Pojęcia i metody matematyki/Wstęp/Całość

	<<< Dane tekstu >>>
Autor	Samuel Dickstein
Tytuł	Wstęp
Pochodzenie	Pojęcia i metody matematyki
Wydawca	Wydawnictwo Redakcyi „Prac matematyczno-fizycznych“
Data wyd.	1891
Druk	Drukarnia J. Sikorskiego
Miejsce wyd.	Warszawa
Źródło	Skany na Commons
Inne	Cały tekst
	Indeks stron

›››

WSTĘP.

	Die Mathematik ist in ihrer Entwickelung völlig frei und nur an die selbstredende Rücksicht gebunden, dass ihre Begriffe sowohl an sich wiederspruchlos sind als auch in festen durch Definitionen geordneten Beziehungen zu den vorher gebildeten bereits vorhandenen und bewährten Begriffen stehen.
	G. Cantor.

[7]

1. PRZEDMIOT MATEMATYKI.

Bogactwo treści najściślejszéj wiedzy ludzkiéj, jaką jest Matematyka, stanowiąca świat odrębny pojęć, odźwierciadlających w sobie wiekową pracę ducha ludzkiego nad trudnemi zagadnieniami bytu, nie da się zawrzeć w kilku słowach wstępnego określenia; przytaczając więc niżéj niektóre z częściej napotykanych określeń Matetematyki, musimy zastrzedz z góry, że żadne z nich nie jest wystarczającém, bo właściwe zadanie nauki dopiero przy wykładzie jéj pojęć i metod najlepiej uwydatnić się daje.
Matematyka jest nauką o wielkościach — oto najpospolitsza z napotykanych definicyj. Jest ona wszakże niezupełną, bo nie wszystkie twory Matematyki są wielkościami i nie we wszystkich jéj badaniach idzie o związki pomiędzy wielkościami. [O wielkości mówimy obszerniéj w następnym artykule]. Nauka kombinacyi np. nie ma nic do czynienia bezpośrednio z wielkościami, a do takich np. tworów, jak liczby urojone i nadurojone, nie można wprost stosować pojęcia wielkości. I Geometrya w wielu badaniach swych obywa się zupełnie bez pojęcia miary wielkościowéj^[1].
[8] Do następujących typów głównych sprowadzają się wszystkie twory lub formy badań matematycznych^[2]. Do pierwszego typu należą liczby, a więc przedewszystkiém liczby całkowite, stanowiące zasadniczy materyał Arytmetyki, następnie wszystkie inne rodzaje liczb, które drogą uogólnienia działań powstają, a więc liczby ułamkowe, ujemne, urojone, nadurojone, liczby idealne Kummera, “ideały„ Dedekinda; liczby nieskończenie wielkie i nieskończenie małe, nadskończone (transfinite) G. Cantora, wymierne i niewymierne, algebraiczne i przestępne. Daléj należą tu funkcye matematyczne, wyobrażające w jedném pojęciu szeregi stanów, przez jakie przechodzą liczby, zmieniające swą wartość w zależności od innych liczb.
Do typu drugiego należą formy geometryczne, t. j. ciała geometryczne trójwymiarowe, formy dwu i jednowymiarowe, punkt geometryczny, oraz ogólniejsze formy rozmaitościowe czyli przestrzenie wielowymiarowe; daléj układy czyli kombinacye rozmaitych form, i formy, wyobrażające w jedném pojęciu szeregi stanów, przez jakie przechodzi pewna forma geometryczna lub układy podobnych form.
Do trzeciego wreszcie typu należą rozmaite formy matematyczne, utworzone przy badaniu zjawisk, jak formy foronomiczne, mechaniczne, fizyczne i t. p.
Na pierwszy rzut oka zdaje się, że objęcie tych różnorodnych przedmiotów jedną nauką odbiera téjże charakter jednolitości: liczby bowiem zdają się być czémś zupełnie różném od form geometrycznych, te zaś różnią się zasadniczo od tworów, cechujących zjawiska. Rozwój nauki, jak to zobaczymy, zbliża wszakże do siebie te różnorodne początkowo dziedziny.
I tak pojęcie liczby przez uogólnianie prowadzi kolejno od liczb całkowitych dodatnych z jednéj strony do urojonych i nadurojonych, z drugiéj zaś strony do niewymiernych i przestępnych. Tworzenie liczb urojonych i nadurojonych odpowiada wprowadzeniu do nauki o liczbach wymiarowości, stanowiącéj cechę tworów geometrycznych. Tworzenie zaś liczb niewymiernych i przestępnych i w ogóle uważanie całego continuum liczb odpowiada ciągłości, uważanéj za cechę pierwotną form geometrycznych. Tak więc przy pomocy liczb dają się przedstawić formy geometryczne i obie różne napozór dziedziny jednoczą metody badania form analitycznych. Na odwrót, formy geometryczne służyć mogą do przedstawienia [9]właściwości form liczbowych. Daléj znów badanie zjawisk prowadzi do konstrukcyj analitycznych i geometrycznych.
Prócz tego, jedność i jednolitość Matematyki jest ugruntowaną na jednolitości genezy psychologicznéj jéj form. Formy matematyczne powstają, przedewszystkiém za pomocą abstrakcyi z przedmiotów doświadczenia, po usunięciu wszelkiéj ich treści specyficznéj, z zachowaniem wszakże syntezy tych aktów świadomości, które współdziałały przy abstrakcyi. Tak np. wielość przedmiotów doprowadza przez abstrakcyą do liczb całkowitych, gdy odwracając uwagę od wszelkich właściwości przedmiotów, jedynie przy pomocy syntezy aktów, które przy abstrakcyi współdziałały, tworzymy formy, będące odbiciem umysłowém wielości spostrzeżonéj. Od ciał fizycznych o różnéj postaci abstrakcya doprowadza do form geometrycznych, które są właśnie ową postacią, od treści oderwaną.
Taki sam proces doprowadza do pojęcia przestrzeni, obejmującéj w sobie wyobrażalne utwory geometryczne, a także do pojęcia czasu, będącego formą następstwa zjawisk.
Opisany wyżéj proces nie wystarcza wszakże do tworzenia form wszystkich; albowiem umysł z jednéj strony kombinuje i łączy formy; z drugiéj zaś strony uogólnia formy raz utworzone i dochodzi tym sposobem do form nowych, nie będących bezpośrednio odwzorowaniem przedmiotów lub zjawisk. Tak np. od układu liczb rzeczywistych o jednéj jednostce zasadniczéj przechodzi do liczb urojonych lub zespolonych o dwu lub więcéj takich jednostkach; przestrzeń trójwymiarową uogólnia, tworząc rozmaitość wielowymiarową. Postępowanie w tym razie jest tak samo uznsadnioném jak i abstrakcya, która z przestrzeni trójwymiarowéj prowadzi do dwu lub jednowymiarowéj. Wprowadza ono wprawdzie twory niewyobrażalne wprost, ale wyobrażalność, w zwykłém znaczeniu tego wyrazu, nie stanowi zasadniczéj cechy pojęć matematycznych. Pojęcia bez poglądu są puste, powiedział Kant, ale w tym, jak i w innych przypadkach, poglądowość czyli wyobrażalność dostatecznie wynagradza ogół tych cech, któremi dane pojęcie określamy. Tworzenie form podobnych, ogólniejszych od form pierwotnych, przez abstrakcyą utworzonych, stanowi właśnie cechę właściwą, Matematyce i jest jednym z najważniejszych czynników jéj rozwoju.
Winniśmy wprawdzie na samym wstępie zaznaczyć, co dokładniéj przedstawioném będzie w dalszym wykładzie, że uogólnianie pojęć [10]matematycznych może być podjęte dwojako. Można bowiem z jednéj strony uważać pojęcia uogólnione, jako odpowiadające formom istotnie nowym, mającym w dziedzinie badania takie same prawa bytu, jakie mają pojęcia form pierwotnie wprowadzonych; albo też można widzieć w formach uogólnionych tylko nowe związki, w jakie wprowadzamy formy pierwotne, czyli nowe a raczéj uogólnione działania. Tak np. można uważać liczby ujemne, urojone, niewymierne i t. p. za nowe rodzaje liczb, mające taką samą samodzielność, jaką mają liczby całkowite; przestrzenie czyli rozmaitości wielowymiarowe można uważać za uprawnione z przestrzenią zwykłą, euklidesową; albo téż widzieć w nowych liczbach formy, pod jakiemi liczby całkowite dodatnie wchodzą do związków i do rozumowania, a w nowych przestrzeniach — przestrzeń zwykłą, przy przyjęciu za element nie punktu, lecz innego tworu geometrycznego. Lecz przy jednym zarówno jak i przy drugim sposobie uważania, Matematyka wznosi się po nad dziedzinę pierwotną, uogólniając raz pojęcie tworów, drugi raz pojęcie działań. Wybór pomiędzy jednym a drugim sposobem uważania zależy od poglądu teoretyczno-poznawczego na podstawy Matematyki. W samej Matematyce oba sposoby uważania są równouprawnione i każdy z nich w sposób sobie właściwy prowadzi do wyników prawdziwych.
Ta dowolność tworzenia form w Matematyce nasuwa nawet pogląd, że w téj nauce umysł sam sobie stwarza przedmioty badania, bez żadnego udziału doświadczenia, że, jak powiada H. Grassmann:^[3] “Matematyka jest nauką o bycie szczególnym, który stał się przez myślenie„, i że tém różni się od nauk realnych, których przedmiotem jest byt zewnętrzny, przeciwstawiający się myśleniu. Winniśmy wprawdzie nadmienić, że to określenie stosuje Grassmann do Matematyki czystéj, z której wyłącza Geometryą, zaliczając ją wraz z Foronomią i Mechaniką do nauk stosowanych (porównaj art. 4.).
Kant^[4] uważa formy matematyczne za konstrukcye „wewnątrz“wewnątrz czasu„, gdy są liczbami, lub “wewnątrz przestrzeni„, gdy są formami geometrycznemi. Przestrzeń i czas są według niego “formami poglądu a priori„, od wszelkiego doświadczenia niezależnemi; stąd twierdzenia Matematyki zasadnicze są prawami koniecznemi i powszechnemi. Z tego wszakże, że wszystkie zjawiska uważamy, jako zachodzące w przestrzeni i w czasie, nie wynika jeszcze, aby formy [11]matematyczne były tylko konstrukcyami wewnątrz przestrzeni i czasu; przeciwnie pojęcia matematyczne są ogólniejsze od pojęcia przestrzeni i czasu: czas jest jednym z przykładów formy jednowymiarowéj, przestrzeń przykładem formy trójwymiarowéj. Liczenie odbywa się w czasie, ale liczba — wytwór liczenia — nie ma w sobie nic z pojęcia czasu; formy geometryczne wyobrażamy sobie w przestrzeni, ale pojęcie rozmaitości wielowymiarowéj nie koniecznie mieć winno cechy przestrzenne.
Wroński, którego poglądy na całość badań matematycznych postaramy się w książce naszéj przedstawić, w podstawowém swém dziele o filozofiiifilozofii Matematyki^[5] w tworzeniu jéj zasad idzie za Kantem. Matematyką nazywa on naukę o wielkości, uważanéj intuicyjnie [poglądowo]; wielkością jest u niego, jak i u Kanta, “stan przedmiotu uważanego z punktu widzenia syntezy tego, co zawiera w sobie jednorodnego„. Inaczéj mówiąc, przedmiotem Matematyki jest forma t. j. sposób bytu natury czyli świata zewnętrznego, gdy przeciwnie treść tego bytu jest przedmiotem Fizyki. Formą świata zewnętrznego, powstającą ze stosowania praw transcendentalnych zmysłowości do zjawisk, danych a posteriori, jest czas dla wszystkich, a przestrzeń dla przedmiotów zewnętrznych. Prawa czasu i przestrzeni są prawdziwym przedmiotem Matematyki. Prawa te mogą być uważane in concreto lub in abstracto; w pierwszym razie stanowią przedmiot Matematyki czystéj, w drugim — stosowanéj. Stosując do czasu, uważanego objektywnie za należący do zjawisk fizycznych, danych a posteriori, prawa transcendentalne poznania, a mianowicie prawo ilości, wzięte ogólnie, dojdziemy do pojęcia następstwa momentów, a w najwyższéj tegoż abstrakcyi do liczby. Stosując znowu to samo prawo do poglądu przestrzeni, jako należącej do zjawisk fizycznych, danych a posteriori, dojdziemy do pojęcia “lączności„ (obokleżności, conjonction) punktów, a w najwyższéj tegoż abstrakcyi do pojęcia rozciągłości. Liczba i rozciągłość są więc ostatecznie przedmiotem Matematyki. To określenie Wrońskiego mogłoby być wystarczające i w dzisiejszym stanie wiedzy, jeżeli w niém liczbę uważać będziemy nie za związaną z następstwem momentów czasu, lecz jako formę zupełnie od czasu niezależną; pod nazwą zaś rozciągłości rozumieć będziemy nietylko formy przestrzenne ale i ogólnie rozmatościrozmaitości wielowymiarowe.
Twórca filozofii pozytywnéj. Comte, współczesny [12]Wrońskiemu, zbyt jednostronnie pojmował zadanie Matematyki. I Comte’a wprawdzie nie zadawalniało określenie Matematyki, jako nauki o wielkościach; niedostateczność wszakże określenia widział on nie w tém, że pojęcie wielkości nie obejmuje wszystkich pojęć matematycznych, lecz w tém, że nie wskazuje, o co w Matematyce idzie przy badaniu wielkości. Comte widzi cel Matematyki w mierzeniu wielkości, nie w mierzeniu wszakże zwykłém i bezpośredniém, które nie może stanowić jeszcze nauki, lecz w mierzeniu pośredniém, „w“w oznaczaniu jednych wielkości przez drugie, według związków ścisłych, jakie między niemi istnieją„^[6]. Dla Comte’a Matematyka nie ma właściwie odmiennego zadania od nauk fizycznych, które również szukają związku pomiędzy wielkościami, zachodzącemi w zjawiskach; tylko że zjawiska, badane przez Matematykę, są bardziéj proste, a przedmioty jéj oderwane.
Ograniczenie Matematyki do roli nauki niejako pomocniczéj dla badań fizykalnych odejmuje jéj charakter wiedzy niezależnéj, powstającéj i rozwijającéj się o siłach własnych przez samodzielne tworzenie pojęć, nie zawsze bezpośrednio związanych z przedmiotem doświadczenia. Matematyka w rzeczy saméj zajmuje w systemie wiedzy ludzkiéj stanowisko odrębne. Badając przedmioty tylko ze względu na ich własności formalne, albo, jak mówi Wundt^[7], ze względu na porządek, a nie treść rozmaitości, danych w doświadczeniu, albo też, co na jedno wychodzi, ze względu na funkcye intelektualne przy spostrzeganiu przedmiotów, nie zaś ze względu na treść wrażeń zmysłowych, Matematyka jest nauką formalną i tém różni się od nauk doświadczalnych czyli realnych, w których do właściwości czysto formalnych przybywa szczególna jakość (qualitas) elementów, t. j. najprostszych części składowych rozmaitości. Stosunek Matematyki i nauk doświadczalnych określić można w ten sposób, że “pierwsza ma za przedmiot to, co w doświadczeniu jest według warunków formalnych możliwém, drugie to, co według formy i treści jest rzeczywistém„^[8]. Wyjaśnienie tego stosunku wskażą niejednokrotnie dalsze artykuły.

