Nauka i Metoda/Badacz i Nauka/Przypadek
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Przypadek |
| Pochodzenie | Nauka i Metoda / Badacz i Nauka |
| Wydawca | G. Centnerszwer i Ska. |
| Data wyd. | 1911 |
| Druk | Drukarnia Narodowa w Krakowie |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Tłumacz | Maksymilian Horwitz |
| Źródło | Skany na Commons |
| Inne | Pobierz jako: EPUB  • PDF  • MOBI  Cały tekst Cała Księga Pierwsza |
| Indeks stron | |
»Jakże można odważyć się mówić o prawach przypadku? Czyż przypadek nie jest antytezą wszelkiego prawa?« Od tych słów rozpoczyna Bertrand swój Rachunek prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo jest przeciwieństwem pewności; jestto to, czego się nie wie, i czego przeto nie umie się wyrachować. Tkwi w tym sprzeczność conajmniej pozorna, o której też wiele już pisano.
Przedewszystkim: cóż to jest przypadek? Starożytni rozróżniali zjawiska, które zdawały się podlegać prawom harmonijnym, ustanowionym raz na zawsze, oraz zjawiska, które przypisywali przypadkowi; te ostatnie były to zjawiska, których nie można było przewidywać, gdyż były oporne wszelkiemu prawu. Prawa ścisłe nie decydowały o
wszystkim, co się działo w każdej poszczególnej dziedzinie, wykreślały one jedynie granice, między któremi wolno było obracać się przypadkowi. W takim pojmowaniu wyraz przypadek posiadał sens ścisły, objektywny: co było przypadkiem dla jednego człowieka było również przypadkiem dla drugiego i nawet dla bogów.
Lecz takie pojmowanie nie jest już naszym; myśmy się stali bezwzględnemi deterministami, i ci nawet, co chcą zastrzec prawa ludzkiej wolnej woli, pozwalają determinizmowi panować niepodzielnie przynajmniej w świecie nieorganicznym. Każde zjawisko, jakkolwiek drobne, ma przyczynę, i umysł nieskończenie potężny, nieskończenie dobrze powiadomiony o prawach przyrody mógłby był je przewidzieć u samego zarania wieków. Gdyby umysł taki istniał, nie możnaby było grać z nim w żadną grę hazardowną, bo zawszeby się przegrywało.
Albowiem wyraz przypadek nie miałby dlań sensu, albo raczej nie byłoby wcale przypadku. Dla nas przypadek istniałby dzięki naszej słabości i niewiadomości. Nie wychodząc zresztą nawet poza naszą słabą ludzkość, to, co jest przypadkiem dla nieuka, nie jest nim dla uczonego. Przypadek jest jedynie miarą naszej niewiadomości. Zjawiskami przypadkowemi są, mocą definicji, te, których praw nie znamy.
Czy wszelako definicja ta jest zadawalająca? Kiedy pasterze chaldejscy śledzili oczyma ruchy gwiazd, nie znali oni jeszcze praw Astronomji, a czyżby myśleli, że gwiazdy poruszają się na traf szczęścia? Gdy nowoczesny fizyk bada nowe zjawisko i odkrywa rządzące nim prawo we wtorek, to czyżby powiedział on w poniedziałek, że zjawisko to jest przypadkowe? Co więcej; czyż się często nie powołuje przy przewidywaniu pewnego zjawiska na to, co Bertrand nazwał prawami przypadku? W teorji kinetycznej gazów np. odnajdujemy znane prawa Mariotte’a i Gay-Lussaca dzięki hypotezie, że prędkości molekuł gazowych zmieniają się w sposób nieprawidłowy, czyli przypadkowo. Dostrzegalne prawa byłyby o wiele mniej proste, powiedzą wszyscy fizycy, gdyby prędkościami rządziło jakieś proste prawo elementarne, gdyby, jak się mówi, były one zorganizowane, gdyby podlegały jakiejś dyscyplinie. Dzięki przypadkowi właśnie, to jest dzięki naszej niewiadomości czy nieuctwu możemy wyprowadzać wnioski co do tych praw dostrzegalnych: jeżeli tedy wyraz przypadek jest poprostu synonimem niewiadomości, to cóż to wszystko znaczy? Czy należy to rozumieć tak oto:
»Żądacie, bym przepowiedział zjawiska, które nastąpią. Gdybym, na nieszczęście, znał prawa tych zjawisk, przepowiednia ta wymagałaby odemnie rachunków, z których niepodobna wybrnąć, i byłbym zmuszony zrzec się dania wam odpowiedzi; ponieważ jednak na szczęście nie znam ich, odpowiem wam odrazu. I co najosobliwsza, odpowiedź moja będzie trafna«.
Musi więc przypadek być czymś innym niż nazwą, jaką nadajemy naszej niewiadomości między zjawiskami, których przyczyn nie znamy, musimy rozróżniać zjawiska przypadkowe, o których rachunek prawdopodobieństwa da nam prowizoryczne wiadomości, oraz zjawiska, które nie są przypadkowe, i o których nie możemy nic powiedzieć, dopóki nie oznaczymy kierujących niemi praw. Co zaś dotyczy samych zjawisk przypadkowych, to jasnym jest, że wiadomości, jakich nam o nich dostarcza rachunek prawdopodobieństwa, nie przestaną być prawdziwe z chwilą, gdy zjawiska te zostaną lepiej poznane.
Dyrektor towarzystwa ubezpieczeń na życie nie wie, kiedy umrze każdy z ubezpieczonych, ale liczy on na rachunek prawdopodobieństwa i na prawo wielkich liczb, i nie błądzi, skoro rozdaje dywidendy swoim akcjonarjuszom. Dywidendy te nie zniknęłyby, gdyby przenikliwy bardzo i bardzo niedyskretny lekarz przyszedł i po podpisaniu polis powiadomił dyrektora o szansach życia każdego z ubezpieczonych. Lekarz ten rozproszyłby niewiadomość dyrektora, lecz nie miałby żadnego wpływu na dywidendy, które oczywiście nie są wytworem tej niewiadomości.
Aby znaleźć lepszą definicję przypadku, trzeba rozpatrzeć kilka zpośród faktów, które się zgodnie uważa za przypadkowe, i do których rachunek prawdopodobieństwa zdaje się stosować; zbadamy następnie, jakie są ich cechy wspólne.
