzieć, że jest to najzwięźlejszy, najrozleglejszy i najdogodniejszy z języków, jakiemi ludzie z sobą porozumiewać się mogą. Następujący przykład da to poznać dokładniej.. Zagadnienie: podzielić liczbę daną na trzy części tak, aby część średnia była większa od części mniejszej o liczbę daną, ą część większa była większą od części średniej o inną liczbę daną. Rozwiązanie: językiem zwyczajnym. Część średnia równa się mniejszej części, powiększonej przewyżką jej nad częścią mniejszą. Część większa równa się średniej powiększonej przewyżką jej nad częścią średnią, a więc równa się części mniejszej powiększonej przewyżką części średniej nad mniejszą i powiększonej przewyżką części większej nad średnia. Że zaś część większa razem ze średnią i mniejszą składają liczbę daną, więc część mniejsza, powiększona przewyżką części większej nad średnią i przewyżką części średniej nad mniejszą, razem z częścią mniejszą powiększoną przewyżką części średniej nad mniejszą i razem z częścią mniejszą składa liczbę daną, czyli trzy razy wzięta część mniejsza, z przewyżką części większej nad średnią i z dwa razy wziętą przewypką części średniej nad mniejszą, równa się liczbie danej. Więc trzy razy wzięta część mniejsza równa się liczbie danej, zmniejszonej przewyżką części większej nad średnią i dwa razy wziętą przewyżką części średniej nad mniejszą. Więc nakoniec część mniejsza jest trzecią częścią reszty otrzymanej z odjęcia od liczby danej przewyżki części większej nad średnią, i dwa razy wziętej przewyżki części średniej nad mniejszą. Mając zaś część mniejszą, znajdziemy część średnią dodającą do części mniejszej przewyżkę części średniej nad mniejszą, i część większą dodając jej przewyżkę nad częścią średnią, do części średniej już znalezionej. Sposobem algebraicznym: niech będzie liczba dana a, przewyżką części średniej nad mniejszą b, przewyżką części większej nad średnią c; oznaczmy niewiadomą część mniejszą przez x,
część średnia będzie: x + b,
część większa x + b + c;
więc x + x + b + x + b + c = a, to jest:
3x + 2b + c = a, ztąd zaś:
3x = a − 2b − c, nakoniec:
x = a − 2b − c/3, albo x = a − (2b + c)/3; to jest podobnie jak wyżej, część mniejsza jest równa trzeciej części reszty, otrzymanej z odjęcia od liczby danej summy dwa razy wziętej przewyżki części średniej nad mniejszą i przewyżki części większej nad średnią. W tym przykładzie rozważaliśmy kilka równań, czyli zbiorów ilości wiadomych i niewiadomych, oddzielonych od siebie znakiem równości. Musieliśmy także wykonać kilka działań zasadniczych algebraicznych, jak: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, aby dojść do oznaczenia niewiadomej. Rozwiązując rozmaite zagadnienia o liczbach ogólnie, przez wprowadzenie znaków i wyrażeń algebraicznych ogólnych, [454]dochodzimy do wypadków, które się nazywają wzorami czyli formułami, a które dają sposób rozwiązania wszystkich zagadnień tego samego rodzaju. Przykład: summa dwóch liczb jest równa a, ich różnica jest b, jakie są liczby? Niech będzie x liczba mniejsza, większa wyrazi się przez x + b, a zatém: x + x + b = a, 2x + b = a, 2x = a − b, skąd x = a/2, zaś x + b = a/2 − b/2 + 2b/2, więc x + b = a/2 + b/2. Więc wartość liczby szukanej mniejszej wyraża się: x = a/2 − b/2, większej zaś x + b = a/2 + b/2. Dwa wyrażenia wyżej otrzymane a/2 − b/2 i a/2 + b/2 są wzorami czyli formułami, które dają sposób rozwiązania zagadnień tego rodzaju bez poprzedniego powtarzania działań tutaj przytoczonych. Pierwszy wzór da się wyrazić: liczbę mniejszą znajdziemy, odejmując od połowy summy połowę różnicy liczb danych: drugi zaś: liczbę większą otrzymamy, dodając do połowy summy półowę różnicy. Jeżeli summa liczb danych czyli a, jest 25, a różnica czyli b jest 15, liczba mniejsza jest równa: 25/2 − 15/2 = 25 − 15/2 = 10/2 = 5, liczba zaś większa jest: 25/2 + 15/2 = 25 + 15/2 = 40/2 = 20.
