Nauka i Metoda/Badacz i Nauka/Twórczość matematyczna
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Twórczość matematyczna |
| Pochodzenie | Nauka i Metoda / Badacz i Nauka |
| Wydawca | G. Centnerszwer i Ska. |
| Data wyd. | 1911 |
| Druk | Drukarnia Narodowa w Krakowie |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Tłumacz | Maksymilian Horwitz |
| Źródło | Skany na Commons |
| Inne | Pobierz jako: EPUB  • PDF  • MOBI  Cały tekst Cała Księga Pierwsza |
| Indeks stron | |
Gieneza twórczości matematycznej stanowi dla psychologa zagadnienie wybitnie interesujące. Stoi on wobec aktu, w którym umysł ludzki zdaje się czerpać najmniej ze świata zewnętrznego, kiedy działa, istotnie lub pozornie, sam przez się i nad samym sobą, — to też, badając proces myśli matematycznej, można spodziewać się dotrzeć do najwewnętrzniejszej istoty umysłowości ludzkiej.
Zrozumiano to oddawna; przed kilku miesiącami czasopismo »l’Enseignement Mathématique«, wydawane przez Laisanta i Fehra, przeprowadziło ankietę o nawyknieniach umysłowych i metodach pracy matematyków. Główne rysy niniejszego artykułu były już nakreślone, kiedy wyniki tej ankiety zjawiły się w druku; nie mogłem przeto z nich skorzystać, ograniczę się też powiedzeniem, że większość zawartych w nich świadectw potwierdza moje wnioski, — większość tylko, boć kiedy poddajemy się orzeczeniu głosowania powszechnego, nie możemy pochlebiać sobie, że osiągniemy jednomyślność.
Pierwszy fakt, który powinien wzbudzić nasze ździwienie, albo raczej powinienby był je wzbudzić, gdybyśmy nie byli doń tak bardzo przyzwyczajeni, polega na tym, że ogromna ilość ludzi nie rozumie matematyki. Skoro matematyka powołuje się jedynie na reguły logiczne, uznane przez wszystkie normalnie funkcjonujące umysły, skoro oczywistość jej jest oparta na zasadach wspólnych wszystkim ludziom, na zasadach, których nikt, o ile nie jest szaleńcem, nie może negować; — tedy czymże się dzieje, że istnieje tyle osób, dla których jest ona zgoła niedostępna?
Że nie każdy posiada zdolność pracy twórczej, niema w tym nic tajemniczego. Że nie wszyscy są w stanie zapamiętać dowodzenie, którego się niegdyś nauczyli, i z tym można się pogodzić. Ale żeby każdy nie mógł pojąć rozumowania matematycznego w chwili, kiedy mu je wykładają, — musi się nam wydać, gdy się nad tym zastanowimy, zgoła dziwnym. A przecież ludzie, którzy z trudem śledzą bieg takiego rozumowania, stanowią większość: nikt nie poda tego w wątpliwość, a i doświadczenie nauczycieli szkół średnich napewno nie zada temu kłamu.
Cowięcej: jakże to jest możliwe, żeby w matematyce popełniano błędy? Zdrowy umysł nie powinien popełniać błędów logiki, a jednak istnieją subtelne głowy, które, choć nie potkną się na krótkim rozumowaniu, jakie się wykonywa w zwykłych sprawach życiowych, przecież nie są zdolne śledzić lub powtórzyć bez błędu dowodzenia matematycznego, dłuższego wprawdzie, ale będącego w końcu jedynie nagromadzeniem drobnych rozumowań zupełnie analogicznych z temi, jakie przeprowadzają z taką łatwością. Czyż trzeba dodać, że i sami matematycy nie są nieomylni?
Jedna tylko, jak mi się zdaje, istnieje na te pytania odpowiedź. Wyobraźmy sobie długi szereg sylogizmów tak ustawionych, że wnioski pierwszych służą za przesłanki następnym: będziemy w stanie zrozumieć każdy z tych sylogizmów, i przechodząc od przesłanek do wniosków, nie narazimy się na zbłądzenie. Lecz między chwilą, kiedy po raz pierwszy napotykamy pewne twierdzenie, jako wniosek z sylogizmu, a chwilą, kiedy znowu je odnajdujemy, jako przesłankę innego sylogizmu, upłynie często dużo czasu, przesunie się wiele ogniw łańcucha; zdarzyć się przeto może, że twierdzenia tego zapomnimy; albo, cogorsza, że zapomnimy, co ono właściwie oznacza. Może się tedy zdarzyć, że zamiast niego weźmiemy inne twierdzenie, nieco różniące się od tamtego, albo że, zachowując dawne brzmienie, nadamy mu treść nieco odmienną, i w ten sposób narazimy się na błąd.
