Pojęcia i metody matematyki/Wstęp/Formy przerywane i ciągłe
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Formy przerywane i ciągłe |
| Pochodzenie | Pojęcia i metody matematyki / Wstęp |
| Wydawca | Wydawnictwo Redakcyi „Prac matematyczno-fizycznych“ |
| Data wyd. | 1891 |
| Druk | Drukarnia J. Sikorskiego |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Źródło | Skany na Commons |
| Inne | Wstęp całość |
| Indeks stron | |
Formy matematyczne dzielą się na przerywane i ciągłe. Przykładem pierwszych jest układ liczb całkowitych, szereg punktów, pomyślanych dowolnie na prostéj, płaszczyznie lub w przestrzeni; jako przykład drugich służyć mogą: continuum liczb, linie, powierzchnia, przestrzeń geometryczna, czas.
Pragnąc określić ciągłość, natrafiamy na wielkie trudności. Kant[1] nazywa ciągłością tę własność wielkości, mocą któréj żadna jéj część nie jest najmniejszą możliwą. “Czas i przestrzeń są ciągłemi, bo nie może być dana żadna ich część, ktoraby nie dała się zamknąć pomiędzy dwiema granicami [punktami lub chwilami], tak że częścią przestrzeni jest znowu przestrzeń, częścią czasu — czas„.
Właściwie mówiąc, ciągłość np. linii sprowadza się do tego, że między każdemi, dowolnie pomyślanemi, punktami na niéj można pomyśleć sobie punkt trzeci. Czy przestrzeń, objektywnie uważana jako podścielisko zjawisk fizycznych, jest w istocie rzeczy ciągłą w tém znaczeniu, tego doświadczeniem rozstrzygnąć nie można. Można najwyżéj uważać to za postulat, który nam umożliwia wszelkie pomyślane konstrukcye. G. Cantor[2] utrzymuje, że ciągłość przestrzeni polega na tém, iż każdy punkt, którego współrzędne x, y, z względem pewnego układu dane są w liczbach rzeczywistych, wymiernych lub niewymiernych, uważa się jako istotnie do przestrzeni należący. “Do podobnego uważania nie ma wszakże wewnętrznego musu, stanowi ono akt wolny działalności konstrukcyjnéj naszego umysłu„. Hypoteza ciągłości przestrzeni jest, wedlug Cantora, jedynie dowolném założeniem o zupełnéj jednoznacznéj odpowiedniości między czysto arytmetyczném continuum (x, y, z) a przestrzenią, będącą podstawą świata zjawisk. Ta swoboda umysłu sięga nawet tak daleko, że można utworzyć pojęcie przestrzeni nieciągłej, w któréj ruch odbywa się sposobem ciągłym.
Toż samo utrzymuje Dedekind[3], według którego ciągłość przestrzeni nie jest wcale konieczną podstawą geometryi, bo w niéj nigdzie nic bywa należycie wyjaśnianą. Jeżeli obierzemy sobie, twierdzi Dedekind, trzy punkty dowolne A, B, C, nie leżące na jednéj prostéj, z tém tylko ograniczeniem, aby stosunki ich odległości AB, AC, BC były liczbami algebraicznemi, i będziemy uważali za istniejące w przestrzeni tylko te punkty M, dla których stosunki AM, BM, CM do AB wyrażają się również liczbami algebraicznemi; wtedy przestrzeń, złożona z punktów M, będzie oczywiście nieciągłą, i pomimo téj nieciągłości, koustrukcye, które uskutecznia w niéj geometrya elementarna, dadzą się zupełnie wykonać tak samo, jak w przestrzeni ciągłéj.
Tak jest bezwątpienia. Zachodzi tylko pytanie, czy porównywanie stosunków odległości nie wymaga w istocie rzeczy ukrytego przyjęcia pewnych form ciągłych i czy wogóle ta nieciągłość przestrzeni da się pojąć czy wyobrazić bez pewnéj rozmaitości ciągłéj? W każdym razie, usuwając tę ciągłość z przestrzeni, Cantor i Dedekind wprowadzają ją do układu liczb. Podobny pogląd wygłaszają i niektórzy filozofowie. “Ciągłość, powiada Cohen[4], jest ogólną, podstawą samowiedzy, walnym warunkiem myślenia, którego działalność okazuje się w ciągłości [nieskończonéj podzielności] przestrzeni, lecz przedewszystkiém w téj dziedzinie matematycznéj, która jest najbliższą ogólnego myślenia, a więc nauce o liczbie„.
Inni uczeni są przeciwnego zdania. Twierdzą oni, że ciągłość spoczywa przedewszystkiém w formach geometrycznych, w przestrzeni. W błędzie jest Dedekind, powiada A. Fick[5], jeżeli nie w Geometryi, lecz w dziedzinie liczb szuka ciągłości. “Ciągłość nie może nigdy leżeć w akcie liczenia, ani z liczenia powstać; szukać jéj należy tylko w wyobrażeniu przedmiotów liczonych„.