Jako pierwszy przykład rozpatrzymy równowagę nietrwałą; wiemy o stożku, który opiera się na swym wierzchołku, że upadnie, tylko nie wiemy, w którą stronę; zdaje nam się, że zadecyduje o tym jedynie przypadek. Gdyby nasz stożek był doskonale symetryczny, gdyby oś jego była doskonale pionowa, gdyby nie ulegał żadnej innej sile prócz ciężkości, nie upadłby wcale. Lecz najmniejsza skaza w symetrji przechyli go zlekka w tę lub inną stronę, a skoro tylko przechyli się on choć trochę, tedy upadnie całkowicie w tę stronę. Gdyby nawet symetrja była doskonała, najlżejsze drgnięcie, najsłabszy powiew powietrza, zdoła go przechylić o łuk parosekundowy; wystarczy to, by zdecydować o jego upadku a nawet o kierunku tego upadku, który będzie ten sam, co kierunek początkowego nachylenia.
Drobna, nie podpadająca pod naszą obserwację przyczyna wywołuje znaczny, rzucający się w oczy skutek, i mówimy wówczas, że skutek ten jest dziełem przypadku. Gdybyśmy dokładnie znali prawa przyrody i stan wszechświata w chwili początkowej, moglibyśmy dokładnie przepowiedzieć stan tego samego wszechświata w chwili późniejszej. Ale nawet wówczas, gdyby prawa przyrody nie miały już dla nas tajemnic, nie moglibyśmy znać stanu początkowego inaczej niż w przybliżeniu. Jeśli pozwala nam to przewidzieć stan późniejszy z tym samym przybliżeniem, tedy mamy wszystko, czego nam potrzeba, mówimy, że zjawisko było przewidziane, że kierują nim prawa; lecz nie zawsze tak jest; zdarzyć się może, że małe różnice w warunkach początkowych wywołują duże różnice w zjawiskach końcowych; mały błąd przy ujęciu tamtych dałby wówczas ogromny w ujęciu tych. Przewidywanie staje się niemożliwe, mamy zjawisko przypadkowe.
Drugi nasz przykład będzie bardzo podobny do pierwszego; zaczerpniemy go z meteorologji. Dlaczego meteorologowie mają takie trudności przy przepowiadaniu pogody z jaką taką pewnością? Dlaczego deszcze a nawet burze zdają się nam nawiedzać nas za sprawą przypadku, tak, iż wielu ludzi uważa za całkiem naturalne modlić się o deszcz lub pogodę, kiedy ci sami uznaliby za śmieszne wznosić modły o zaćmienie? Stwierdzamy, że wielkie zakłócenia atmosferyczne zachodzą naogół w okolicach, w których atmosfera znajduje się w stanie równowagi nietrwałej. Meteorologowie widzą wprawdzie, że równowaga jest nietrwała, że gdzieś utworzy się cyklon; ale nie są w stanie orzec, gdzie; różnica jednej dziesiątej stopnia w tę lub tamtą stronę od pewnego punktu sprawia, że cyklon wybucha nie tu lecz tam i sieje spustoszenia w miejscowości, którą byłby w przeciwnym razie pozostawił nietkniętą. Gdybyśmy znali tę dziesiątą część stopnia, moglibyśmy przewidzieć to z góry, lecz doświadczenia nie były ani dość gęste, ani dość dokładne, i dlatego wszystko zdaje się być dziełem przypadku. I tutaj znowu odnajdujemy ten sam kontrast między minimalną różnicą niedostrzegalną dla obserwatora, a skutkami znacznemi, które mogą się stać niekiedy okropnemi klęskami.
Przejdźmy do innego przykładu: do repartycji małych planet na zodjaku. Początkowe ich długości mogły być jakiekolwiek; ale ich średnie ruchy były różne, krążą one od tak dawna, że można rzec, iż obecny ich rozkład wzdłuż zodjaku jest dziełem przypadku. Bardzo małe różnice początkowe między ich odległościami od słońca, albo, co wychodzi na jedno, między ich ruchami średniemi doprowadziłyby w końcu do olbrzymich różnic między ich obecnemi długościami; w samej bowiem rzeczy nadmiar jednej tysiącznej sekundy w średnim ruchu dziennym da po upływie trzech lat jedną sekundę, po dziesięciu tysiącach lat jeden stopień, cały zaś okrąg po trzech czy czterech miljonach lat — a cóż to znaczy w zestawieniu z czasem, jaki upłynął od chwili, gdy małe planety oderwały się od mgławicy Laplace’a? Oto więc raz jeszcze mała przyczyna i wielki skutek; albo raczej małe różnice w przyczynie i wielkie różnice w skutku.
Gra w ruletę nie tak bardzo odbiega, jakby się zdawało, od powyższego przykładu. Niechaj będzie wskazówka, którą można puszczać w ruch obrotowy dookoła osi po tarczy, podzielonej na 100 wycinków naprzemian czerwonych i czarnych. Jeśli zatrzyma się na wycinku czerwonym, partja jest wygrana, w przeciwnym razie jest przegrana. Wszystko zależy oczywiście od początkowego pchnięcia wskazówki. Wskazówka zrobi 10 lub 20 obrotów i zatrzyma się mniej lub bardziej rychło w zależności od tego, czy pchnąłem ją silniej czy słabiej. Ale różnica jednej tysiącznej czy jednej dwutysiącznej w sile pchnięcia wystarczy, by wskazówka zatrzymała się bądź przy wycinku czarnym, bądź przy wycinku sąsiednim t. j. czerwonym. Różnic takich nie postrzega nasz zmysł mięśniowy, nie chwytają ich nawet najsubtelniejsze nasze przyrządy. Nie jestem tedy w stanie przewidzieć, co zrobi wskazówka, którą w ruch puściłem, i dlatego serce me bije, i czekam, co mi przyniesie przypadek. Różnica w przyczynie jest niepostrzegalna, różnica w skutku ma dla mnie ogromną wagę, gdyż decyduje ona o całej mojej stawce.