Które to wypadki są dobre, gdyż 20 + 5 = 25, 20 − 5 = 15. Wzory więc otrzymane dają wypadki w każdym szczególnym przypadku, i dla ich otrzymania nie potrzeba wykonywać tych działań i powtarzać rozumowań, które doprowadziły do ich otrzymania. Mając więc zbiór wzorów, służących do oznaczenia rachunków, których wymaga każdy rodzaj pytań liczebnych, tenby wystarczył do otrzymania na nie odpowiedzi, sposobem mechanicznym, przez podstawienie wartości szczególnych. Odróżniają algebrę liczebną i algebrę właściwą czyli głoskową. W pierwszej tylko niewiadome oznacza się głoskami, wiadome zaś liczbami, to jest algebra starożytnych. W drugiej nie tylko niewiadoma, lecz i wiadome oznaczone są głoskami, taka tylko właściwie zasługuje na nazwę algebry. Długo zastanawiano się nad pytaniami: w jakim czasie i okolicy wynaleziono algebrę, jacy są o niej najdawniejsi pisarze, i nakoniec kiedy i jakim sposobem ta nauka upowszechniła się w Europie. W XVII wieku powszechnie mniemano, źe greccy matematycy znali analizę podobną do dzisiejszej algebry, która doprowadziła ich do odkrycia twierdzeń i rozwiązania zagadnień, podziwianych po-dziś dzień w ich dziełach; lecz bliższe zbadanie przedmiotu przekonało, że starożytni matematycy posiadali analizę, lecz że ta była czysto geometryczną, a zatem zupełnie różną od teraźniejszej algebry. W XVI mianowicie wieku, w biblijotece Watykańskiej, w Rzymie, znaleziono dzieło
Diofantesa (ob.) o algebrze, które najprzód wytłómaczył w r. 1575 Xylander na język łaciński (Arithmeticorum libri), a następnie 1621 Bachet de Meziriac, jeden z najdawniejszych członków akademii francuzkiej, ogłosił przekład na język łaciński, opatrzony licznémi komentarzami: nakoniec Fermat przełożył je w r. 1670. Dzieło Diofantesa doszło do owego czasu w 6 księgach, chociaż było napisane w 13, i odkrycie jego
[455]należy uważać za ważny wypadek w dziejach matematyki; gdyż przekonywa, że Grekom znane było rozwiązywanie zagadnień niewyznaczonych stopnia drugiego, lecz zdaje się, że tylko do tego stopnia greccy uczeni posunęli algebrę. W samej rzeczy w żadnym kraju algebra nie postąpiła dalej aż do jej przeniesienia do Włoch w czasach odrodzenia nauk. Hypathia córka Theona napisała wprawdzie kommentarze na dzieło Diofantesa, lecz te jak równie nad krzywemi ostrokręgowemi (parabola i hiperbola) Apoloniusza, nie doszły naszych czasów. Chociaż Grecy znali algebrę, przecież nie oni byli nauczycielami w tej gałęzi nauk Europejskich narodów, które wzięły tę naukę podług wszelkiego prawdopodobieństwa od Arabów, którzy zbierali dzieła Greków, tłómaczyli na swój język i starali się sobie przyswoić. Algebra przecież u Arabów nie zrobiła postępu, i pozostawała na jednakowym stopniu od ich pierwszych pisarzy jak Mohamed-ben-Muza, aż do jednego z ostatnich Behundina, który żył pomiędzy rokiem 953 i 1031. Wiele jest powodów do mniemania, źe Europejczycy zawdzięczają poznanie algebry Arabom. Kupiec pizański, Leonard Bonacio, który w młodości przebywał w Barbaryi i dla interesów handlowych udawał się kolejno do Syryi, Egiptu, Grecyi i Sycylii, po powrocie swoim do Włoch około r. 1204 napisał pierwszy traktat arytmetyk; ponieważ algebra w owym czasie była uważaną jako dalszy ciąg arytmetyki, w dziele więc Leonarda obie te nauki były połączone. To dzieło równie jak i inne prace Leonarda pozostały w ukryciu, i dopiero w połowie wieku zeszłego zostało odkryte w Florencyi. Wiadomości Leonarda ograniczały się rozwiązywaniem równań stopnia 