Wikiźródła

Pojęcia i metody matematyki/Wstęp/System Matematyki

< Pojęcia i metody matematyki‎ | Wstęp
<<< Dane tekstu >>>
Autor Samuel Dickstein
Tytuł System Matematyki
Pochodzenie Pojęcia i metody matematyki / Wstęp
Wydawca Wydawnictwo Redakcyi „Prac matematyczno-fizycznych“
Data wyd. 1891
Druk Drukarnia J. Sikorskiego
Miejsce wyd. Warszawa
Źródło Skany na Commons
Inne Wstęp całość
Indeks stron
›››


4. SYSTEM MATEMATYKI.

 System wiedzy matematycznéj dzieli się na Matematykę czystą i stosowaną.
 Przedmiotem Matematyki czystéj jest badanie form, należących do pierwszych dwóch typów, o których mówiliśmy w art. 1., a więc form liczbowych i geometrycznych; przedmiotem Matematyki stosowanéj są formy trzeciego typu, t. j. formy matematyczne, utworzone przy badaniu zjawisk. Nazwa Matematyki stosowanéj pochodzi stąd, że badanie form do niéj należących sprowadza się, jak to już powiedzieliśmy, do badania form liczbowych i geometrycznych.
 Do Matematyki czystéj należałoby tym sposobem zaliczyć Arytmetykę, Algebrę, Rachunek wyższy czyli Analizę i Geometryą ze wszystkiemi ich rozgałęzieniami; do Matematyki stosowanéj — Mechanikę i Fizykę matematyczną[1].
 Podział Matematyki na czystą i stosowaną nie daje się wszakże przeprowadzić z całą ścisłością, zależy bowiem od poglądu na podstawy Matematyki i nauk realnych oraz od danego rozwoju wiedzy.
 W saméj rzeczy można z Mechaniki wyłączyć Foronomią lub Cynematykę, t.j. naukę o ruchu samym w sobie, bez względu na siły działające, i zaliczyć ją do Matematyki czystéj; z drugiéj zaś strony można Mechanikę wraz z Fizyką matematyczną, jak to czynią niektórzy, zaliczyć do nauk realnych, czyli doświadczalnych, na téj zasadzie, że nauki te mają z naukami fizycznemi, oprócz głównego celu, jakim jest badanie zjawisk, to wspólnego, że opierają się na pewnikach, uważanych za podstawy nauk doświadczalnych. I Geometrya też, ponieważ ma do czynienia z formami, urobionemi przy pomocy abstrakcyi z przedmiotów świata zewnętrznego i opiera się także na pewnikach, zaliczaną bywa niekiedy do Matematyki stosowanéj, a nawet do nauk doświadczalnych, na równi z Mechaniką.
 Pogląd podobny znaleźć można u Newtona, w którego wiekopomném dziele[2] czytamy, że Geometrya ma swoją podstawę w Mechanice praktycznéj i jest częścią Mechaniki ogólnéj, która podaje i uzasadnia sztukę dokładnego mierzenia. Gauss[3] jest zdania, że nauka o przestrzeni zajmuje zupełnie inne stanowisko względem wiedzy naszéj o prawdach, rozumiejących się same przez się, aniżeli czysta Matematyka; brak w niéj bowiem tego zupełnego przekonania o konieczności tych prawd, a zatvm o ich bezwzględnéj prawdziwości, która jest właściwością drugiéj; “z pokorą wyznać musimy, powiada Gauss, że jeżeli liczba jest czystym produktem naszego ducha, to przestrzeń zewnątrz nas posiada swą rzeczywistość, któréj my praw a priori przypisywać nie możemy„.
 Wiemy już, że i Grassmann podziela ten pogląd. “Pojęcie przestrzeni, twierdzi on, nie może być wytworzone przez samo myślenie; przeciwnie, przeciwstawia się ono myśleniu, jako coś danego. Ktoby chciał twierdzić przeciwnie, musiałby przedewszystkiém uzasadnić konieczność trzech wymiarów przestrzeni przy pomocy czystych praw myślenia„. Stanowisko Geometryi względem nauki o formach czyli Matematyki czystéj zależy, według Grassmanna, od stosunku, w jakim poglądowość przestrzeni jest do czystego myślenia; toż samo odnosi się do czasu i do ruchu w przestrzeni i dlatego to Geometryą, Forometryą [Foronomią] i Mechanikę uważa on za zastosowania czystéj nauki o formach do zasadniczych “poglądowości„ [Anschauungen] świata zewnętrznego[4].