Niechaj mi będzie wolno przy tej sposobności zrobić uwagę nieco obcą memu przedmiotowi. Pewien filozof powiedział przed kilku laty, że przyszłość jest oznaczona przez przeszłość, lecz przeszłość nie jest oznaczona przez przyszłość; czyli, innemi słowy, że ze znajomości teraźniejszości możemy wyprowadzić znajomość przyszłości, lecz nie znajomość przeszłości; albowiem, twierdził, jedna przyczyna wywołuje jeden określony skutek, podczas gdy jeden i ten sam skutek może być wywołany przez kilka różnych przyczyn. Oczywista, żaden człowiek nauki nie podzieli takiego poglądu; prawa przyrody wiążą poprzednik z następnikiem w sposób taki, że poprzednik jest określony przez następnik równie dobrze jak następnik przez poprzednik. Lecz jakież było źródło błędu owego filozofa? Wiemy, że według zasady Carnota zjawiska fizyczne są nieodwracalne, i że świat zdąża do jednostajności. Kiedy dwa ciała o różnej temperaturze znajdują się obok siebie, cieplejsze oddaje część swego ciepła zimniejszemu; możemy przeto przewidzieć, że się temperatury wyrównają. Skoro przecież temperatury staną się równe, tedy cóż będziemy mogli powiedzieć o stanie dawniejszym układu? Powiemy wprawdzie, że jedno z ciał było ciepłe a drugie zimne, ale nie będziemy w stanie odgadnąć, które z nich było dawniej cieplejsze.
Jednakże w rzeczywistości temperatury nie staną się nigdy doskonale równe. Różnica temperatur zdąża tylko do zera w sposób asymptotyczny. Następuje moment, kiedy nasze termometry nie są już dość czułe, aby różnicę tę ujawniać. Gdybyśmy przecież rozporządzali termometrami tysiąc, sto tysięcy razy czulszemi, przekonalibyśmy się, że istnieje jeszcze mała różnica temperatury, że jedno z ciał pozostało trochę cieplejsze niż drugie: pozwoliłoby nam to twierdzić, że to właśnie ciało było niegdyś o wiele cieplejsze niż tamto.
Bywają tedy, w przeciwieństwie do tego, cośmy widzieli w poprzednich przykładach, zjawiska, w których wielkie różnice w przyczynach dają małe w skutkach. Flammarion wyobraził sobie kiedyś obserwatora, który oddala się od kuli ziemskiej z prędkością większą niż prędkość światła; dla tego człowieka czas zmieniłby swój znak na odwrotny. Historja byłaby wywrócona, Waterloo poprzedzałoby Austerlitz. Otóż dla takiego obserwatora zmienionyby też był na odwrotny porządek skutków i przyczyn; równowaga nietrwała przestałyby być wyjątkiem; wobec powszechnej nieodwracalności wszystko zdawałoby się wyłaniać z jakiegoś chaosu w stanie równowagi nietrwałej; cała przyroda wyglądałaby dlań jakgdyby oddana na pastwę przypadku.
Weźmy teraz inne przykłady, o cechach odmiennych nieco od podpatrzonych powyżej. Nasamprzód teorję kinetyczną gazów. Jak winniśmy sobie wyobrażać rezerwuar napełniony gazem? Niezliczone molekuły, ożywione wielkiemi prędkościami, prują rezerwuar we wszystkich kierunkach; co chwila uderzają one o ścianki lub uderzają się o siebie; a zderzenia te odbywa się w warunkach najrozmaitszych. Co nas w tym przedwszystkim uderza, to nie nieznaczna wielkość przyczyn lecz ich złożoność. A przecież i tutaj znajdujemy znowu tamtą właściwość, i widzimy, że odgrywa ona dużą rolę. Gdyby pewna molekuła odchylona została w prawo lub w lewo od swej drogi o bardzo małą ilość tego samego rzędu wielkości, co promień działania molekuł gazowych, tedy uniknęłaby ona najbliższego zderzenia, albo też odbyłoby się ono w warunkach odmiennych, i mogłoby to zmienić, być może, o 90° lub 180° kierunek jej prędkości po zderzeniu.
Widzimy więc, że wystarczy odchylić molekułę przed zderzeniem o ilość nieskończenie małą, aby wywołać po zderzeniu odchylenie skończone. Jeżeli zatym molekuła ulega dwu kolejnym zderzeniom, odchylenie nieskończenie małe drugiego rzędu przed pierwszym zderzeniem wystarczy, by nadać jej po pierwszym zderzeniu odchylenie nieskończenie małe pierwszego rzędu, a po drugim odchylenie skończone. A w rzeczywistości molekuła ulegnie nie dwu tylko zderzeniom lecz bardzo wielkiej ilości zderzeń na sekundę. Przeto jeśli pierwsze zderzenie pomnoży odchylenie przez bardzo dużą ilość A, po n zderzeniach będzie ono pomnożone przez An; stanie się więc ono bardzo wielkie nietylko dlatego, że A jest bardzo wielkie, to jest dlatego, że małe przyczyny wywołują wielkie skutki, ale i dlatego, że wykładnik n jest bardzo duży, to jest dlatego, że zderzenia są bardzo liczne, i przyczyny bardzo złożone.
Przejdźmy do drugiego przykładu; dlaczego przy ulewie rozkład kropli deszczu wydaje nam się dziełem przypadku? I tutaj dzieje się to za sprawą złożoności przyczyn, decydujących o ich tworzeniu się. W atmosferze rozeszła się pewna ilość jonów, w ciągu długiego czasu ulegały one ustawicznie zmieniającym się prądom powietrznym, porywały je wiry o bardzo małych rozmiarach, i w ten sposób końcowy ich rozkład jest zupełnie inny niż początkowy. Nagle temperatura obniża się, para zgęszcza się, i każdy z tych jonów staje się środkiem kropli deszczu. Aby wiedzieć, jaki będzie rozkład tych kropli, i ile ich spadnie na każdy kamień, byłaby niewystarczającą znajomość położenia początkowego jonów, trzebaby ponadto wciągnąć w rachubę wpływ tysiąca drobniutkich i kapryśnych prądów powietrznych.
To samo ma miejsce, gdy naprószymy w naczynie z wodą pyłki kurzu; naczynie to przebiegają prądy, których prawa nie znamy, o którym wiemy jedynie, że jest bardzo złożone, i po pewnym czasie rozkład pyłków w naczyniu tym będzie miał cechy przypadkowości, to jest będzie jednostajny; będzie to właśnie następstwem złożoności tych prądów. Gdyby ulegały one jakiemu prostemu prawu, gdyby np. naczynie miało kształt obrotowy, i gdyby prądy krążyły dokoła osi, zakreślając koła, nie mielibyśmy już owego jednostajnego rozkładu, bo każdy pyłek zachowałby swą początkową wysokość i początkową odległość od osi.
