Pojęcia i metody matematyki/Rozdział I/Całość

<<< Dane tekstu >>>
Autor	Samuel Dickstein
Tytuł	Rozdział I
Pochodzenie	Pojęcia i metody matematyki
Wydawca	Wydawnictwo Redakcyi „Prac matematyczno-fizycznych“
Data wyd.	1891
Druk	Drukarnia J. Sikorskiego
Miejsce wyd.	Warszawa
Źródło	Skany na Commons
Inne	Cały tekst
Indeks stron

›››

[51]

CZĘŚĆ PIERWSZA.
TEORYA DZIAŁAŃ.

	La science arithmétique se développe à la façon d’un arbre dont chaque branche donne naissance à plusieurs branches qui à leur tour se divisent et se ramifient à l’infini.
	J. Delboeuf.

---

ROZDZIAŁ I.

LICZBY CAŁKOWITE.

---

[51]

8. DZIAŁANIA PROSTE.

 Wiemy już, że liczby całkowite stanowią fundament Arytmetyki i że prowadzi do nich abstrakcya z dostrzeganéj wielości przedmiotów.
 Przedmioty, zjawiska dostrzegane, lub odpowiadające im akty myśli nazywamy: pierwszym, drugim, trzecim, i t. d. Każdemu z dostrzeżonych przedmiotów odpowiada pewien liczebnik porządkowy; inaczéj mówiąc, przedmioty, przez nas dostrzeżone i odróżnione, odpowiadają kolejno wyrazom szeregu:

pierwszy, drugi, trzeci, czwarty, . . . .

Szereg tych wyrazów zastąpić można. szeregiem innych przedmiotów lub znaków w ten sposób, aby każdemu przedmiotowi z pierwszego szeregu odpowiadał jeden przedmiot lub znak z drugiego szeregu, i odwrotnie, aby każdemu przedmiotowi z drugiego szeregu odpowiadał jeden przedmiot z pierwszego. Podobne przystosowywanie czyli odwzorowywanie wzajemne dwóch szeregów przedmiotów [52]stanowi nie tylko podstawę liczenia, ale jest źródłem wielu ważnych metod matematycznych, o których w téj książce mówić będziemy.
 Jeżeli z wyrazów szeregu
 pierwszy, drugi, trzeci, czwarty, . . . .
utworzymy szeregi:
 pierwszy,
 pierwszy, drugi,
 pierwszy, drugi, trzeci,
 pierwszy, drugi, trzeci, czwarty,
 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 pierwszy, drugi, trzeci, czwarty,..., n - y,
to do każdego takiego szeregu będziemy mogli przydzielić liczbę, a mianowicie, do pierwszego szeregu liczbę jeden, do drugiego liczbę dwa, . . . do ostatniego liczbę n. Przy tworzeniu liczby umysł wykonywa syntezę aktów myśli, odpowiadnjących każdemu z powyższych szeregów: do dziedziny nazw lub dziedziny przedmiotów dodaje coś nowego, a mianowicie szereg form matematycznych. Formy te odtąd służyć mają za szereg zasadniczy, z którym porównywać będziemy zawsze jakiekolwiek szeregi przedmiotów, podległych naszemu spostrzeganiu ^[1]. Liczba, otrzymana z syntezy aktów, o jakich mówimy, uważa się za liczbę przedmiotów badanego przez nas szeregu.
 Licząc przedmioty, t. j. dając każdemu z nich nazwę, wziętą z szeregu liczebników porządkowych, przez to samo przedmioty te porządkujemy. Jeżeli zmienimy porządek przedmiotów, t. j. przestawimy je w sposób dowolny, i następnie porównamy z szeregiem liczebników porządkowych tak, aby kolejnym przedmiotom przypadły znowu nazwy pierwszy, drugi, trzeci..., to oczywiście ostatniemu przedmiotowi, bez względu na poczynione przestawienia, odpowie taż sama nazwa, która odpowiadała ostatniemu przedmiotowi w poprzedniem uporządkowaniu. Liczba przeto, odpowiadająca szeregowi po przestawieniu, będzie taka sama, jak liczba, odpowiadająca mu przed przestawieniem; liczba przedmiotów nie ulega zmianie, czyli, wyrażając się słowami Kroneckera, liczba jest niezmiennikiem danego szeregu przedmiotów ^[2].
 Liczba w tém znaczeniu, to jest liczba całkowita, zastępuje przy liczeniu liczebniki porządkowe, zamiast więc nazywać przedmioty [53]pierwszym, drugim, trzecim,..., liczymy: jeden, dwa, trzy... Przy liczeniu w ten sposób nie tylko oznaczamy każdy przedmiot, ale jednocześnie wykonywamy syntezę aktów myśli, odpowiadających każdemu z przedmiotów, to jest określamy ów niezmiennik, ową formę matematyczną, która pozostaje niezmienną przy dowolném przestawianiu przedmiotów liczonych. [Na nazwę tego niezmiennika język niemiecki posiada wyraz “Anzahl„, gdy wyraz “Zahl„ używa się w znaczeniu ogólném, a więc nie tylko dla liczb całkowitych, ale i ułamkowych, ujemnych i t. d. I my w tém samem znaczeniu używamy wyrazu “liczba„, dla oznaczenia zaś pojęcia “Anzahl„ najwłaściwszym byłby wyraz “ilość„. Lecz upowszechniło się w naszym języku naukowym używanie wyrazu ilość, raz w znaczeniu logiczném, w przeciwstawieniu do wyrazu jakość, drugi raz do oznaczania wogóle liczb jakichkolwiek, a nawet do oznaczania wielkości. Dla niewywołania więc zamieszania w języku naukowym, dla wyrażenia pojęcia “Anzahl„ używać będziemy wyrażenia “liczba całkowita„ lub, gdy nie zachodzi obawa dwuznaczności, wyrazu liczba; mówić téż będziemy o wielości, mnogości lub 'rozmaitości przedmiotów, nadającéj się do przedstawienia za pomocą liczby].
 Szereg liczb:

jeden, dwa, trzy, cztery, ...

lub w znakach:

1, 2, 3, 4, . . .

wystarcza do liczenia jakiegokolwiek szeregu przedmiotów, ale posiada on jeszcze inne ważne zastosowania, które zaraz przedstawimy.
 Niechaj będą dwa szeregi przedmiotów, nazwijmy je A i B. Każdy z tych szeregów możemy liczyć oddzielnie, nazywając przedmioty szeregu A kolejno: pierwszym, drugim, trzecim, ..., n₁-ym, przedmioty szeregu B, nazywając także kolejno: pierwszym, drugim, trzecim, ..., n₂-ym. Wyobraźmy sobie teraz szereg liczb całkowitych

1.	1, 2, 3, 4, . . . . .