Matematykowi wypada często posługiwać się taką lub inną regułą; oczywiście zanim jej użył po raz pierwszy, dowiódł jej; i w momencie, gdy dowodzenie to tkwiło zupełnie naświeżo w jego pamięci, rozumiał doskonale jego treść i zakres, nie obawiał się, że je wypaczy lub skazi. W następstwie wszakże powierzył je swej pamięci, i stosuje je poprostu w sposób mechaniczny; i wówczas, jeżeli pamięć go zawiedzie, może je zastosować całkiem naopak. Tak np., że wezmę przykład prosty i niemal pospolity, robimy niekiedy błędy rachunkowe dlatego, że zapomnieliśmy tabliczki mnożenia.
Z tego stanowiska szczególne uzdolnienie do matematyki polegałoby na pewności pamięci lub na zdolności do niezwykłego natężania uwagi. Byłaby to zdolność podobna do zdolności gracza w wista, który pamięta, jakie karty już położono; albo, podnosząc się o stopień wyżej, do zdolności gracza w szachy, który potrafi objąć wielką ilość kombinacji i zachować je w pamięci. Każdy dobry matematyk powinienby być zarazem dobrym szachistą i odwrotnie; powinienby on również być dobrym rachmistrzem. Zapewne zdarza się to niekiedy, Gauss np. był jednocześnie gienialnym matematykiem i, za pacholęcych już lat, doskonałym rachmistrzem.
Ale istnieją wyjątki, albo raczej nie są to wyjątki, gdyż są one liczniejsze niż wypadki, odpowiadające regule. Gauss to był właśnie wyjątkiem. Co do mnie, to muszę wyznać, że jestem absolutnie niezdolny zrobić dodawania bez błędu. Byłbym również bardzo złym szachistą; wykalkulowałbym wprawdzie, że robiąc pewien ruch, narażam się na takie a takie niebezpieczeństwo; rozważyłbym kolejno wiele innych posunięć, które odrzuciłbym dla innych racji, i w końcu zrobiłbym posunięcie, nad którym zastanawiałem się już był poprzednio, gdyż tymczasem zapomniałbym o niebezpieczeństwie, które sam przewidziałem.
Słowem, mam pamięć niezłą ale niedostateczną, bym mógł się stać dobrym szachistą. Dlaczegóż nie zawodzi mnie ona wśród rozumowania matematycznego, gdzie zabłądziłaby większość szachistów? Oczywiście dlatego, że wspiera ją poczucie ogólnego biegu rozumowania. Dowodzenie matematyczne nie jest prostym kleceniem sylogizmów, są to sylogizmy, ustawione w pewnym porządku, i porządek, w jakim elementy te są umieszczone, jest daleko ważniejszy niż same te elementy. Jeżeli posiadam czucie, intuicję, że tak powiem, tego porządku, tak, iż obejmuję jednym rzutem oka całość rozumowania, nie mam czego obawiać się, że zapomnę jeden z elementów, każdy sam trafi do przygotowanej dlań ramy, nie wymagając ode mnie żadnego wysiłku pamięci.
Natenczas, kiedy powtarzam rozumowanie, którego się nauczyłem, mam wrażenie, że mógłbym je był sam wynaleźć; jestto często tylko złudzenie; ale nawet w takim razie, nawet jeśli nie jestem dość zdolny, by tworzyć sam, wynajduję je sam ponownie, w miarę tego jak je powtarzam.