Do tego samego wyniku przyprowadziłoby nas rozważenie mieszaniny dwu cieczy lub dwu drobnoziarnistych substancji proszkowatych. Podobnież się rzeczy mają — że weźmiemy przykład grubszy — przy mieszaniu talji kart. Przy każdym przełożeniu karty ulegają permutacji (analogicznej do tych, jakie są przedmiotem teorji podstawień). Jakąż permutację otrzymamy w końcu? Prawdopodobieństwo, by była to pewna określona permutacja (np. ta, która sprowadza na miejsce n kartę, która zajmowała miejsce φ (u) przed permutacją,) prawdopodobieństwo to, mówię, zależy od przyzwyczajeń gracza. Ale jeśli gracz ten miesza karty dosyć długo, ilość kolejnych permutacji będzie bardzo duża, i porządek końcowy, jaki stąd wyniknie, będzie już tylko rzeczą przypadku; to znaczy, że wszystkie możliwe porządki będą jednakowo prawdopodobne. Wynik ten będzie dziełem wielkiej ilości kolejnych permutacji tj. złożoności zjawiska.
W końcu słowo o teorji błędów. Tutaj właśnie mamy przyczyny złożone i liczne. Ileż zasadzek czyha na obserwatora, zbrojnego nawet w najlepsze narzędzie! Powinien on zabiegać koło wykrycia najznaczniejszych i unikania ich. Będą to te, z których płyną błędy systematyczne. Lecz skoro je wyruguje — a przypuśćmy, że mu się to powiedzie — pozostanie jeszcze wiele małych, które przez nagromadzenie swych skutków mogą się stać niebezpieczne. Takie jest źródło błędów przypadkowych; przypisujemy je przypadkowi, dlatego, że ich przyczyny są zbyt złożone i zbyt liczne. I tutaj mamy znowu małe przyczyny, lecz każda z nich wywołałaby skutek również mały, jedynie zespół ich i ilość czynią je groźnemi.
Istnieje jeszcze trzeci punkt widzenia, mniej posiadający wagi niż dwa pierwsze, i dlatego mniej się nim będę zajmował. Kiedy idzie o to, aby przewidzieć pewien fakt w celu zbadania jego poprzedników, usiłujemy się poinformować o tym, co się działo dawniej; ponieważ jednak niepodobna tego zrobić dla wszystkich części wszechświata, zadawalamy się wiadomością o tym, co się dzieje w sąsiedztwie punktu, w którym fakt ma zajść, albo co, jak się zdaje, ma jakiś związek z tym faktem. Wiadomości te nie mogą być wyczerpujące, trzeba przeto umieć wybierać. Może się wszakże zdarzyć, że pominiemy okoliczności, które zrazu wydały nam się całkiem obce przewidywanemu faktowi, co do których nie przyszłoby nam na myśl, aby mogły tu mieć jaki wpływ, a które jednakowoż, wbrew wszelkiemu przewidywaniu, odgrywają doniosłą rolę.
Przez ulicę przechodzi człowiek, idący za swojemi interesami; ktoś, znający te interesy, mógłby powiedzieć, z jakiej przyczyny wyszedł on o danej godzinie, i dlaczego przeszedł przez daną ulicę. Na dachu pracuje strycharz; przedsiębiorca, który go wynajął, może w pewnych granicach przewidzieć, co on będzie robił. Lecz człowiek, idący ulicą, nie myśli wcale o strycharzu, ani strycharz o nim: zdałoby się, że należą do dwu zupełnie sobie obcych światów. Aliści strycharz opuszcza dachówkę, która zabija przechodnia — a my orzekamy bez namysłu, że jestto rzecz przypadku.
Słabość naszego umysłu nie pozwala nam objąć całego świata i zmusza do pokrajania go na kawałki. Staramy się robić to możliwie najmniej sztucznie, a przecież zdarza się że dwa z tych kawałków oddziaływają wzajem na siebie. Skutki takiego wzajemnego oddziaływania wydają się nam dziełem przypadku.
Czy stanowi to trzeci sposób pojmowania przypadku? Nie zawsze; bo w większości wypadków sprowadza się on do pierwszego lub drugiego. Ilekroć dwa światy, zazwyczaj sobie obce, zaczynają nagle na siebie oddziaływać, prawa tego oddziaływania muszą być wielce złożone, z drugiej zaś strony bardzo mała zmiana w warunkach początkowych byłaby wystarczyła, aby oddziaływanie to wogóle nie miało miejsca. Jakże mało byłoby potrzeba, by ów człowiek przeszedł o sekundę później, lub strycharz o sekundę wcześniej opuścił dachówkę!
Wszystko, cośmy powiedzieli, nie tłumaczy nam jeszcze, dlaczego przypadek ulega pewnym prawom. Czy to, że przyczyny są małe, lub że są złożone, wystarcza, byśmy mogli przewidywać jeśli nie, jakie będą ich skutki w każdym poszczególnym wypadku, to przynajmniej, jaka będzie średnia tych skutków? Odpowiedzi na to pytanie będziemy szukali, zastanawiając się znowu nad kilku z powyżej przytoczonych przykładów.
Rozpocznę od rulety. Powiedziałem, że punkt, przy którym zatrzyma się wskazówka, zależeć będzie od nadanego mu pchnięcia początkowego. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pchnięcie to ma taką lub inną wartość? Nic o tym nie wiem, ale trudno mi jest nie przypuścić, że prawdopodobieństwo to nie jest wyrażone przez funkcję analityczną ciągłą. Prawdopodobieństwo, że pchnięcie jest zawarte między α i α + ε, będzie natenczas prawie ściśle równe prawdopodobieństwu, że jest ono zawarte między α + ε i α + 2ε, byle ε było dość małe. Jestto własność wspólna wszystkim funkcjom analitycznym. Małe zmiany funkcji są proporcjonalne do małych zmian zmiennej niezależnej.