i przystosujmy do niego liczebniki porządkowe z poprzednich dwóch szeregów w ten sposób, aby liczbom szeregu 1. odpowiadały po kolei i bez przerwy liczebniki pierwszy, drugi, trzeci, ..., n₁-y, pierwszy, drugi, trzeci, ..., n₂-y, wtedy ostatniemu przedmiotowi [54]szeregu B odpowie liczba szeregu 1., którą nazywamy sumą liczb n₁ i n₂ i oznaczamy przez n₁ + n₂. Liczba n₁ + n₂ w odniesieniu do dwóch danych szeregów A i B oznacza, że jeżeli przedmioty obu szeregów wyobrazimy sobie, jako stanowiące szereg jeden, w którym idą przedmioty najprzód szeregu A, a następnie szeregu B, to, bez względu na porządek przedmiotów w każdym z szeregów danych, liczba, odpowiadająca temu jednemu szeregowi złożonemu, będzie n₁ + n₂.
 Jeżeli znowu do szeregu 1. przystosujemy w sposób wyżej opisany najprzód liczebniki porządkowe pierwszy, drugi, trzeci, ..., n₂-y, odpowiadające szeregowi A, następnie liczebniki porządkowe, pierwszy, drugi, trzeci, ..., n₁-y, odpowiadające szeregowi B, to dojdziemy do pewnej liczby, która będzie sumą liczb n₂ i n₁, a którą wedle przyjętego znakowania przedstawiamy za pomocą n₂ + n₁. Liczba ta wyraża oczywiście, że jeżeli wyobrazimy sobie przedmioty obu szeregów, jako stanowiące szereg jeden, w którym najprzód idą przedmioty szeregu B, a następnie przedmioty szeregu A, to, bez względu na porządek przedmiotów w każdym z szeregów danych, liczba, odpowiadająca temu jednemu szeregowi złożonemu, będzie n₂ + n₁.
 Działanie, za pomocą którego otrzymaliśmy liczbę n₁ + n₂ lub n₂ + n₁ nazywa się dodawaniem.
 Jest oczywistém — i oczywistość ta niezależnie od poglądu na źródła naszego poznania, musi być uważana za założenie zasadnicze teoryi działań, — że liczba n₂ + n₁, do któréj doszliśmy przy drugiém liczeniu, jest tą samą liczbą szeregu 1., jaką jest liczba n₁ + n₂, do któréj doszliśmy przy pierwszém liczeniu, co wyrażamy w ten sposób:

2.	n1 + n2 = n2 + n1.

Prawo to nazywa się prawem przemienności dodawania [commutativ Law]. Wzór 2., wyrażający to prawo w przypadku dwóch składników, z łatwością może być rozszerzony do jakiéjkolwiek [skończonej] liczby składników, jeżeli znaczenie dodawania trzech i więcéj liczb za pomocą określenia ustalimy. Prawo to wyrazić można ogólnie za pomocą; wzoru

n₁ + n₂ + . . .  + n_r = n_α + n_β + . . . + n_ρ,

gdzie α, β, ..., ρ stanowi jakąkolwiek przemianę szeregu 1, 2, ..., r.
[55] Z poprzedzającego wnieść można, że dodawanie dwóch [i więcéj liczb] jest tylko uogólnieniem liczenia. W dodawaniu zestawiamy szeregi przedmiotów, z których każdemu odpowiada jedna z liczb szeregu 1., w liczeniu zaś te szeregi składają się każdy z jednego przedmiotu, któremu w szeregu 1. odpowiada pierwszy wyraz. Jeżeli liczbę, odpowiadającą takiemu pojedyńczemu przedmiotowi, nazwiemy jednością, to liczenie będzie można nazwać dodawaniem jedności. Widzimy zarazem: 1. że gdy idzie o dodawanie i wogóle o działania na liczbach całkowitych, wszystkie przedmioty liczone, bez względu na różnice, jakie pomiędzy niemi istnieć mogą, zamieniają się w procesie liczenia wszystkie na jedności, wszystkie zatém stają się równemi. 2. że każdą liczbę szeregu 1. wyrazić można jako sumę liczby, bezpośrednio przed nią się znajdującéj, i jedności, czyli, liczbą szeregu 1., bezpośrednio następującą po liczbie n, jest n + 1. Z prawa przemienności 2. wynika

3.	n + 1 = 1 + n.

Jeżelibyśmy wzór 3. stanowiący przypadek szczególny wzoru 2., przyjęli za założenie zasadnicze, to z niego i przy pomocy określenia

4.	n1 + (n2 + 1) = (n1 + n2) + 1,

moglibyśmy wyprowadzić tak wzór 2. jako też i wszystkie własności dodawania.
 Wzór 4. stanowi przypadek szczególny ogólniejszego wzoru

5.	n1 + (n2 + n3) = (n1 + n2) + n3,

wyrażającego prawo łączności [associative Law] dodawania. Prawo to określa właśnie sumę trzech składników: jedna i druga strona wzoru 5. oznacza sumę trzech liczb n₁ + n₂ + n₃. Prawo to rozciąga się na jakąkolwiek [skończoną] liczbę składników.
 Łącząc prawo przemienności i łączności w jedno prawidło, możemy powiedzieć, że mając do dodania ilekolwiek liczb n₁, n₂, ..., n_r, możemy otrzymać sumę ich, łącząc którekolwiek i ilekolwiek z nich w sumę cząstkową, z pozostałych liczb łącząc znów którekolwiek i ilekolwiek w drugą sumę cząstkową i t. d., póki nie wyczerpiemy wszystkich składników danych, i dodając następnie sumy cząstkowe w dowolnym porządku^[3].
[56] Jeżeli pojedyńcze składniki sumy n₁ + n₂ + . . . + n_r są wszystkie równe jednéj liczbie n, wtedy dodawanie przechodzi w mnożenie, suma zaś n₁ + n₂ + . . . + n_r = n + n + . . . + n przyjmuje nazwę iloczynu liczb n i r i oznacza się przez nr. Liczba nr jest niezmiennikiem, odpowiadającym szeregowi utworzonemu ze złączenia r szeregów, z których każdy zawiera po n przedmiotów. Jeżeli w tym szeregu złożonym zmienimy ustawienie przedmiotów w ten sposób, aby najprzód stały obok siebie wszystkie przedmioty, które w szeregach danych były pierwszemi, następnie wszystkie, które były drugiemi i t. d., wreszcie wszystkie, które były ostatniemi, to dojdziemy tym sposobem do liczby rn. Ponieważ liczba przedmiotów nie uległa zmianie, a zatém

6.	n r = r n.