Łatwo zrozumieć, że to poczucie, ta intuicja porządku matematycznego, która pozwala nam zgadywać ukryte harmonje i związki, nie może być udziałem każdego. Jedni nie będą posiadali ani tego subtelnego a trudnego do określenia poczucia, ani tej, przewyższającej średnią miarę, siły pamięci i uwagi, a przeto będą zupełnie niezdolni do rozumienia matematyki nieco wyższej; ci są najliczniejsi. Innym poczucie to będzie właściwe w stopniu słabym tylko, ale będą oni obdarzeni niepospolitą pamięcią i wielką zdolnością koncentracji uwagi. Nauczą się na pamięć jednych szczegółów za drugiemi, będą mogli rozumieć matematykę i niekiedy ją stosować, ale nie będą w stanie tworzyć. Inni wreszcie posiadać będą w mniejszym lub większym stopniu wspomnianą specjalną intuicję, i ci nietylko będą mogli rozumieć matematykę, nawet jeżeli nie są obdarzeni nadzwyczajną pamięcią, ale będą mogli stać się twórcami i próbować działalności wynalazczej z powodzeniem mniejszym lub większym, w zależności od stopnia rozwoju ich intuicji.
Czymże bo jest twórczość matematyczna? Nie polega ona na robieniu nowych kombinacji ze znanych już istot matematycznych. To mógłby robić pierwszy lepszy, ale kombinacje, któreby w ten sposób powstały, byłyby nieskończenie liczne, i większość z nich byłaby pozbawiona wszelkiego interesu. Twórczość polega właśnie na tym, by nie konstruować zbytecznych kombinacji, konstruować natomiast istotnie użyteczne, które stanowią nieznaczną mniejszość. Tworzyć — znaczy to rozróżniać, znaczy wybierać.
W tym wyborze za fakty matematyczne godne badania należy uznać te, które przez swe analogje z innemi faktami posiadają moc naprowadzania nas na poznanie praw matematycznych, podobnie jak fakty doświadczalne prowadzą nas do poznania prawa fizycznego. Są to fakty, które objawiają nam nieprzeczuwane z góry powinowactwa między innemi faktami, znanemi oddawna, ale niesłusznie uważanemi za wzajemnie sobie obce.
Pośród kombinacji, na których zatrzyma się nasz wybór, najpłodniejszemi będą często te, które utworzone zostały z elementów, zapożyczonych z dziedzin bardzo od siebie odległych; nie chcę przez to powiedzieć, że, aby tworzyć w matematyce, wystarczy zbliżyć do siebie dwa możliwie różne przedmioty; większość kombinacji, które by w ten sposób uformowano, byłaby całkowicie jałowa; ale niektóre, bardzo nieliczne, zpośród nich są najpłodniejsze ze wszystkich możliwych.
Tworzyć, jakem powiedział, to wybierać; być może jednak, że wyrażenie to nie jest zupełnie trafne, gdy nasuwa ono obraz kupującego, któremu przedstawiają mnóstwo próbek, i który ogląda je kolejno, by dokonać wyboru. Tutaj ilość próbek byłaby tak wielka, że nie starczyłoby całego życia na ich obejrzenie. W rzeczywistości wybór odbywa się inaczej. Jałowe kombinacje nie powstaną nawet w umyśle twórcy. W polu jego świadomości zjawiać się będą zawsze kombinacje istotnie użyteczne, i te nawet, które odrzuci, odznaczać się będą w pewnym stopniu cechami kombinacji użytecznych. Wygląda to tak, jakgdyby wynalazca był egzaminatorem drugiego stopnia, którego zadaniem jest ściślejsze przesłuchiwanie kandydatów, uznanych już po pierwszym egzaminie za dostatecznie uzdolnionych.
Wszystko, com powiedział powyżej, możnaby zaobserwować lub wywnioskować, czytając pisma matematyków, byle czytać je z dostateczną rozwagą.
Aby przeniknąć głębiej, trzeba zobaczyć, co się dzieje w samej duszy matematyka. W tym celu najlepiej zapewne będzie, jeśli wyłożę osobiste swe wspomnienia. Ograniczę się opowiedzeniem, jak napisałem moją pierwszą rozprawę o funkcjach fuchsowskich. Muszę z góry przeprosić za to, że użyję paru wyrażeń technicznych, ale nie powinny one odstraszyć czytelnika, gdyż nie ma on bynajmniej koniecznej potrzeby je rozumieć. Powiem, np., że znalazłem dowodzenie takiego a takiego twierdzenia, w takich a takich okolicznościach, twierdzenie to będzie miało barbarzyńską nazwę, której wielu czytelników nie będzie znało, lecz nie ma to żadnej wagi; interesującym dla psychologa jest nie twierdzenie lecz okoliczności.