Ale przypuśćmy, że bardzo mała zmiana pchnięcia wystarczy, by wskazówka zamiast zatrzymać się przy jednym wycinku, zatrzymała się przy wycinku sąsiednim. Od α do α + ε będzie to wycinek czerwony, od α + ε do α + 2ε — czarny; prawdopodobieństwo każdego czerwonego wycinka jest więc takie same, jak prawdopodobieństwo następnego wycinka czarnego, a przeto prawdopodobieństwo całkowite wycinków czerwonych jest równe prawdopodobieństwu całkowitemu czarnych.
Daną zagadnienia jest funkcja analityczna, wyrażająca prawdopodobieństwo danego określonego pchnięcia początkowego. Ale twierdzenie pozostaje prawdziwe niezależnie od tego, jaką jest ta dana, gdyż oparte jest na własności wspólnej wszystkim funkcjom analitycznym. Wynika z tego, że w rezultacie możemy się zupełnie obyć bez owej danej.
Cośmy powiedzieli powyżej o rulecie, stosuje się również do przykładu małych planet. Na zwierzyniec (zodjak) można patrzeć, jak na olbrzymią ruletę, po której Stwórca puścił bardzo dużą ilość kulek, nadając im rozmaite prędkości początkowe, zmieniające się według pewnego, jakiegokolwiek zresztą, prawa. Obecny ich rozkład jest jednostajny i niezależny od tego prawa dla tych samych racji, co w przykładzie poprzednim. Widzimy w ten sposób, dlaczego zjawiska ulegają prawom przypadku, kiedy drobne różnice w przyczynach wystarczają, by wywoływać wielkie różnice w skutkach. Prawdopodobieństwa tych drobnych różnic można wówczas uważać za proporcjonalne do samych tych różnic, właśnie dlatego, że różnice te są małe, i że małe przyrosty funkcji ciągłej są proporcjonalne do przyrostów zmiennej.
Przejdźmy do innego zupełnie przykładu, w którym górujące znaczenie posiada złożoność przyczyn; niechaj ktoś tasuje talję kart. Przy każdym akcie tasowania zmienia on porządek kart, i może go zmienić na różne sposoby. Przypuśćmy dla prostoty wykładu, że mamy tylko 3 karty. Karty, które przed przetasowaniem znajdowały się w porządku 123, mogą po nim zajmować miejsca
Każde z tych 6-ciu przypuszczeń jest możliwe, i odpowiednie ich prawdopodobieństwa będą:
Suma tych sześciu liczb wynosi 1; lecz nie wiemy o nich nic ponadto; te sześć prawdopodobieństw zależy naturalnie od nieznanych nam nawyknień gracza.
Przy drugim przetasowaniu i przy następnych będzie znowu to samo i w tych samych warunkach; to znaczy, że p4 np. wyobraża zawsze prawdopodobieństwo, by trzy karty które po n-ym przetasowaniu i przed n+1-ym leżały w porządku 123, zajęły po n+1-ym przetasowaniu miejsca 321. Jestto prawdziwe niezależnie od wartości liczby n, bo nawyknienia gracza, jego sposób tasowania kart, pozostają te same.
Jeżeli przecież ilość przetasowań jest bardzo duża, karty które przed 1-ym przetasowaniem zajmowały miejsca 123, będą mogły po ostatnim zająć miejsca
i prawdopodobieństwo każdego z tych sześciu wypadków będzie prawie ściśle jednakowe i równe 16; tak będzie niezależnie od wielkości liczb p1....p6, których nie znamy. Wielka ilość przetasowań, to jest złożoność przyczyn, wywołała jednostajność.
Stosowałoby się to bez zmian, gdyby było więcej niż 3 karty, ale dla trzech kart nawet dowód byłby bardzo skomplikowany; ograniczę się przeto tutaj dowodem dla dwu tylko kart. Dwa tylko wówczas możliwe są wypadki
o prawdopodobieństwach p1 i p2 = 1 - p1. Przypuśćmy, że dokonano n przetasowań, i przypuśćmy, że wygrywam 1 franka, jeśli karty znajdują się w końcu w porządku początkowym, i że przegrywam franka, jeśli porządek ten będzie odwrócony. Moja nadzieja matematyczna będzie natenczas równa
Różnica p1 - p2 jest z pewnością mniejsza od 1; jeżeli przeto n jest bardzo wielkie, moja nadzieja będzie równa zeru; nie mamy potrzeby znać p1 i p2, żeby wiedzieć, że gra jest sprawiedliwa.
Jeden wszakże możliwy jest wyjątek, jeśli mianowicie jedna z liczb p1 i p2 równa jest 1 druga zaś zeru. Rozumowanie nasze nie stosuje się do tego wypadku, dlatego, że początkowe nasze założenia są wówczas zbyt proste.
Rozważania powyższe stosują się nietylko do mieszania kart lecz do wszelkich mieszanin zarówno cieczy jak proszków; i nawet do mieszanin cząsteczek gazowych w kinetycznej teorji gazów. Wracając do tej teorji, przypuśćmy na chwilę, że mamy gaz, którego cząsteczki nie mogą się wzajem zderzać, lecz ulegają odchyleniom na skutek uderzeń o ścianki naczynia, w którym gaz jest zawarty. Jeśli kształt naczynia jest dostatecznie złożony, rozmieszczenie cząsteczek oraz prędkości stanie się rychło jednostajnym. Inaczej będzie, jeśli naczynie jest kuliste lub posiada kształt prostokątnego równoległościanu; dlaczego? Ponieważ w pierwszym z tych dwu wypadków odległość środka od jakiejkolwiek drogi, przebieganej przez cząsteczkę, będzie stała; w drugim stałą będzie wartość bezwzględna kąta każdej drogi ze ścianami równoległościanu.
Widzimy stąd, co należy rozumieć przez warunki zbyt proste; są to warunki, zachowujące coś, pozostawiające jakiś niezmiennik. Czy równania różniczkowe zagadnienia są zbyt proste, byśmy mogli zastosować prawa przypadku? Pytanie to wydaje się zrazu pozbawionym ścisłego sensu; teraz wiemy, co ono oznacza. Zbyt prostemi są one wówczas, gdy coś zachowują, gdy istnieje dla nich całka jednostajna; skoro coś z warunków początkowych pozostaje niewzruszone, tedy jasnym jest, że położenie końcowe nie może być niezależne od położenia początkowego.