2. WIELKOŚĆ.

Nazwę wielkość spotykamy już u Euklidesa, według którego do wielkości zaliczą się formy geometryczne: linie, kąty, [13]powierzchnie, ciała, oraz liczby całkowite, które mają następujące cechy wspólne: wielkości jednorodne można porównywać, dodawać, odejmować i dzielić na części. Według Hankela^[9], pojęcie “wielkość„ nie potrzebuje wcale definicyi metafizycznéj, ale tylko wyjaśnienia. Wielkością nazywa on każdy przedmiot, który jest większy, mniejszy lub równy innemu przedmiotowi, który może być uwielokrotniony lub dzielony na części, albo, wyrażając się słowami Bolzano^[10], “który należy do gatunku rzeczy, z których dwie którekolwiek M i N nie mogą mieć nigdy innego stosunku, jak ten, że są albo równe, albo jedna jest sumą zawierającą jednę z nich jako część“. Szeroko rozwodzi się nad pojęciem wielkości P. Dubois-Reymond^[11], którego wywody postaramy się tu streścić.
Nie wszystkie szeregi wyobrażeń, z jakiemi można wykonywać działania matematyczne, podpadają pod zwykłe określenie wielkości, t. j. nie wszystkie dają się porównywać liczebnie, jak np. długości lub ciężary. Wielkością matematyczną jest ogół (Inbegriff) następstwa takich tylko wyobrażeń, o którym powiedzieć można, że 1. każde pojedyńcze wyobrażenie ma w tém następstwie miejsce dostatecznie określone; 2. pomiędzy wielkościami danego następstwa lub też pomiędzy wyobrażeniami, należącemi do innych ustalonych następstw, istnieją związki, które mogą być kombinowane w nowe związki. Trzeba przyznać, że to określenie, będące abstrakcyjném przedstawieniem znanych cech każdéj wielkości, podlegającéj porównaniu z innemi, nie jest wcale jasném; zresztą nie zadawalnia ono i samego autora, który widzi w niém “produkt dyplomatycznéj sztuki definicyi, nie dający wcale poznać ani zakresu ani treści tak delikatnego i bogato rozwiniętego pojęcia wielkości„. Jak nie możemy poznać, powiada trafnie Dubois-Reymond, nowéj formy zwierzęcéj, oznaczając liczbę płaszczyzn, która ją w sobie zamyka, tak samo powyższa definicya nie daje nam poznać, czém jest wielkość matematyczna i czém różni si od wielkości niematematycznéj. Szuka przeto Dubois-Reymond tego pojęcia we wszystkich dziedzinach, w których je przypuszczalnie znaleźć może, i bada następnie, co wszystkie przypadki mają, w sobie wspólnego.
W przeglądzie tym znajduje najprzód wielkość matematyczną, w liczbie, jako w wielkości przerywanéj, która się wprawdzie różni zasadniczo od wielkości ciągłéj, jaką naprzykład widzimy w linii geometrycznéj, [o formach ciągłych i przerywanych mówić będziemy [14]w art 3.], ale różnicę tę usuwa powoli rozwój Matematyki, gdyż wielkość ciągła, aby mogła być mierzoną, poddaną być musi pod pojęcie liczbowe. Przykładem wielkości matematycznych ciągłych są długości, powierzchnie, objętości, ciężary, czas, prędkość, siła, ilość ciepła, natężenie światła, napięcie elektryczne, siła prądu elektrycznego itd. Typem wszystkich tych wielkości może być odcinek linii prostéj. Jak odcinki mogą być dodawane i dzielone na części, jak różnice odcinków, wielokrotności i części tychże nie zmieniają swéj natury, dają się porównywać, powiększać i zmniejszać, podobnie i każda z wymienionych wielkości te same własności posiada. Z tego powodu nazywa je wszystkie wielkościami matematycznemi linearnemi. Do tych wielkości należą, według niego, nie tylko wielkości, wzięte ze świata zewnętrznego, ale i takie, do których prowadzi badanie życia psychicznego, a więc np. wrażenia, jako stopniujące się w zależności od podrażnienia zewnętrznego. Cała dziedzina Psychofizyki opiera się właśnie na téj możliwości zaliczenia wielkości badanych do szeregu wielkości linearnych.
Do wielkości nielinearnych, należących do dziedziny badania matematycznego, zalicza Dubois-Reymond przedewszystkiém wielkości, “powstające ze stosowania działań matematycznych po za granicami naturalnéj ich stosowalności„, albo przy pomocy analogij, “którym nie przypada w udziale żadne liczbowe znaczenie„, jak np. wielkości urojone, lub pojęcie “nieskończoności funkcyj„. Do pierwszych nie przypada bezpośrednio pojęcie większości lub mniejszości, które przenosimy do ich modułu^[12], przy drugich o większości lub mniejszości rozstrzyga nie różnica lecz iloraz. Jeżeli mimo to te formy matematyczne nazywamy wielkościami, to tylko dlatego, że możemy wykonywać nad niemi rachunki tak samo jak nad wielkościami linearnemi, rozumie się, przy pewném ograniczeniu lub modyfikacyi zasadniczych praw działań. Takie wielkości nielinearne nazywa Dubois-Reymond analitycznemi.
Jest wreszcie trzecia kategorya wielkości, różna zupełnie od poprzednich i nie nadająca się, według Dubois-Reymonda, do traktowania matematycznego. Nazywa je on wielkościami giernemi [Spielgrössen]; w tych do elementu, który poddaje się rachunkowi, przybywa element niematematyczny “błędów myślenia„.
Istotne własności wielkości linearnych zamyka Dubois-Reymond w następujących określeniach:
[15] I. Wielkości matematyczne linearne są albo równe albo nierówne. Równemi są wtedy, gdy ich objawy zmysłowe sprawiają zawsze to samo wrażenie przy tych samych warunkach. Jedna wielkość jest większa od drugiéj, gdy obraz zmysłowy jednéj może być zmieniony za pomocą “wyczerpania„ [t. j. przez kolejne zmniejszanie] w taki sposób, że zawrze w sobie całkowicie obraz drugiéj; ale nie odwrotnie.
II. Żadna szczególna z wielkości linearnych danego gatunku [t.j. żaden odcinek z pomiędzy możliwych odcinków], nie posiada sam przez się pierwszeństwa przed innemi, i dlatego nie posiadamy wyobrażenia kresu [granicy], koniecznego tak dla małości jak i wielkości [Grossheit] któréjkolwiek z nich.
III. Dwie lub więcéj wielkości tego samego gatunku, dodane do siebie, dają wielkość tego samego gatunku, większą od każdéj z części składowych. Każda wielkość może być dzielona na dowolną liczbę części, z których każda jest mniejsza od wielkości danéj.
IV. Jeżeli jedna wielkość jest większa od drugiéj, to istnieje zawsze trzecia wielkość tego samego gatunku, która, dodana do drugiej, daje pierwszą.
V. Wielkości równe lub nierówne, z których najmniejsza nie ma być mniejszą od wielkości dowolnie małéj, można zawsze w dostatecznéj liczbie połączyć tak, aby otrzymać wielkość, nie mniejszą od jakiejkolwiek wielkości dowolnéj tego samego gatunku.
VI. Wielkości dają się niezliczonemi sposobami dzielić na mniejsze; między temi sposobami wyróżnia się ten, w którym wielkość rozpada się na dwie, trzy i więcéj części równych. Dzielenie wielkości daje się prowadzić tak długo, dopóki wszystkie części nie staną się mniejszemi od wielkości dowolnie małéj. Lecz jakkolwiek daleko prowadzić będziemy w myśli ten podział, części otrzymywane będą zawsze tego samego gatunku, co dana wielkość.
Wyłożona w tych twierdzeniach teorya jest urobiona na podstawie doświadczenia i stosuje się przedewszystkiém do wielkości geometrycznych. Gdy idzie o formy matematyczne, ogólnie uważane, pojęcie ich równości lub nierówności nie może oczywiście opierać się na porównywaniu wrażeń zmysłowych, jak chce Dubois-Reymond, lecz musi być dane za pomocą określenia formalnego, takiego np., jakie znajdujemy u H. Grassmanna^[13]. Pojęciem wielkościowem, według Grassmanna, nazywamy takie pojęcie, że dwa [16]podpadające pod nie przedmioty mogą być uważane za równe lub nierówne. Równemi nazywa on takie przedmioty, gdy w każdym sądzie [Aussage] jeden można zastąpić drugim. Należy to rozumieć w ten sposób, że gdy A = B, B = C, to stąd wynika A = C, i że tym sposobem A, B, C mogą się wzajem zastępować we wszelkich połączeniach czyli działaniach. Bez takiej podstawy żadna teorya działań nie byłaby wcale możliwą. Co się zaś tyczy określenia nierówności np. większości, to musi ona czynić zadość warunkowi: „Jeżeli A > B, B ≥ C, to A > C. Ale warunków tych dla równości i nierówności bezpośrednio do wszelkich form matematycznych stosować nie można, i dlatego przy każdém nowo wprowadzaném pojęciu przedmiot ten wymaga oddzielnego roztrząsania.
Podział wielkości na linearne i nielinearne jest zbyteczny, jeżeli dla przedmiotów badania matematycznego zachowamy ogólną nazwę formy, a wielkościami nazywać będziemy takie formy, do których potrafiliśmy zastosować pojęcia równości, większości i mniejszości.
Pytanie o możności stosowania działań i metod Matematyki do form, otrzymywanych z abstrakcyi przy badaniu przedmiotów i zjawisk świata zewnętrznego, a mianowicie określenie ich równości i nierówności, oraz sposób wprowadzania ich we wzajemne związki nie są tak proste, jak to z przykładów życia codziennego wydawać się może. Pytanie to wymaga gruntownego oświetlenia, opartego na wynikach teoryi ogólnéj działań matematycznych. Podjął je niedawno Helmholtz w rozprawie o liczeniu i mierzeniu^[14].
Helmholtz uważa Arytmetykę czyli naukę o liczbach za metodę, zbudowaną na faktach czysto-psychologicznych, która uczy należytego używania układu “znaków„ [liczb] o nieograniczonéj rozciągłości i zdatnych do nieograniczonéj subtelności [Verfeinerung]. Liczby są zatém, według niego, symbolami, “dającemi nam opis przedmiotów rzeczywistych; opis, któremu możemy nadać żądany stopień dokładności i za pomocą którego dla wielkiéj liczby przypadków działania ciał, pozostających pod władzą znanych praw przyrody, można znaleźć rachunkowo wartości liczbowe, mierzące skutek działania„. Zapytuje daléj Helmholtz, jakie jest objektywne znaczenie tego faktu, iż stosunki rzeczywiste pomiędzy przedmiotami wyrażamy, jako wielkości w liczbach mianowanych, i przy [17]jakich warunkach uczynić to można? Pytanie to, według niego, rozpada się na dwa następujące:
I. Jakie jest znaczenie objektywne faktu, że dwa przedmioty uważamy za równe w pewnym względzie?
II. Jaki charakter musi mieć fizyczne łączenie dwóch przedmiotów, aby ich atrybuty porównalne można było uważać za dodajne [additiv], t. j. mogące być dodanemi, i za wielkości, dające się wyrazić liczbami mianowanemi?
Przy stosowaniu Arytmetyki do wielkości fizycznych, przybywa do pojęć równości i nierówności, które wymagają wyjaśnienia, jeszcze pojęcie jednostki. Uważa Helmholtz, że bez potrzeby ograniczamy dziedzinę stosowalności twierdzeń Arytmetyki, gdy wielkości fizyczne z góry przyjmujemy, jako złożone z jednostek.
Wyłożywszy najprzód teoryą dodawania i odejmowania liczb “czystych„, w czém głównie opiera się na teoryi Grassmanna^[15], przechodzi Helmholtz do określenia wielkości fizycznych, ich równości i działań nad niemi. Wielkościami nazywa, jak zwykle, przedmioty lub atrybuty przedmiotów, do których stosować można pojęcia równości, większości i mniejszości. Postępowanie, za pomocą którego do każdéj uważanéj wielkości przystosowujemy liczbę tak, aby różnym wielkościom odpowiadały liczby różne, i aby liczba, odpowiadająca danéj wielkości, mogła zastępować ją w ciągu rozuwania,rozumowania, jakie przeprowadzamy nad wielkościami, nazywa mierzeniem. Stosunek, zachodzący między atrybutami dwóch przedmiotów, nazywający się równością, charakteryzuje pewnik:
“Dwie wielkości, z których każda jest równa trzeciéj, są, sobie równe„.
Nie jest to, jak mówi Helmholtz, pewnik o znaczeniu objektywném; zadaniem jego jest wskazanie tylko, jakie związki fizyczne winniśmy określić nazwą równości.
Jeżeli A = C, i B = C, to stąd wynika A = B, jak również B = A. Stosunek równości jest wzajemny.
Równość porównywanych atrybutów jest wogóle przypadkiem wyjątkowym i przy spostrzeganiu faktyczném może być wskazaną, jedynie w ten sposób, że dwa przedmioty równe, spotykając się lub działając wspólnie pod odpowiedniemi warunkami, dają spostrzedz szczególny skutek, nie zachodzący pomiędzy innemi parami podobnych przedmiotów. Postępowanie, za pomocą którego [18]wprowadzamy przedmioty badano w takie właśnie warunki, aby zachodzenie tego skutku można było stwierdzić, nazywa Helmholtz metodą porównania.
Z powyższego pewnika wynika najprzód, że skutek porównania nie zmienia się, jeżeli oba przedmioty przestawimy, stosując metodę porównania. Daléj, jeżeli okazało się, że dwa przedmioty A i B są równe, i jeżeli za pomocą téj saméj metody porównania znaleziono, że przedmiot A równa się trzeciemu przedmiotowi C, to wnioskujemy stąd i za pomocą téj metody sprawdzić możemy, iż przedmioty B i C są równe.
To są warunki, jakie stawia Helmholtz metodzie porównania. Tylko takie metody są w stanie wykazać równość, które warunkom tym czynią zadość.
Wielkości, o których równości lub nierówności przekonywamy się za pomocą téj saméj metody porównania, nazywają się jednorodnemi. Jeżeli atrybut, którego równość lub nierówność z atrybutem innego przedmiotu znaleźliśmy, oderwiemy za pomocą abstrakcyi od wszystkiego, co w tych przedmiotach jest wogóle różném, pozostanie nam dla odpowiednich przedmiotów tylko różnica wielkości.
Na przykładach pokazuje Helmholtz, jakie metody porównania obmyślono dla rozmaitych gatunków wielkości: dla ciężarów, odległości punktów, przedziałów czasu, jasności światła, wysokości tonów.
Następnie bada warunki, przy jakich połączenie fizyczne dwóch wielkości może być nazwane dodawaniem. Są one: 1°) jednorodność sumy i składników; 2°) prawo przemienności, według którego wynik dodawania jest niezależny od porządku, w jakim dodajemy składniki; 3°) prawo łączności, według którego połączenie wielkości jednorodnych może być uskutecznione w ten sposób, że dwie lub więcéj z nich zastąpimy jedną, która jest ich sumą. [O prawach dodawania mówić będziemy szczegółowo w następnych rozdziałach].
Ponieważ wynik dodawania uważamy za większy od każdego ze składników, posiadamy przeto możność poznania, która z dwóch wielkości jest większa, a która mniejsza. Przy takich wielkościach, jak przedziały czasu, długości, ciężary, które znamy od wczesnego dzieciństwa, nie mamy nigdy żadnéj wątpliwości co do tego, co jest większe lub mniejsze, bo znamy metody dodawania tych wielkości. [19]Gdy takie dwie wielkości są równe, to i wielkości od nich zależne, utworzone dla obu w sposób zupełnie jednaki, są równe; ale co należy uważać za dodawanie takich wielkości, o tém rozstrzyga tylko doświadczenie. Są np. przypadki, gdzie możliwe są dwa gatunki dodawania. Tak np. za pomocą téj saméj metody porównania oznaczamy w Fizyce, czy dwa druty mają równy opór galwaniczny w, albo też czy mają równą zdolność przewodnictwa λ, gdyż w = 1/λ. Lecz opory dodajemy, umieszczając druty tak, aby prąd przebiegał po kolei jeden drut za drugim; zdolności zaś przewodnictwa, dodajemy, umieszczając druty tak, aby końce ich odpowiednio były złączone. Pytanie, co jest większe a co mniejsze, znajduje dla oporu odpowiedź przeciwną niż dla przewodnictwa. Podobnież i kondensatory elektryczne [butelki lejdejskie] umieszczamy obok siebie lub jeden za drugim; w pierwszym przypadku dodajemy pojemności, w drugim potencyały [napięcia] dla równego naładowania.
Wielkiego uproszczenia doznaje przedstawienie wielkości dopiero wtedy, gdy je rozłożymy na jednostki i przedstawimy za pomocą liczb mianowanych. Wielkości, które można dodawać, dają się w ogólności i dzielić. Jeżeli bowiem każdą z uważanych wielkości możemy uważać, jako powstałą z dodania pewnéj liczby składników według praw dodawania, to, jeżeli idzie o jéj wartość, możemy ją zastąpić przez sumę tych składników. Te składniki równe są wtedy jednostkami, Jeżeli wielkość nie jest podzielną bez reszty przez dobraną jednostkę, dobieramy wtedy jednostek mniejszych, a to przez podział jednostki poprzedniéj na części równe. Tylko w przypadkach wymierności mogą być wielkości wyrażone przy pomocy jednostek z zupełną dokładnością.
Oprócz wielkości, dla których zawsze określić można dodawanie, istnieją szeregi stosunków, wyrażalnych za pomocą liczb mianowanych lub niemianowanych, dla których to stosunków nie znamy dotąd połączenia, które można by nazwać dodawaniem. Stosunki te zachodzą, wtedy, gdy związek pomiędzy wielkościami dodajnemi ulega wpływowi pewnéj specyficznéj substancyi, pewnego ciała i t. p. Tak np. prawo załamania światła wyraża, że pomiędzy wstawą kąta podania i wstawą kąta załamania promienia oznaczonéj długości fali, przechodzącego z próżni do substancyi przezroczystéj, istnieje stosunek oznaczony. Dla różnych ciał stosunek ten wszakże jest [20]różny, stanowi zatém własność specyficzną danego ciała, wyraża jego zdolność załamania. Podobne znaczenie mają: ciężar właściwy, zdolność przewodnictwa elektrycznego, pojemność cieplna. Podobnéj natury są pewne stałe, które nazywamy stałemi całkowania w Dynamice. Możemy wprawdzie dodawać liczby oderwane, odpowiadające tym wielkościom, ale jakie znaczenie przypisać by można dodawaniu samych wartości? Helmholtz utrzymuje, że różnica tych stosunków, które nazywa “współczynnikami„, od prawdziwych wielkości nie jest istotną, że z czasem nowe odkrycia mogamogą doprowadzić do znalezienia połączeń dodajnych tych “współczynników„, przez co staną się one wielkościami w zwykłém znaczeniu tego wyrazu.
Teorya Helmholtza ma tę zasługę, że kładzie nacisk na konieczność badania warunków stosowalności działań matematycznych do wielkości, przejmowanych z badań fizykalnych, a przedewszystkiém na warunki równości i dodawania. W saméj rzeczy, gdy idzie o przeniesienie działań liczbowych na połączenia wielkości, potrzebną jest wielka ostrożność, aby, jak się wyraża Kronecker, przez rozszerzenie znaczenia wyrażeń technicznych nie ucierpiała dokładność przedstawienia. Uwaga o “współczynnikach„ jest ważną i wskazuje na zagadnienia, które nauka ma rozwiązać w przyszłości. Sprowadzenie wszystkich “współczynników„ do trzech jednostek zasadniczych długości, czasu i masy — jak to czyni Fizyka nowoczesna, — jest zdobyczą ważną, ale zdobycz ta dotąd ogranicza się, jak wiadomo, przeważnie na wyrażaniu wymiarów współczynników za pomocą odpowiednich symbolów^[15]. Niektórym tylko “współczynnikom„, jak prędkości, przyspieszeniu, sile, momentowi, i t.p. nauka nadała postać wielkości zwykłych [ekstensywnych] i bada je wyczerpująco, analitycznie i geometrycznie. Helmholtz przewiduje, że toż samo stanie się z innemi “współczynnikami„, to jest, że np. dodawaniu ich będzie można nadać znaczenie fizykalne w ten sam sposób, w jaki mają je dodawanie prędkości, sił, momentów i t. p.
A priori wydaje się możliwą i inna droga, a mianowicie, odszukanie warunków działań bezpośrednich nad “współczynnikami„, bez sprowadzania ich do wielkości zwykłych. Metoda taka byłaby w takim stosunku do metody poprzedniéj, w jakiem jest naprzykład badanie bezpośrednie form geometrycznych za pomocą metod [21]geometryi syntetycznéj do badania ich pośredniego za pomocą form liczbowych w geometryi analitycznéj. Byłaby to “Matematyka wielkości intensywnych„ w przeciwstawieniu do dzisiejszéj Matematyki wielkości ekstensywnych. W takiéj Matematyce teorya jednostek fizycznych mogłaby rozwinąć się w samodzielną umiejętność. Nie wchodzimy tu w rozstrzygnięcie tego pytania, powiemy tylko, że wszystkie dotychczasowe próby utworzenia podobnéj Matematyki nie dały zadawalających rezultatów. Nietylko Fizyka ale i Psychofizyka, mająca do czynienia z wielkościami intensywnemi, stara się dla badań swych znaleźć odpowiednie formy liczbowe lub geometryczne^[16].