Od dwu tygodni usiłowałem dowieść, że nie może istnieć żadna funkcja analogiczna z funkcjami, które później nazwałem fuchsowskiemi; wiedza moja była wówczas wielce ograniczona; co dnia siadałem do biurka, przepędzałem przy nim godzinę lub dwie, próbowałem wielkiej ilości kombinacji i nie dochodziłem do żadnych wyników. Pewnego wieczoru napiłem się, wbrew mym nawyknieniom, czarnej kawy i nie mogłem zasnąć; myśli rodziły się rojami; czułem, że się jak gdyby obijają jedne o drugie, aż dwie zahaczyły się o siebie i utworzyły trwałą kombinację. Rano ustanowiłem istnienie pewnej klasy funkcji fuchsowskich, tych mianowicie, które pochodzą od szeregu hypergieometrycznego; pozostawało mi tylko zredagowanie wyników, co zabrało nie więcej nad kilka godzin czasu.
Chciałem następnie przedstawić te funkcje przez iloraz dwu szeregów; pomysł ten był zupełnie świadomy i celowy; kierowałem się analogią z funkcjami eliptycznemi. Zadałem sobie pytanie, jakie powinnyby były być własności tych szeregów, gdyby one istniały, i doszedłem bez trudności do utworzenia szeregów, które nazwałem tetafuchsowskiemi.
W tym momencie opuściłem Caen, gdzie mieszkałem był wówczas, by wziąć udział w wycieczce gieologicznej, zorganizowanej przez Szkołę Górniczą. Perypetje podróży sprawiły, żem zapomniał o swych pracach matematycznych; po przybyciu do Coutances wsiedliśmy do omnibusu, aby udać się na jakiś spacer; w chwili, kiedy stawiałem nogę na stopniu, przyszło mi do głowy — chociaż nic w moich poprzedzających myślach nie zdawało się być do tego przygotowaniem — że przekształcenia, których użyłem dla definicji funkcji fuchsowskich, są identyczne z przekształceniami gieometrji nie-euklidesowej. Nie sprawdziłem tego; nie miałbym na to czasu, gdyż skoro tylko usiadłem w omnibusie, powróciłem do rozpoczętej poprzednio rozmowy — ale miałem odrazu całkowitą pewność, że tak jest. Po powrocie do Caen, z wypoczętą głową, poddałem ową myśl sprawdzeniu, dla spokoju sumienia.
Zająłem się następnie studjowaniem zagadnień arytmetycznych bez dużego napozór skutku, i nie podejrzewając, by miało to jakikolwiek związek z memi poprzedniemi badaniami. Zniechęcony niepowodzeniem, pojechałem przepędzić parę dni nad brzegiem morza i myślałem o czymś zupełnie innym. Pewnego dnia, gdym się przechadzał po skałach nadbrzeżnych, zjawiła mi się myśl — znowu tak krótka, nagła i nacechowana absolutną pewnością, — że przekształcenia arytmetyczne form kwadratowych trójkowych nieoznaczonych są identyczne z przekształceniami gieometrji nie-euklidesowej.
Powróciwszy do Caen zastanowiłem się nad tym wynikiem, i wyprowadziłem zeń pewne konsekwencje; przykład form kwadratowych wskazywał mi, że istnieją grupy fuchsowskie poza temi, które odpowiadają szeregowi hypergieometrycznemu; przekonałem się, że można do nich zastosować teorję szeregów tetafuchsowskich, i że przeto istnieją funkcje fuchsowskie odmienne od funkcji, wywodzących się z szeregu hypergieometrycznego, jedynych, które znałem przedtym. Oczywiście założyłem sobie znalezienie wszystkich tych funkcji; poddałem je systematycznemu oblężeniu i zdobywałem kolejno najbardziej wysunięte placówki; były przecież takie, które trzymały się jeszcze, i tych właśnie upadek pociągnąłby za sobą poddanie się głównej pozycji. Zrazu wszystkie moje wysiłki nie dały mi nic ponad lepszą znajomość trudności, jakie należało pokonać, co też było już coś warte. Cała ta praca odbywała się zupełnie świadomie.
Następnie pojechałem do Mont-Valérien, gdzie miałem odsłużyć wojskowość; zaprzątnięty więc byłem czymś zupełnie innym, niż poprzednio. Pewnego dnia, gdym przechodził przez bulwar, zjawiło się w moim umyśle rozwiązanie trudności, która mnie zatrzymywała. Nie próbowałem natychmiast głębiej się nad nim zastanowić, i dopiero po skończeniu terminu ćwiczeń wojskowych powróciłem do tej kwestji. Byłem w posiadaniu wszystkich elementów rozwiązania, pozostawało mi jedynie zebrać je i uporządkować. To też zredagowałem ostateczną swą rozprawę jednym tchem i bez trudu.