Przejdźmy wreszcie do teorji błędów. Nie wiemy, jakie jest źródło błędów przypadkowych, i właśnie dlatego, że tego nie wiemy, — wiemy, że ulegają one prawu Gaussa. Oto paradoks. Tłumaczy się on mniej więcej tak samo, jak w wypadkach poprzednich. Jedno tylko mamy potrzebę wiedzieć: że błędy są bardzo liczne, ze są bardzo małe, że każdy z nich może być równie dobrze ujemny jak dodatni. Jaka jest krzywa prawdopodobieństwa każdego z nich? nic o tym nie wiemy, przypuszczamy tylko, że krzywa ta jest symetryczna. Dowodzi się wówczas, że błąd wypadkowy stosować się będzie do prawa Gaussa, i to prawo wypadkowe jest niezależne od praw szczególnych, których nie znamy. I tutaj znowu prostota wyniku jest właśnie skutkiem złożoności danych.
Ale czekają nas jeszcze nowe paradoksy. Mówiłem przed chwilą o fikcji Flammariona, o człowieku, który pędzi szybciej niż światło, i dla którego czas ma znak odwrotny. Powiedziałem, że dla niego wszystkie zjawiska zdawałyby się być dziełem przypadku. Tak jest z pewnego punktu widzenia, a przecież wszystkie te zjawiska w określonej chwili nie byłyby rozmieszczone zgodnie z prawami przypadku, bo rozmieszczenie to byłoby takie same, jak dla nas, którzy widząc je w rozwoju harmonijnym, nie rozpoczynającym się od jakiegoś chaotycznego stanu początkowego, nie uważamy ich za rządzone przez przypadek.
Cóż to znaczy? W oczach Lumena, owego flammarionowego człowieka, małe przyczyny zdają się wywoływać wielkie skutki; dlaczegoż to, co on ogląda, nie odbywa się tak, jak wówczas, gdy my widzimy wielkie skutki, wywołane przez małe przyczyny? Czyżby to samo rozumowanie nie stosowało się do obu wypadków?
Powróćmy do tego rozumowania: kiedy małe różnice w przyczynach wywołują wielkie w skutkach, to dlaczego wówczas skutki są rozmieszczone według praw przypadku? Przypuśćmy, ze różnica jednego milimetra w przyczynie wywołuje różnicę jednego kilometra w skutku. Jeżeli skutek, odpowiadający parzystemu kilometrowi, oznacza dla nas wygraną, tedy prawdopodobieństwo wygranej równa się dla nas 12; dlaczego? Dlatego, że wymaga to, by przyczyna odpowiadała milimetrowi parzystemu. Otóż, wolno mniemać, że prawdopodobieństwo, by przyczyna zmieniała się między pewnemi granicami, będzie proporcjonalne do odstępu między temi granicami, byle odstęp ten był dostatecznie mały. Przyjęcie tego założenia jest niezbędnym warunkiem, aby można było wyrazić prawdopodobieństwo za pomocą funkcji ciągłej.
Niechaj teraz wielkie przyczyny wywołują małe skutki. W wypadku takim my nie przypisalibyśmy zjawisko przypadkowi, Lumen natomiast uznałby je za dzieło przypadku. Różnicy kilometra w przyczynie odpowiadałaby różnica milimetra w skutku. Czy i teraz prawdopodobieństwo, by przyczyna była zawarta między dwu granicami, oddalonemi od siebie o n kilometrów, będzie proporcjonalne do n? Nie mamy żadnego powodu to przypuścić, gdyż ta odległość n.kilometrowa jest duża. Lecz prawdopodobieństwo, by skutek pozostał zawarty między dwu granicami odległemi o n milimetrów będzie właśnie równe tamtemu, nie będzie więc proporcjonalne do n i to pomimo, że ta odległość n-milimetrowa jest mała. Niepodobna zatym wyobrazić prawa prawdopodobieństwa skutków zapomocą krzywej ciągłej; zrozumiejmy się dobrze: krzywa ta może pozostać ciągłą w analitycznym sensie wyrazu, zmianom nieskończenie małym odciętej będą odpowiadały nieskończenie małe zmiany rzędnej. Lecz z punktu widzenia praktyki nie będzie ona ciągła, bo zmianom bardzo małym odciętej nie będą odpowiadały bardzo małe zmiany rzędnej. Będzie niemożliwym nakreślenie tej krzywej zapomocą zwykłego ołówka: oto, co chcę powiedzieć.
Jakiż stąd wniosek? Lumen nie ma prawa powiedzieć, że prawdopodobieństwo przyczyny (prawdopodobieństwo jego przyczyny, która jest naszym skutkiem) musi być koniecznie wyobrażone przez funkcję ciągłą. Ale skoro tak, tedy dlaczego my mamy to prawo? Dlatego, że ów stan równowagi nietrwałej, który powyżej nazywaliśmy początkowym, sam jest wytworem długich poprzedzających go dziejów. W ciągu tych dziejów działały złożone przyczyny i działały długo: przyczyniły się one do zmieszania ze sobą elementów, i miały dążność do ujednostajnienia wszystkiego, przynajmniej na małej przestrzeni; zaokrągliły one węgły, zrównały góry i zapełniły doliny: jakkolwiek kapryśną i nieforemną była pierwotna oddana im krzywa, pracowały one tyle nad jej zregulowaniem, że przekażą nam w końcu krzywą ciągłą. I dlatego to możemy z całym zaufaniem przypuścić ciągłość krzywej.
Lumen nie miałby tych samych powodów, aby dojść do takiego wniosku; dla niego przyczyny złożone nie występowałyby, jako czynniki regulacji i wyrównania, lecz przeciwnie wywołałyby różniczkowanie i nierówność. W jego oczach z jakiegoś pierwotnego chaosu wyłaniałby się stopniowo świat coraz bardziej urozmaicony; obserwowane przezeń zmiany byłyby dlań nieprzewidziane i niedające się przewidzieć; zdawałyby mu się dziełem jakiegoś kaprysu; lecz kaprys ten opierałby się wszelkim prawom, gdy nasz przypadek posiada swoje prawa. Wszystkie te uwagi wymagałyby, aby je obszerniej rozwinąć, co ułatwiłoby, być może, zrozumienie nieodwracalności wszechświata.