1-go i 2-go, szczególniej zaś był on biegłym w analizie Diofantesa. Podobnież jak Arabowie w tłómaczeniu się swojem używał całych wyrazów; użycie znaków wprowadzonem zostało nierównie później. Pomiędzy czasem w którym żył ten uczony i czasem wynalezienia druku, zajmowano się algebrą i nauczano jej. Pierwsze dzieło o algebrze wydrukował r. 1494 w Wenecyi Łukasz de Burgo: Summa de arithmetica, Geometria, Proportione et Proporcionalita, które w swoim czasie było zupełnym traktatem arytmetyki, algebry i geometry i; jeszcze w niem użycia znaków nie wprowadzono, i jedynem uproszczeniem w wyrażaniu myśli były skrócenia niektórych wyrazów, napotykanych przy wykonywaniu rachunków. Tutaj także znajdujemy rozwiązanie równań stopnia 1 i 2, lecz dalekie jeszcze od tej ogólności, która prowadzi do wzorów ogólnych; znajdujemy tutaj podział zadań stopnia 2-go na różne kategoryje i dla każdej szczególne sposoby rozwiązania. Tym dwóm uczonym Europa zawdzięcza upowszechnienie algebry, która od Leonarda aź do de Burgo w ciągu prawie trzech wieków, pozostawała na jednym stopniu i aź do Viete'a znana była samym tylko Włochom. Wynalazek druku dał wielki popęd naukom matematycznym; r. 1505 Scipio Ferreo (ob.) professor matematyki w Bolonii, przekroczył dotychczasowe granice algebry, podaniem sposobu rozwiązania równania stopnia trzeciego w szczególnym przypadku (x + px = q), W owym czasie było w zwyczaju, że uczeni odkrycia swoje zachowywali w tajemnicy, tak też uczynił i Ferreo, zwierzywszy się z nabytkiem swoim ulubionemu uczniowi Florido (ob.), który osiadłszy w Wenecyi około roku 1535, wyzwał człowieka wielkiej zasługi Tartaglia (ob.) do walki w rozwiązywaniu zagadnień zapomocą algebry. Florido przedstawił swoje zagadnienia w ten sposób, że do ich rozwiązania potrzebna była znajomość prawidła Ferrea, że zaś Tartaglia uprzedził pięcioma laty Ferrea, przyjął więc wyzwanie, a zająwszy się położeniem pytań dla Florida, odkrył dwa nowe prawidła, prócz dwóch dawniej mu już wiadomych. Miano rozwiązać po 30 zagadnień; Flolida pytania mogły być rozwiązane sposobem Ferrea, Tartaglii zaś tylko trzema prawidłami jemu wiadomemi. W dniu więc na walkę oznaczonym, Florido nie
[456]rozwiązał żadnego zadanego pytania, Tartaglia zaś na wszystkie stawione sobie przez Florido zadania w dwie godziny odpowiedział. Cardan współczesny Tartaglii, lekarz i professor matematyki w Medyjolanie, zajęty był właśnie w tym czasie drukiem dzieła o arytmetyce, algebrze i geometryi, a chcąc wzbogacić dzieło swoje odkryciami Tartaglii, prosił go o wyjawienie tajemnicy. Tartaglia długo opierał się, nakoniec uległ przyrzeczeniom i przysięgom Cardan’a i wyjawił swoje prawidła zagadkowym sposobem, z warunkiem że i po śmierci Cardan’a nikt się o nich nie dowie. Cardan pracując nad dowodzeniami niedokładnych prawideł Tartaglii, nietylko że je udoskonalił, ale nadto wyprowadził ogólne rozwiązanie równań stopnia 3-go i w 6 lat później, 1545 r. ogłosił jako dodatek do poprzedniego dzieła swego (Ars magna), odkrycia Tartaglii wraz ze swemi dopełnieniami. To było drugie dzieło drukowane o algebrze. W następnym roku Tartaglia sam ogłosił dzieło pod tytułem: Quesiti e invenzioni, które ofiarował Henrykowi VIII, królowi angielskiemu. Następnym krokiem, który na drodze postępu uczyniła algebra, było rozwiązanie równań stopnia 4-go. Matematyk włoski Jan Colla, który wymyślnemi zadaniami miał upodobanie niepokoić uczonych, a o którym częste wzmianki można napotkać w powyżej