3. FORMY PRZERYWANE I CIĄGŁE.

Formy matematyczne dzielą się na przerywane i ciągłe. Przykładem pierwszych jest układ liczb całkowitych, szereg punktów, pomyślanych dowolnie na prostéj, płaszczyznie lub w przestrzeni; jako przykład drugich służyć mogą: continuum liczb, linie, powierzchnia, przestrzeń geometryczna, czas.
Pragnąc określić ciągłość, natrafiamy na wielkie trudności. Kant^[17] nazywa ciągłością tę własność wielkości, mocą któréj żadna jéj część nie jest najmniejszą możliwą. “Czas i przestrzeń są ciągłemi, bo nie może być dana żadna ich część, ktoraby nie dała się zamknąć pomiędzy dwiema granicami [punktami lub chwilami], tak że częścią przestrzeni jest znowu przestrzeń, częścią czasu — czas„.
Właściwie mówiąc, ciągłość np. linii sprowadza się do tego, że między każdemi, dowolnie pomyślanemi, punktami na niéj można pomyśleć sobie punkt trzeci. Czy przestrzeń, objektywnie uważana jako podścielisko zjawisk fizycznych, jest w istocie rzeczy ciągłą w tém znaczeniu, tego doświadczeniem rozstrzygnąć nie można. Można najwyżéj uważać to za postulat, który nam umożliwia wszelkie pomyślane konstrukcye. G. Cantor^[18] utrzymuje, że ciągłość przestrzeni polega na tém, iż każdy punkt, którego współrzędne x, y, z względem pewnego układu dane są w liczbach rzeczywistych, wymiernych lub niewymiernych, uważa się jako istotnie do przestrzeni należący. “Do podobnego uważania nie ma wszakże wewnętrznego musu, stanowi ono akt wolny działalności konstrukcyjnéj [22]naszego umysłu„. Hypoteza ciągłości przestrzeni jest, wedlug Cantora, jedynie dowolném założeniem o zupełnéj jednoznacznéj odpowiedniości między czysto arytmetyczném continuum (x, y, z) a przestrzenią, będącą podstawą świata zjawisk. Ta swoboda umysłu sięga nawet tak daleko, że można utworzyć pojęcie przestrzeni nieciągłej, w któréj ruch odbywa się sposobem ciągłym.
Toż samo utrzymuje Dedekind^[19], według którego ciągłość przestrzeni nie jest wcale konieczną podstawą geometryi, bo w niéj nigdzie nic bywa należycie wyjaśnianą. Jeżeli obierzemy sobie, twierdzi Dedekind, trzy punkty dowolne A, B, C, nie leżące na jednéj prostéj, z tém tylko ograniczeniem, aby stosunki ich odległości AB, AC, BC były liczbami algebraicznemi, i będziemy uważali za istniejące w przestrzeni tylko te punkty M, dla których stosunki AM, BM, CM do AB wyrażają się również liczbami algebracznemialgebraicznemi; wtedy przestrzeń, złożona z punktów M, będzie oczywiście nieciągłą, i pomimo téj nieciągłości, koustrukcye, które uskutecznia w niéj geometrya elementarna, dadzą się zupełnie wykonać tak samo, jak w przestrzeni ciągłéj.
Tak jest bezwątpienia. Zachodzi tylko pytanie, czy porównywanie stosunków odległości nie wymaga w istocie rzeczy ukrytego przyjęcia pewnych form ciągłych i czy wogóle ta nieciągłość przestrzeni da się pojąć czy wyobrazić bez pewnéj rozmaitości ciągłéj? W każdym razie, usuwając tę ciągłość z przestrzeni, Cantor i Dedekind wprowadzają ją do układu liczb. Podobny pogląd wygłaszają i niektórzy filozofowie. “Ciągłość, powiada Cohen^[20], jest ogólną, podstawą samowiedzy, walnym warunkiem myślenia, którego działalność okazuje się w ciągłości [nieskończonéj podzielności] przestrzeni, lecz przedewszystkiém w téj dziedzinie matematycznéj, która jest najbliższą ogólnego myślenia, a więc nauce o liczbie„.
Inni uczeni są przeciwnego zdania. Twierdzą oni, że ciągłość spoczywa przedewszystkiém w formach geometrycznych, w przestrzeni. W błędzie jest Dedekind, powiada A. Fick^[21], jeżeli nie w Geometryi, lecz w dziedzinie liczb szuka ciągłości. “Ciągłość nie może nigdy leżeć w akcie liczenia, ani z liczenia powstać; szukać jéj należy tylko w wyobrażeniu przedmiotów liczonych„.
Przeciwieństwo tych poglądów polega na różnicy zasad teoretyczno-poznawczych wiedzy ludzkiéj w ogólności; w Matematyce [23]saméj nie stanowi ono przeszkody w rozwoju jéj pojęć. W Geometryi trudność, tkwiąca w pojęciu ciągłości, nie występuje wyraźnie; rozpoczyna się ona właściwie dopiero wtedy, gdy idzie o stosowanie analizy do badań geometrycznych, oraz Matematyki wogóle do badań fizykalnych. Uniknąć tego pojęcia niepodobna; usunięte z przestrzeni zjawia się ono w układzie liczb i odwrotnie. Układ liczb całkowitych okazuje się niewystarczającym do opisu form wszystkich; “sieć Arytmetyki„ jak się dosadnie wyraża Wernicke^[22], ma początkowo za wielkie oka„, aby mogła pochwycić twory świata zewnętrznego. Umysł ludzki rozpoczyna przeto pracę twórczą nad zagęszczeniem téj sieci: wprowadza kolejno ułamki, liczby niewymierne i przestępne i wznosi się do pojęcia continuum. Te to właśnie zagadnienia czynią konieczném wprowadzenie pojęcia ciągłości form na zasadzie ścisłego określenia, którego należy pilnować się na wszystkich stopniach rozumowania. Przedmiot ten we właściwém miejscu będzie należycie wyjaśniony; tu powiemy tylko, że jest niezmiernie ważném staranne oddzielenie tych prawd, dla uzasadnienia których nie jest konieczném wyraźnie pojęcie ciągłości, od twierdzeń, które jedynie przy pomocy ciągłości uzasadnić się dadzą. Na punkt ten w wywodach naszych szczególną zwracać będziemy uwagę.
Powiemy jeszcze, w jaki sposób wprowadza Grassmann pojęcie ciągłości do swojego wykładu Matematyki. Formy matematyczne, stanowiące przedmiot nauki Grassmannowskiej, którą nazwał nauką rozciągłości [Ausdehnungslehre], są, to formy rozciągłe, wielowymiarowe i ciągłe, które wszakże nie mają być poglądowemi, jak formy przestrzenne, lecz “czysto myślowemi„. To też usiłuje Grassmann nadać swym formom ciągłość na podstawie określenia, które brzmi w ten sposób^[23]: “Każda forma myślowa staje się w sposób dwojaki: albo przez prosty akt jéj tworzenia [Erzeugen], albo przez akt podwójny postawienia [Setzen] i połączenia [Verknüpfen]; forma, powstała pierwszym sposobem, nazywa się ciągłą, powstała drugim — przerywaną„. Przeciwieństwo wszakże tych dwóch rodzajów form nie jest, według niego, stanowcze: forma bowiem przerywana może być uważaną za ciągłą i odwrotnie. I tak, jeżeli to, co łączymy w formę, uważamy w myśli, jako stawające się, a sam akt łączenia za moment stawania się, forma przerywana może być poczytana za ciągłą. [24]Jeżeli, przeciwnie, pojedyńcze momenty stawania się uważać będziemy za akty łączenia, to forma ciągła może być poczytana za przerywaną.
Nie wiem, czy czytelnika zadowolni to kunsztowne określenie ciągłości. Bezwątpienia dostrzeże on w niém pozorne ominięcie tylko tych samych trudności, które napotykamy, chcąc określić bezpośrednio utwory przestrzenne ciągłe. Pokazuje to wyraźnie, że zagadnienie o ciągłości, obok swéj trudności czysto-matematycznéj, którą, tylko, jak to zobaczymy, za pomocą analizy zwalczyć można, posiada ważne znaczenie dla Teoryi poznania w ogólności.

4. SYSTEM MATEMATYKI.

System wiedzy matematycznéj dzieli się na Matematykę czystą i stosowaną.
Przedmiotem Matematyki czystéj jest badanie form, należących do pierwszych dwóch typów, o których mówiliśmy w art. 1., a więc form liczbowych i geometrycznych; przedmiotem Matematyki stosowanéj są formy trzeciego typu, t. j. formy matematyczne, utworzone przy badaniu zjawisk. Nazwa Matematyki stosowanéj pochodzi stąd, że badanie form do niéj należących sprowadza się, jak to już powiedzieliśmy, do badania form liczbowych i geometrycznych.
Do Matematyki czystéj należałoby tym sposobem zaliczyć Arytmetykę, Algebrę, Rachunek wyższy czyli Analizę i Geometryą ze wszystkiemi ich rozgałęzieniami; do Matematyki stosowanéj — Mechanikę i Fizykę matematyczną^[24].
Podział Matematyki na czystą i stosowaną nie daje się wszakże przeprowadzić z całą ścisłością, zależy bowiem od poglądu na podstawy Matematyki i nauk realnych oraz od danego rozwoju wiedzy.
W saméj rzeczy można z Mechaniki wyłączyć Foronomią lub Cynematykę, t.j. naukę o ruchu samym w sobie, bez względu na siły działające, i zaliczyć ją do Matematyki czystéj; z drugiéj zaś strony można Mechanikę wraz z Fizyką matematyczną, jak to czynią niektórzy, zaliczyć do nauk realnych, czyli doświadczalnych, na téj zasadzie, że nauki te mają z naukami fizycznemi, oprócz głównego [25]celu, jakim jest badanie zjawisk, to wspólnego, że opierają się na pewnikach, uważanych za podstawy nauk doświadczalnych. I Geometrya też, ponieważ ma do czynienia z formami, urobionemi przy pomocy abstrakcyi z przedmiotów świata zewnętrznego i opiera się także na pewnikach, zaliczaną bywa niekiedy do Matematyki stosowanéj, a nawet do nauk doświadczalnych, na równi z Mechaniką.
Pogląd podobny znaleźć można u Newtona, w którego wiekopomném dziele^[25] czytamy, że Geometrya ma swoją podstawę w Mechanice praktycznéj i jest częścią Mechaniki ogólnéj, która podaje i uzasadnia sztukę dokładnego mierzenia. Gauss^[26] jest zdania, że nauka o przestrzeni zajmuje zupełnie inne stanowisko względem wiedzy naszéj o prawdach, rozumiejących się same przez się, aniżeli czysta Matematyka; brak w niéj bowiem tego zupełnego przekonania o konieczności tych prawd, a zatvm o ich bezwzględnéj prawdziwości, która jest właściwością drugiéj; “z pokorą wyznać musimy, powiada Gauss, że jeżeli liczba jest czystym produktem naszego ducha, to przestrzeń zewnątrz nas posiada swą rzeczywistość, któréj my praw a priori przypisywać nie możemy„.
Wiemy już, że i Grassmann podziela ten pogląd. “Pojęcie przestrzeni, twierdzi on, nie może być wytworzone przez samo myślenie; przeciwnie, przeciwstawia się ono myśleniu, jako coś danego. Ktoby chciał twierdzić przeciwnie, musiałby przedewszystkiém uzasadnić konieczność trzech wymiarów przestrzeni przy pomocy czystych praw myślenia„. Stanowisko Geometryi względem nauki o formach czyli Matematyki czystéj zależy, według Grassmanna, od stosunku, w jakim poglądowość przestrzeni jest do czystego myślenia; toż samo odnosi się do czasu i do ruchu w przestrzeni i dlatego to Geometryą, Forometryą [Foronomią] i Mechanikę uważa on za zastosowania czystéj nauki o formach do zasadniczych “poglądowości„ [Anschauungen] świata zewnętrznego^[27].
Powiedzieliśmy już, że główna różnica, jaką upatrują wymienieni uczeni pomiędzy Matematyką czystą a stosowaną, polega na tém, iż pierwsza nie potrzebuje żadnych pewników i rozwija się zupełnie samodzielnie przy pomocy czystego myślenia; druga zaś przeciwnie opiera się na pewnikach, które umysł przy pomocy indukcyi ze zjawisk świata zewnętrznego wnosi do jéj dziedziny. Rozstrzygnięcie pytania, która z nauk jest czystą, która zaś stosowaną, [26]sprowadza się zatém do pytania z Teoryi poznania o podstawach wiedzy ścisłéj w ogólności. Rozbiór tego pytania nie może wchodzić w zakres naszéj pracy; dla naszego celu wystarczy jasne wskazanie stanowiska, z jakiego zapatrujemy się na zadania Matematyki. Wyraziliśmy to już na końcu artykułu 1., tu dodamy jeszcze, że wszelka wiedza teoretyczna opierać się musi na pewnych faktach zasadniczych, bez względu na to, czy fakty te są rezultatem indukcyi, czy też są założeniami umówionemi, na wzór wyników indukcyi urobionemi lub uogólnionemi, i na mocy pewnych definicyj formalnych do nauki wprowadzonemi. Rozumie się samo przez się, że założenia, stanowiące podstawę nauki, nie powinny pozostawać z sobą w sprzeczności. Jeżeli te założenia wraz z definicyami form, do dziedziny nauki należących, wystarczają, aby, przy pomocy działań i konstrukcyj czysto matematycznych i wnioskowań logicznych, zbudować umiejętność, bez potrzeby jakiegokolwiek zasiłku z zewnątrz; jeżeli formy i działania zdolne są do uogólnień, nauka jest czystą, w razie przeciwnym jest stosowaną. Wynika stąd, że nauka ze stosowanéj może się stać czystą, jeżeli w rozwoju swym to, co do formy i treści jest rzeczywistém, zastępuje warunkami formalnemi.
Możemy przeto Geometryą zaliczyć do nauki czystéj, bo przyjąwszy raz pewien układ pewników, budujemy tę naukę przy pomocy konstrukcyj matematycznych na formach, wprowadzonych za pomocą definicyj. Tak pewniki jak i formy geometryczne zdolne są do uogólnień, które doprowadzają do innych gatunków Geometryi, opierających się na układzie pewników, różnym od układu euklidesowego, wreszcie do ogólnej nauki o rozmaitościach, która jest właściwie tém, w czém Grassmann widzi Matematykę czystą. Główna różnica między tym poglądem a Grassmanowskim polega na tém, że to, co według naszego rozumienia stanowi jeden z przypadków szczególnych nauki czystéj, u niego stanowi naukę stosowaną.
Toż samo powiedzieć można o Mechanice, jako nauce o ruchu ciał przyrody, opierającéj się również na pewnikach. Można MechachanikęMechanikę uważać za naukę ruchu form geometrycznych, a układ jéj pewników za układ założeń, w takim razie Mechanikę zaliczyć wolno do Matematyki czystéj. Stosuje się to przedewszystkiém do części Mechaniki, zwanéj Foronomią lub Cynematyką, której przedmiotem, jak to powiedzieliśmy wyżéj, jest ruch ciał pomyślanych w [27]przestrzeni, bez uwagi na siły. Można i tę gałąź Mechaniki uogólnić, zastępując formę przestrzeni, w której ruch się odbywa ogólniejszą formą rozmaitościową. Jeżeli zaś w Mechanice opieramy się na pewnikach, uważanych za wynik indukcyi z doświadczenia albo za prawa natury, i w dalszém budowaniu umiejętności odwołujemy się do dodo faktów doświadczalnych, Mechanika będzie nauką stosowaną.
Tym sposobem Matematykę czystą składają następujące nauki:

1. Arytmetyka, Algebra i Rachunek wyższy, które Wroński obejmuje jedną nazwą ogólną Algorytmii^[28].

2. Geometrya,

3. Foronomia czyli Cynematyka.

Można z innego punktu widzenia ustanowić klasyfikacyą Matematyki czystéj. Wiemy, że formy matematyczne [art. 3.] są przerywane i ciągłe, mamy więc Matematykę form przerywanych, nieciągłych lub uważanych bez względu na ciągłość, oraz Matematykę form ciągłych. Do pierwszéj z nich należałoby zaliczyć Arytmetykę, Algebrę i tę część Geometryi, którą można rozwinąć bez potrzeby uważania ciągłości; do drugiéj Rachunek wyższy i Geometryą układów ciągłych wraz z Foronomią^[29].
Podział ten przyjmujemy w niniejszéj książce, przyczém w pierwszym tomie zajmiemy się pojęciami i metodami Arytmetyki i Algebry, drugi poświęcimy Analizie, Geometryą zaś, jako mającą swoje odrębne metody, oraz Cynematyką zajmiemy się w tomie trzecim.

5. MATEMATYKA I LOGIKA.

Logika formalna, jako metoda szukania związków pomiędzy przedmiotami, oderwanemi od wszelkiéj treści, jest nauką zbliżoną do Matematyki czystéj. Mając do czynienia z ogólnemi prawami myślenia, t. j. z prawami łączenia pojęć, sądów i wniosków, obejmuje ona prawa łączenia pojęć form matematycznych oraz sądów i wniosków, które z tego łączenia wynikają; jest zatém nauką ogólniejszą od Matematyki i zaliczaną bywa do Teoryi poznania. Wszystkie gałęzie Matematyki można uważać za zastosowania Logiki formalnéj do pojęć poszczególnych form matematycznych^[30].
Organem Logiki formalnéj do ostatnich czasów był język wyrazów, jako główny środek przedstawiania i rozwijania myśli. Gdy wszakże wyrazy nie mają ścisłego i niezmiennego znaczenia, jakie [28]mają, np. symbole matematyczne, gdy dalej na tej drodze kombinacye złożone pojęć i wogóle operacye logiczne w szacie słownéj nie są ani dość przejrzyste, ani też nie zawsze pozwalają na wyprowadzanie wszystkich wniosków z danych rozumowań, przeto jeszcze Leibnitz powziął pomysł zastosowania do przedmiotów i operacyj logicznych takich samych symbolów, jakich używa Matematyka, a mianowicie Algebra, t. j. liter. Pomysł ten dopiero w dziele Boole’a o prawach myśli został po raz pierwszy urzeczywistniony i systematycznie wykonany^[31]. Dziś Logika formalna w szacie matematycznéj, albo, jak ją zazywają, Algebra Logiki posiada wielu pracowników i bogatą literaturę, której wykaz znaleźć można w świeżo wydanym pierwszym tomie obszernego traktatu E. Schrödera^[32].
Ze stosunku Matematyki do Logiki wynika, że Algebra Logiki nie jest bynajmniéj zastosowaniem metod Matematyki do działań logicznych; owszem, mimo tożsamości symbolistyki i wyrażeń technicznych, działania logiczne mają znaczenie wogóle odmienne od działań matematycznych, jakkolwiek istnieją, téż godne uwagi analogie. Zauważyć przytém należy, że przejąwszy symbolistykę od Matematyki, Logika formalna przejęła zarazem zasadniczą właściwość Matematyki, którą jest uogólnianie pojęć, i na téj drodze dochodzi do wyników, jakich nie znała Logika, traktowana sposobem zwykłym.
Zastąpienie mowy słownéj symbolami matematycznemi jest nietylko rodzajem pisma stenograficznego, ale jest zarazem metodą ścisłego wyrażania związków logicznych, nie dopuszczającego żadnéj dwuznaczności i pozwalającego na łatwe i prędkie wyrażanie zachodzących w nauce twierdzeń i wniosków. Jest zasługą matematyka włoskiego G. Peano obmyślenie systemu prostych znaków, za pomocą których wyrażają się prawdy logiczne i zastosowanie tego nowego języka do przedstawiania zasad i twierdzeń rozmaitych gałęzi Matematyki. Najprzód zastosował on tę metodę do Arytmetyki i Geometryi, a obecnie pracuje nad wprowadzeniem tego nowego języka do Matematyki wyższéj. Owocem jego pracy jest najnowsza rozprawa, w któréj się zawiera dowód twierdzenia o całkowalności równań różniczkowych zwyczajnych. W przypisach dajemy zwięzły wykład metody Peano, mającéj, jak się zdaje, piękną przyszłość w nauce^[33].
[29] Od Algebry Logiki należy odróżnić Logikę Matematyki, któréj przedmiotem jest badanie związków logicznych między pojęciami i metodami, gdy samo stosowanie i rozwinięcie tych pojęć i metod jest przedmiotem Matematyki właściwéj.
Logika Matematyki może wychodzić z dwóch punktów widzenia. Po pierwsze może pytać, jaką postać przyjmują metody badania naukowego w zastosowaniu do dziedziny Matematyki?; są to: analiza, synteza, abstrakcya, indukcya i dedukcya. Po drugie może pytać o charakter logiczny metod w poszczególnych dziedzinach Matematyki; są to metody matematyczne właściwe, o jakich mówimy w niniejszéj książce.^[34]