Staraliśmy się określić pojęcie przypadku, — naturalnym teraz będzie, że zadamy sobie pytanie: czy przypadek, w ten sposób określony w granicach, w jakich definicja jego jest możliwa, posiada cechy objektywności?
Możnaby mieć co do tego wątpliwości. Mówiłem o przyczynach bardzo małych i bardzo złożonych. Lecz to, co jest bardzo małe dla jednego, czyż nie może być wielkie dla innego, a co się wydaje bardzo złożonym jednemu, czyż innemu nie może się wydać prostym? Odpowiedziałem już częściowo na to pytanie, bo wyraziłem powyżej w sposób ścisły, w jakim wypadku równania różniczkowe stają się zbyt proste, aby prawa przypadku można było stosować. Wypada jednak rozpatrzeć sprawę nieco bliżej, gdyż można zająć w stosunku do niej inne jeszcze stanowiska.
Co znaczy wyrażenie »bardzo mały«? Aby to zrozumieć, wystarczy przypomnieć sobie to, co powiedzieliśmy wyżej. Różnica jest bardzo mała, odstęp jest bardzo mały, jeżeli w granicach tego odstępu prawdopodobieństwo pozostaje prawie ściśle stałe. A dlaczego prawdopodobieństwo to można uważać za stałe wewnątrz małego odstępu? Dlatego, że przypuszczamy, że prawo prawdopodobieństwa jest wyrażone przez krzywą ciągłą: i to ciągłą nietylko w analitycznym znaczeniu tego wyrazu, lecz ciągłą z punktu widzenia praktyki, jakem to powyżej wyłuszczył. Znaczy to, że nietylko nie będzie w niej poprostu dziur, lecz, że nie będzie również posiadała zbyt ostrych ani zbyt wydatnych występów ni wklęśnięć.
Cóż nas upoważnia do tego założenia? Rzekliśmy już wyżej, że pobudza nas do tego fakt, iż od zarania dziejów świata trwa nieustanna działalność skomplikowanych przyczyn, czynnych w jednym i tym samym kierunku, i sprawiających, że świat zdąża ustawicznie ku jednostajności, i nigdy nie może cofać się wstecz. Te właśnie przyczyny zgładziły stopniowo występy i zapełniły wklęśnięcia, i dlatego nasze krzywe prawdopodobieństw przedstawiają jedynie łagodne falistości. Po upływie miljardów, miljardów wieków dokonany będzie jeszcze jeden krok ku jednostajności, i falistości te będą dziesięćkroć łagodniejsze niż obecnie: średni promień krzywizny naszej krzywej stanie się dziesięć razy większy. I wówczas długość, która dziś nie wydaje się nam bardzo małą, bo na naszej krzywej łuk tej długości nie może być uważany za prosto-linijny, będzie musiała uchodzić za bardzo małą, bo krzywizna stanie się dziesięć razy mniejsza, i łuk tej długości będzie mógł być prawie ściśle upodobniony do prostej.
Tak więc wyrażenie »bardzo mały« pozostaje względne; ale nie jest ono względne w zależności od tego lub innego człowieka, jest ono względne w zależności od obecnego stanu świata. Znaczenie jego się zmieni, kiedy świat stanie się jednostajniejszy, kiedy wszelkie rzeczy bardziej jeszcze się ze sobą pomieszają. Lecz wówczas ludzie zapewne nie będą mogli żyć, i będą musieli odstąpić miejsca innym istotom; czy istoty te mam nazwać o wiele mniejszemi lub o wiele większemi? I oto krytetjum nasze, pozostając prawdziwym dla wszystkich ludzi, zachowuje znaczenie objektywne.
Jakież jest, z kolei, znaczenie wyrażenia: »bardzo złożony«? Jedną odpowiedź na to pytanie już dałem, o czym przypomniałem na początku niniejszego paragrafu, ale istnieją jeszcze inne. Przyczyny złożone, jak powiedzieliśmy, dają mieszaninę coraz jednostajniejszą — lecz ileż czasu będzie potrzeba, by mieszanina ta w zupełności nas zadowoliła? Kiedyż nagromadzi się dosyć komplikacji? Kiedy uznamy, że karty tasowano dość długo? Gdy mieszamy dwa proszki, niebieski i biały, w pewnej chwili barwa mieszaniny wydaje się nam jednostajną; jestto skutkiem ułomności naszych zmysłów; będzie ona jednostajną dla dalekowidza, który musi patrzeć z daleka, a nie będzie nią jeszcze dla krótkowidza. A kiedy stanie się jednostajną dla wszelkiego wzroku, będzie można jeszcze cofnąć granicę przez zastosowanie narzędzi optycznych. Niema widoków na to, by człowiek zdołał kiedykolwiek rozróżnić nieskończoną rozmaitość szczegółów, kryjącą się — jeśli kinetyczna teorja jest prawdziwą — pod pozorną jednostajnością gazu. A przecież, jeśli przyjąć poglądy Gouy’ego na ruch brownowski, czy mikroskop nie jest w przededniu pokazania nam czegoś podobnego?
Nowe to kryterjum jest więc, podobnie jak pierwsze, względnym, i jeżeli zachowuje charakter objektywny, to dlatego, że wszyscy ludzie posiadają te same mniej więcej zmysły, że moc ich narzędzi jest ograniczona, i że zresztą posługują się niemi jedynie w razach wyjątkowych.
To samo stosuje się w naukach, dotyczących życia duchowego ludzi [moralnych] a w szczególności w historji. Historyk jest zmuszony dokonać wyboru wśród zdarzeń epoki, którą bada; podaje te tylko, które zdają mu się najważniejszemi. Ograniczył się n. p. opowiedzeniem najznaczniejszych wypadków z XVI-go wieku oraz najgodniejszych uwagi faktów z XVII-go. Jeśli pierwsze wystarczają do wytłumaczenia drugich, mówimy o tych ostatnich, że »odpowiadają prawom historji«. Jeżeli natomiast wielkie zdarzenie z XVII-go wieku ma za przyczynę mały fakt z w. XVI-go, nie podany przez żadną historję, tedy mówi się, że zdarzenie to jest dziełem przypadku, i wyraz ten ma to samo znaczenie, co w naukach fizycznych; wyraża on, że małe przyczyny wywołują duże skutki.