Wzór ten wyraża prawo przemienności mnożenia dla przypadku dwóch czynników. Jeżeli określimy mnożenie trzech [i więcéj] czynników za pomocą wzoru

7.	n1(n2n3) = (n1n2)n3,

wyrażającego prawo łączności, przyczém pierwsza i druga strona wzoru 7. wyrażają iloczyn n₁ n₂ n₃, to na zasadzie tego określenia będzie można wzór 6. rozszerzyć na dowolną [skończoną] liczbę czynników t. j. napisać ogólnie

n_α n_β . . . n_ρ = n₁ n₂ . . . n_r

gdzie α, β, . . . , ρ oznacza jakąkolwiek przemianę szeregu 1, 2, ..., r.
 Łącząc prawo przemienności i łączności mnożenia w jedno prawidło, możemy powiedzieć, że mając do mnożenia ilekolwiek liczb n₁ n₂ . . , n_r, możemy otrzymać iloczyn ich, tworząc z którychkol- i ilukolwiek z nich iloczyn cząstkowy, z pozostałych ilukolwiek tworząc drugi iloczyn cząstkowy i t. d. póki nie wyczerpiemy wszystkich czynników, i mnożąc następnie przez siebie iloczyny cząstkowe w jakimkolwiek porządku.
 Oprócz przemienności i łączności mnożenie liczb całkowitych posiada jeszcze jedną ważną własność, nazwaną prawem rozdzielności [distributive Law]^[4], które wyraża się wzorami

8.	(n1 + n2)n3 = n1n3 + n2n3 n3(n1 + n2) = n3n1 + n3n2

Pierwszy z tych wzorów daje się dowieść przez rozkład iloczynu po [57]prawéj stronie na sumę n₃ równych składników, a następnie przez odpowiednie uporządkowanie tych składników, drugi zaś wynika z pierwszego przy zastosowaniu prawa przemienności.
 Jeżeli czynniki iloczynu n₁ n₂,...,n_r są wszystkie równe jednéj liczbie n, wtedy mnożenie przechodzi w potęgowanie albo podnoszenie do potęgi, iloczyn zaś n₁ n₂ ... n_r = n n ... n przyjmuje nazwę r-éj potęgi liczby n i oznacza się przez n^r. Liczba n nazywa się podstawą potęgi, liczba r jéj wykładnikiem.
 Potęgowanie nie jest przemienném ani łączném, gdyż

n^r jest wogóle różne od rⁿ

oraz

n^(rs) „ „ „ „ (n^r)^s,

posiada natomiast własności wyrażone wzorami

9.	nr + s = nr ns nrs = (nr)s (mn)r = mrnr,

odpowiadające prawu rozdzielności mnożenia; właściwie tylko, ostatni z wzorów 9. wyraża ściśle tę własność, która łączy potęgowanie z mnożeniem w podobny sposób, w jaki wzory 8. łączą mnożenie z dodawaniem. Pierwsze dwa wzory 9., nie mające analogicznych sobie w dodawaniu i mnożeniu, wyrażają charakterystyczne własności potęgowania^[5].

9. DZIAŁANIA ODWROTNE.

 Opisane wyżéj działania: dodawanie, mnożenie i potęgowanie nazywają się działaniami prostemi; w przeciwstawieniu do nich cztery następujące nazywają się działaniami odwrotnemi. [Działania proste nazywa Hankel tetycznemi — thetische Operationen, odwrotne — litycznemi, lytische Operationen].
 Odejmowanie jest to działanie odwrotne względem dodawania; jest to takie działanie, za pomocą którego wyznaczamy liczbę x, czyniącą zadość równaniu

1.	x - n2 = n1.

Liczba x nazywa się różnicą liczb n₁ i n₂ i oznacza się przez n₁ - n₂. Kładąc za x to wyrażenie w równaniu 1., otrzymujemy [58]

2.	(n1 - n2) + n2 = n1.

Wzór 2. może być uważany za określenie różnicy lub odejmowania.
 Z istoty odejmowania wynika, że jeżeli n₁ i n₂ są liczbami szeregu 1., że wtedy tylko na x otrzymujemy odpowiedź, to jest otrzymujemy liczbę, znajdującą się w tym szeregu, jeżeli liczba n₁ znajduje się w szeregu na prawo od liczby n₂, jest od liczby n₂ większa. Jeżeli zaś co do n₁ i n₂ nie czynimy z góry żadnych zastrzeżeń, wynika potrzeba nadania znaczenia odejmowaniu i w tym przypadku, w którym warunek powyższy się nie spełnia. To prowadzi do rozszerzenia dziedziny liczb, to jest do utworzenia zera i liczb ujemnych, przyczém naturalnie równanie 2. służyć winno za określenie nowych liczb. Tak więc definicya formalna liczb ujemnych jest tożsama z definicyą odejmowania.
 Dzielenie jest działaniem odwrotném względem mnożenia; jest to działanie, za pomocą, którego wyznaczamy liczbę x, czyniącą zadość równaniu

3.	x n2 = n1,

gdzie n₁ i n₂ są liczbami szeregu 1. Liczba x oznacza się przez

n₁/n₂ lub n₁/n₂

i nazywa się ilorazem. Kładąc za x to wyrażenie w równaniu 3., otrzymamy równość

4.	n1/n2n2 = n1,

która może być uważana za określenie ilorazu lub dzielenia.
 Z istoty dzielenia wynika, że jeżeli n₁ i n₂ są liczbami szeregu 1, to wtedy tylko otrzymujemy na x odpowiedź, to jest otrzymujemy liczbę zawartą w 1., jeżeli liczba n₁ jest wielokrotnością liczby n₂. Jeżeli zaś co do n₁ i n₂ nie czynimy żadnych zastrzeżeń, to wynika wtedy potrzeba nadania znaczenia dzieleniu i w tym przypadku, w którym warunek powyższy się nie spełnia. To prowadzi do nowego rozszerzenia dziedziny liczb, to jest do utworzenia liczb ułamkowych, przyczém naturalnie równość 4. winna służyć za ich określenie. Tak więc definicya formalna liczb ułamkowych zawartą jest w definicyi dzielenia.
 Z przyczyny prawa przemienności, stosującego się do dodawania i mnożenia, każdemu z tych działań odpowiada jedno działanie odwrotne, tymczasem potęgowaniu, które przemienném nie jest [59]odpowiadają dwa działanie odwrotne, a mianowicie pierwiastkowanie [właściwie: wyciąganie pierwiastka] i logarytmowanie.
 Pierwiastkowanie jest działaniem, za pomocą którego wyznaczamy liczbę x, czyniącą zadość równaniu

5.

xn2 = n1

Liczba x czyli podstawa potęgi otrzymuje nazwę pierwiastka [pierwiastka n₂-ego lub pierwiastka n₂-éj potęgi] i oznacza się w ten sposób:

x = ^n₂√n₁

Jeżeli to oznaczenie wprowadzimy do równania 5., otrzymamy wzór

6.	(n2√n1)n2 = n1

który można uważać za określenie pierwiastka i pierwiastkowania. Jeżeli n₁ i n₂ są liczbami calkowitemi, to na x wtedy tylko otrzymujemy odpowiedź w szeregu 1., gdy liczba n₁ jest potęgą zupełną t. j. iloczynem n₂ równych czynników; IV przeciwnym razie odpowiedź nie może zawierać się w szeregu 1. Jeżeli więc co do n₁ i n₂ nie czynimy żadnych zastrzeżeń, to wynika stąd potrzeba nadania znaczenia pierwiastkowaniu i w tym przypadku, w którym warunek powyższy się nie spełnia. To prowadzi nas znowu do rozszerzenia dziedziny liczb, to jest do tworzenia liczb niewymiernych, przyczém równanie 6. może służyć za formalne ich określenie.
 Równanie 5. stanowi przypadek szczególny równania algebraicznego ogólnego, to też liczby niewymierne, określone formalnie za pomocą takiego równania, zawierają się w pojęciu ogólnlejszém liczb algebraicznych.
 Logarytmowanie jest działaniem, za pomocą którego wyznaczamy liczbę x czyniącą zadość równaniu wykładniczemu

7.

n2x = n1.