6. ANALIZA I SYNTEZA.

Euklides w następujący sposób określa obie metody: W analizie rzecz szukana uzasadnia się za pomocą kolejnych wniosków, prowadzących do prawdy uznanéj; w syntezie rzecz uzasadnia się za pomocą wniosków, które do niéj prowadzą od prawd uznanych.
Te niezupełne jasne określenia utrwaliły się, jak powiada Hankel^[35], w tradycyi szkolnéj i późniejsze komentarze licznych pisarzy nie uczyniły ich jaśniejszemi. Aby pokazać, na czém istotnie polega różnica obu metod, weźmy dla przykładu jedno z twierdzeń geometrycznych i dowiedźmy go metodą analityczną, a następnie syntetyczną^[36].
“Niechaj będzie prosta AB, podzielona w stosunku skrajnym i średnim w punkcie C, i niechaj AC będzie część większa. [Czytelnik zechce sam nakreślić potrzebny do tego rysunek; punkt D znajduje się po przeciwległéj stronie punktu C względem punktu A]. Jeżeli linia AD równa się połowie linii AB, mówię, że kwadrat odcinka CD jest pięć razy większy od kwadratu odcinka AD„.
1°. Sposób analityczny. Ponieważ kwadrat odcinka CD jest pięć razy większy od kwadratu odcinka AD, kwadrat zaś odcinka CD równa się kwadratowi odcinka AC wraz z kwadratem odcinka AD i podwójnym prostokątem, zbudowanym na odcinkach AC i AD, przeto suma kwadratów odcinków AC i AD i podwójnego prostokąta, wystawionego na tych odcinkach, równa się pięciokrotnemu kwadratowi odcinka AD. Odejmując od wielkości równych po kwadracie z odcinka AD, otrzymujemy, że suma kwadratu [30]odcinka AC i podwójnego prostokąta, wystawionego na odcinkach AC i AD, równa się poczwórnemu kwadratowi z odcinka AD. Lecz podwójny prostokąt, wystawiony na odcinkach AC i AD, równa się prostokątowi, wystawionemu na liniach AC i AB, gdyż linia AB jest dwa razy większą od odcinka AD. Prostokąt, wystawiony na odcinkach AC i BC, równa się kwadratowi, wystawionemu na odcinku AC, gdyż ten ostatni odcinek jest częścią większą linii AB, podzielonéj w stosunku skrajnym i średnim; otrzymujemy tedy, że suma dwóch prostokątów — jednego, wystawionego na liniach AC i AB, drugiego, wystawionego na liniach BC i AB — równa się poczwórnemu kwadratowi, wystawionemu na odcinku AD. Lecz ostatnie dwa prostokąty stanowią razem kwadrat, wystawiony na linii AB; a więc kwadrat, wystawiony na linii AB, jest cztery razy większy od kwadratu, wystawionego na odcinku AD, co jest oczywiście prawdą, gdyż linia AB jest równa podwojonemu odcinkowi AD. Twierdzenie tym sposobem jest dowiedzione.
2°. Sposób syntetyczny. Ponieważ kwadrat linii AB równa się poczwórnemu kwadratowi odcinka AD, kwadrat zaś, wystawiony na linii AB, równa się sumie prostokątów — jednego, wystawionego na liniach AB i AC, drugiego na liniach AB i CB, — przeto suma tych dwóch prostokątów równa się poczwórnemu kwadratowi, wystawionemu na odcinku AD. Lecz pierwszy z tych prostokątów równa się podwójnemu prostokątowi na liniach AD i AC, drugi zaś kwadratowi odcinka AC, a więc suma kwadratu odcinka AC i podwójnego prostokąta, wystawionego na odcinkach AC i AD, równa się poczwórnemu kwadratowi odcinka AD. Dodając do wielkości równych po kwadracie z odcinka AD i zważywszy, że kwadrat z odcinka AC, kwadrat z odcinka AC i podwójny prostokąt, wystawiony na odcinkach AD i AC, stanowią razem kwadrat odcinka CD, otrzymamy, .że ten kwadrat równa się pięciokrotnemu kwadratowi odcinka AD, co należało dowieść.
Jeżeli wprowadzimy następujące oznaczenia

AB = a, AC = b, CB = c, AD = d, CD = f,

to obie metody dadzą się w skróceniu przedstawić w sposób następujący:
1°. Sposób analityczny.

f² = 5 d², f² = b² + d² + 2bd, b² + d² + 2 b d = 5 d², b² = a c, 2 b d = b a, a c + b a = 4 d², a(c + b) = 4 d², a . a = 4 d², a² = 4 d²,

co jest prawdą, gdyż a = 2 d.
2°. Sposób syntetyczny.

a² = 4 d², a(b + c) = 4 d², a b + a c = 4 d², b² = a c, 2 b d = b a, 2 b d + b² = 4 d², d² + 2 b d + b² = 5 d², (b + d)² = 5 d², f² = 5 d²,

co należało dowieść.
Porównywając obie metody dowodzenia, spostrzegamy z łatwością, że metoda syntetyczna jest najzupełniej wystarczającą, gdyż wychodząc z prawdy znanéj i kombinując ją, z innemi prawdami pewnemi i znanemi, dochodzimy w niéj do twierdzenia, którego należało dowieść; gdy tymczasem w metodzie analitycznéj, przyjmując twierdzenie nasze za dowiedzione, przychodzimy wprawdzie do prawdy uznanéj, nie mamy wszelako zupełnéj pewności, czy wychodząc i z innych założeń, różnych od przyjętego, nie doszlibysmydoszlibyśmy do tego samego wyniku. Aby więc upewnić się, czy metoda analityczna w naszym przypadku prowadzi do twierdzenia szukanego, należy jeszcze dowieść, że gdy kwadrat odcinka CD nie jest równy pięciokrotnemu kwadratowi odcinka AD, to stąd wyniknie że poczwórny kwadrat odcinka AD nie jest równy kwadratowi odcinka AB.
W jednym przypadku można dowodzenie analityczne uważać za wystarczające, mianowicie, jeżeli wychodząc z pewnego założenia [32]i kombinując je z prawdami poprzednio dowiedzionemi, dochodzimy do wniosku niezgodnego z prawdą: wtedy bowiem założenie musiało być oczywiście fałszywe, gdyż jest rzeczą niemożliwą, aby z prawdy, uznanéj za pewną, można było przez kombinacyą z prawdami dowiedzionemi dojść do wniosku niezgodnego z prawdą. W tym przypadku sposób dowodzenia znany jest pod nazwą sprowadzenia do niedorzeczności (reductio ad absurdum) i jest najzupełniej wystarczający, jakkolwiek może nie posiada téj siły przekonywającéj, jaką ma sposób dowodzenia bezpośredni. Mimo to sposób ten często był używany przez starożytnych i dopiero metody Rachunku wyższego Matematyki nowożytnéj dały nam środek zastąpienia go sposobem bezpośrednim dowodzenia.
Hankel^[37] scharakteryzował metody syntetyczną i analityczną w Geometryi starożytnych i określił warunki, pod któremi są one zawsze stosowalne, w sposób następujący.
Każde twierdzenie geometryczne wyraża, że gdy pewna figura posiada pewną własność A, wtedy koniecznie i ogólnie posiada inną własność B, czyli mówiąc krótko: jeżeli jest A, to musi być i B.
Jeżeli obok tego twierdzenia zachodzi i drugie twierdzenie, mianowicie: jeżeli niema A, to niema i B, to oba twierdzenia można zawrzeć w jedném: A jest warunkiem koniecznym i dostatecznym dla B. Ponieważ wynika stąd, że gdy jest B, to jest i A, a więc w tym przypadku twierdzenie jest bezwarunkowo i ogólnie odwracalne: obie własności A i B warunkują się wzajemnie.
W przypadku gdy A nie jest koniecznym warunkiem zachodzenia B, twierdzenie “A jest B„ nie jest odwracalne i wynika z niego jedno z dwóch; “B jest A„ albo “B jest nie-A„. W tym właśnie przypadku znajdują się wszystkie twierdzenia, w których B jest własnością podrzędną, w A zawartą, jakiej się używa często w twierdzeniach pomocniczych. Twierdzenie zaś, wyrażające związek pewnéj własności A z inną, nie zawartą z nią logicznie, musi być odwracalne. Twierdzenie: “Jeżeli jest A, to jest i B„ gdy nie jest odwracalne, wskazuje, że istnieje inne twierdzenie odwracalne: “Jeżeli jest A′ to jest i B′„, gdzie A′ oznacza własność ogólniejszą od własności A, lub B′ wyraża własność specyalniejszą od własności B.
Synteza przy dowodzeniu twierdzenia “A jest B„ polega na kombinowaniu twierdzeń, poprzednio dowiedzionych: “A jest D„, [33]“D jest E„..., dopóki nie dojdziemy do wyniku “F jest B„, skąd bezpośrednio wnosimy: “A jest B„.
Analiza przy dowodzeniu twierdzenia “A jest B„ polega na kombinowaniu twierdzeń: “B jest C„, “C jest D„..., skąd wynika “A jest C„, “A jest D„... póki nie dojdziemy do wyniku “A jest E„, który jest albo fałszywy, albo wyraża pewną własność figury. W pierwszym przypadku, jak to już powiedzieliśmy, twierdzenie “A jest B„ jest stanowczo fałszywém, w drugim zaś jest prawdziwém, ale tylko przy warunku, aby wszystkie twierdzenia użyte, poprzednio stosowane, były odwracalne.
O ile synteza przeważała u starożytnych przy dowodzeniu twierdzeń, o tyle analiza znowu miała ważniejsze znaczenie, jako droga rozwiązywania zagadnień; czytelnika, interesującego się tą kwestyą stosowania analizy do zagadnień, odsyłamy po bliższe szczegóły do dzieł Hankela i Duhamela^[38], z których ostatni znaczną część pierwszego tomu swojéj książki o metodach rozumowania w naukach ścisłych poświęca analizie i syntezie starożytnych.
W Matematyce dzisiejszéj analiza i synteza utraciły znaczenie dawne i przybrały znaczenie zupełnie odmienne. Przez analizę rozumiemy dziś zbiór metod rachunkowych, a w ściślejszém znaczeniu Rachunek wyższy czyli nieskończonościowy; synteza zaś oznacza badanie bezpośrednie form geometrycznych i foronomicznych. Geometrya zowie się analityczną, jeżeli formy geometryczne badamy w niej pod postacią form liczbowych, im odpowiadających; syntetyczną zaś, jeżeli nie posiłkujemy się narzędziem rachunkowém i używamy jedynie konstrukcyj geometrycznych. Gdy idzie o dowodzenie twierdzeń w którejkolwiek gałęzi nauk matematycznych, używamy bez żadnéj różnicy jednej lub drugiej drogi rozumowania, którą, starożytni starannie odróżniali, jako analizę i syntezę; dziś jednak nie przywiązujemy znaczenia do tych nazw specyalnych, gdyż analiza i synteza są obie w usługach dedukcyi, stanowiącéj przeważną metodę rozumowań matematycznych^[39].

7. ZASADA ZACHOWANIA I WARUNKI STOSOWALNOŚCI DZIAŁAŃ FORMALNYCH.

Wiemy już z powyższego, że Matematyka rozwija się, dzięki uogólnianiu pojęć i związków pomiędzy przedmiotami swojego [34]badania. Jak z postępem techniki człowiek z kombinacyi najprostszych machin, spożytkowując czynniki przyrody, zdobywa coraz doskonalsze narzędzia pracy, podobnież w Matematyce uogólnianie pojęć, będące wynikiem pracy umysłowéj pokoleń, daje nowe i doskonalsze narzędzia myślenia, które następnie z pożytkiem stosujemy do badania przyrody. Najbardziéj oderwane i wyidealizowane formy matematyczne, którym zdaje się nie odpowiadać nic rzeczywistego, okazują się następnie potężnemi narzędziami badania; za przykład służyć mogą nieskończenie małe, jedna z najważniejszych form Matematyki wyższéj, dzięki któréj udoskonaliły się tak znakomicie Mechanika, Astronomia i Fizyka. Ważność i płodność tego kierunku twórczości ludzkiéj wykazują dostatecznie dzieje nauki, a prawa tego postępu myśli w nauce tak ścisłéj, jak Matematyka, stanowią zadanie wielce ciekawe dla filozofa^[40].
Przed 23 laty Hankel^[41] sformułował dla dziedziny liczb zasadę, którą kierujemy się zwykle przy uogólnianiu prawd i związków matematycznych, i nazwał ją zasadą zachowania praw formalnych [Prinzip der Permanenz formaler Gesetze]. W postaci nadanéj przez Hankela, zasada ta jest właściwie tylko szczególnym przypadkiem zasady ogólniejszéj, którą niżej podajemy.
Oto jak uzasadnia rzecz tę Hankel:
Niechaj a,b,c... będą pewne formy lub związki pomiędzy formamiformami. Wyobraźmy sobie, że formy a i b skombinowaliśmy czysto pojęciowo i że na wypadek tego połączenia czyli działania otrzymaliśmy nową formę c. Forma ta we wszystkich działaniach, jakie nad formami wykonywać będziemy, zastępuje połączenie form a i b, jest równą temu połączeniu. Rzecz oczywista, że jeżeli formy łączyć będziemy ze sobą według pewnych stałych prawideł, to pomiędzy wynikami różnych połączeń otrzymamy pewne związki, wynikające z saméj natury połączeń, bez względu na istotę form łączonych ze sobą; związki, dające się wyprowadzić z samych założeń drogą dedukcyi. Ponieważ natura połączeń form jest zupełnie dowolną, więc i prawidła działań czysto formalnych są zupełnie dowolne, z tém tylko zastrzeżeniem, aby nie wyłączały się wzajemnie i nie zawierały się jedne w drugich: wybieramy przeto prawidła bezwzględnie dostateczne.
Można oczywiście utworzyć system takich form, w którym wszystkie formy i działania są określone dostatecznie [i nie bardziej niż [35]dostatecznie], który wszakże pozostanie bez wartości, jeżeli w tworzeniu systemu nie zwracaliśmy wcale uwagi na znaczenie działań. Aby więc nasze formalne działania miały istotne znaczenie dla nauki, trzeba, aby prawidła ich obejmowały w sobie prawidła działań nad formami znanemi, aby z jednéj dziedziny można było działania te przenieść do innéj, gdzie mają już znaczenie ustalone. Albo, objaśniając rzecz na przykładzie: jeżeli tworzymy nowe liczby np. urojone, trzeba działania nad temi liczbami poddać takim prawidłom, któreby jako szczególny przypadek zawierały w sobie działania nad liczbami rzeczywistemi; jeżeli wprowadzamy potęgi z wykładnikami ułamkowemi, trzeba, aby działania nad nowemi formami dawały nam wyniki pewne i ustalone, jeżeli ułamki staną się równe liczbom całkowitym.
Zasadę zachowania w zastosowaniu do liczb Hankel wypowiada w ten sposób: “Jeżeli dwie formy, wyrażone w ogólnych znakach algebraicznych, są sobie równe, to mają takiemi pozostać, jeżeli znaki te nie oznaczają liczb rzeczywistych, gdy przeto działania nad niemi otrzymują nowe znaczenie„.
Dodaje przy tém Hankel, że nie należy zasady téj stosować wszędzie bez żadnych zastrzeżeń; że ma ona służyć przedewszystkiém do określenia prawideł koniecznych i dostatecznych, o ile te są od siebie niezależne, ale wymaga zarazem, by stosowanie zasady pozwalało na rozwinięcie należytéj ogólności w tworzeniu form.
Zasadę zachowania możemy wypowiedzieć w postaci ogólniejszéj, a mianowicie:
“Jeżeli formy pewné, określonéj dziedziny poddajemy określonym konstrukcyom i działaniom, które doprowadzają do pewnych związków między formami téj dziedziny, to związki te uważamy, za zachodzące i wtedy, gdy konstrukcye i działania prowadzą do wyników, których nie można uważać za formy, bezpośrednio do naszéj dziedziny należące„.
Utrzymanie właśnie związków tych samych dla jednych i drugich form pozwala objąć te formy jedną dziedziną rozszerzoną.
Jeżeli teraz z góry pomyślimy sobie dwie dziedziny czyli rozmaitości takie, że każdéj formie czyli każdemu elementowi jednéj rozmaitości odpowiada pewna forma lub element drugiéj; jeżeli to przejście od jednéj rozmaitości do drugiéj, stanowiące pewien proces myślowy, mający swój wyraz w pewnéj konstrukcyi lub działaniu, [36]nazwiemy wogóle odwzorowaniem lub przekształceniem, to z poprzedniego wynika zasada odwrotna:
“Można pomyśleć takie przekształcenia, iż związki, zachodzące między formami pierwszéj rozmaitości zachodzić będą pomiędzy formami drugiéj; pomyślane przekształcenia mają tę własność, że nie zmieniają związków zachodzących pomiędzy formami„.
Przetłomaczona na język geometryczny zasada wypowiedziana w tém twierdzeniu prowadzi nietylko bezpośrednio do dwóch ogólnych zasad Geometryi: dwoistości i odpowiedniości [la dualité et homographie)] Chasles’a^[42], ale sięga jeszcze daléj i głębiéj; przez wprowadzenie bowiem pojęcia grupy przekształcenia t. j. szeregu przekształceń, mających tę własność, że każda zmiana, wynikająca z kombinowania tych przekształceń, znajduje się w tym szeregu, prowadzi do zagadnienia, obejmującego w sobie najwyższe uogólnienie Geometryi, które w przedstawieniu F. Kleina^[43] wyraża się w ten sposób:
“Dana jest rozmaitość i w niej pewna grupa przekształcenia; zbadać formy należące do jéj rozmaitości co do takich własności, które nie zmieniają się przez przekształcenia téj grupy„.
Tak więc zasada zachowania panuje nad rozwojem Geometryi; z niéj to wypływają: ważna zasada ciągłości [principe de continuité] Ponceleta^[44] i wspomniane dwie zasady Chasles'a, ona to kierowała twórczością Steinera^[45], który “odkrył organizm, łączący najróżnorodniejsze zjawiska w świecie przestrzeni”. Potężny jéj wpływ widocznym jest w Analizie, gdzie nietylko otworzyła dla umysłu dziedziny nowych liczb, ale i teoryą funkcyj doprowadziła do wysokich uogólnień. Ona to była kierowniczką wielkiego matematyka Wrońskiego w zdobywaniu dla nauki nowych poglądów; ona doprowadziła go do prawa najwyższego^[46], które uważał za twierdzenie naczelne całéj wiedzy matematycznéj. Śmiało rzec można, że całkowity rozwój Matematyki odbywa się pod przewodnictwem zasady zachowania, pojętéj w całéj jéj ogólności. Ponieważ zaś rozwój nauk fizycznych ściśle jest związany z postępem nauk matematycznych, łatwo przeto rozumieć, że wpływ tej zasady musi się dać uwidocznić i w pierwszych. W saméj rzeczy, w naukach fizycznych zasada zachowania uwidocznia się w związkach stałych, zachodzących pomiędzy elementami zjawisk w rozmaitych dziedzinach; Fizyka związki te odkrywa, Matematyka zaś urabia je w formy sobie [37]właściwe i odpowiedniemu poddaje badaniu. Zastosowanie Matematyki do nauk realnych polega właśnie na tém, że związki formalne, jakie Matematyka stwarza, znajdują swoje urzeczywistnienie w związkach, zachodzących pomiędzy elementami zjawisk.
Zasada zachowania jest wszakże tylko kierującą; oprócz niéj konieczną jest zasada regulująca, aby uogólnienia pojęć, działań i związków nie doprowadzały ani do sprzeczności logicznych, ani do niezgodności z prawdami, poprzednio dowiedzionemi. Zasadę tę możemy wyrazić w sposób następujący:
“Wszelkie związki, konstrukcye i działania w dziedzinie form nowych nie powinny prowadzić do wyników logicznie sprzecznych lub niezgodnych z prawami, odnoszącemi się do dziedziny form dawnych„.
W wielu razach, do usunięcia téj sprzeczności lub niezgodności wystarcza, jeżeli przy przenoszeniu związków z dziedziny pierwotnéj do dziedziny ogólniejszéj pomijamy pewne prawa, które w takim razie charakteryzować będą specyalnie dziedzinę pierwotną. Niekiedy jednak, gdy do form ogólniejszych dochodzimy inną drogą, wyjaśnienie i zbadanie niezgodności logicznéj, a zarazem określenie dziedziny form uogólnionych za pomocą warunków koniecznych i dostatecznych jest rzeczą niełatwą, i to stanowi powód, dla którego często uogólnienia nauki nie mają tak szerokiego zastosowania, jakie im przypisywano, dlaczego np. prawo najwyższe nie ziściło w całéj rozciągłości oczekiwań jego twórcy.
Stosowalność prawa zachowania w specyalnych dziedzinach badania powinno dać się w ogólności sformułować za pomocą warunków, wyrażających niezmienność pewnych form oznaczonych przy wszelkich zmianach i konstrukcyach, jakie w badanéj dziedzinie wykonywamy; co ostatecznie wyrażać powinno konieczność zgodności logicznéj wyników całego biegu rozumowań z prawdami, przyjętemi za podstawę badania. W naukach formalnych tę podstawę stanowią, jak wiadomo, poczynione założenia; w naukach realnych — system faktów zasadniczych, hypotez lub wreszcie praw natury.
Zbadanie istoty prawa zachowania i warunków jego stosowalności w Matematyce godném jest gruntowniejszych niż dotąd studyów ze strony filozofów wiedzy. Tymczasem to, co znajdujemy u Wundta^[47] lub Brixa^[48] i innych, którzy ze stanowiska Teoryi poznania badali podstawy wiedzy matematycznéj, jest mało wystarczające. Dubois-Reymond^[49], który nie należy do zwolenników wybitnie [38]formalnego kierunku dzisiejszéj Matematyki, zapatruje się też sceptycznie i na samą zasadę zachowania, opierając się na tém, że istnieje wiele przypadków, w których zasada ta prowadzi do wyników zupełnie fałszywych. Jako przykład podaje on twierdzenie