Największym przypadkiem jest urodzenie się wielkiego człowieka. Przypadkiem jedynie spotkały się ze sobą dwie komórki rodne różnej płci, z których każda zawierała właśnie owe tajemnicze pierwiastki, których wzajemne działanie miało wytworzyć gieniusza. Zgodzić się trzeba, że pierwiastki te muszą być rzadkie i że spotkanie ich jest jeszcze rzadsze. Jakże mało byłoby potrzeba, by zawierającą je spermatozoidę odchylić od jej drogi; wystarczyłoby odchylić ją o dziesiątą część milimetra, a Napoleon nie byłby się narodził, i losy całego kontynentu inną poszłyby koleją. Żaden przykład nie jest w stanie lepiej unaocznić istotne cechy przypadku.
Słowo jeszcze o paradoksach, wynikających na tle stosowania rachunku prawdopodobieństwa do nauk, dotyczących działalności człowieka w społeczeństwie [t. zw., moralnych’]. Dowiedziono, że do żadnego parlamentu nie wejdzie nigdy żaden poseł z opozycji, albo przynajmniej, że zdarzenie to jest tak nieprawdopodobne, iż można bez obawy trzymać zakład przeciw, i to trzymać miljon przeciw jednemu. Condorcet usiłował obliczyć, ile potrzebaby przysięgłych, aby omyłka sądowa była praktycznie niemożliwą. Gdyby kto zechciał oprzeć się w rzeczywistości na rezultatach tych rachunków naraziłby się z pewnością na taki sam zarzut jak ów, coby się zakładał, ufny w rachunek, że opozycja nie zdobędzie nigdy ani jednego przedstawiciela.
Prawa przypadku nie mają zastosowania do takich kwestji.
Jeżeli orzeczenia sądowe nie zawsze są oparte na przesłankach słusznych, to wszakże są one mniej, niż się zdaje, rzeczą przypadku; być może iż należy tego żałować, bo gdyby tak nie było, sposób Condorceta byłby nas ochronił od wszelkich omyłek sądowych.
Czegóż nas to uczy? Skłonni jesteśmy przypisać przypadkowi fakty tego typu, dlatego, że przyczyny ich są dla nas przesłonione; nie jestto jednak prawdziwy przypadek. Wprawdzie przyczyn danego faktu nie znamy, wprawdzie są one skomplikowane; ale nie są dostatecznie skomplikowane, skoro zachowują pewne elementy, a widzieliśmy, że jestto cechą charakterystyczną przyczyn »zbyt prostych«. Kiedy ludzie są w gromadzie, decyzje ich nie są rzeczą przypadku, nie są wzajem od siebie niezależne; oddziaływają oni na siebie. Wchodzą w grę liczne przyczyny, wywołują w ludziach zakłócenia, porywają ich na prawo i na lewo, — jednego przecież nie są w stanie zniszczyć: ich przyzwyczajenia do owczego pędu. I to właśnie się zachowuje.
Zastosowanie rachunku prawdopodobieństwa do nauk ścisłych pociąga za sobą równie wiele trudności. Dlaczego cyfry dziesiętne w tablicy logarytmicznej, dlaczego cyfry dziesiętne liczby π są rozmieszczone według praw przypadku? Gdzieindziej już zastanawiałem się nad tym pytaniem, gdy szło o logarytmy,[1] i w tym razie jest ono łatwe; jasne jest, że mała różnica w argumencie da małą różnicę w logarytmie, ale dużą różnicę w szóstej dziesiętnej logarytmu. Odnajdujemy ciągle to samo kryterjum.
Natomiast w odniesieniu do liczby π pytanie to nastręcza o wiele znaczniejsze trudności, i na razie nie mam w tej kwestji nic do powiedzenia.
Nastręczyłoby się wiele innych kwestji, gdybym chciał się niemi zająć, zanim rozwiązałem tę, nad którą zamierzyłem szczególniej się zastanowić. Gdy stwierdzamy pewien prosty rezultat, n. p. gdy znajdujemy jakąś okrągłą liczbę, mówimy, że rezultat ten nie może być rzeczą przypadku, i dla wytłumaczenia go szukamy przyczyny nie przypadkowej. Albowiem małe tylko zachodzi prawdopodobieństwo, by z pośród 10.000 liczb przypadek dał liczbę okrągłą n. p. liczbę 10.000; na 10.000 szans jedna tylko jest pomyślna. Ale też jedna tylko szansa na 10.000 sprzyja zdarzeniu się którejkolwiek innej liczby; a przecież żadna inna liczba nie ździwi nas, nie zawahamy się uważać jej zdarzenie się za rzecz przypadku; a to poprostu dlatego, że będzie się ona mniej rzucała w oczy.
Czy jestto wszystko prostym złudzeniem, czy też w pewnych wypadkach pogląd taki jest słuszny? Chyba tak, gdyż w przeciwnym razie wszelka nauka byłaby niemożliwa. Jakże postępujemy, gdy chcemy poddać próbie pewną hypotezę? Nie możemy sprawdzić wszystkich jej konsekwencji, bo ilość ich jest nieskończona; ograniczamy się sprawdzeniem niektórych tylko, i jeśli wypada ono pomyślnie, uznajemy hypotezę za potwierdzoną, ponieważ takiego powodzenia nie umielibyśmy położyć na karb przypadku. I to samo rozumowanie powtarza się w gruncie rzeczy zawsze.
Nie mogę tutaj całkowicie go uzasadnić dla krótkości czasu; to wszakże przynajmniej mogę powiedzieć: mamy do wyboru dwa przypuszczenia, albo przyczyny prostej albo owego zespołu przyczyn skomplikowanych, który nazywaliśmy przypadkiem. Uważamy za naturalne przyjąć, że pierwsza wywołuje wynik prosty, i natenczas, skoro stwierdzamy taki prosty wynik, np. liczbę okrągłą, wydaje nam się prawdopodobniejsze przypisać go przyczynie prostej, która musiałaby go dać prawie z pewnością, niż przypadkowi, który mógłby go dać jedynie raz na 10.000. Inaczej, gdy stwierdzamy wynik, który nie jest prosty; wprawdzie przypadek również da go nie częściej, niż raz na 10.000; ale i przyczyna prosta nie ma więcej za sobą, by dać ten wynik.