przytoczonem dziele Tartaglii, podał pytanie: znaleść trzy liczby proporcyi ciągłej, których summa jest dana, i iloczyn dwóch pierwszych wiadomy, które powszechnie uznano za niepodobne do rozwiązania, Cardan tylko niepodzielał tego zdania i poruczył rozwiązanie młodemu, lecz pełnemu nadziei uczniowi swemu Ludwikowi Ferrari (ob.), który nietylko pytanie rozwiązał, lecz nadto wynalazł sposób ogólny rozwiązania równań stopnia 4-go. Dzisiaj zapewne te wynalazki wydadzą się mało znaczącemi, lecz wziąwszy na uwagę czasy dopiero poczynającej się nauki, nie odmówimy zapewne wielkich zasług włoskim matematykom W środku XVI wieku uczony niemiecki Stifel w dziele swojém Arithmetica integra, pierwszy wprowadził znaki więcej (+), mniej (—), i znak pierwiastku (V). W Anglii pierwsze dzieło o algebrze napisał Recorde, lekarz i professor matematyki w Cambridge, tutaj po raz pierwszy napotykamy znak równości (=). Nakoniec Rafael Bombinelli (1579 r.) i Steven (1585 r.) przyczynili się do niejakich udokładnień w nauce. W drugiej połowie XVI wieku (1540—1603) wiele bardzo dla nauki wyświadczył Viete, którym słusznie Francyja szczycić się może. Odkrycia jego są następujące: on wprowadził ogólne znaki na oznaczenie wiadomych i niewiadomych; od niego też zaczyna się prawdziwe stosowanie algebry do geometryi, jakkolwiek i dawniejsi algebraicy czynili to, lecz ich prace stosowały się do przypadków szczególnych, gdy on przez użycie znaków ogólnych doszedł do wzorów czyli formuł, rozciągających się na wszystkie przypadki. Viete wprowadził użycie spółczynników, wymyślił nowy sposób rozwiązania równań stopnia 3 i 4, wynalazł nakoniec sposób rozwiązania równań liczebnych wyższych stopni sposobem przybliżonym. Dzieło swoje (
Canon mathematicus) własnym kosztem w roku 1579 wydrukował. Matematyk flamandzki Albert Gerard pierwszy wprowadził znak odjemny w rozwiązaniu zagadnień geometrycznych, pierwszy mówił o wyrażeniach urojonych, chociaż nie zgłębił ich znaczenia i wyrzekł, że równanie tyle daje wartości dla niewiadomej, ile jest jedności w stopniu jego. Jego dzieło wyszło 1629 roku. Angielski uczony Tomasz Harriot, pierwszy zaczął w razie potrzeby sprowadzać równania do zera, przenosząc stronę drugą na pierwszą ze znakiem przeciwnym, lecz nie wyprowadził ztąd tych użytków, jakichby należało się spodziewać; a naj ważniejszem jego odkryciem jest pokazanie, że równania stopni wyższych są iloczynami z równań najprostszych. Wallis stawił Harriota wyżej nad wszystkich spółczesnych matematyków, lecz Francuzi ujmując się za
[457]swoim Vietem dowiedli, że Harriot był tylko jego naśladowcą. Harriot wprowawdził znak > i < (większości i mniejszości). Oughtred znak × (mnożenia). Po nich wystąpił Descartes (ob.), który położył zasady geometryi analitycznej, wiele uczynił na polu czystej algebry. On podał swój sposób wyrażania geometrycznie równań stopni wyższych; sposób rozwiązania równań stopnia 4-go zapomocą równania stopnia3-go i dwóch równań stopnia 2-go wprowadził użycie wykładników i nakoniec wynalazł prawidło znane podziśdzień pod nazwą: prawidło znaków
Descartes’a. Od tego czasu wiele uproszczeń wprowadzono w notowaniu; algebrę udoskonalano we wszystkich jej szczegółach i mnożono jej zastosowania. Neper (ob.) odkrył logarytmy, Newton (ob.) wzbogacił algebrę wieloma odkryciami, które po większej części zamieścił w swojej