Przeciwieństwo tych poglądów polega na różnicy zasad teoretyczno-poznawczych wiedzy ludzkiéj w ogólności; w Matematyce saméj nie stanowi ono przeszkody w rozwoju jéj pojęć. W Geometryi trudność, tkwiąca w pojęciu ciągłości, nie występuje wyraźnie; rozpoczyna się ona właściwie dopiero wtedy, gdy idzie o stosowanie analizy do badań geometrycznych, oraz Matematyki wogóle do badań fizykalnych. Uniknąć tego pojęcia niepodobna; usunięte z przestrzeni zjawia się ono w układzie liczb i odwrotnie. Układ liczb całkowitych okazuje się niewystarczającym do opisu form wszystkich; “sieć Arytmetyki„ jak się dosadnie wyraża Wernicke[6], ma początkowo za wielkie oka„, aby mogła pochwycić twory świata zewnętrznego. Umysł ludzki rozpoczyna przeto pracę twórczą nad zagęszczeniem téj sieci: wprowadza kolejno ułamki, liczby niewymierne i przestępne i wznosi się do pojęcia continuum. Te to właśnie zagadnienia czynią konieczném wprowadzenie pojęcia ciągłości form na zasadzie ścisłego określenia, którego należy pilnować się na wszystkich stopniach rozumowania. Przedmiot ten we właściwém miejscu będzie należycie wyjaśniony; tu powiemy tylko, że jest niezmiernie ważném staranne oddzielenie tych prawd, dla uzasadnienia których nie jest konieczném wyraźnie pojęcie ciągłości, od twierdzeń, które jedynie przy pomocy ciągłości uzasadnić się dadzą. Na punkt ten w wywodach naszych szczególną zwracać będziemy uwagę.
Powiemy jeszcze, w jaki sposób wprowadza Grassmann pojęcie ciągłości do swojego wykładu Matematyki. Formy matematyczne, stanowiące przedmiot nauki Grassmannowskiej, którą nazwał nauką rozciągłości [Ausdehnungslehre], są, to formy rozciągłe, wielowymiarowe i ciągłe, które wszakże nie mają być poglądowemi, jak formy przestrzenne, lecz “czysto myślowemi„. To też usiłuje Grassmann nadać swym formom ciągłość na podstawie określenia, które brzmi w ten sposób[7]: “Każda forma myślowa staje się w sposób dwojaki: albo przez prosty akt jéj tworzenia [Erzeugen], albo przez akt podwójny postawienia [Setzen] i połączenia [Verknüpfen]; forma, powstała pierwszym sposobem, nazywa się ciągłą, powstała drugim — przerywaną„. Przeciwieństwo wszakże tych dwóch rodzajów form nie jest, według niego, stanowcze: forma bowiem przerywana może być uważaną za ciągłą i odwrotnie. I tak, jeżeli to, co łączymy w formę, uważamy w myśli, jako stawające się, a sam akt łączenia za moment stawania się, forma przerywana może być poczytana za ciągłą. Jeżeli, przeciwnie, pojedyńcze momenty stawania się uważać będziemy za akty łączenia, to forma ciągła może być poczytana za przerywaną.
Nie wiem, czy czytelnika zadowolni to kunsztowne określenie ciągłości. Bezwątpienia dostrzeże on w niém pozorne ominięcie tylko tych samych trudności, które napotykamy, chcąc określić bezpośrednio utwory przestrzenne ciągłe. Pokazuje to wyraźnie, że zagadnienie o ciągłości, obok swéj trudności czysto-matematycznéj, którą, tylko, jak to zobaczymy, za pomocą analizy zwalczyć można, posiada ważne znaczenie dla Teoryi poznania w ogólności.
- ↑ Kant, Kritik der reinen Vernunft. Wydanie Erdmanna, 1880. str. 163.
- ↑ G. Cantor, Ueber unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten. [Mathematische Annalen, XX, 1882, str. 113.].
- ↑ Dedekind. Was sind und sollen die Zahlen, 1888.; porów. też pracę tegoż autora: Stetigkeit und irrationale Zahlen, 1872, w któréj istotę ciągłości widzi w następującém twierdzeniu: “Jeżeli punkty na prostéj rozpadają się na dwie klasy w ten sposób, że każdy punkt pierwszéj klasy leży na lewo od każdego punktu drugiéj, to istnieje jeden i tylko jeden punkt, który daje ten podział punktów na dwie klasy, to rozcięcie prostéj na dwie części„. Za Dedekindem idzie Stolz w Vorlesungen über allgemeine Arithmetik, 1885, I, str. 80—84.
- ↑ Cohen, Das Prinzip der Infinitesimalmethode und seine Geschichte, 1883. str. 37.
- ↑ A. Fick, Das Grössengebiet der vier Rechnungsarten, 1880, str. 6.
- ↑ Wernicke, Die asymptotische Function des Bewusstseins. [Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie, XI, str. 485].
- ↑ H. Grassmann, Ausdehnungslehre, str. XXIII, XXIV.