Liczba x nazywa się logarytmem liczby n₁ przy podstawie n₂ i oznacza się w ten sposób:

x = log_n2n₁

Wstawiając to oznaczenie w 7., otrzymujemy równość

8.	n2logn2n1 = n1,

[60]który może być uważany za określenie logarytmu i logarytmowania. Jeżeli n₁ i n₂ są liczbami szeregu 1., to na x otrzymujemy tylko wtedy liczbę szeregu 1., jeżeli n₁ równa się liczbie n₂ lub jakiéjkolwiek potędze [z wykładnikiem będącym liczbą szeregu 1.] liczby n₂. Jeżeli więc co do n₁ i n₂ nie czynimy żadnych zastrzeżeń, wynika potrzeba nadania logarytmowaniu znaczenia w przypadku, w którym warunek powyższy nie spełnia się. To prowadzi do nowego uogólnienia pojęcia liczby, do tworzenia liczb przestępnych [transcendentalnych].

 Ponieważ równanie 7. stanowi tylko jedną z postaci, jaką przybierać mogą równania przestępne, więc definicya formalna, zawarta we wzorze 8., daje tylko specyalną klasę liczb przestępnych, klasę logarytmów.
 Z dotychczasowego przedstawienia widać jasno: że proces liczenia, podnosząc się na coraz wyższe stopnie, prowadzi do trzech działań prostych: dodawania, mnożenia i potęgowania; odwrócenie zaś zagadnienia zawartego w działaniach prostych, prowadzi do czterech nowych działań: odejmowania, dzielenia, pierwiastkowania i logarytmowania, i zarazem wywołuje potrzebę rozszerzenia dziedziny pierwotnéj, zawartéj w szeregu 1. Odwrócenie zagadnień, zawartych w działaniach prostych, jest myślą twórczą, która stwarza nowe dziedziny badania. Przekonamy się niejednokrotnie, że ten sam pomysł w innych gałęziach Matematyki, a głównie w teoryi funkcyj eliptycznych i hypereliptycznych, stał się podstawą znakomitych odkryć i uogólnień.
 W uważanym obecnie przypadku mamy do czynienia z zagadnieniami najprostszemi, bo z najprostszemi połączeniami liczb, wchodzącemi do uważanych działań. Przy połączeniach bardziéj złożonych, utworzonych z rozmaitych kombinacyj powyższych działań, dochodzimy naturalnie do zagadnień odwrotnych ogólniejszych, i dlatego podane przez nas wyżéj nowe dziedziny liczb nie wyczerpują całej rozmaitości nowych form liczbowych, do jakich prowadzą działania matematyczne.
 Z siedmiu opisanych działań, cztery, a mianowicie dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, nazywamy działaniami zasadniczemi albo arytmetycznemi dla tego, że stanowią one przedmiot Arytmetyki elementarnéj, która obejmuje dziedziny liczb całkowitych i ułamkowych, z wyłączeniem [dla względów dydaktycznych] [61]dziedziny liczb ujemnych, uwzględnianéj dopiero w Algebrze elementarnéj. Dołączając do powyższych czterech działań jeszcze podoszenie do potęg całkowitych i wyciąganie pierwiastków o wykładniku całkowitym, otrzymamy sześć działań elementarnych, stanowiących podstawę działań algebraicznych.
 Zawarta w tym i w poprzedzającym artykule teorya działań zawiera tylko zarys ogólny, w którym, opierając się na szeregu podstawowym 1., podaliśmy zasadnicze własności działań, ich związki wzajemne i wskazaliśmy źródło, z którego pochodzi potrzeba rozszerzenia pierwotnej dziedziny liczb całkowitych oraz znaczenia działań. Pozostają atoli do rozstrzygnięcia pytania ważne, a mianowicie, w jaki sposób wskazane uogólnienia urzeczywistnić, czyli innemi słowy, jakie własności nadać nowym formom; czy i w jaki sposób rozszerzenia, wskazane w różnych kierunkach, to jest z różnych pochodzące działań, łączą się ze sobą w jednę organiczną całość, wreszcie jaką rozmaitość form wydają kombinacye działań? Czytelnik przewiduje, że w tych pytaniach mieszczą się doniosłe zagadnienia nauki o liczbach. Zanim wszakże do rozwiązania tych pytań przejdziemy, musimy jeszcze raz zastanowić się nad wyłożonemi wyżéj prawami, określającemi własności działań zasadniczych, i, wziąwszy je za punkt wyjścia, zbadać konsekwencye, do jakich prowadzą. Stanowić to będzie przedmiot następującego rozdziału o teoryi działań formalnych, w któréj formy, podległe działaniu, będziemy uważali w caléj ogólności, nie przywiązując do nich zgóry charakteru liczb całkowitych^[6].

10. LICZBY NADSKOŃCZONE.

 Rozważania nad naturą liczb, podane w art. poprzedzającym, można uogólnić, zakładając, że mnogość przedmiotów, z której za pomocą abstrakcyi dobywamy pojęcie liczby, jest nieskończoną. O nieskończonéj mnogości przedmiotów nie może nas przekonać doświadczenie: w nieskończoności widzimy przedewszystkiém tę własność zasadniczą, jaką posiada szereg liczb całkowitych.

1.	1, 2, 3, 4 . . . n, n + 1,....

w którym od każdego dowolnie wielkiego wyrazu n możemy przejść do następującego n + 1 w taki sam sposób, w jaki przechodzimy np. od 1 do 2. W tém posuwaniu się coraz dalszém w szeregu [62]naszym nie napotykamy żadnej przeszkody, żadnej sprzeczności z prawami logicznego myślenia. Podobnie rzecz się ma nietylko z szeregiem 1., ale i z wielu innemi szeregami np. z szeregiem liczb parzystych:

2, 4, 6, . . . . ,

z szeregiem liczb nieparzystych:

1, 3, 4, . . . . ,

z szeregiem ułamków:

1/1, 1/2, 1/3, 1/4 . . .