{{\frac {d}{dx}}\sum _{1}^{\infty }{u_{p}}=\sum _{1}^{\infty }{{\frac {d}{dx}}u_{p}}}

które, jak wiadomo, wypowiada swoje usługi w wielu przypadkach. Uwaga Dubois-Reymonda jest słuszną, ale nie świadczy na niekorzyść samej zasady, owszem powinna, zdaniem naszém, pobudzić matematyków do badania granic jéj stosowalności.

↑ O niedostateczności określenia Matematyki, jako nauki o wielkościach, mówią: K. Ch. Fr. Krause, Tagblatt des Menschcheitslebens, 1811. porówn. wydane w r. 1889 tegoż Philosophische Abhandlungen, str. 271, i następne; H. Grassmann, Ausdehnungslehre, wydanie 2-e, 1878, str. XXII, i inni.
↑ Nazwy formy dla utworów matematycznych używa H. Grassmann Ausdehnungslehre, str. XXII. Matematyka jest według niego nauką o formach [Formenlehre]. Według Roberta Grassmanna, Die Formenlehre oder Mathematik, 1872, nauka o formach czyli Matematyka jest nauką o prawach ścisłego naukowego myślenia i składa się z pięciu gałęzi, a mianowicie: z nauki o wielkościach, Logiki, nauki o kombinacyach, nauki o liczbach i z nauki o rozciągłości [Ausenlehre].
↑ Grassmann, Ausdehnungslehre, str. XXII.
↑ Kant, Kritik der reinen Vernunft, wydanie Erdmanna 1880. Pogląd ten wypowiedziany jest w wielu miejscach np. na str. 145, 488—494 i t. d.
↑ Wroński, Introduction à la philosophie des Mathématiques, 1811, str. 1—4. Porówn. także tegoż, Sept manuscrits inédits écrits de 1803 à 1806, oeuvres posthumes, 1879.
↑ Comte, Cours de philosophie positive, wydanie z r. 1863, I, str. 98.
↑ Wundt, System der Philosophie, 1889, str. 26.
↑ Wundt, tamże, str. 123.
↑ Hankel, Theorie der complexen Zahlensysteme, 1867, str. 48.
↑ Bolzano, Paradoxien des Unendlichen. Wydanie 2-e, 1889, strstr. 4—5.
↑ Paul Dubois-Reymond, Die allgemeine Functionentheorie, 1882, str. 14—57.
↑ Dziś wyraz moduł; w znaczeniu użytém w tekście, zastępujemy wprowadzonem przez Weierstrassa wyrażeniem wartość bezwzględna.
↑ H. Grassmann, Lehrbuch der Arithmetik, 1861, str. 1.
↑ Helmholtz. Zählen und Messen, erkenntnisstheoretisch betrachtet [Philosophische Aufsätze, Eduard Zeller zu seinem fünfzigjährigen Doctorjubiläum gewidmet, 1887, str. 16—52]. W roku 1868 Riemann w rozprawie, napisanéj jeszcze w r. 1854., Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen [Göttinger Abhandlungen, XIII, 1 — 20, także B. Riemann's Gesammelte mathematische Werke, 1876, str. 254 — 269; przekład polski S. Dicksteina i Wł. Gosiewskiego w Pamiętniku Towarzystwa Nauk Ścisłych w Paryżu, IX, 1877] i jednocześnie Helmholtz w pracy: Ueber die Thatsachen der Geometrie [Göttinger Nachrichten, 193—221, także Wissenschaftliche Abhandlungen von Hermann Helmholtz, II, 1883, str. 618 — 639], zajęli się zbadaniem podstaw, na których spoczywa nasza Geometrya. Te znakomite rozprawy wpłynęły na pogłębienie całéj wiedzy matematycznéj i z rodziły bogatą literaturę [porówn. Wiadomość o pracach z dziedziny Geometryi wielowymiarowéj, Prace matematyczno-fiyczne, I, 1888, str. 128—135]. Wyniki tych nowych badań przedstawimy we własciwém miejscu; tu powiemy tylko, że Helmholtz hołduje teoryi empirystycznéj, według któréj pewniki Geometryi nie są twierdzeniami a priori, jak utrzymuje Kant, lecz prawdami, które doświadczeniem zdobywamy i któremi jedynie doświadczenie zachwiać by mogło. Rozprawa o liczeniu i mierzeniu ma być odnośnie do Arytmetyki dopełnieniem tych poglądów wielkiego fizyka. Winniśmy dodać, że pod tym względem miał Helmholtz poprzedników w Grassmannie, Hankelu i Schröderze. Równocześnie z pracą podobnéj treści wystąpił Kronecker w rozprawie, Ueber den Zahlbegriff. [Philosophische Aufsätze i t. d., str. 263—274.]. Z krytyką poglądów Helmholtza i Kroneckera występują: G. Cantor, Zur Lehre von Transfiniten, 1890, str. 17, oraz Kerry, Ueber Anschauung und ihre psychische Verarbeitung [Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie, XIV, 1890, str. 317—353].
↑ ^15,0 ^15,1 Porówn. Everetta, Jednostki i stałe fizyczne, przekład polski J. J. Boguskiego, 1885., Wł. Natansona, Wstęp do Fizyki teoretycznéj, 1890, str. 8—11., oraz J. Bertranda, Leçons sur la théorie mathématique de l’électricité, 1890, str. 266—296.
N. Thiele, Til Afslutning af Regneundervisningen, 1883, dzieli przedmioty badań matematycznych na pięć klas następujących: Do pierwszéj należą mnogości, posiadające jedność bezwzględną [indywiduum] i dające się przedstawić za pomocą liczb całkowitych. Do drugiéj wielkości [długości, powierzchnie, objętości, ciężary, wartości]; te mają jedności względne, dowolnie przyjęte, a do opisu ich potrzebne są liczby ułamkowe i niewymierne dodatne.dodatnie. Przedmioty pierwszéj i drugiéj klasy mają zero bezwzględne. Trzecią klasę stanowią punkty rzeczowe — Tingpunkter — [temperatura, momenty czasu, punkty na prostéj nieograniczonéj], przy opisie których nie potrzeba ani zera bezwzględnego ani jedności bezwzględnéj; mają one tylko zero względne i jedności względne. Do klasy czwartéj należą “wyrazy„ — Led — [np. wyrazy nieskończonego łańcucha], mają one jedności bezwzględne, lecz nie mają bezwzględnego zera. Wreszcie do klasy piątéj zalicza Thiele kąty i wogóle przedmioty, prowadzące do pojęć, niedających się zawrzeć w jednéj z klas poprzednich.
↑ Niemożność utworzenia Matematyki wielkości intensywnych tkwi według Dühringa, [Logik und Wissenschaftstheorie, 1878, str. 254] w braku koncepcyj czysto myślowych i czysto konstrukcyjnych odnośnie do istoty materyi. “Gdyby, powiada on, o ogólnym ośrodku materyalnym można było powiedzieć coś podobnego do tego, co się mówi w pewnikach o przestrzeni, i gdyby nad tworami, zawartemi w tych orzeczeniach, można było wykonywać takie same działania, jakie wykonywa Arytmetyka na liczbach, albo téż Matematyka w ogóle w przestrzeni i czasie, to doszlibyśmy do nowéj Matematyki materyi. Przy braku takich pojęć, dochodzimy tylko jedynie do zastosowań Matematyki do materyi i do ciał fizycznych„.
↑ Kant, Kritik der reinen Vernunft. Wydanie Erdmanna, 1880. str. 163.
↑ G. Cantor, Ueber unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten. [Mathematische Annalen, XX, 1882, str. 113.].
↑ Dedekind. Was sind und sollen die Zahlen, 1888.; porów. też pracę tegoż autora: Stetigkeit und irrationale Zahlen, 1872, w któréj istotę ciągłości widzi w następującém twierdzeniu: “Jeżeli punkty na prostéj rozpadają się na dwie klasy w ten sposób, że każdy punkt pierwszéj klasy leży na lewo od każdego punktu drugiéj, to istnieje jeden i tylko jeden punkt, który daje ten podział punktów na dwie klasy, to rozcięcie prostéj na dwie części„. Za Dedekindem idzie Stolz w Vorlesungen über allgemeine Arithmetik, 1885, I, str. 80—84.
↑ Cohen, Das Prinzip der Infinitesimalmethode und seine Geschichte, 1883. str. 37.
↑ A. Fick, Das Grössengebiet der vier Rechnungsarten, 1880, str. 6.
↑ Wernicke, Die asymptotische Function des Bewusstseins. [Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie, XI, str. 485].
↑ H. Grassmann, Ausdehnungslehre, str. XXIII, XXIV.
↑ Do systemu wiedzy matematycznéj należy Rachunek prawdopodobieństwa, nie wymieniony wyraźnie w tekście. Nauka ta, będąca według wyrażenia Laplace’a „zdrowym“zdrowym rozsądkiem sprowadzonym do rachunku„, według Wrońskiego “teoryą prawa teleologicznego, jakie rządzi przypadkiem„ [loi téléologique du hasard], ze względu na metodę swoją należy do Algebry i Analizy, ze względu na pojęcie zasadnicze prawdopodobieństwa do Teoryi poznania i do Logiki, ze względu wreszcie na zastosowania do różnych gałęzi wiedzy może być zaliczoną do Matematyki stosowanéj. Teorya prawdopodobieństwa jest dotąd więcéj wyrobioną pod względem metod matematycznych, aniżeli pod względem teoretyczno-poznawczym.
↑ Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica. Przedmowa. Przekład niemiecki Wolfersa, 1872, str. 1.
↑ Gauss w liście do Bessela w r. 1829. Porówn.: Kronecker, Ueber den Zahlbegriff [Journal für die reine und angewandte Mathematik, CI, str. 339].
↑ Grassmann, Ausdehnungslehre, str. XXIII.
↑ Wroński, Introduction i t. d. str. 464 i następne, dzieli tak Algorytmią jak i Geometryą na dwie gałęzie: Teoryą i Technią. Teoryą nazywa on ogół twierdzeń, czyli podań, mających za przedmiot naturę ilości, t.jt.j. form matematycznych, Technią — ogół metod, które on nazywa podaniami, odnoszącemi się do mierzenia tychże form. Mamy więc Teoryą i Technią Algorytmii oraz Teoryą i Technią Geometryi. Dalszy podział każdéj z tych części oparty jest na istocie działań matematycznych, a mianowicie. jeżeli Teorya i Technia używają tylko działań elementarnych, noszą nazwę Teoryi i Technii elementarnéj; jeżeli używają “systemów„ działań elementarnych, noszą nazwę Teoryi i Technii systematycznéj. Prócz tego tak Teorya i Technia mogą się odnosić już to do powstawania [génération] form matematycznych, już to do ich związków wzajemnych, do ich porównania [comparaison]; stąd wynika dalsze rozczłonkowanie systemu Matematyki. Cały swój system przedstawił Wroński na wielkiéj tablicy “architektonicznéj„, dołączonéj do swego dzieła, i uzasadnił go szczegółowo w tekscie. Wrońskiemu też wspólnie z Kantem i Cantorem przypada zasługa wprowadzenia Foronomii do systemu Matematyki czystéj; patrz jego dzieło Sept manuscrits i t. d. Porówn. S. Dickstein, Foronomia Wrońskiego [Rocznik Towarzystwa Przyjaciół Nauk w Poznaniu, XVII, 1890.].

↑ Arytmetyka i Algebra obie zajmują się liczbami; obu podstawą jest teorya działań, dziedziny ich wzajemnie się krzyżują. W znaczeniu ściślejszém pod nazwą Arytmetyki rozumiemy Teoryą liczb, to jest naukę o liczbach całkowitych, o funkcyach, za pomocą skończonej liczby działań elementarnych utworzonych a takie liczby przedstawiających, i w ogóle o układach czyli ciałach liczbowych, za pomocą podobnych funkcyj określonych; przyczém pod nazwą liczb całkowitych rozumiemy nie tylko liczby całkowite rzeczywiste [Teorya liczb zwyczajna] ale i liczby całkowite urojone, idealne, ideały. Główném zadaniem Algebry jest ogólne badanie funkcyj, zbudowanych za pomocą skończonéj liczby działań zasadniczych, równań, z takich funkcyj utworzonych, i liczb oraz ogólniéj fuukcyj, przez takie równania określonych. Lecz gdy badania arytmetyczne są przywiązane niejako do stałego układu liczb określonéj natury, badania algebraiczne, przeciwnie, są prowadzone bez względu na podobny układ; pierwsze są specyalne, drugie ogólne, skąd płynie różnica metod w obu naukach, którą Wroński charakteryzuje, nazywając metody Teoryi liczb teleologicznemi [celowemi]. Według pomysłów, które obecnie rozwija Kronecker, cała treść badań algebraicznych powinna dać się “zarytmetyzować„, t.j. Algebra zamienić na Arytmetykę czyli Teoryą liczb. Tym sposobem obie nauki, wyszedłszy z jednéj podstawy i rozwijając każda swe metody, złączyłyby się we wspólnych pojęciach i metodach. We właściwém miejscu rzecz tę szczegółowo przedstawimy. Ważne metody Algebry, które rozwinęły się nawet w samodzielne gałęzie, mianowicie: Teorya podstawień i grup, Teorya przekształceń i niezmienników, stanowią tak nazwaną Algebrę nową. Jeszcze ogólniejsze formy i za pomocą ogólniejszych metod bada Rachunek wyższy czyli Analiza. Funkcye, któremi się ta gałąź Matematyki zajmuje, nie są pod względem tworzenia swego ograniczone do skończonéj liczby działań elementarnych, a główném narzędziem badania są tu pojęcia graniczne czyli nieskończonościowe, do których zalicza się także pojęcie ciągłości, zbieżności i t. d. Można Rachunek wyższy nazwać Teoryą funkcyj matematycznych, najogólniej uważanych. Analiza ma oczywiście wiele punktów wspólnych z Algebrą, i wogóle wszystkie trzy nauki: Arytmetyka, Algebra i Analiza, stanowią właściwie jednę tylko umiejętność, w której formy matematyczne badamy z różnych stanowisk, i, co za tém idzie, przy pomocy różnych narzędzi. Słusznie przeto wszystkie je połączył Wroński jedną nazwą Algorytmii.
Przedmiot nauk, nazywanych w szkole Arytmetyką i Algebrą, stanowi zbiór wiadomości elementarnych z trzech dziedzin powyższych. Arytmetyka elementarna obejmuje naukę czterech działań nad liczbami całkowitemi i ułamkami, przedstawionemi w dziesiętnym układzie liczenia wraz z zastosowaniami do zadań praktycznych. Algebra elementarna obejmuje naukę o liczbach ujemnych, elementy teoryi funkcyj całkowitych i rozwiązywania równań algebraicznych oraz teoryą kombinacyi, z analizy zaś przejmuje elementarną teoryą postępów geometrycznych nieskończonych i teoryą logarytmów.
Aby dać wyobrażenie o bogatym rozwoju dzisiejszéj Matematyki, przedstawiamy tu tytuły działów i poddziałów, na jakie dzielą się sprawozdania o postępie Matematyki czystéj, podawane w specyalném czasopismie Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, według XIX-go rocznika tego pisma:

I. Historya i Filozofia Matematyki.

II. Algebra.

1. Równania. Teorya ogólna. Równania algebraiczne szczególne.

2. Teorya form.

3. Eliminacya i podstawienia. Wyznaczniki i funkcye symetryczne.

III. Arytmetyka niższa i wyższa.

1. Arytmetyka niższa.

2. Teorya liczb.

a) Rzeczy ogólne.

b) Teorya form.

c) Teorya ułamków ciągłych.