Arithmetica universalis. Rozwinięcie potęgi dwumianu (p. binom Newtona), sposób kolejnych podstawiań dla otrzymania przybliżonych pierwiastków równania, i równoległobok analityczny są najważniejszemi jego pracami na tém polu. Po Newtonie pracowali nad algebrą Hudde (z Amsterdamu), De Gua, Rolle, Fontaines i inni. Genialny Euler (ob.) zmienił postać nauk matematycznych. Do tego czasu algebra była zbiorem sposobów syntetycznych i analitycznych, Euler wszedł we własności funkcyj (ob.) algebraicznych, używając tylko analizy i dał algebrze tę postać, w jakiej ją dzisiaj widzimy. Euler założył podstawy teraźniejszej teoryi równań, on dowiódł bardzo ważne twierdzenie: że każde równanie można rozłożyć na mnożniki pierwszego i drugiego stopnia. Słowem on wskazał matematykom drogę, którą postępować mają dla rozszerzenia wszystkich teoryj algebraicznych. Daniel Bernonilli, d'Alembert i Clairaut, położyli także mniejsze lub większe zasługi w algebrze. Pierwszy podał sposób oznaczenia przybliżonym sposobem pierwiastków równania, drugi pracował nad szeregami i własnościami wyrażeń urojonych, trzeci nad sposobami rugowania niewiadomej pomiędzy kilkoma równaniami. Nie można tutaj zamilczeć o Bezout, Waringu i von der Mond’zie, którzy pracowali nad Ogólnem rozwiązaniem równań wszelkiego stopnia, lecz ich usiłowania uwieńczone zostały tylko podaniem nowych sposobów rozwiązania równań stopnia 3 i 4. Lagrange napisał dzieło obszerne o rozwiązaniu równań liczebnych: Traité de la résolution des equations numériques. W niém przedstawia on sposób nieomylny i niedopuszczający wyjątków rozwiązania równań, który polega na utworzeniu równania z kwadratów różnic pierwiastków i na własnościach ułamków ciągłych. Lecz sposób ten prawie nie może być używanym z przyczyny ogromnych rachunków, do których prowadzi zwłaszcza, jeżeli stopień równania jest nieco wyższy. Lagrange udoskonalił także teoryję algebraiczną wyrażeń pierwiastkowych; a badania jego nad funkcyjami symetrycznemi i podobnemi, stoją na równi z najpiękniejszeini teoryjami algebraicznemi. Fourrier z zupełnem powodzeniem pracował nad rozwiązaniem równań liczebnych, i prace jego są zebrane w dziele:
Analyse des équations determinées. Zawdzięczamy jemu sposób łatwy i dający się zastosować do każdego równania. Sturm podał wyborny sposób oznaczenia liczby pierwiastków rzeczywistych jakiegobądż równania i ich odosobnienia, lecz w praktyce sposób Sturma musi ustąpić pierwszeństwa sposobowi poprzedniego. Kreśląc obraz historyi algebry, wspomnę o pracy Abela (ob.), matematyka szwedzkiego, który dowiódł, źe równania stopni wyższych nad czwarty, nie mogą być rozwiązane zapomocą wyciągania pierwiastków, czego całą wagę pojmujemy, kiedy wspomnimy, iż przedtém najznakomitsi nawet matematycy mniemali, że wszystkie równania dadzą się rozwiązać zapomocą radykałów. Przed wprowadzeniem dzisiaj używanych w algebrze znaków; dawni pisarze używali także pewnych skróceń, tak Dyjofantes niewiadoma oznaczał przez
sti, jej kwadrat, który
[458]on nazywał
dinamis przez 𝛿
ῦ sześcian
ϰυϰῦ (kibis); potęgę czwartą czyli dwu-kwadrat (
dinamodinamis) przez 𝛿𝛿
ῦ potęgę piątą 𝛿ϰ
ῦ i t. d. Liczby oznaczone wyrażał przez
μο̃, od (
monas), jedność. Dla dodawania znaku nie było i oznaczano je prostem zestawieniem z sobą dodawanych ilości, odejmowanie oznaczał znakiem
|⁀, który jest zmienioną literą 𝜓, od wyraża
leipsis, brak. We Włoszech przed wprowadzeniem znaków + i — używano liter
p (piu) i
m (meno). Niemieccy matematycy, jak Stifel, równość oznaczali kropką, Descartes zaś znakiem