Takich przykładów w dziedzinie badań matematycznych napotkamy wiele w ciągu dalszego wykładu.
 Ta własność szeregu 1. i innych podobnych “urzeczowiona„, że tak powiemy, lub przeniesiona do dziedziny przedmiotów, stanowi o nieskończoności rozmaitości lub mnogości. [Pojęciem nieskończoności i rozmaitemi jego odmianami, tak ważnemi w Matematyce, zajmiemy się szczegółowo w tomie drugim; tu idzie nam głównie o wyprowadzenie pojęcia liczb nadskończonych, mających charakter liczb całkowitych].
 Jeżeli powiemy, że liczba wyrazów szeregu 1. lub liczba elementów pewnéj mnogości jest nieskończoną, to używamy wyrazu liczba w znaczeniu rozszerzoném. Liczba każda, odpowiadająca skończonéj mnogości przedmiotów, jest zupełnie oznaczoną, i możemy od niéj za pomocą skończonéj liczby działań elementarnych cofnąć się do pierwszego wyrazu szeregu; tego samego nie możemy wszakże powiedzieć o liczbie nieskończonéj, bo odejmując od niéj kolejno po jedności, nie dojdziemy po skończonéj liczbie działań do żadnéj liczby określonéj. Wyrażenie przeto “liczba nieskończona„ jeżeli nazwę liczby chcemy tu zachować, oznacza liczbę, znajdującą się na kresie procesu myśli, wytwarzającego szereg 1.; pojęcie jéj jest pojęciem graniczném, w którém proces ten, jakkolwiek wyobrażalny tylko w znaczeniu dowolnego przedłużenia, uważamy za wyczerpany; nieskończoność jest tu niejako gotową, urobioną w pewną formę, jest nieskończonością, jak ją nazywa Cantor, “bezwzględną„ lub właściwą, aktualną; jest liczbą po za wszelką liczbą skończoną, lub, inaczéj mówiąc, jest pierwszą liczbą nadskończoną (transfinite Zahl) całkowitą ω. Liczba ta stanowić może początek nowéj [63]rozmaitości liczb, w taki sam sposób, w jaki liczba 1 stanowi początek szeregu liczb całkowitych skończonych. Następujące po ω liczby nadskończone będą

ω + 1, ω + 2, ω + 3, ω + 4, . . .

Jeżeli do tego szeregu zastosujemy ten sam proces myśli, jaki stosowaliśmy do szeregu 1., dojdziemy do liczby 2ω, po któréj następują

2ω + 1, 2ω + 2, 2ω + 3, 2ω + 4 . . .

Proces, prowadzący od liczby, zawartéj w którymkolwiek z powyższych szeregów, do liczb innych w tymże szeregu, nazywa Cantor pierwszą zasadą tworzenia liczb; proces zaś, prowadzący od liczby ω do 2ω, nazywa drugą zasadą. Skombinowane zastosowanie obu zasad tworzenia prowadzi do kolejnych szeregów

3ω, 3ω + 1, 3ω + 2, 3ω + 3, . . .

. . . . . . . . . . . .

μω, μω + 1, μω + 2, μω + 3, . . .

po których znów dalszy proces daje nam liczby

λω² + μω + ν

i ogólniéj liczby postaci

ν₀ω^μ + ν₁ω^μ-1 + . . . + ν_{μ - 1}ω + ν_μ.

Lecz i tu proces tworzenia liczb nie kończy się, bo prowadzi do liczb nadskończonych

ω^ω

i t. p.
 Tworzeniu liczb nadskończonych w dalszym ciągu nic nie staje na przeszkodzie; zdaje się, wszakże, że proces ten gubi się w głębiach nieskończoności, nie prowadząc do ściśle określonych dziedzin badania. Tak jednak nie jest, jeżeli przy tworzeniu nowych liczb uwzględnimy warunek, nazwany przez Cantora trzecią zasadą, zasadą regulującą [Hemmungs oder Beschränkungsprincip], którą zaraz przedstawimy. Uczynimy tu uwagę, że teorya Cantora podlega ogólnéj zasadzie zachowania, którą: przedstawiliśmy we wstępie [str. 27-32]. Zasadę regulującą stanowi właśnie zastosowanie [64]pojęcia niezmiennika danéj mnogości nieskończonej, podobnego do pojęcia niezmiennika, stosującego się do mnogości skończonych. Niezmiennik ten, który Cantor nazwał najprzód mocą (potęgą, Mächtigkeit, puissance), a później liczbą kardynalną, danéj mnogości odpowiadającą, powstaje przy pomocy téj samej abstrakcyi, przez którą w mnogości skończonej dochodzimy do pojęcia liczby skończonéj. Jeżeli mianowicie w danej rozmaitości albo mnogości M, składającéj się z oznaczonych i dobrze wyróżnionych przedmiotów konkretnych lub z pojęć abstrakcyjnych, które nazwiemy elementami mnogości, odwrócimy uwagę tak od natury elementów jako też od ich porządku, to dojdziemy do określonego pojęcia ogólnego [universale], który można nazwać mocą mnogości M, albo odpowiadającą jéj liczbą, kardynalną.
 To ogólne określenie liczby kardynalnéj obejmuje w sobie pojęcie liczby skończonéj i nadskończonéj; dają się z niego wyprowadzić, jak to pokazujemy w przypisach, ogólne prawa działań, odnoszące się do jednych i drugich, jako też różnice, charakteryzujące oba rodzaje liczb.
 Prócz pojęcia liczb kardynalnych utworzył jeszcze Cantor pojęcie typów lub liczb porządkowych, nazwanych tak dla tego, że w procesie abstrakcyjnym, o którym mowa wyżéj, nie odwracamy już uwagi od porządku elementów^[7].

1. O szeregu tym mówi Kerry, Ueber Auschauung i t. d. [l. c., str. 324], że jest wielością miarową przyrodzoną [uatürliche Massvielheit] do mierzenia wszystkich innych wielości, podobnie jak nasze oko, nasze ucho, nasze organa dotyku, nasza pamięć są przyrodzonemi wzorcami do mierzenia długości.
    O pojęciu liczby całkowitéj traktuje obszernie Frege w pracy, Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch-mathematische Untersnchung über den Begriff der Zahl, 1884.
2. Kronecker, Ueber den Zahlbegriff... l. c. str. 342.
3. Suma złożona z dwóch liczb może być utworzona 2 sposobami, z trzech liczb — 18-ma, z czterech — 264-ma, z pięciu — 5400-ma, z szeciu 141840-ma sposobami. Toż samo stosuje się i do mnożenia.
4. Nazwy praw przemienności, łączności i rozdzielności podajemy w nawiasach po angielsku dlatego, że one rozpowszechniły się najwcześniéj w literaturze angielskiéj, jakkolwiek pierwszy i trzeci termin wprowadził do nauki prawdopodobnie Servois w r. 1814. Porówn. Hankel, Ueber die complexen Zahlensysteme str. 3.
5. Powtórzenie potęgowania prowadzi do działań

   							a
   		a				a
   	a				a
   a			.	a				. . . .	i t. d.

   które uważają niektórzy za nowe działanie, za “czwarty stopień„ działań. Wszakże działanie to jest małego użytku i mało zbadane. Porówn. artykuł E. Schultzego, Die vierte Rechenstufe [Archiv der Mathematik und Physik, 2 ser. IX, zeszyt 3, 1890, str. 320-326].

6. Wroński [Introduction, str 6. i 7.] dzieli działania, opisane w art. 8 i 9., które [za wyłączeniem logarytmowania] nazywa algorytmami pierwotnemi, na trzy klasy, z których każda znowu dzieli się na dwie gałęzie prostą [progressive] i odwrotną [regressive]. Podział ten przedstawia następująca tabliczka:

   Sumowanie [Sommation]	proste: Dodawanie.
   	odwrotne: Odejmowanie.
   Reprodukcya [Reproduction]	proste: Mnożenie.
   	odwrotne: Dzielenie.
   Stopniowanie [Graduation]	proste: Potęgowanie.
   	odwrotne: Pierwistkowanie.