IV. Rachunek prawdopodobieństwu. Nauka o kombinacyach,

V. Szeregi.

a) Rzeczy ogólne.

b) Szeregi szczególne.

VI. Rachunek różniczkowy i całkowy.

1. Rzeczy ogólne.

2. Rachunek różniczkowy [Różniczki, funkcye różniczek, maksyma i minima].

3. Rachunek całkowy.

4. Całki określone.

5. Równania różniczkowe zwyczajne.

6. Równania różniczkowe cząstkowe.

7. Rachunek waryacyjny.

VII. Teorya funkcyj.

1. Rzeczy ogólne.

2. Funkcye szczególne.

a) Funkcye elementarne.

b) Funkcye eliptyczne.

c) Funkcye hypereliptyczne, Abelowe i t. p.

d) Funkcye kuliste i t. p.

VIII. Geometrya czysta, elementarna i syntetyczna.

1. Zasady Geometryi,

2. Badania w dziedzinie ciągłości.

3. Geometrya elementarna. (Planimetrya , Trygonometrya, Stereometrya].

4. Geometrya wykreślna.

5. Geometrya nowa syntetyczna.

a) Rzeczy ogólne.

b) Utwory płaskie szczególne.

c) Utwory przestrzenne szczególne.

d) Geometrya licząca.

IX. Geometrya analityczna.

1. Współrzędne.

2. Geometrya płaska.

a) Ogólna teorya krzywych płaskich.

b) Teorya krzywych algebraicznych.

c) Proste i stożkowe.

d) Inne krzywe specyalne.

3. Geometrya analityczna przestrzeni.

a) Ogólna teorya powierzchni i krzywych w przestrzeni.

b) Teorya powierzchni i krzywych algebraicznych

c) Utwory przestrzenne 1-go, 2-go, 3-go stopnia.

d) Inne specyalne utwory przestrzenne.

4. Geometrya liniowa [kompleksy, układy promieni].

5. Pokrewieństwo, przekształcenia liniowe, odwzorowania.

a) Pokrewieństwo, przeksztalcenie liniowe i odwzorowanie.

b) Odwzorowanie podobne [conforme Abbildung].

Wundt, Ueber die Eintheilung der Wissenschaften, [Philosophische Studien, 1888, str. 1—55] przedstawia nauki matematyczne w następującym systemie:

I. Nauki matematyczne ogólne.

A) Nauka form ilościowych: Nauka o wielkościach.	B) Nauka form jakościowych: Teorya rozmaitości.
1. Nauki o działaniach nad wielkościami: Algebra.
2. Teorya związków pomiędzy wielkościami: Teorya funkcyj.

II. Nauki matematyczne specyalne.

A) Nauka o liczbach.	B) Nauka o przestrzeni:
1. Nauka o działaniach nad liczbami.	1. Geometrya syntetyczna: Nauka o powstawaniu form przestrzennych z elementów.
2. Teorya liczb: Nauka o liczbach i związkach pomiędzy niemi.	2. Geometrya analityczna: Teorya zastosowania pojęć wielkościowych do utworów przestrzennych.
C) Nauka o ruchu.
1. Cynematyka syntetyczna: Nauka o składaniu ruchów.
2. Cynematyka analityczna: Zastosowanie ogólnych pojęć wielkościowych do zagadnień ruchu

Porówn. uwagi nad tym systemem w artykule S. Dicksteina, O najnowszych próbach klasyfikacyi nauk. [Ateneum, 1889, I, str. 266 i dalsze.].

↑ Wundt, Ueber die Eintheilung der Wissenschaften [Philosophishe Studien, V, 1889, str. 35.].
↑ G. Boole, An investigation of the Laws of thought on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities. 1854. Treściwie zebrane wiadomości o pracach uczonych angielskich nad Logiką formalną znaleźć można w książeczce Liarda, Les logiciens anglais contemporains, 2-e wyd. 1883, która wyszła i w niemieckim przekładzie p. t. Die neuere englische Logik, 2-e wyd. 1883, Inne próby Logiki, traktowanéj sposobem matematycznym, ogłosili J. Delboeuf, Logique algorithmique, Essai sur un système de signes appliqué a la Logique, 1877, i G. Frege, Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens; wszakże tylko metody logików angielskich wywalczyły sobie pierwszeństwo przed innemi.
Dzieło Jevonsa p. t. The Principles of science, a 'Treatise on logic and scientific method, 1887 [wydanie drugie] zawiera wykład Logiki formalnéj, zastosowanie téjże do nauki o liczbach, do teoryi kombinacyi, przemian, prawdopodobieństwa, do metod mierzenia, do badań indukcyjnych, do teoryi uogólnień, analogii i klasyfikacyi.
↑ E. Schröder, Vorlesungen über die Algebra der Logik [exacte Logik]. Tom I. 1890. Krótki wykład Algebry logicznéj znaleźć można w rozprawie St. Piątkiewicza, Algebra w Logice [Sprawozdanie gimnazyum we Lwowie za rok 1888].

↑ Peano wyłożył metodę swoją w następujących rozprawach: Arithmetices principia nova methodo exposita, 1889; Principii di Geometria logicamente esposti, 1889; Les propositions du cinquième livre d'Euclide, réduites en formules [Mathesis, X, 1890, str. 73—74]; Démonstration de l’integrabilité des équations différentielles ordinaires [Mathematische Annalen, XXVII, 1890]. O metodzie téj powziąć można wyobrażenie z następującego treściwego jej przedstawienia:
Znaki, używane w téj metodzie, są następujące:
K oznacza klasę [rozmaitość, mnogość przedmiotów i t. p.], ∪ oznacza spójnik i, ∩ albo, ε znaczy jest, = równa się, ⊃ jest zawarty albo wynika Λ — nic albo niedorzeczność.
Jeżeli a, b, c są K [klasami], to

a ∩ b ∩ c	oznacza:	klasę wspólną klasom a, b, c.
abc	„	to samo co a ∩ b ∩ c.
a ∪ b ∪ c	„	najmniejszą klasę, zawierającą w sobie klasy a,b i c.
—a	„	klasę złożoną z elementów nie-a.
x ε a	„	x jest a [należy do klasy a].
x,y ε a	„	x i y należą do klasy a.
a = b	„	klasy a i b są tożsame.
a ⊃ b	„	klasa a jest zawarta w klasie b, albo każde a jest b.
Λ	„	nic albo klasę “zero„. Tak np. ab = Λ oznacza, że żadne a nie jest b.

Jeżeli a, b, c są zdaniami, to

a ∩ b ∩ c	oznacza:	jednoczesne potwierdzenie zdań a i b;
abc	„	to samo co a ∩ b ∩ c.
a ∪ b ∪ c	„	że przynajmniéj jedno ze zdań a, b, c jest prawdziwe
—a	„	zaprzeczenie zdania a. Jeżeli zdanie a zawiera jeden ze znaków ⊃,=,ε, wtedy znak — dogodniéj jest pisać przed temi znakami. Tak np. a —= b piszemy zamiast —(a = b), x — εa zamiast —(xεa) lub xε—a.
		Jeżeli np. a, b są. K, to ab — = Λ oznacza, że jakieś a jest b.
a = b	oznacza:	zdania a i b są teżsame.
a ⊃ b	„	ze zdania a wynika b, albo jeżeli jest a,to jest b.
Λ	„	niedorzeczność. Tak np. a - b = Λ oznacza a ⊃ b.

Jeżeli a i b są zdania, zawierające przedmioty nieoznaczone x, y, ..., wtedy

a ⊃_x b	oznacza:	jakiekolwiek jest x, z a wynika b.
a ⊃_xy b	„	jeżeli x i y czynią zadość a, to czynią zadość i b.
a =_x b	„	dla wszystkich wartości x zdania a i b są teżsame.
a —=_x Λ	„	warunek a nie jest co do x niedorzeczny, albo istnieje x, czyniące zadość warunkowi a.

Rozmaite części jednego wzoru oddzielają się od siebie nawiasami, jak w Algebrze. Do oddzielenia części twierdzenia używamy punktów . : ∴ ∷ i t. d. Aby przeczytać wzór opatrzony takiemi punktami, łączymy najprzód znaki, nie rozdzielone punktami, następnie znaki, rozdzielone jednym punktem, rozdzielone dwoma, potém trzema i t. d. Tak np.

ab . cd : ef . g ∴ h . kl oznacza {[(ab)(cd)][(ef)g]}[h(kl)]

Przy pomocy tego znakowania twierdzenia Logiki wyrażają się nadzwyczaj zwięźle, jak to pokazują następujące przykłady:
a ε K . ⊃ . a . ⊃ a {quod est, est}.
a, b, c ε K . a ⊃ b . b ⊃ c : ⊃ . a ⊃ c wyraża sylogizm:

Jeżeli a, b, c są klasami, np. sądami, to: jeżeli z a wynika b, z b zaś wynika c, to z a wynika c.

a, b ε K . ⊃ : aa = a . a ∪ a = a . — (— a) = a . a — = Λ

a Λ = Λ, a ∪ Λ = a.

Jeżeli a, b są klasami, to stąd wynika, że klasa wspólna klasom a i a jest klasą a; najmniejsza klasa, obejmująca klasy a i a jest a; klasa, będąca negacyą klasy nie-a, jest klasą a; klasa wspólna klasie nie-a jest klasą zero; klasa wspólna klasie a i klasie zero jest zerem; najmniejsza klasa, obejmująca klasę a i klasę zero, jest klasą a.

Następujące trzy wzory czytelnik z łatwością sam odczyta.

a, b ε K . ⊃ : a b = b a . a ∪ b = b ∪ a . ab ⊃ a . a ⊃ a ∪ b . — (a ∩ b)

= (— a) ∪ (— b) . —(a ∪ b) = (— a) ∩ (— b);
a, b, c ε K . ⊃ : (ab) c = a(bc) = abc . (a ∪ b) ∪ c = a ∪ (b ∪ c)
=a ∪ b ∪ c;

a, b ε K . ⊃ ∴ a ⊃ b . = : x ε a ⊃_x x ε b.

Liczbę tych przykładów możnaby znacznie powiększyć; ale i podane wystarczają do pokazania, w jaki sposób symbolistyka Peano skraca wysłowienie twierdzeń. Równie zwięźle przedstawić można twierdzenia matematyczne, jak to pokazują następujące przykłady, które czytelnik łatwo odczyta. W nich klasą N są liczby całkowite dodatnie, inne znaki są zwykłe arytmetyczne.

a b ε N . ⊃ . a + (b + 1) = a (b + 1);

a b c ε N . ⊃ . a + (b + c) = a + b + c;

a ε N . ⊃ . 1 + a = a + 1;

a b ε N . ⊃ : a < b . = . b — a — = Λ;

a ε N . ⊃ × 1 = a;

a b ε N . ⊃ . a b ε N;

a b c ε N . ⊃ . a = b : ⊃ : a c = b c .:

a b c ε N . ⊃ ∴ a < b . = . a c < b c : a = b . = . a c = b c :

a > b . = . a c > b c .;

a b c ε N . ⊃ . a(bc) = a b c;

a b ε N . ⊃ : b/a = N[xε] (x a = b).

Ostatnie twierdzenie wyraża: jeżeli a i b są liczbami całkowitemi, to iloraz z podzielenia b przez a jest liczbą całkowitą, jeżeli istnieje takie x, dla którego xa = b. W następujących przykładach q niechaj oznacza klasę liczb rzeczywistych; możemy napisać następujące twierdzenia:

a, b ε q . ⊃ . ab = ba

[jeżeli liczby a i b są rzeczywiste, to iloczyn ab równa się iloczynowi ba]

a, b ε q . a² + b² = 0 : ⊃ : a = 0 . b = 0
a, b ε q . ab = 0 : ⊃ : a = 0 . ∪ . b = 0

Wzór ostatni oznacza, że jeżeli iloczyn dwóch liczb rzeczywistych a i b jest zerem, to albo a albo b musi być zerem.

a, b, x, y ε q . ⊃ ∴ x + y = a . x — y = b : = : 2x = a + b . 2y = a — b.
a b ε q . ⊃ ∷ x ε q . x² + a x + b = 0 : — =_x Λ ∴ = . a² — 4 b ≥ O.

Wzór drugi wyraża twierdzenie: “Jeżeli a i b są liczbami rzeczywistemi, to warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby pierwiastek równania x² + a x + b = O był liczbą rzeczywistą, jest: a² - 4 b ≥ 0„.
Twierdzenia piątej księgi Euklidesa przedstawiają się pod postacią wzorów następujących, w których G oznacza klasę wielkości, N zaś, jak wyżéj, klasę liczb całkowitych dodatnich:
  1. a, b ε G . m ε N : ⊃ . ma + m b = m (a + b)
  2. a ε G, m, n ε N : ⊃ . m a + na = (m + n) a
  3. „ : ⊃ . n(ma) = (nm) a
  4. a, b, c, d, ε G, m, n ε N . a/b = c/d: ⊃ . (ma)/(nb) = (mc)/(n/d)
  5. a, b ε G . m ε N : ⊃ . ma — mb = m(a — b)
  6. a ε G, m, n ε N : ⊃ . m a — na = (m — n) a
  7. a, b, c, ε G . a = b : ⊃ : a/c = b/c . c/a = c/b'
  8. „ a > b : ⊃ : a/c > b/c . c/b > c/a
  9. „ a/c = b/c : ⊃ . a = b

	⎧	„ c/a = c/b : ⊃ . a = b
10.	⎨	„ a/c > b/c : ⊃ . a > b
	⎩	„ c/b > c/a : ⊃ . a > b

11. a, b, c, d, e, f, ε G . a/b = c/d . c/d = e/f: ⊃ . a/b = e/f
12. „ . a/b = c/d = e/f: ⊃ . a/b = (a + c + e)/(b + d + f)
13. „ . a/b = c/d . c/d > e/f : ⊃ . a/b > e/f
14. a, b, c, d ε G . a/b = c/d : ⊃ ∴ a > c . ⊃ . b > d : a = c . ⊃ . b = d:
a < c . ⊃ . b < d.
15. a, b ε G . m ε N : ⊃ . (m a)/(mb) = a/b
16. a, b, c, d ε G . a/b = c/d : ⊃ . a/c = b/d.
17. „ „ : ⊃ . (a - b)/b = (c - d)/d.
18. „ „ : ⊃ . (a + b)/b = (c + d)/d.
19. „ „ : ⊃ . (a - c)/(b - d) = a/b.
20. a, b, c, d, e f ε G . a/b = d/e . b/c = e/f: ⊃ ∴ a > c . ⊃ . = d > f.
a = c . ⊃ . d = f : a < c . ⊃ . d < f
21. „ a/b = e/f . b/c = d/e: ⊃ ∴ a > c . ⊃ . = d > f :
a = c . ⊃ . d = f : a < c . ⊃ . d < f
22. „ a/b = d/e . b/c = e/f: ⊃ . a/c = d/f :
23. „ a/b = e/f . b/c = d/e: ⊃ . a/c = d/f :
24. „ a/b = c/d . e/b = f/d: ⊃ . (a + c)/b = (e + f)/d
25. a, b, c, d ε G . a/b = c/d . a > b . a > c . ⊃ . a + d > b + c.

Dla przykładu pokażemy jeszcze, w jaki sposób Peano wyraża niektóre twierdzenia geometryczne. W Geometryi K oznacza klasę lub kategoryą utworów geometrycznych, 1 wyraża punkt, K1 oznacza klasę punktów albo figurę geometryczną, znak = między dwoma punktami oznacza ich tożsamość. Jeżeli a, b są punktami. to ab oznacza klasę. utworzoną z punktów wewnętrznych odcinka ab. Wzór c ε ab z ab oznacza, że c jest punktem wewnętrznym odcinka ab.

a, b ε 1 . ⊃ . ab ε K1

a, b, c, d, ε 1 . a = b . c = d : ⊃ . a c = b d.

Ostatni wzór wyraża aksiomat o prostéj.

a, b, c, d ε 1 . c ε ad . b ε a c : ⊃ . b ε a d.
Wzór ten wyraża: jeżeli a, b, c, d są punktami odcinka, punkt c leży wewnątrz odcinka a d, punkt b wewnątrz odcinka ac, to wynika stąd, że punkt b leży wewnątrz odcinka ad.

a, b ε 1 . c, d ε a′ b : ⊃ ∴ e ε 1 . c, d ε ae : — =_e A

Wzór ten wyraża, jeżeli a i b są punktami, c i d zaś są punktami prostéj a′b, to istnieje punkt e taki, że punkty c i d należą do odcinka ae.

Wzór a, b, c, d ε 1 . p, q ε ab . p, q ε cd . p — = q : ⊃ ∴ x, y ε 1 .

a, b, c, d ε xy : — =_xyΛ
wyraża: Jeżeli a, b, c, d są punktami i jeżeli odcinki ab i cd mają wspólne dwa punkty różne, to te cztery punkty należą do jednego odcinka.