 Powiedzieliśmy już, że główna różnica, jaką upatrują wymienieni uczeni pomiędzy Matematyką czystą a stosowaną, polega na tém, iż pierwsza nie potrzebuje żadnych pewników i rozwija się zupełnie samodzielnie przy pomocy czystego myślenia; druga zaś przeciwnie opiera się na pewnikach, które umysł przy pomocy indukcyi ze zjawisk świata zewnętrznego wnosi do jéj dziedziny. Rozstrzygnięcie pytania, która z nauk jest czystą, która zaś stosowaną, sprowadza się zatém do pytania z Teoryi poznania o podstawach wiedzy ścisłéj w ogólności. Rozbiór tego pytania nie może wchodzić w zakres naszéj pracy; dla naszego celu wystarczy jasne wskazanie stanowiska, z jakiego zapatrujemy się na zadania Matematyki. Wyraziliśmy to już na końcu artykułu 1., tu dodamy jeszcze, że wszelka wiedza teoretyczna opierać się musi na pewnych faktach zasadniczych, bez względu na to, czy fakty te są rezultatem indukcyi, czy też są założeniami umówionemi, na wzór wyników indukcyi urobionemi lub uogólnionemi, i na mocy pewnych definicyj formalnych do nauki wprowadzonemi. Rozumie się samo przez się, że założenia, stanowiące podstawę nauki, nie powinny pozostawać z sobą w sprzeczności. Jeżeli te założenia wraz z definicyami form, do dziedziny nauki należących, wystarczają, aby, przy pomocy działań i konstrukcyj czysto matematycznych i wnioskowań logicznych, zbudować umiejętność, bez potrzeby jakiegokolwiek zasiłku z zewnątrz; jeżeli formy i działania zdolne są do uogólnień, nauka jest czystą, w razie przeciwnym jest stosowaną. Wynika stąd, że nauka ze stosowanéj może się stać czystą, jeżeli w rozwoju swym to, co do formy i treści jest rzeczywistém, zastępuje warunkami formalnemi.
 Możemy przeto Geometryą zaliczyć do nauki czystéj, bo przyjąwszy raz pewien układ pewników, budujemy tę naukę przy pomocy konstrukcyj matematycznych na formach, wprowadzonych za pomocą definicyj. Tak pewniki jak i formy geometryczne zdolne są do uogólnień, które doprowadzają do innych gatunków Geometryi, opierających się na układzie pewników, różnym od układu euklidesowego, wreszcie do ogólnej nauki o rozmaitościach, która jest właściwie tém, w czém Grassmann widzi Matematykę czystą. Główna różnica między tym poglądem a Grassmanowskim polega na tém, że to, co według naszego rozumienia stanowi jeden z przypadków szczególnych nauki czystéj, u niego stanowi naukę stosowaną.
 Toż samo powiedzieć można o Mechanice, jako nauce o ruchu ciał przyrody, opierającéj się również na pewnikach. Można Mechanikę uważać za naukę ruchu form geometrycznych, a układ jéj pewników za układ założeń, w takim razie Mechanikę zaliczyć wolno do Matematyki czystéj. Stosuje się to przedewszystkiém do części Mechaniki, zwanéj Foronomią lub Cynematyką, której przedmiotem, jak to powiedzieliśmy wyżéj, jest ruch ciał pomyślanych w przestrzeni, bez uwagi na siły. Można i tę gałąź Mechaniki uogólnić, zastępując formę przestrzeni, w której ruch się odbywa ogólniejszą formą rozmaitościową. Jeżeli zaś w Mechanice opieramy się na pewnikach, uważanych za wynik indukcyi z doświadczenia albo za prawa natury, i w dalszém budowaniu umiejętności odwołujemy się do faktów doświadczalnych, Mechanika będzie nauką stosowaną.
 Tym sposobem Matematykę czystą składają następujące nauki:

 1. Arytmetyka, Algebra i Rachunek wyższy, które Wroński obejmuje jedną nazwą ogólną Algorytmii[5].
 2. Geometrya,
 3. Foronomia czyli Cynematyka.