    Reprodukcyą uważa Wroński za algorytm pośredni między sumowaniem i stopniowaniem, algorytmy zaś pierwotne sumowania i stopniowania nazywa “biegunami intelektualnemi„ poznania w zastosowaniu do form algorytmicznych. W sumowaniu części wielkości uważa za przerywane, mające charakter agregatów [per juxta positionem], w sumowaniu za ciągłe, w pewnéj mierze za intensywne i mające charakter wielkości wzrastających [per intus susceptionem]. Te dwie funkcye mają, według niego, każda swoje prawa specyalne; są one zupełnie różnorodne i niepodobna jednéj z nich wyprowadzić z drugiéj. Pierwsza jest opartą na prawach budujących rozsądku [lois constitutives de l’entendement], druga na prawach regulujących rozumu [lois régulatives de la raison]. Neutralizacya tych dwóch funkcyj intelektualnych daje funkcyą pośrednią, a mianowicie algorytm reprodukcyi, który z metafizycznego punktu widzenia odnosi do zdolności sądzenia [faculté du jugement].

7. Dajemy tu krótki wykład teoryi liczb kardynalnych i porządkowych, opierając się głównie na dwóch pracach Cantora: Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre, 1883 i Zur Lehre vom Transtiniten Erste Abtheilung, 1890. Porówn. także artykuły tegoż w Acta Mathematica, II. 1883.
    Dwie oznaczone mnogości M i M₁ nazywają się równoważnemi, co wyrażamy przez M ~ M₁ jeżeli można je przyporządkować wzajemnie tak, aby każdemu elementowi pierwszéj odpowiadał jeden oznaczony element drugiéj, i odwrotnie.
    Jeżeli M ~ M₁ i M₁ ~ M₂, to wynika stąd, że M ~ M₂.
    Przykłady. Mnogość barw tęczowych [czerwona, pomarańczowa, żółta, zielona, błękitna, niebieska, fioletowa] i mnogość tonów gamy [C, D, E, F, G, A, H] są mnogościami równoważnemi: obie podchodzą pod pojęcie ogólne siedm.
    Mnogość palców obu rąk i mnogość punktów w tak nazwanym trójkącie arytmetycznym

   			·
   		·		·
   	·		·		·
   ·		·		·		·

   są równoważne. Liczbą kardynalną, im odpowiadającą, jest dziesięć.
    Mnogość nieskończona (ν) wszystkich liczb całkowitych szeregu 1. [str. 55.] jest równoważna: mnogości wszystkich liczb parzystych, mnogości wszystkich liczb nieparzystych. mnogości (μ + νi) wszystkich liczb zespolonych całkowitych μ + νi, gdzie μ i ν przyjmują niezależnie od siebie wszystkie wartości całkowite. Wszystkie te mnogości są znów równoważne mnogości (μ/ν) wszystkich liczb rzeczywistych μ/ν, gdzie μ i ν są. liczbami względnie pierwszemi, nawet mnogość wszystkich liczb algebraicznych jest równoważna każdéj z powyższych mnogości. [Porówn. art. 14.]. Oznacza to, że wszystkie nieskończone mnogości, o których tu mowa, można przystosować do szeregu 1. w sposób, wyżéj podany.
    Przeciwnie, mnogości wszystkich liczb rzeczywistych [t. j. liczb wymiernych, niewymiernych, algebraicznych i przestępnych], jak tego dowiódł Cantor, Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen [Journal für die reine und angewandte Mathematik, LXXVII, 1874, str. 258], nie jest równoważną mnogości (ν).
    [Możemy też wspomnieć tu o ważném twierdzeniu Cantora, że rozmaitość n-wymiarowa ciągła, uważana jako rozmaitość punktów jest równoważna continuum linearnemu. [Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre Journ. f. die reine u. ang. Mathem. LXXXIV. 1878, str. 242.].
    Z poprzedzającego wynika, że mnogości równoważne mają moc albo liczbę kardynalną równą i że naodwrót mnogości o równej liczbie kardynalnéj są równe. Jeżeli więc M ~ M₁, to M ~ M₁ i odwrotnie. Tu przez M i M₁ oznaczamy liczby kardynalne.
    Jeżeli dwie dane mnogości nie są równoważne, to musi zachodzić jeden z dwóch następujących przypadków: 1-o można z N wydzielić część składową N′, aby było M ~ N′; 2-o można z M wydzielić część składową M′aby było M′ ~ N. W pierwszym przypadku mówimy, że M jest mniejsze od N, w drugim: M jest większe od N.
    Mnogość, powstałą z połączenia mnogości M i N, — na porządek połączenia nie zwracamy tu uwagi — oznaczamy przez M + N. Jeżeli mamy dwie inne mnogości M′ i N′ tak, że M ~ M′, N ~ N′, to

   M + N ~ M′ + N′.

    Na tém twierdzeniu opiera się określenie sumy dwóch lub więcéj liczb kardynalnych. Jeżeli a = M, b = N, to przez a + b rozumiemy taką liczbę kardynalną, która odpowiada mnogości M + N, to jest

   a + b = M + N

   Prawo przemienności a + b = b + a i prawo łączności a + (b + c) = (a + b) + c wynikają tu wprost z uwagi, że liczby kardynalne już ze względu na sam akt abstrakcyi, przez który powstają, są od porządku elementów niezależne.
    Jeżeli M i N są dwie mnogości, to przez M.N rozumiemy trzecią mnogość, powstającą z mnogości N w ten sposób, że na miejsce każdego pojedyńczego jéj elementu kładziemy mnogość równoważną mnogości M — porządek elementów tu nie ma wpływu. — Wszystkie mnogości M i N, otrzymane według tego sposobu, są równoważne, a liczba, im odpowiadająca, jest

   ab = MN.

   Z tego określenia wynikają z łatwością: prawo przemienności ab = ba, prawo łączności a.(b.c) = (ab)c oraz prawo rozdzielności a(b + c) = ab + ac.
    Wszystko, co wyżéj powiedziano, odnosi się zarówno do mnogości i liczb skończonych, jako też do liczb i mnogości nieskończonych.
    Dla mnogości skończonych można dowieść, że gdy z trzech liczb kardynalnych a, b, c jedna jest równa sumie dwóch drugich np, a + b = c, to liczba c nie może być równa żadnemu ze składników. Jeżeli wszakże pominiemy warunek skończoności, to twierdzenie to przestaje być prawdziwém, i w tém tkwi, jak twierdzi Cantor, głęboka i istotna różnica pomiędzy liczbami skończonemi i nadskończonemi. Dla liczb nadskończonych stosują się twierdzenia

   a + ν = a, a.ν = a, a^ν. = a

   gdzie ν jest liczbą skończoną, a zaś liczbą nadskończoną.
    Oprócz pojęcia liczby kardynalnej wprowadza Cantor do swojéj teoryi pojęcie liczby porządkowej [Ordnungszahl], które rozwija w najnowszéj swojéj wyżéj cytowanéj pracy. Aby pojęcie to uzasadnić, trzeba najprzód poznać, co Cantor rozumie przez pojęcie mnogości dobrze uporządkowanéj.
    Mnogością dobrze uporządkowaną nazywamy każdą określoną mnogość któréj elementy są związane z sobą pewném z góry określoném prawem następstwa, według którego pewien element mnogości jest pierwszym, po nim [o ile on nie jest ostatnim] następuje określony drugi, i wogóle po każdej skończonej lub nieskończonej mnogości elementów następuje element rozmaitości zupełnie określony. O takich rozmaitościach czyli mnogościach mówić można, że są odliczalnemi [abzählbar] jedna na drugiéj. Takiemi rozmaitościami są np.