Ograniczę się tym jednym przykładem, niema bowiem celu je mnożyć; o innych moich badaniach musiałbym dać relacje zupełnie podobne do powyższej; a spostrzeżenia, podane przez innych matematyków w ankiecie miesięcznika »Enseignement Mathématique«, potwierdzają tylko moje uwagi.
Co uderza przede wszystkim, to te napozór nagłe olśnienia, jawne oznaki długiej poprzedzającej nieświadomej pracy; rola, jaką nieświadoma ta praca odgrywa w twórczości matematycznej, wydaje mi się bezsporną, ślady jej można odnaleźć w innych wypadkach, kiedy mniej rzuca się ona w oczy. Często się zdarza, że, kiedy pracujemy nad jakąś trudniejszą kwestją, za pierwszym razem nie dochodzimy do żadnych wyników; następnie urządzamy sobie krótszy lub dłuższy odpoczynek i znowu siadamy do stołu; w ciągu pierwszej pół godziny nie trafia się znowu nic ciekawego, poczym raptem zjawia się w umyśle idea decydująca. Powiedziećby można, że praca świadoma była bardziej owocna, dlatego że ją przerwano i odpoczynek wrócił umysłowi moc i świeżość. Ale prawdopodobniejsze jest, że odpoczynek był zapełniony nieświadomą pracą, i że wynik tej pracy objawił się później matematykowi zupełnie tak, jak to było w wypadkach, które opisałem; różnica polega jedynie na tym, że objawienie nie nastąpiło podczas przechadzki lub podróży, lecz zaszło w czasie świadomej pracy ale niezależnie od tej pracy, która odgrywa tutaj conajwyżej rolę wyładowywacza, jest jakgdyby ostrogą, pobudzającą osiągnięte podczas odpoczynku lecz nieuświadomione jeszcze rezultaty do przybrania postaci świadomej.
Inna jeszcze nasuwa się uwaga, dotycząca warunków tej nieświadomej pracy; oto, aby ona była możliwa, a w każdym razie, aby była płodna, trzeba koniecznie, żeby zarówno przed nią jak po niej istniał okres pracy świadomej. Nigdy — i przytoczone przezemnie przykłady dostatecznie tego dowodzą — nagłe te natchnienia nie występują inaczej jak po kilku dniach celowych wysiłków, które, jak się wydawało, były zupełnie bezpłodne, nie dały nic pozytywnego, biegły po błędnej drodze. Wysiłki te nie były wszakże, jak się później okazało, tak jałowe, wprawiły one w ruch nieświadomą maszynę, która bez nich nie potrafiłaby pracować i niczegoby nie wytworzyła.
Konieczność drugiego okresu pracy świadomej po natchnieniu łatwiej jeszcze jest zrozumiała. Trzeba wyzyskać wyniki jego natchnienia, wyprowadzić z nich bezpośrednie konsekwencje, uporządkować je, zredagować dowodzenia, ale, nadewszystko, trzeba je sprawdzić. Mówiłem o poczuciu bezwzględnej pewności, cechującym natchnienie; w przytoczonych wypadkach poczucie to nie było zwodnym, i tak też bywa najczęściej; nie należy wszakże sądzić, że jestto reguła bez wyjątku; często poczucie to pomimo całej swej żywości zawodzi, a przekonywamy się o tym wówczas, kiedy chcemy nadać dowodzeniu postać uporządkowaną i dostępną dla innych. Fakt ten obserwowałem zwłaszcza w stosunku do pomysłów, na które wpadałem rano lub wieczorem, leżąc w łóżku, w stanie półsennym.