 Można z innego punktu widzenia ustanowić klasyfikacyą Matematyki czystéj. Wiemy, że formy matematyczne [art. 3.] są przerywane i ciągłe, mamy więc Matematykę form przerywanych, nieciągłych lub uważanych bez względu na ciągłość, oraz Matematykę form ciągłych. Do pierwszéj z nich należałoby zaliczyć Arytmetykę, Algebrę i tę część Geometryi, którą można rozwinąć bez potrzeby uważania ciągłości; do drugiéj Rachunek wyższy i Geometryą układów ciągłych wraz z Foronomią[6].
 Podział ten przyjmujemy w niniejszéj książce, przyczém w pierwszym tomie zajmiemy się pojęciami i metodami Arytmetyki i Algebry, drugi poświęcimy Analizie, Geometryą zaś, jako mającą swoje odrębne metody, oraz Cynematyką zajmiemy się w tomie trzecim.





  1. ↑ Do systemu wiedzy matematycznéj należy Rachunek prawdopodobieństwa, nie wymieniony wyraźnie w tekście. Nauka ta, będąca według wyrażenia Laplace’a “zdrowym rozsądkiem sprowadzonym do rachunku„, według Wrońskiego “teoryą prawa teleologicznego, jakie rządzi przypadkiem„ [loi téléologique du hasard], ze względu na metodę swoją należy do Algebry i Analizy, ze względu na pojęcie zasadnicze prawdopodobieństwa do Teoryi poznania i do Logiki, ze względu wreszcie na zastosowania do różnych gałęzi wiedzy może być zaliczoną do Matematyki stosowanéj. Teorya prawdopodobieństwa jest dotąd więcéj wyrobioną pod względem metod matematycznych, aniżeli pod względem teoretyczno-poznawczym.
  2. ↑ Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica. Przedmowa. Przekład niemiecki Wolfersa, 1872, str. 1.
  3. ↑ Gauss w liście do Bessela w r. 1829. Porówn.: Kronecker, Ueber den Zahlbegriff [Journal für die reine und angewandte Mathematik, CI, str. 339].
  4. ↑ Grassmann, Ausdehnungslehre, str. XXIII.
  5. ↑ Wroński, Introduction i t. d. str. 464 i następne, dzieli tak Algorytmią jak i Geometryą na dwie gałęzie: Teoryą i Technią. Teoryą nazywa on ogół twierdzeń, czyli podań, mających za przedmiot naturę ilości, t.j. form matematycznych, Technią — ogół metod, które on nazywa podaniami, odnoszącemi się do mierzenia tychże form. Mamy więc Teoryą i Technią Algorytmii oraz Teoryą i Technią Geometryi. Dalszy podział każdéj z tych części oparty jest na istocie działań matematycznych, a mianowicie. jeżeli Teorya i Technia używają tylko działań elementarnych, noszą nazwę Teoryi i Technii elementarnéj; jeżeli używają “systemów„ działań elementarnych, noszą nazwę Teoryi i Technii systematycznéj. Prócz tego tak Teorya i Technia mogą się odnosić już to do powstawania [génération] form matematycznych, już to do ich związków wzajemnych, do ich porównania [comparaison]; stąd wynika dalsze rozczłonkowanie systemu Matematyki. Cały swój system przedstawił Wroński na wielkiéj tablicy “architektonicznéj„, dołączonéj do swego dzieła, i uzasadnił go szczegółowo w tekscie. Wrońskiemu też wspólnie z Kantem i Cantorem przypada zasługa wprowadzenia Foronomii do systemu Matematyki czystéj; patrz jego dzieło Sept manuscrits i t. d. Porówn. S. Dickstein, Foronomia Wrońskiego [Rocznik Towarzystwa Przyjaciół Nauk w Poznaniu, XVII, 1890.].
  6. ↑ Arytmetyka i Algebra obie zajmują się liczbami; obu podstawą jest teorya działań, dziedziny ich wzajemnie się krzyżują. W znaczeniu ściślejszém pod nazwą Arytmetyki rozumiemy Teoryą liczb, to jest naukę o liczbach całkowitych, o funkcyach, za pomocą skończonej liczby działań elementarnych utworzonych a takie liczby przedstawiających, i w ogóle o układach czyli ciałach liczbowych, za pomocą podobnych funkcyj określonych; przyczém pod nazwą liczb całkowitych rozumiemy nie tylko liczby całkowite rzeczywiste [Teorya liczb zwyczajna] ale i liczby całkowite urojone, idealne, ideały. Główném zadaniem Algebry jest ogólne badanie funkcyj, zbudowanych za pomocą skończonéj liczby działań zasadniczych, równań, z takich funkcyj utworzonych, i liczb oraz ogólniéj fuukcyj, przez takie równania określonych. Lecz gdy badania arytmetyczne są przywiązane niejako do stałego układu liczb określonéj natury, badania algebraiczne, przeciwnie, są prowadzone bez względu na podobny układ; pierwsze są specyalne, drugie ogólne, skąd płynie różnica metod w obu naukach, którą Wroński charakteryzuje, nazywając metody Teoryi liczb teleologicznemi [celowemi]. Według pomysłów, które obecnie rozwija Kronecker, cała treść badań algebraicznych powinna dać się “zarytmetyzować„, t.j. Algebra zamienić na Arytmetykę czyli Teoryą liczb. Tym sposobem obie nauki, wyszedłszy z jednéj podstawy i rozwijając każda swe metody, złączyłyby się we wspólnych pojęciach i metodach. We właściwém miejscu rzecz tę szczegółowo przedstawimy. Ważne metody Algebry, które rozwinęły się nawet w samodzielne gałęzie, mianowicie: Teorya podstawień i grup, Teorya przekształceń i niezmienników, stanowią tak nazwaną Algebrę nową. Jeszcze ogólniejsze formy i za pomocą ogólniejszych metod bada Rachunek wyższy czyli Analiza. Funkcye, któremi się ta gałąź Matematyki zajmuje, nie są pod względem tworzenia swego ograniczone do skończonéj liczby działań elementarnych, a główném narzędziem badania są tu pojęcia graniczne czyli nieskończonościowe, do których zalicza się także pojęcie ciągłości, zbieżności i t. d. Można Rachunek wyższy nazwać Teoryą funkcyj matematycznych, najogólniej uważanych. Analiza ma oczywiście wiele punktów wspólnych z Algebrą, i wogóle wszystkie trzy nauki: Arytmetyka, Algebra i Analiza, stanowią właściwie jednę tylko umiejętność, w której formy matematyczne badamy z różnych stanowisk, i, co za tém idzie, przy pomocy różnych narzędzi. Słusznie przeto wszystkie je połączył Wroński jedną nazwą Algorytmii.
     Przedmiot nauk, nazywanych w szkole Arytmetyką i Algebrą, stanowi zbiór wiadomości elementarnych z trzech dziedzin powyższych. Arytmetyka elementarna obejmuje naukę czterech działań nad liczbami całkowitemi i ułamkami, przedstawionemi w dziesiętnym układzie liczenia wraz z zastosowaniami do zadań praktycznych. Algebra elementarna obejmuje naukę o liczbach ujemnych, elementy teoryi funkcyj całkowitych i rozwiązywania równań algebraicznych oraz teoryą kombinacyi, z analizy zaś przejmuje elementarną teoryą postępów geometrycznych nieskończonych i teoryą logarytmów.
     Aby dać wyobrażenie o bogatym rozwoju dzisiejszéj Matematyki, przedstawiamy tu tytuły działów i poddziałów, na jakie dzielą się sprawozdania o postępie Matematyki czystéj, podawane w specyalném czasopismie Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, według XIX-go rocznika tego pisma:
        I.   Historya i Filozofia Matematyki.
       II.   Algebra.
    1.   Równania. Teorya ogólna. Równania algebraiczne szczególne.
    2.   Teorya form.
    3.   Eliminacya i podstawienia. Wyznaczniki i funkcye symetryczne.
      III.   Arytmetyka niższa i wyższa.
    1.   Arytmetyka niższa.
    2.   Teorya liczb.
    a)   Rzeczy ogólne.
    b)   Teorya form.
    c)   Teorya ułamków ciągłych.
      IV.   Rachunek prawdopodobieństwu. Nauka o kombinacyach,
       V.   Szeregi.
    a)   Rzeczy ogólne.
    b)   Szeregi szczególne.
      VI.   Rachunek różniczkowy i całkowy.
    1.   Rzeczy ogólne.
    2.   Rachunek różniczkowy [Różniczki, funkcye różniczek, maksyma i minima].
    3.   Rachunek całkowy.
    4.   Całki określone.
    5.   Równania różniczkowe zwyczajne.
    6.   Równania różniczkowe cząstkowe.
    7.   Rachunek waryacyjny.
     VII.   Teorya funkcyj.
    1.   Rzeczy ogólne.
    2.   Funkcye szczególne.
    a)   Funkcye elementarne.
    b)   Funkcye eliptyczne.
    c)   Funkcye hypereliptyczne, Abelowe i t. p.
    d)   Funkcye kuliste i t. p.
    VIII.   Geometrya czysta, elementarna i syntetyczna.
    1.   Zasady Geometryi,
    2.   Badania w dziedzinie ciągłości.
    3.   Geometrya elementarna. (Planimetrya , Trygonometrya, Stereometrya].
    4.   Geometrya wykreślna.
    5.   Geometrya nowa syntetyczna.
    a)   Rzeczy ogólne.
    b)   Utwory płaskie szczególne.
    c)   Utwory przestrzenne szczególne.
    d)   Geometrya licząca.
      IX.   Geometrya analityczna.
    1.   Współrzędne.
    2.   Geometrya płaska.
    a)   Ogólna teorya krzywych płaskich.
    b)   Teorya krzywych algebraicznych.
    c)   Proste i stożkowe.
    d)   Inne krzywe specyalne.
    3.   Geometrya analityczna przestrzeni.
    a)   Ogólna teorya powierzchni i krzywych w przestrzeni.
    b)   Teorya powierzchni i krzywych algebraicznych
    c)   Utwory przestrzenne 1-go, 2-go, 3-go stopnia.
    d)   Inne specyalne utwory przestrzenne.
    4.   Geometrya liniowa [kompleksy, układy promieni].
    5.   Pokrewieństwo, przekształcenia liniowe, odwzorowania.
    a)   Pokrewieństwo, przeksztalcenie liniowe i odwzorowanie.
    b)   Odwzorowanie podobne [conforme Abbildung].