   (a, a′, a″) i (b, b′, b″)
   (a, a′, a″)a″ . . . a^(ν) . . .) i (b, b′, b″ . . . b^(ν) . . .)
   (a, a′, a″ . . . a^(ν) . . c, c′, c″) i (b, b′, b″ . . . b^(ν) . . . d, d′, d″)

   Pojęcie mnogości dobrze uporządkowanéj daje się uogólnić w sposób następujący:
    Wyobrażamy sobie, że mnogość dobrze uporządkowana składa się z elementów E, E′, E″ . . ., które są uporządkowane w n różnych niezależnych kierunkach [bierzemy tu pojęcie kierunku w znaczeniu ogólniejszém od geometrycznego]. Nazwijmy te kierunki 1-ym, 2-gim,... ν-ym,... a samą mnogość nazwijmy n-krotnie uporządkowaną.
    Wprowadźmy następujące oznaczenia: Jeżeli E i E′ są jakiekolwiek dwa elementy mnogości M, to pomiędzy niemi w każdym z n kierunków istnieje określony stosunek położenia [ein bestimmtes Rangverhältniss], do oznaczenia którego użyjmy znaków <, =, >, Jeżeli ν jest jedna z liczb 1, 2, 3, . . . n, to w kierunku ν-ym zachodzi jeden z trzech przypadków

   E < E′, E = E′, E > E′.

   Dla rozmaitych kierunków stosunek ten może być taki sam, jak dla kierunku ν, lub różny.
    Jeżeli E, E′, E″ są jakiekolwiek trzy elementy rozmaitości M i jeżeli w kierunku ν-ym zachodzą związki

   E ≤ E′ i E ≤ E″.

   to w tym samym ν-ym kierunku musi być

   E ≦ E″,

   przyczém równość zachodzi w ostatnim związku tylko wtedy, jeżeli zachodzi jednocześnie w obu związkach poprzednich.
    Przy takiém założeniu, dana n-krotna rozmaitość albo mnogość nazywa się uporządkowaną w n kierunkach porządkowych 1, 2, 3, . n-ym.
    Jako przykłady podobnych rozmaitości służyć mogą: trójkrotnie uporządkowana mnogość punktów w przestrzeni odnośnie do układu trzech osi prostokątnych; dwukrotnie uporządkowana mnogość punktów płaszczyzny odnośnie do układu dwóch osi prostokątnych; utwór muzyczny [melodya, symfonia i t. p.], będący mnogością tonów czterokrotnie uporządkowaną ze względu na następstwo tonów w czasie, ich trwanie, wysokość i natężenie, i t. d.
    Jeżeli w takiej oznaczonej n-krotnie uporządkowanéj mnogości M odwrócimy uwagę od istoty elementów, przy zachowaniu związków ich położenia w n różnych kierunkach, powstanie w nas obraz intelektualny, pojęcie ogólne, które Cantor nazywa typem porządkowym [Ordnungstypus] albo też liczbą idealną, odnoszącą się do danéj mnogości [tych liczb idealnych nie należy mieszać z liczbami idealnemi Kummera, o których mówić będziemy w części drugiéj niniejszego tomu] i oznacza ją przez M.
    Pojedyńczym elementom E, E′, E″ mnogości M odpowiadają w jéj typie porządkowym M same jedności e = 1, e′ = 1, e″ = 1 . . ., które różnią się tylko wzajemném położeniem w M; ich związki są takie same, jak związki pomiędzy elementami mnogości M.
    Tym sposobem n-krotny typ porządkowy jest niejako liczbą całkowitą n-wymiarową, jest organiczném skupieniem jedności, uporządkowanych w n różnych kierunkach.
    Typ porządkowy nazywa Cantor czystym, jeżeli każde dwie jedności tego typu e i e′ mają przynajmniéj w jednym z n kierunków położenie różne; w przeciwnym razie typ nazywa mieszanym. W typie mieszanym jedności łączą się w oznaczone grupy, tak, że jedności, należące do jednéj i téj samej grupy, mają we wszystkich kierunkach położenie jednakowe i zlewają się w jednę liczbę kardynalną, gdy jedności, należące do grup różnych, przynajmniej w jednym z n-kierunków mają położenie różne. Typ mieszany powstaje z oznaczonego typu czystego, jeżeli w tym ostatnim zamiast jedności podstawimy pewne liczby kardynalne.
    Dwie mnogości M i N, n-krotne uporządkowane, nazywają się podobnemi, jeżeli można je wzajemnie przyporządkować w ten sposób, aby, gdy E i E′ są dwoma elementami pierwszej mnogości, F i F′ — odpowiedniemi elementami drugiéj, to dla ν = 1, 2, 3 . . . n położenie elementu E względem E′ w kierunku ν-ym jest w rozmaitości M takie same, jak położenie F względem F′ wewnątrz rozmaitości N. Podobieństwo takich dwóch mnogości oznaczać będziemy przez

   M ≅ N.

   Dwie n-krotnie uporządkowane mnogości mają wtedy i tylko wtedy jeden typ porządkowy, jeżeli są podobne, i odwrotnie. Jest tedy

   M = V, jeżeli M ≅ N

   i odwrotnie

   M ≅ N, jeżeli M = V.