Takie są fakty; a oto uwagi, jakie one rodzą. »Ja« nieświadome, czyli, jak się mówi, »ja« subliminalne, podświadome, odgrywa w twórczości matematycznej rolę kapitalną — wynika to z wszystkiego, cośmy powiedzieli. Ale zazwyczaj »ja« podświadome uważamy za czysto automatyczne. Otóż, jak widzieliśmy, praca automatyczna nie jest prostą pracą mechaniczną, nie można jej powierzyć maszynie, jakkolwiek wysokie byłoby jej udoskonalenie. Nie idzie tu tylko o stosowanie reguł, o fabrykowanie największych ilości możliwych kombinacji według pewnych praw stałych. Kombinacje, jakieby w ten sposób otrzymano, byłyby nadzwyczajnie liczne, bezużyteczne i zawadzające. Prawdziwa praca twórcy polega na dokonaniu zpośród tych kombinacji wyboru, rugującego rzeczy bezużyteczne, albo raczej na niezadawaniu sobie trudu fabrykowania ich. Reguły, które kierują tym wyborem, są niezmiernie subtelne i misterne, niepodobna niemal wyrazić ich w ścisłym wysłowieniu; czuje się je raczej, niż formułuje; jakżeby się wobec tego miało wyobrazić sobie sito, zdolne mechanicznie je stosować?
Nasuwa się tedy pierwsza hypoteza: »ja« podświadome nie jest bynajmniej niższe od »ja« świadomego; nie jest ono czysto automatyczne, zdolne jest rozróżniać, posiada takt i zręczność; umie wybierać, umie zgadywać. Więcej jeszcze: umie lepiej zgadywać niż »ja« świadome, gdyż powodzi mu się tam, gdzie to ostatnie spotkał zawód. Czyż więc »ja« podświadome nie jest wyższe nad »ja« świadome? Jasne jest, jakiej doniosłości jest to pytanie. Boutroux w niedawno wygłoszonym odczycie opowiedział, jak to samo pytanie wysunęło się w zupełnie innych sprawach, oraz jakie konsekwencje pociągnęłaby za sobą odpowiedź twierdząca. (Patrz również książkę tegoż autora p. t. »Nauka a Religja« str. 313 i następne).
Czy wyłożone przeze mnie fakty narzucają tę odpowiedź twierdzącą? Przyznam się, że co do mnie, na taką odpowiedź zgodziłbym się chyba z najżywszą niechęcią. Przyjrzyjmy się przeto raz jeszcze faktom i zastanówmy się, czy nie dałyby się one objąć innym wytłumaczeniem.
Pewne jest, że kombinacje, nasuwające się umysłowi w pewnego rodzaju olśnieniu, po dość długiej pracy nieświadomej, są naogół kombinacjami użytecznemi i płodnemi, zdają się być wytworami pierwotnie dokonanego doboru. Czy z tego wynika, że »ja« podświadome zgadło przez swą subtelną intuicję użyteczność tych kombinacji i utworzyło tylko te, czy też utworzyło wiele innych, pozbawionych interesu, i te pozostały nieuświadomionemi.
Gdyby słuszna była druga hypoteza, wszystkie kombinacje tworzyłyby się automatycznie w podświadomym »ja«, ale do pola świadomości docierałyby jedynie te, które przedstawiają pewien interes. I to przypuszczenie jest jeszcze nacechowane tajemniczością. Jaka to przyczyna sprawia, że wśród tysiąca wytworów naszej nieświadomej działalności umysłowej jedne są powołane do przekroczenia progu, podczas gdy inne pozostają przed nim? Czy nadanie tego przywileju jest sprawą czystego przypadku? Oczywiście, że nie; np. zpośród wszystkich podniet, działających na nasze zmysły, uwagę naszą przyciągną jedynie najsilniejsze, chyba, że inne skierują ją na nie przyczyny. Mówiąc ogólniej, uprzywilejowanemi wśród zjawisk nieświadomych, t. j. zdolnemi dotrzeć do świadomości, są te, które bezpośrednio lub pośrednio najmocniej zahaczają naszą wrażliwość.
Dziwne się może wyda powoływanie się na wrażliwość, gdy mówimy o twierdzeniach matematycznych, które zdawałoby się, wchodzą w zakres jedynie intelektu. Przypomnijmy tedy, że istnieje uczucie piękna matematycznego, harmonji liczb i kształtów, wytworności gieometrycznej. Jest ono prawdziwym uczuciem estetycznym, dobrze znanym wszystkim prawdziwym matematykom. I wkracza niewątpliwie w dziedzinę wrażliwości.