↑ Wykładowi ogólnych metod Matematyki poświęcony jest rozdział tomu 2-go Logiki Wundta. 1883, str. 76—114, w któréj czytelnik znajdzie następujące rzeczy: o zadaniach badania matematycznego, o analizie i syntezie matematycznéj, o indukcyi i abstrakcyi matematycznéj, o dedukcyi matematycznéj. Ten sam przedmiot opracował wcześniej Wundt w rozprawie Ueber die mathematische Induction [Pililosophische Studien, II 1883, str. 90—147].
↑ Hankel. Zur Geschichte der Mathematik im Alterthum und Mittelalter, 1874, str. 137—150.
↑ Przykład wzięty z Dauge'a Leçons de Methodologie mathématique 1881—1882.
↑ Hankel. Zur Geschichte der Mathematik im Alterthum und Mittelalter, jak wyżéj.
↑ J. M. C. Duhamel. Des méthodes daus les sciences des raisonnement. Première partie. Des méthodes communes a toutes les sciences de raisonnement. Wydanie 3-e. 1885.
↑ O indukcyi i dedukcyi matematycznéj, patrz Wundt, Logik II. 85—114.
↑ Potężnym bodźcem do uogólnienia badań matematycznych było wprowadzenie liter do oznaczania liczb w rachunkach algebraicznych. Przy przedstawianiu działań w takiéj postaci, musiały naturalnie powstawać pytania o ogólném znaczeniu działań, gdy się żadnych co do liczb, wyrażanych przez litery, nie czyni założeń specyalnych. Przez Geometryą Descartes'a wpływ téj metody przeszedł na Geometryą i rozwinął się następnie w Geometryi syntetycznéj.
↑ Hankel, Theorie der complexen Zahlensysteme, 1867. str. 10—12.
↑ Chasles. Aperçu historique sur l’origine et le développement des méthodes em géométrie, particulièrement de celles qui se rapportent à la géométrie moderne, suivi d’un mémoire sur deux principes généraux de la science, la dualité et l’homographie 1847, wyd. 3-e 1889, str. 586—695.
↑ Klein F., Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, 1872, str. 7.
↑ Poncelet, Traité des propriétés projectives des figures, 1822, Wydanie 2-gie, 1865. Dwa tomy. Porównaj nadzwyczaj interesujące uwagi zawarte we wstępie do tego znakomitego dzieła.
↑ Steiner. Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten, 1832; także w Jacob Steiner's Gesammelte Werke I., 1881. str. 233.
↑ Wroński podał w r. 1810 “prawo najwyższe„ w rozprawie: Premier principe des méthodes algorithmiques comme base de la Technie mathématique, i rozwinął ją w dwóch wielkich tomach dzieła: Philosophie de la Technie algorithmique, 1815, 1816—1817. Porównaj O „prawie najwyższém„ Hoene - Wrońskiego w Matematyce, przez S. Dicksteina, [Prace matematyczno-fizyczne, tom II, 1890. str. 145—168].
↑ Brak treści przypisu w oryginale.
↑ Brix, Der mathematische Zahlenbegriff und seine Entwicklungsformen. [Philosophische Studien, VI, 1890 str. 290].
↑ Dubois-Reymond. Die allgemeine Functionentheorie, str. 38.

Tekst jest własnością publiczną (public domain). Szczegóły licencji na stronie autora: Samuel Dickstein.

[1] O niedostateczności określenia Matematyki, jako nauki o wielkościach, mówią: K. Ch. Fr. Krause, Tagblatt des Menschcheitslebens, 1811. porówn. wydane w r. 1889 tegoż Philosophische Abhandlungen, str. 271, i następne; H. Grassmann, Ausdehnungslehre, wydanie 2-e, 1878, str. XXII, i inni.

[2] Nazwy formy dla utworów matematycznych używa H. Grassmann Ausdehnungslehre, str. XXII. Matematyka jest według niego nauką o formach [Formenlehre]. Według Roberta Grassmanna, Die Formenlehre oder Mathematik, 1872, nauka o formach czyli Matematyka jest nauką o prawach ścisłego naukowego myślenia i składa się z pięciu gałęzi, a mianowicie: z nauki o wielkościach, Logiki, nauki o kombinacyach, nauki o liczbach i z nauki o rozciągłości [Ausenlehre].

[3] Grassmann, Ausdehnungslehre, str. XXII.

[4] Kant, Kritik der reinen Vernunft, wydanie Erdmanna 1880. Pogląd ten wypowiedziany jest w wielu miejscach np. na str. 145, 488—494 i t. d.

[5] Wroński, Introduction à la philosophie des Mathématiques, 1811, str. 1—4. Porówn. także tegoż, Sept manuscrits inédits écrits de 1803 à 1806, oeuvres posthumes, 1879.

[6] Comte, Cours de philosophie positive, wydanie z r. 1863, I, str. 98.

[7] Wundt, System der Philosophie, 1889, str. 26.

[8] Wundt, tamże, str. 123.

[9] Hankel, Theorie der complexen Zahlensysteme, 1867, str. 48.

[10] Bolzano, Paradoxien des Unendlichen. Wydanie 2-e, 1889, strstr. 4—5.

[11] Paul Dubois-Reymond, Die allgemeine Functionentheorie, 1882, str. 14—57.

[12] Dziś wyraz moduł; w znaczeniu użytém w tekście, zastępujemy wprowadzonem przez Weierstrassa wyrażeniem wartość bezwzględna.

[13] H. Grassmann, Lehrbuch der Arithmetik, 1861, str. 1.

[14] Helmholtz. Zählen und Messen, erkenntnisstheoretisch betrachtet [Philosophische Aufsätze, Eduard Zeller zu seinem fünfzigjährigen Doctorjubiläum gewidmet, 1887, str. 16—52]. W roku 1868 Riemann w rozprawie, napisanéj jeszcze w r. 1854., Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen [Göttinger Abhandlungen, XIII, 1 — 20, także B. Riemann's Gesammelte mathematische Werke, 1876, str. 254 — 269; przekład polski S. Dicksteina i Wł. Gosiewskiego w Pamiętniku Towarzystwa Nauk Ścisłych w Paryżu, IX, 1877] i jednocześnie Helmholtz w pracy: Ueber die Thatsachen der Geometrie [Göttinger Nachrichten, 193—221, także Wissenschaftliche Abhandlungen von Hermann Helmholtz, II, 1883, str. 618 — 639], zajęli się zbadaniem podstaw, na których spoczywa nasza Geometrya. Te znakomite rozprawy wpłynęły na pogłębienie całéj wiedzy matematycznéj i z rodziły bogatą literaturę [porówn. Wiadomość o pracach z dziedziny Geometryi wielowymiarowéj, Prace matematyczno-fiyczne, I, 1888, str. 128—135]. Wyniki tych nowych badań przedstawimy we własciwém miejscu; tu powiemy tylko, że Helmholtz hołduje teoryi empirystycznéj, według któréj pewniki Geometryi nie są twierdzeniami a priori, jak utrzymuje Kant, lecz prawdami, które doświadczeniem zdobywamy i któremi jedynie doświadczenie zachwiać by mogło. Rozprawa o liczeniu i mierzeniu ma być odnośnie do Arytmetyki dopełnieniem tych poglądów wielkiego fizyka. Winniśmy dodać, że pod tym względem miał Helmholtz poprzedników w Grassmannie, Hankelu i Schröderze. Równocześnie z pracą podobnéj treści wystąpił Kronecker w rozprawie, Ueber den Zahlbegriff. [Philosophische Aufsätze i t. d., str. 263—274.]. Z krytyką poglądów Helmholtza i Kroneckera występują: G. Cantor, Zur Lehre von Transfiniten, 1890, str. 17, oraz Kerry, Ueber Anschauung und ihre psychische Verarbeitung [Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie, XIV, 1890, str. 317—353].

[r15-15] 15,0 ^15,1 Porówn. Everetta, Jednostki i stałe fizyczne, przekład polski J. J. Boguskiego, 1885., Wł. Natansona, Wstęp do Fizyki teoretycznéj, 1890, str. 8—11., oraz J. Bertranda, Leçons sur la théorie mathématique de l’électricité, 1890, str. 266—296.
N. Thiele, Til Afslutning af Regneundervisningen, 1883, dzieli przedmioty badań matematycznych na pięć klas następujących: Do pierwszéj należą mnogości, posiadające jedność bezwzględną [indywiduum] i dające się przedstawić za pomocą liczb całkowitych. Do drugiéj wielkości [długości, powierzchnie, objętości, ciężary, wartości]; te mają jedności względne, dowolnie przyjęte, a do opisu ich potrzebne są liczby ułamkowe i niewymierne dodatne.dodatnie. Przedmioty pierwszéj i drugiéj klasy mają zero bezwzględne. Trzecią klasę stanowią punkty rzeczowe — Tingpunkter — [temperatura, momenty czasu, punkty na prostéj nieograniczonéj], przy opisie których nie potrzeba ani zera bezwzględnego ani jedności bezwzględnéj; mają one tylko zero względne i jedności względne. Do klasy czwartéj należą “wyrazy„ — Led — [np. wyrazy nieskończonego łańcucha], mają one jedności bezwzględne, lecz nie mają bezwzględnego zera. Wreszcie do klasy piątéj zalicza Thiele kąty i wogóle przedmioty, prowadzące do pojęć, niedających się zawrzeć w jednéj z klas poprzednich.

[16] Niemożność utworzenia Matematyki wielkości intensywnych tkwi według Dühringa, [Logik und Wissenschaftstheorie, 1878, str. 254] w braku koncepcyj czysto myślowych i czysto konstrukcyjnych odnośnie do istoty materyi. “Gdyby, powiada on, o ogólnym ośrodku materyalnym można było powiedzieć coś podobnego do tego, co się mówi w pewnikach o przestrzeni, i gdyby nad tworami, zawartemi w tych orzeczeniach, można było wykonywać takie same działania, jakie wykonywa Arytmetyka na liczbach, albo téż Matematyka w ogóle w przestrzeni i czasie, to doszlibyśmy do nowéj Matematyki materyi. Przy braku takich pojęć, dochodzimy tylko jedynie do zastosowań Matematyki do materyi i do ciał fizycznych„.

[17] Kant, Kritik der reinen Vernunft. Wydanie Erdmanna, 1880. str. 163.

[18] G. Cantor, Ueber unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten. [Mathematische Annalen, XX, 1882, str. 113.].

[19] Dedekind. Was sind und sollen die Zahlen, 1888.; porów. też pracę tegoż autora: Stetigkeit und irrationale Zahlen, 1872, w któréj istotę ciągłości widzi w następującém twierdzeniu: “Jeżeli punkty na prostéj rozpadają się na dwie klasy w ten sposób, że każdy punkt pierwszéj klasy leży na lewo od każdego punktu drugiéj, to istnieje jeden i tylko jeden punkt, który daje ten podział punktów na dwie klasy, to rozcięcie prostéj na dwie części„. Za Dedekindem idzie Stolz w Vorlesungen über allgemeine Arithmetik, 1885, I, str. 80—84.

[20] Cohen, Das Prinzip der Infinitesimalmethode und seine Geschichte, 1883. str. 37.

[21] A. Fick, Das Grössengebiet der vier Rechnungsarten, 1880, str. 6.

[22] Wernicke, Die asymptotische Function des Bewusstseins. [Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie, XI, str. 485].

[23] H. Grassmann, Ausdehnungslehre, str. XXIII, XXIV.

[24] Do systemu wiedzy matematycznéj należy Rachunek prawdopodobieństwa, nie wymieniony wyraźnie w tekście. Nauka ta, będąca według wyrażenia Laplace’a „zdrowym“zdrowym rozsądkiem sprowadzonym do rachunku„, według Wrońskiego “teoryą prawa teleologicznego, jakie rządzi przypadkiem„ [loi téléologique du hasard], ze względu na metodę swoją należy do Algebry i Analizy, ze względu na pojęcie zasadnicze prawdopodobieństwa do Teoryi poznania i do Logiki, ze względu wreszcie na zastosowania do różnych gałęzi wiedzy może być zaliczoną do Matematyki stosowanéj. Teorya prawdopodobieństwa jest dotąd więcéj wyrobioną pod względem metod matematycznych, aniżeli pod względem teoretyczno-poznawczym.

[25] Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica. Przedmowa. Przekład niemiecki Wolfersa, 1872, str. 1.

[26] Gauss w liście do Bessela w r. 1829. Porówn.: Kronecker, Ueber den Zahlbegriff [Journal für die reine und angewandte Mathematik, CI, str. 339].

[27] Grassmann, Ausdehnungslehre, str. XXIII.

[28] Wroński, Introduction i t. d. str. 464 i następne, dzieli tak Algorytmią jak i Geometryą na dwie gałęzie: Teoryą i Technią. Teoryą nazywa on ogół twierdzeń, czyli podań, mających za przedmiot naturę ilości, t.jt.j. form matematycznych, Technią — ogół metod, które on nazywa podaniami, odnoszącemi się do mierzenia tychże form. Mamy więc Teoryą i Technią Algorytmii oraz Teoryą i Technią Geometryi. Dalszy podział każdéj z tych części oparty jest na istocie działań matematycznych, a mianowicie. jeżeli Teorya i Technia używają tylko działań elementarnych, noszą nazwę Teoryi i Technii elementarnéj; jeżeli używają “systemów„ działań elementarnych, noszą nazwę Teoryi i Technii systematycznéj. Prócz tego tak Teorya i Technia mogą się odnosić już to do powstawania [génération] form matematycznych, już to do ich związków wzajemnych, do ich porównania [comparaison]; stąd wynika dalsze rozczłonkowanie systemu Matematyki. Cały swój system przedstawił Wroński na wielkiéj tablicy “architektonicznéj„, dołączonéj do swego dzieła, i uzasadnił go szczegółowo w tekscie. Wrońskiemu też wspólnie z Kantem i Cantorem przypada zasługa wprowadzenia Foronomii do systemu Matematyki czystéj; patrz jego dzieło Sept manuscrits i t. d. Porówn. S. Dickstein, Foronomia Wrońskiego [Rocznik Towarzystwa Przyjaciół Nauk w Poznaniu, XVII, 1890.].

[29] Arytmetyka i Algebra obie zajmują się liczbami; obu podstawą jest teorya działań, dziedziny ich wzajemnie się krzyżują. W znaczeniu ściślejszém pod nazwą Arytmetyki rozumiemy Teoryą liczb, to jest naukę o liczbach całkowitych, o funkcyach, za pomocą skończonej liczby działań elementarnych utworzonych a takie liczby przedstawiających, i w ogóle o układach czyli ciałach liczbowych, za pomocą podobnych funkcyj określonych; przyczém pod nazwą liczb całkowitych rozumiemy nie tylko liczby całkowite rzeczywiste [Teorya liczb zwyczajna] ale i liczby całkowite urojone, idealne, ideały. Główném zadaniem Algebry jest ogólne badanie funkcyj, zbudowanych za pomocą skończonéj liczby działań zasadniczych, równań, z takich funkcyj utworzonych, i liczb oraz ogólniéj fuukcyj, przez takie równania określonych. Lecz gdy badania arytmetyczne są przywiązane niejako do stałego układu liczb określonéj natury, badania algebraiczne, przeciwnie, są prowadzone bez względu na podobny układ; pierwsze są specyalne, drugie ogólne, skąd płynie różnica metod w obu naukach, którą Wroński charakteryzuje, nazywając metody Teoryi liczb teleologicznemi [celowemi]. Według pomysłów, które obecnie rozwija Kronecker, cała treść badań algebraicznych powinna dać się “zarytmetyzować„, t.j. Algebra zamienić na Arytmetykę czyli Teoryą liczb. Tym sposobem obie nauki, wyszedłszy z jednéj podstawy i rozwijając każda swe metody, złączyłyby się we wspólnych pojęciach i metodach. We właściwém miejscu rzecz tę szczegółowo przedstawimy. Ważne metody Algebry, które rozwinęły się nawet w samodzielne gałęzie, mianowicie: Teorya podstawień i grup, Teorya przekształceń i niezmienników, stanowią tak nazwaną Algebrę nową. Jeszcze ogólniejsze formy i za pomocą ogólniejszych metod bada Rachunek wyższy czyli Analiza. Funkcye, któremi się ta gałąź Matematyki zajmuje, nie są pod względem tworzenia swego ograniczone do skończonéj liczby działań elementarnych, a główném narzędziem badania są tu pojęcia graniczne czyli nieskończonościowe, do których zalicza się także pojęcie ciągłości, zbieżności i t. d. Można Rachunek wyższy nazwać Teoryą funkcyj matematycznych, najogólniej uważanych. Analiza ma oczywiście wiele punktów wspólnych z Algebrą, i wogóle wszystkie trzy nauki: Arytmetyka, Algebra i Analiza, stanowią właściwie jednę tylko umiejętność, w której formy matematyczne badamy z różnych stanowisk, i, co za tém idzie, przy pomocy różnych narzędzi. Słusznie przeto wszystkie je połączył Wroński jedną nazwą Algorytmii.
Przedmiot nauk, nazywanych w szkole Arytmetyką i Algebrą, stanowi zbiór wiadomości elementarnych z trzech dziedzin powyższych. Arytmetyka elementarna obejmuje naukę czterech działań nad liczbami całkowitemi i ułamkami, przedstawionemi w dziesiętnym układzie liczenia wraz z zastosowaniami do zadań praktycznych. Algebra elementarna obejmuje naukę o liczbach ujemnych, elementy teoryi funkcyj całkowitych i rozwiązywania równań algebraicznych oraz teoryą kombinacyi, z analizy zaś przejmuje elementarną teoryą postępów geometrycznych nieskończonych i teoryą logarytmów.
Aby dać wyobrażenie o bogatym rozwoju dzisiejszéj Matematyki, przedstawiamy tu tytuły działów i poddziałów, na jakie dzielą się sprawozdania o postępie Matematyki czystéj, podawane w specyalném czasopismie Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, według XIX-go rocznika tego pisma:

I. Historya i Filozofia Matematyki.

II. Algebra.

1. Równania. Teorya ogólna. Równania algebraiczne szczególne.

2. Teorya form.

3. Eliminacya i podstawienia. Wyznaczniki i funkcye symetryczne.

III. Arytmetyka niższa i wyższa.

1. Arytmetyka niższa.

2. Teorya liczb.
a) Rzeczy ogólne.

b) Teorya form.

c) Teorya ułamków ciągłych.

IV. Rachunek prawdopodobieństwu. Nauka o kombinacyach,

V. Szeregi.

a) Rzeczy ogólne.

b) Szeregi szczególne.

VI. Rachunek różniczkowy i całkowy.

1. Rzeczy ogólne.

1.2. Rachunek różniczkowy [Różniczki, funkcye różniczek, maksyma i minima].

3. Rachunek całkowy.

4. Całki określone.

5. Równania różniczkowe zwyczajne.

6. Równania różniczkowe cząstkowe.

7. Rachunek waryacyjny.

VII. Teorya funkcyj.

1. Rzeczy ogólne.

2. Funkcye szczególne.

a) Funkcye elementarne.

b) Funkcye eliptyczne.

c) Funkcye hypereliptyczne, Abelowe i t. p.

d) Funkcye kuliste i t. p.

VIII. Geometrya czysta, elementarna i syntetyczna.

1. Zasady Geometryi,

2. Badania w dziedzinie ciągłości.

3. Geometrya elementarna. (Planimetrya , Trygonometrya, Stereometrya].

4. Geometrya wykreślna.

5. Geometrya nowa syntetyczna.

a) Rzeczy ogólne.

b) Utwory płaskie szczególne.

c) Utwory przestrzenne szczególne.

d) Geometrya licząca.