     Wundt, Ueber die Eintheilung der Wissenschaften, [Philosophische Studien, 1888, str. 1—55] przedstawia nauki matematyczne w następującym systemie:

    I. Nauki matematyczne ogólne.
    A) Nauka form ilościowych: Nauka o wielkościach. B) Nauka form jakościowych: Teorya rozmaitości.
    1. Nauki o działaniach nad wielkościami: Algebra.
    2. Teorya związków pomiędzy wielkościami: Teorya funkcyj.

    II. Nauki matematyczne specyalne.
    A) Nauka o liczbach. B) Nauka o przestrzeni:
    1. Nauka o działaniach nad liczbami. 1. Geometrya syntetyczna: Nauka o powstawaniu form przestrzennych z elementów.
    2. Teorya liczb: Nauka o liczbach i związkach pomiędzy niemi. 2. Geometrya analityczna: Teorya zastosowania pojęć wielkościowych do utworów przestrzennych.
    C) Nauka o ruchu.
    1. Cynematyka syntetyczna: Nauka o składaniu ruchów.
    2. Cynematyka analityczna: Zastosowanie ogólnych pojęć wielkościowych do zagadnień ruchu

     Porówn. uwagi nad tym systemem w artykule S. Dicksteina, O najnowszych próbach klasyfikacyi nauk. [Ateneum, 1889, I, str. 266 i dalsze.].






Tekst jest własnością publiczną (public domain). Szczegóły licencji na stronie autora: Samuel Dickstein.
Źródło: „https://pl.wikisource.org/w/index.php?title=Pojęcia_i_metody_matematyki/Wstęp/System_Matematyki&oldid=3281085”