Owóż, jakie to istoty matematyczne posiadają dla nas owe cechy piękna i wytworności, zdolne są wywoływać pewnego rodzaju wzruszenie estetyczne? Te, których elementy rozłożone są harmonijnie, tak, iż umysł bez wysiłku obejmuje ich całość, przenikając zarazem szczegóły. Harmonja ta jest jednocześnie zadowoleniem naszych potrzeb estetycznych i pomocą dla umysłu, który podpiera i który prowadzi. Kładąc przed oczy całość, w której panuje ład, każe nam przeczuwać istnienie prawa matematycznego. A powiedzieliśmy wyżej, że jedynemi faktami matematycznemi, które zasługują na naszą uwagę i mogą się stać użytecznemi, są te, które mogą nam ujawnić jakieś prawo matematyczne. Dochodzimy tedy do następującego wniosku. Kombinacjami użytecznemi są właśnie kombinacje najpiękniejsze, to znaczy te, które zdolne są wywrzeć urok na ową szczególną wrażliwość, znaną wszystkim matematykom, a tak obcą profanom, że często, słysząc o niej, tłumić muszą uśmiech.
Cóż występuje natenczas? Śród bardzo wielkiej ilości kombinacji, które naślepo wytworzyło »ja« podświadome, niemal wszystkie są pozbawione interesu i bezużyteczne; ale tym samym nie działają one na naszą wrażliwość estetyczną; świadomość nigdy ich nie pozna; niektóre tylko są harmonijne a przeto są jednocześnie użyteczne i piękne, są one zdolne wzruszyć ową szczególną wrażliwość matematyka, której podrażnienie ściągnie na nie jego uwagę, i w ten sposób pozwoli im przejść do świadomości.
Jestto tylko hypoteza, wszelako następujące spostrzeżenie zdaje się ją potwierdzać: kiedy nagłe olśnienie opanuje umysł matematyka, najczęściej go ono nie zwodzi; ale zdarza się też niekiedy, że wyniki jego nie wytrzymują próby sprawdzenia, otóż prawie zawsze daje się zauważyć, że i ten chybiony pomysł, gdyby się okazał trafnym, odpowiadałby doskonale naszemu naturalnemu instynktowi wytworności matematycznej.
Tak więc wrażliwość estetyczna odgrywa rolę owego subtelnego sita, i dlatego ten, kto nie jest nią obdarzony, nie będzie nigdy prawdziwym twórcą.
Ale to nie rozstrzyga jeszcze bynajmniej wszystkich trudności; »ja« świadome jest wielce i ostro ograniczone; natomiast granic »ja« podświadomego nie znamy, i dlatego bez wielkiej odrazy skłonni jesteśmy przypuścić, że w ciągu krótkiego czasu może ono utworzyć więcej rozmaitych kombinacji, niż zmieścićby się mogło w całym żywocie świadomego człowieka. Jednakże granice te istnieją; czyż jest prawdopodobne, by było ono w stanie utworzyć wszystkie możliwe kombinacje w ilości takiej, że pomyślenie jej budzi lęk w wyobraźni? a przecież byłoby to niezbędne, albowiem, jeśli utworzy ono tylko małą część tych możliwych kombinacji, i jeśli zrobi to na chybi-trafi, to mało będzie szans, że kombinacja dobra, ta, którą trzeba właśnie wybrać, będzie się wśród nich znajdowała.
Wytłumaczenia trzeba, być może, szukać w owym okresie świadomej pracy wstępnej, poprzedzającej zawsze wszelką owocną pracę nieświadomą. Niechaj będzie mi wolno zrobić zgruba porównanie zmysłowe. Wyobraźmy sobie przyszłe elementy naszych kombinacji w postaci podobnej do haczykowatych atomów Epikura. Podczas zupełnego spoczynku umysłu atomy te są nieruchome, są one, że tak powiem, przyczepione do muru; zupełny spoczynek może trwać nieograniczenie, atomy te nie spotkają się ze sobą i przeto nie będą mogły utworzyć żadnej kombinacji.
Natomiast w ciągu okresu spoczynku pozornego a właściwie nieświadomej pracy, niektóre z nich odczepiają się od muru i zostają wprawione w ruch. Przebiegają przestrzeń — omal nie powiedziałem: pokój, w którym są zawarte — we wszystkich kierunkach, jakgdyby stanowiły rój komarów albo, jeśli kto woli porównanie bardziej uczone, jak molekuły gazowe z teorji kinetycznej gazów. Wzajemne ich zderzenia mogą natenczas tworzyć nowe kombinacje.