IX. Geometrya analityczna.

1. Współrzędne.

2. Geometrya płaska.

a) Ogólna teorya krzywych płaskich.

b) Teorya krzywych algebraicznych.

c) Proste i stożkowe.

d) Inne krzywe specyalne.

3. Geometrya analityczna przestrzeni.

a) Ogólna teorya powierzchni i krzywych w przestrzeni.
b) Teorya powierzchni i krzywych algebraicznych

c) Utwory przestrzenne 1-go, 2-go, 3-go stopnia.

d) Inne specyalne utwory przestrzenne.

4. Geometrya liniowa [kompleksy, układy promieni].

5. Pokrewieństwo, przekształcenia liniowe, odwzorowania.

a) Pokrewieństwo, przeksztalcenie liniowe i odwzorowanie.

b) Odwzorowanie podobne [conforme Abbildung].

Wundt, Ueber die Eintheilung der Wissenschaften, [Philosophische Studien, 1888, str. 1—55] przedstawia nauki matematyczne w następującym systemie:

I. Nauki matematyczne ogólne.

A) Nauka form ilościowych: Nauka o wielkościach. B) Nauka form jakościowych: Teorya rozmaitości.

1. Nauki o działaniach nad wielkościami: Algebra.

2. Teorya związków pomiędzy wielkościami: Teorya funkcyj.

II. Nauki matematyczne specyalne.

A) Nauka o liczbach. B) Nauka o przestrzeni:

1. Nauka o działaniach nad liczbami. 1. Geometrya syntetyczna: Nauka o powstawaniu form przestrzennych z elementów.

2. Teorya liczb: Nauka o liczbach i związkach pomiędzy niemi. 2. Geometrya analityczna: Teorya zastosowania pojęć wielkościowych do utworów przestrzennych.

C) Nauka o ruchu.

1. Cynematyka syntetyczna: Nauka o składaniu ruchów.

2. Cynematyka analityczna: Zastosowanie ogólnych pojęć wielkościowych do zagadnień ruchu

Porówn. uwagi nad tym systemem w artykule S. Dicksteina, O najnowszych próbach klasyfikacyi nauk. [Ateneum, 1889, I, str. 266 i dalsze.].

[30] Wundt, Ueber die Eintheilung der Wissenschaften [Philosophishe Studien, V, 1889, str. 35.].

[31] G. Boole, An investigation of the Laws of thought on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities. 1854. Treściwie zebrane wiadomości o pracach uczonych angielskich nad Logiką formalną znaleźć można w książeczce Liarda, Les logiciens anglais contemporains, 2-e wyd. 1883, która wyszła i w niemieckim przekładzie p. t. Die neuere englische Logik, 2-e wyd. 1883, Inne próby Logiki, traktowanéj sposobem matematycznym, ogłosili J. Delboeuf, Logique algorithmique, Essai sur un système de signes appliqué a la Logique, 1877, i G. Frege, Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens; wszakże tylko metody logików angielskich wywalczyły sobie pierwszeństwo przed innemi.
Dzieło Jevonsa p. t. The Principles of science, a 'Treatise on logic and scientific method, 1887 [wydanie drugie] zawiera wykład Logiki formalnéj, zastosowanie téjże do nauki o liczbach, do teoryi kombinacyi, przemian, prawdopodobieństwa, do metod mierzenia, do badań indukcyjnych, do teoryi uogólnień, analogii i klasyfikacyi.

[32] E. Schröder, Vorlesungen über die Algebra der Logik [exacte Logik]. Tom I. 1890. Krótki wykład Algebry logicznéj znaleźć można w rozprawie St. Piątkiewicza, Algebra w Logice [Sprawozdanie gimnazyum we Lwowie za rok 1888].

[33] Peano wyłożył metodę swoją w następujących rozprawach: Arithmetices principia nova methodo exposita, 1889; Principii di Geometria logicamente esposti, 1889; Les propositions du cinquième livre d'Euclide, réduites en formules [Mathesis, X, 1890, str. 73—74]; Démonstration de l’integrabilité des équations différentielles ordinaires [Mathematische Annalen, XXVII, 1890]. O metodzie téj powziąć można wyobrażenie z następującego treściwego jej przedstawienia:
Znaki, używane w téj metodzie, są następujące:
K oznacza klasę [rozmaitość, mnogość przedmiotów i t. p.], ∪ oznacza spójnik i, ∩ albo, ε znaczy jest, = równa się, ⊃ jest zawarty albo wynika Λ — nic albo niedorzeczność.
Jeżeli a, b, c są K [klasami], to

a ∩ b ∩ c oznacza: klasę wspólną klasom a, b, c.

abc „ to samo co a ∩ b ∩ c.

a ∪ b ∪ c „ najmniejszą klasę, zawierającą w sobie klasy a,b i c.

—a „ klasę złożoną z elementów nie-a.

x ε a „ x jest a [należy do klasy a].

x,y ε a „ x i y należą do klasy a.

a = b „ klasy a i b są tożsame.

a ⊃ b „ klasa a jest zawarta w klasie b, albo każde a jest b.

Λ „ nic albo klasę “zero„. Tak np. ab = Λ oznacza, że żadne a nie jest b.

Jeżeli a, b, c są zdaniami, to

a ∩ b ∩ c oznacza: jednoczesne potwierdzenie zdań a i b;

abc „ to samo co a ∩ b ∩ c.

a ∪ b ∪ c „ że przynajmniéj jedno ze zdań a, b, c jest prawdziwe

—a „ zaprzeczenie zdania a. Jeżeli zdanie a zawiera jeden ze znaków ⊃,=,ε, wtedy znak — dogodniéj jest pisać przed temi znakami. Tak np. a —= b piszemy zamiast —(a = b), x — εa zamiast —(xεa) lub xε—a.

Jeżeli np. a, b są. K, to ab — = Λ oznacza, że jakieś a jest b.

a = b oznacza: zdania a i b są teżsame.

a ⊃ b „ ze zdania a wynika b, albo jeżeli jest a,to jest b.

Λ „ niedorzeczność. Tak np. a - b = Λ oznacza a ⊃ b.

Jeżeli a i b są zdania, zawierające przedmioty nieoznaczone x, y, ..., wtedy

a ⊃_x b oznacza: jakiekolwiek jest x, z a wynika b.

a ⊃_xy b „ jeżeli x i y czynią zadość a, to czynią zadość i b.

a =_x b „ dla wszystkich wartości x zdania a i b są teżsame.

a —=_x Λ „ warunek a nie jest co do x niedorzeczny, albo istnieje x, czyniące zadość warunkowi a.

Rozmaite części jednego wzoru oddzielają się od siebie nawiasami, jak w Algebrze. Do oddzielenia części twierdzenia używamy punktów . : ∴ ∷ i t. d. Aby przeczytać wzór opatrzony takiemi punktami, łączymy najprzód znaki, nie rozdzielone punktami, następnie znaki, rozdzielone jednym punktem, rozdzielone dwoma, potém trzema i t. d. Tak np.
ab . cd : ef . g ∴ h . kl oznacza {[(ab)(cd)][(ef)g]}[h(kl)]
Przy pomocy tego znakowania twierdzenia Logiki wyrażają się nadzwyczaj zwięźle, jak to pokazują następujące przykłady:
a ε K . ⊃ . a . ⊃ a {quod est, est}.
a, b, c ε K . a ⊃ b . b ⊃ c : ⊃ . a ⊃ c wyraża sylogizm:

Jeżeli a, b, c są klasami, np. sądami, to: jeżeli z a wynika b, z b zaś wynika c, to z a wynika c.

a, b ε K . ⊃ : aa = a . a ∪ a = a . — (— a) = a . a — = Λ

a Λ = Λ, a ∪ Λ = a.

Jeżeli a, b są klasami, to stąd wynika, że klasa wspólna klasom a i a jest klasą a; najmniejsza klasa, obejmująca klasy a i a jest a; klasa, będąca negacyą klasy nie-a, jest klasą a; klasa wspólna klasie nie-a jest klasą zero; klasa wspólna klasie a i klasie zero jest zerem; najmniejsza klasa, obejmująca klasę a i klasę zero, jest klasą a.

Następujące trzy wzory czytelnik z łatwością sam odczyta.

a, b ε K . ⊃ : a b = b a . a ∪ b = b ∪ a . ab ⊃ a . a ⊃ a ∪ b . — (a ∩ b)

= (— a) ∪ (— b) . —(a ∪ b) = (— a) ∩ (— b);
a, b, c ε K . ⊃ : (ab) c = a(bc) = abc . (a ∪ b) ∪ c = a ∪ (b ∪ c)
=a ∪ b ∪ c;

a, b ε K . ⊃ ∴ a ⊃ b . = : x ε a ⊃_x x ε b.
Liczbę tych przykładów możnaby znacznie powiększyć; ale i podane wystarczają do pokazania, w jaki sposób symbolistyka Peano skraca wysłowienie twierdzeń. Równie zwięźle przedstawić można twierdzenia matematyczne, jak to pokazują następujące przykłady, które czytelnik łatwo odczyta. W nich klasą N są liczby całkowite dodatnie, inne znaki są zwykłe arytmetyczne.

a b ε N . ⊃ . a + (b + 1) = a (b + 1);

a b c ε N . ⊃ . a + (b + c) = a + b + c;

a ε N . ⊃ . 1 + a = a + 1;

a b ε N . ⊃ : a < b . = . b — a — = Λ;

a ε N . ⊃ × 1 = a;

a b ε N . ⊃ . a b ε N;

a b c ε N . ⊃ . a = b : ⊃ : a c = b c .:

a b c ε N . ⊃ ∴ a < b . = . a c < b c : a = b . = . a c = b c :

a > b . = . a c > b c .;

a b c ε N . ⊃ . a(bc) = a b c;

a b ε N . ⊃ : b/a = N[xε] (x a = b).

Ostatnie twierdzenie wyraża: jeżeli a i b są liczbami całkowitemi, to iloraz z podzielenia b przez a jest liczbą całkowitą, jeżeli istnieje takie x, dla którego xa = b. W następujących przykładach q niechaj oznacza klasę liczb rzeczywistych; możemy napisać następujące twierdzenia:
a, b ε q . ⊃ . ab = ba
[jeżeli liczby a i b są rzeczywiste, to iloczyn ab równa się iloczynowi ba]
a, b ε q . a² + b² = 0 : ⊃ : a = 0 . b = 0
a, b ε q . ab = 0 : ⊃ : a = 0 . ∪ . b = 0
Wzór ostatni oznacza, że jeżeli iloczyn dwóch liczb rzeczywistych a i b jest zerem, to albo a albo b musi być zerem.
a, b, x, y ε q . ⊃ ∴ x + y = a . x — y = b : = : 2x = a + b . 2y = a — b.
a b ε q . ⊃ ∷ x ε q . x² + a x + b = 0 : — =_x Λ ∴ = . a² — 4 b ≥ O.
Wzór drugi wyraża twierdzenie: “Jeżeli a i b są liczbami rzeczywistemi, to warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby pierwiastek równania x² + a x + b = O był liczbą rzeczywistą, jest: a² - 4 b ≥ 0„.
Twierdzenia piątej księgi Euklidesa przedstawiają się pod postacią wzorów następujących, w których G oznacza klasę wielkości, N zaś, jak wyżéj, klasę liczb całkowitych dodatnich:
1. a, b ε G . m ε N : ⊃ . ma + m b = m (a + b)
2. a ε G, m, n ε N : ⊃ . m a + na = (m + n) a
3. „ : ⊃ . n(ma) = (nm) a
4. a, b, c, d, ε G, m, n ε N . a/b = c/d: ⊃ . (ma)/(nb) = (mc)/(n/d)
5. a, b ε G . m ε N : ⊃ . ma — mb = m(a — b)
6. a ε G, m, n ε N : ⊃ . m a — na = (m — n) a
7. a, b, c, ε G . a = b : ⊃ : a/c = b/c . c/a = c/b'
8. „ a > b : ⊃ : a/c > b/c . c/b > c/a
9. „ a/c = b/c : ⊃ . a = b

⎧ „ c/a = c/b : ⊃ . a = b

10. ⎨ „ a/c > b/c : ⊃ . a > b

⎩ „ c/b > c/a : ⊃ . a > b

11. a, b, c, d, e, f, ε G . a/b = c/d . c/d = e/f: ⊃ . a/b = e/f
12. „ . a/b = c/d = e/f: ⊃ . a/b = (a + c + e)/(b + d + f)
13. „ . a/b = c/d . c/d > e/f : ⊃ . a/b > e/f
14. a, b, c, d ε G . a/b = c/d : ⊃ ∴ a > c . ⊃ . b > d : a = c . ⊃ . b = d:
a < c . ⊃ . b < d.
15. a, b ε G . m ε N : ⊃ . (m a)/(mb) = a/b
16. a, b, c, d ε G . a/b = c/d : ⊃ . a/c = b/d.
17. „ „ : ⊃ . (a - b)/b = (c - d)/d.
18. „ „ : ⊃ . (a + b)/b = (c + d)/d.
19. „ „ : ⊃ . (a - c)/(b - d) = a/b.
20. a, b, c, d, e f ε G . a/b = d/e . b/c = e/f: ⊃ ∴ a > c . ⊃ . = d > f.
a = c . ⊃ . d = f : a < c . ⊃ . d < f
21. „ a/b = e/f . b/c = d/e: ⊃ ∴ a > c . ⊃ . = d > f :
a = c . ⊃ . d = f : a < c . ⊃ . d < f
22. „ a/b = d/e . b/c = e/f: ⊃ . a/c = d/f :
23. „ a/b = e/f . b/c = d/e: ⊃ . a/c = d/f :
24. „ a/b = c/d . e/b = f/d: ⊃ . (a + c)/b = (e + f)/d
25. a, b, c, d ε G . a/b = c/d . a > b . a > c . ⊃ . a + d > b + c.

Dla przykładu pokażemy jeszcze, w jaki sposób Peano wyraża niektóre twierdzenia geometryczne. W Geometryi K oznacza klasę lub kategoryą utworów geometrycznych, 1 wyraża punkt, K1 oznacza klasę punktów albo figurę geometryczną, znak = między dwoma punktami oznacza ich tożsamość. Jeżeli a, b są punktami. to ab oznacza klasę. utworzoną z punktów wewnętrznych odcinka ab. Wzór c ε ab z ab oznacza, że c jest punktem wewnętrznym odcinka ab.

a, b ε 1 . ⊃ . ab ε K1

a, b, c, d, ε 1 . a = b . c = d : ⊃ . a c = b d.

Ostatni wzór wyraża aksiomat o prostéj.

a, b, c, d ε 1 . c ε ad . b ε a c : ⊃ . b ε a d.
Wzór ten wyraża: jeżeli a, b, c, d są punktami odcinka, punkt c leży wewnątrz odcinka a d, punkt b wewnątrz odcinka ac, to wynika stąd, że punkt b leży wewnątrz odcinka ad.

a, b ε 1 . c, d ε a′ b : ⊃ ∴ e ε 1 . c, d ε ae : — =_e A

Wzór ten wyraża, jeżeli a i b są punktami, c i d zaś są punktami prostéj a′b, to istnieje punkt e taki, że punkty c i d należą do odcinka ae.

Wzór a, b, c, d ε 1 . p, q ε ab . p, q ε cd . p — = q : ⊃ ∴ x, y ε 1 .

a, b, c, d ε xy : — =_xyΛ
wyraża: Jeżeli a, b, c, d są punktami i jeżeli odcinki ab i cd mają wspólne dwa punkty różne, to te cztery punkty należą do jednego odcinka.

[34] Wykładowi ogólnych metod Matematyki poświęcony jest rozdział tomu 2-go Logiki Wundta. 1883, str. 76—114, w któréj czytelnik znajdzie następujące rzeczy: o zadaniach badania matematycznego, o analizie i syntezie matematycznéj, o indukcyi i abstrakcyi matematycznéj, o dedukcyi matematycznéj. Ten sam przedmiot opracował wcześniej Wundt w rozprawie Ueber die mathematische Induction [Pililosophische Studien, II 1883, str. 90—147].

[35] Hankel. Zur Geschichte der Mathematik im Alterthum und Mittelalter, 1874, str. 137—150.

[36] Przykład wzięty z Dauge'a Leçons de Methodologie mathématique 1881—1882.

[37] Hankel. Zur Geschichte der Mathematik im Alterthum und Mittelalter, jak wyżéj.

[38] J. M. C. Duhamel. Des méthodes daus les sciences des raisonnement. Première partie. Des méthodes communes a toutes les sciences de raisonnement. Wydanie 3-e. 1885.

[39] O indukcyi i dedukcyi matematycznéj, patrz Wundt, Logik II. 85—114.

[40] Potężnym bodźcem do uogólnienia badań matematycznych było wprowadzenie liter do oznaczania liczb w rachunkach algebraicznych. Przy przedstawianiu działań w takiéj postaci, musiały naturalnie powstawać pytania o ogólném znaczeniu działań, gdy się żadnych co do liczb, wyrażanych przez litery, nie czyni założeń specyalnych. Przez Geometryą Descartes'a wpływ téj metody przeszedł na Geometryą i rozwinął się następnie w Geometryi syntetycznéj.

[41] Hankel, Theorie der complexen Zahlensysteme, 1867. str. 10—12.

[42] Chasles. Aperçu historique sur l’origine et le développement des méthodes em géométrie, particulièrement de celles qui se rapportent à la géométrie moderne, suivi d’un mémoire sur deux principes généraux de la science, la dualité et l’homographie 1847, wyd. 3-e 1889, str. 586—695.

[43] Klein F., Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, 1872, str. 7.

[44] Poncelet, Traité des propriétés projectives des figures, 1822, Wydanie 2-gie, 1865. Dwa tomy. Porównaj nadzwyczaj interesujące uwagi zawarte we wstępie do tego znakomitego dzieła.

[45] Steiner. Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten, 1832; także w Jacob Steiner's Gesammelte Werke I., 1881. str. 233.

[46] Wroński podał w r. 1810 “prawo najwyższe„ w rozprawie: Premier principe des méthodes algorithmiques comme base de la Technie mathématique, i rozwinął ją w dwóch wielkich tomach dzieła: Philosophie de la Technie algorithmique, 1815, 1816—1817. Porównaj O „prawie najwyższém„ Hoene - Wrońskiego w Matematyce, przez S. Dicksteina, [Prace matematyczno-fizyczne, tom II, 1890. str. 145—168].

[47] Brak treści przypisu w oryginale.

[48] Brix, Der mathematische Zahlenbegriff und seine Entwicklungsformen. [Philosophische Studien, VI, 1890 str. 290].

[49] Dubois-Reymond. Die allgemeine Functionentheorie, str. 38.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]