   Typem porządkowym danéj mnogości n-krotnej M jest więc to pojęcie ogólne, pod które podpadają mnogość M i wszystkie jéj podobne.
    Z podobieństwa mnogości M i N wynika ich równoważność; odwrotnie wszakże, z równoważności dwóch mnogości nie można wogóle wnosić o ich podobieństwie. Możemy przeto wypowiedzieć twierdzenie. Jeżelidwie mnogości dobrze uporządkowane mają ten sam typ porządkowy, to mają i jednę liczbę kardynalną; t. j. jeżeli M = N, to M = N.
    Tak więc liczba kardynalna czyli moc mnogości M jest jednocześnie liczbą kardynalną jéj typu porządkowego M i powstaje z tego ostatniego, jeżeli oderwiemy uwagę od położenia jego jedności. Jeżeli α jest znakiem dla typu porządkowego M, to α jest znakiem dla liczby kardynalnéj M.
    Stosownie do tego, czy liczba kardynalna mnogości jest skończoną lub nadskończoną, i samą mnogość oraz jej typ porządkowy nazywamy skończonym lub nadskończonym.
    Typ n-krotny α składa się z pewnych jedności e, e′, e″ . . . , mających oznaczone położenie w n kierunkach. Jeżeli weźmiemy pod uwagę tylko pewną część tych jedności, to określi ona pewien typ γ, który można uważać za część “przygotowaną„ [możliwą, virtuell] typu α. Każdy typ α składa się z takich typów przygotowanych γ, γ′, γ″ . . . , które w części znajdują się jeden zewnątrz drugiego, w części zachodzą wzajem na siebie.
    Rozpatrzmy działania elementarne, wykonalne na dwóch takich typach α i β.
    Wyobraźmy sobie dwie mnogości M i N o typach M = α i N = β i utwórzmy z nich nową uporządkowaną mnogość M + N pod następującemi warunkami. Elementy M niechaj mają wewnątrz M + N to samo położenie w n kierunkach, jakie miały w M, podobnież elementy mnogości N niechaj mają w M + N względem siebie to samo położenie w n kierunkach, jakie miały w N, wreszcie niechaj w M + N wszystkie elementy mnogości N mają w każdym z n kierunków położenie wyższe od wszystkich elementów mnogości N. Wszystkie mnogości M + N, czyniące zadość tym warunkom, są oczywiście mnogościami n-krotnie uporządkowanemi i podobnemi, i określają ten typ, który nazywamy α + β. Mamy więc

   α + β = M + N,

   gdzie α nazwijmy dla odróżnienia składnikiem pierwszym [augendus], β składnikiem drugim [addendus].
    Stąd wynika łatwo stosowalność prawa łączności

   α + (β + γ) = (α + β) + γ.

   Prawo przemienności w ogólności się nie stosuje, gdyż α + β i β + α są różnemi typami.
    Zauważmy jeszcze, że liczba kardynalna sumy α + β równa się sumie liczb kardynalnych odpowiadających typom α i β,

   α + β = α + β.

    Dla otrzymania iloczynu α . β, wyobraźmy sobie mnogość n o typie β, tak że N = β, i oznaczmy elementy, z których składa się N, przez F₁, F₂, . . . F_λ . . .
   

    Niechaj daléj M₁, M₂, . . . M_λ będą mnogości typu α, tak że
   M₁ = M₂ . . . = M_λ = ... = α.

   Odwzorujmy wzajemnie te mnogości, tak że

    E_1,1, E_1,2 . . . E_1,μ . . . . . 

   będą

   elementami

   mnogości

   M₁,

    E_2,1, E_2,2 . . . E_2,μ . . . . . 

   „

   „

   „

   M₂,

    

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

    E_λ,1, E_λ,2 . . . E_λ,μ . . . . . 

   „

   „

   „

   M_λ,

    

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

   .

    E_1,μ, E_2,μ . . . E_λ,μ [μ = 1, 2 . . .] są odpowiadejącemi sobie
   

   elementami mnogości M₁, M₂, . . . M_λ . . .
   

    Utwórzmy nową mnogość MN z mnogości N w ten sposób, że w miejsce elementów F₁, F₂ . . . F_λ . . . podstawiamy odpowiednio M₁, M₂ . . . M_λ . . ., przyczem wzajemność położenia podlegać ma następującym warunkom: Wszystkie elementy E_λμ, E_λμ′ jednéj i téj saméj mnogości M_λ mają wewnątrz MN zachować względem siebie to samo położenie, jakie miały w M_λ; dla dwóch elementów E_χ,μ, E_λ,μ′ należących do różnych mnogości M_χ i M_λ należy przyjąć następujące rozróżnienie: 1.) Jeżeli F_χ i F_λ mają wewnątrz N w kierunku ν-ym położenie różne, to wzajemne położenie elementów E_χ,μ, E_λ,μ′ wewnątrz MN w kierunku ν-ym ma być to samo, jakiém jest położenie elementów F_χ i F_λ w rozmaitości N w kierunku ν-ym; 2.) Jeżeli F_χ i F_λ mają wewnątrz N w kierunku ν-ym położenie jednakowe, to położenie E_χ,μ względem E_χ,μ′ wewnątrz MN w kierunku ν-ym ma być takie, jak położenie E_χ,μ względem E_χ′,μ′ wewnątrz M_χ, albo, co na jedno wychodzi, jakiém jest położenie E_χμ względem E_λ,μ′ wewnątrz M_λ w kierunku ν-ym.
    Wszystkie mnogości MN, utworzone według tego przepisu, są podobne, iloczyn zaś, im odpowiadający, αβ określa się w ten sposób:

   α . β = MN

   gdzie α nazywamy czynnikiem pierwszym [mnożną], β - czynnikiem drugim [mnożnikiem].
    Stosuje się tu prawo łączności

   α . (β . γ) = (α . β)γ) . γ,

   gdy tymczasem α . β jest w ogóle różne od β . α.
    Prawo rozdzielności

   α . (β + γ) = α . β + α . γ

   ma tu miejsce.
    Liczba kardynalna iloczynu dwóch typów równa się iloczynowi liczb kardynalnych czynników, t. j.

   αβ = α . β.

   Z danym typem n-krotnym α związane są ściśle inne typy, które nazywamy sprzężonemi.
    Można wzajemność położenia właściwą typowi α przemienić w ten sposób, że położenia wzajemne jedności e, e′, e″ . . . w kierunkach μ-ym i ν-ym przestawiają się, w innych zaś kierunkach pozostają bez zmiany. Takich przekształceń, które nazwać można przestawieniami ze względu na kierunki μ-y i ν-y, jest oczywiście n(n - 1)/2, a wszystkie one, kolejno stosowane, dają wraz z typem danym wogóle 1.2. . . n typów sprzężonych.
    Jeżeli odmienimy typ α przez to, że odwrócimy położenie jedności w jednym ν-ym kierunku, t. j. jeżeli położenie jedności e i e′ w nowym typie będzie takiém, jakiém było położenie jedności e′ i e w typie dawnym, to przekształcenie takie nazwać można odwróceniem. Takich odwróceń jest n, a kolejne ich stosowanie daje wraz z typem danym 2n typów różnych.
    Wszystkich typów różnych sprzężonych z danym będzie zatem wogóle 2.n . 1 . 2 . . . n.
    Cantor zajmuje się jeszcze zagadnieniem o oznaczeniu liczby wszystkich typów porządkowych danéj liczby m, po rozwiązanie którego odsyłamy czytelnika do drugiej z cytowanych prac lub do rozprawy H. C. Schwartza, Ein Beitrag zur Theorie der Ordnungstypen, 1888.
    Teorya Cantora, któréj zarys przedstawiliśmy, zawiera w sobie cenne zadatki przyszłego rozwoju. Pomysły w niéj tkwiące, stosował Cantor już wcześniéj do badania rozmaitości punktowych [mówić o nich będziemy w tomie drugim], gdzie doszedł do wyników bardzo ważnych dla teoryi funkcyj. Nauka już teraz z tych pomysłów czerpie pożytek, przedewszystkiém zaś wpłynęły one na pogłębienie i udokładnienie badań analitycznych.
   

Tekst jest własnością publiczną (public domain). Szczegóły licencji na stronie autora: Samuel Dickstein.