Jakaż jest rola wstępnej świadomej pracy? Polega ona oczywiście na uruchomieniu niektórych z tych atomów, na odczepieniu ich od muru i rozkołysaniu. Badaczowi wydaje się, że nie zrobił nic pozytywnego, bo mieszał elementy na tysiąc różnych sposobów, próbując je ułożyć, i nie zdołał znaleźć zadawalającego układu. Aliści po tym poruszeniu, narzuconym im przez naszą wolę, atomy nie powracają do stanu pierwotnego spoczynku. Kontynuują swobodnie swój taniec.
Owóż nasza wola nie wybrała tych atomów na chybi-trafi; kierowała się doskonale określonym celem; uruchomione atomy nie są tedy jakiemikolwiek atomami; są to te, po których można się zasadnie spodziewać, że dadzą poszukiwane rozwiązanie. Uruchomione atomy będą się w swym biegu uderzały wzajem o siebie, oraz o inne, jeszcze nieruchome, o ile o nie zawadzą. Raz jeszcze radbym przeprosić za moje nieokrzesane porównanie; ale nie wiem doprawdy, jakbym potrafił inaczej opowiedzieć myśl moją.
Tak czy owak, jedynemi kombinacjami, które mają szanse utworzenia się, są te, w których conajmniej jeden z elementów jest jednym zpośród atomów, świadomie obranych przez naszą wolę. A jasne jest, że wśród tych właśnie kombinacji znajduje się ta, którą powyżej nazwałem »dobrą kombinacją«. Ta okoliczność łagodzi w znacznej mierze paradoksalność hypotezy pierwotnej.
Inna uwaga. Nie zdarza się nigdy, żeby nieświadoma praca dostarczała nam gotowego rezultatu nieco dłuższego rachunku, który polega jedynie na stosowaniu stałych reguł. Możnaby mniemać, że »ja« podświadome, jako całkiem automatyczne, szczególnie powinnoby być zdolne wykonywać tego rodzaju poniekąd czysto mechaniczną pracę. Zdawałoby się, że, pomyślawszy sobie wieczorem czynniki mnożenia, należy się spodziewać, że, budząc się rano, będziemy mieli gotowy iloczyn, albo też, że można wykonać nieświadomie rachunek algiebraiczny, rachunek sprawdzenia naprzykład. Tymczasem doświadczenie dowodzi, że niema nic podobnego. Natchnienia, owoc owej nieświadomej pracy, nie mogą dać nic ponad punkty wyjścia dla podobnych rachunków; same zaś rachunki muszą być wykonane w ciągu drugiego okresu pracy świadomej, który następuje po natchnieniu, kiedy to sprawdza się wyniki tego natchnienia i wyprowadza z nich konsekwencje. Reguły tych rachunków ścisłe są i zawiłe; wymagają one dyscypliny, uwagi, woli a przeto świadomości. Natomiast w »ja« podświadomym sprawuje rządy wolność, gdyby można było dać tę nazwę prostemu brakowi dyscypliny i bezładowi, zrodzonemu przez przypadek. A ten właśnie bezład pozwala na tworzenie się niespodzianych skojarzeń.
Jedną jeszcze, ostatnią, zrobię uwagę: przytaczając powyżej parę osobistych spostrzeżeń, mówiłem o spędzonej bezsennie nocy, podczas której naskutek podniecenia pracowałem jakgdyby mimowoli; wypadki takie są częste i nie jest konieczne, by anormalna działalność umysłowa była wywołana, jak podówczas u mnie, podniecającym środkiem fizycznym. Otóż wygląda to tak, jakgdybyśmy w takich wypadkach byli świadkami swojej własnej nieświadomej pracy, która stała się częściowo dostrzegalna dla naszej podnieconej świadomości, nie zmieniając wszakże przytym nic ze swej natury. Pozwala to nam zdać sobie jako tako sprawę z różnic zachodzących między obu mechanizmami, lub, jeśli kto woli, między metodami pracy obu »ja«. Jakoż spostrzeżenia psychologiczne, które w ten sposób poczyniłem, potwierdzają jak mi się zdaje, w głównych zarysach sformułowane przeze mnie powyżej poglądy.
A poglądy te, zaiste, potrzebują takich potwierdzeń, gdyż, pomimo wszystko, są one i pozostają bardzo hypotetycznemi: jednakże interes, jaki poruszona kwestja przedstawia, jest tak wielki, że nie żałuję, iż podzieliłem się niemi z czytelnikiem.