∞. W Hollandyi także pracowano nad algebrą, a jednym ze znakomitszych pracowników był Steven, którego dzieło było ogłoszone w końcu XVI wieku; on oznaczał niewiadomą przez 1, kwadrat jej 2, sześcian 3 i t. d. zamknięte w kołach. W ostatnich czasach zwrócono uwagę na stan algebry w Indyjach. W roku 1817 Tomasz Colebrooke wytłómaczył z sanskryckiego dzieło: Algebra, Arytmetyka, Sztuka mierzenia. Dzieło to zawiera cztery oddzielne traktaty: Vija Gamita i Lilaeati, napisane wierszem przez Bhascara Acharya, Gamita Haya i Cuttaca Hyaya przez Brahmegupta. Bhascara pisał dzieła swoje około r. 1150 ery chrześcijańskiej, epoka Brahmegupta jest bardzo niepewna, a są ślady że on nie był pierwszym pisarzem w tym przedmiocie. Indyjanie nie tylko stosowali algebrę do astronomii i geometryi, lecz nawzajem stosowali geometryję do dowodzenia prawd algebraicznych. Uprawiali tę naukę z większem powodzeniem niż geometryję. Colebrooke z porównania algebraistów indyjskich z Dyjofantesem wyprowadza wniosek, że pierwsi wyżej stali w tej nauce od ostatniego. Podług niego bowiem Indyjanie prześcigli nawet nowszych matematyków w rozwiązywaniu równań stopnia 4-go; wynaleźli ogólne sposoby rozwiązania równań niewyznaczonych stopnia 1-go i 2-go i zaszli tutaj dalej od Dyjofantesa; stosowali algebrę do astronomii i geometryi, w czém dotknęli nawet kilku przedmiotów wynalezionych w czasach nowszych. Z liczby dzieł o algebrze wyliczymy następujące: Arithmetica universalis, 1707, Newton’a. Leonarda Euler a Algebra, i niemieckiego tłómaczona na francuzki, rossyjski i inne języki europejskie. Lagrange, Resolution des eąuations numeriques, pierwsze wydanie 1798, drugie 1808, trzecie 1826. A. L. Cauchy, Cours d’analyse de l’Ecole Royale Polytechnique, 1821. Fourrier, Analyse des eąuations determinees, 1831. Ohm Marcin, Versuch eines vollkommen conseąuenten System der Mathematik, Berlin 1828—33, Drobisch, Griindzuge der Lehre von den höheren numerisehen Gleichungen. Lefebure de Foury, Traite elementaire d’Algebre. Sonnet, Elements d’algebre, i t. d. W naszej literaturze mamy następujące dzieła o algebrze: Rachmistrz polski, to jest zebranie wszystkich reguł arytmetycznych i algebrycznych, przez J. Torzewskiego, 1760, Berdyczów, in 4-to.
Algebra, czyli nauka o rachunkach literalnych (linearnych), przez X. Andrzeja Ustrzyckiego, Warszawa 1778 in 8-vo.
Algebra dla szkól narodowych przez Lhuillera, przełożona przez A. Gawrońskiego, po raz pierwszy w Warszawie 1782 in 4-to wydana.
Rachunku algebraicznego teoryja przystosowana do linij krzywych, przez Jana Śniadeckiego, Kraków 1783, 2 tomy in 4-to.
Początki algebry, przez S. F. Lacroix, dla użytku w szkole centralnej paryzkiej, przełożona przez
X. E. Sieradzkiego, Wilno 1818 in-vo.
Algebra podług Lacroix na szkoły wojewódzkie, przez X. Antoniego Dąbrowskiego, Warszawa in 8-vo.
Początki algebry dla szkól gimnazyjalnych, na klassę I i II, ułożone przez
A. Wyrwicza, Wilno, 2 części 1828 in 8-vo.
Początki algebry, przez Hreczynę, Krzemieniec 1828 in 8-vo.
Początki algebry, przez
M. Bourdona, z francuzkiego na polski język przełożone i powiększone przez
[459]W. Józefowicza, Płock 1828 in 8-vo.
Wykład matematyki dla szkól Gimnazyjalnych, przez
K. Libelta, Poznań 1844, 2 tomy in 8-vo.
Zasady algebry Mayera i Choquet’a, przełożone przez
W. Wrześniowskiego, Warszawa 1845 in 8-vo.
Początki algebry, przez JW. Ministra Oświecenia Narodowego zatwierdzone do użycia w zakładach Okręgu Naukowego Warszawskiego, ułożone przez
Felixa Beneveni, Warszawa 1859.
J. P-z.
