Pojęcia i metody matematyki/Wstęp/Zasada zachowania i warunki stosowalności działań formalnych

<<< Dane tekstu >>>
Autor	Samuel Dickstein
Tytuł	Zasada zachowania i warunki stosowalności działań formalnych
Pochodzenie	Pojęcia i metody matematyki / Wstęp
Wydawca	Wydawnictwo Redakcyi „Prac matematyczno-fizycznych“
Data wyd.	1891
Druk	Drukarnia J. Sikorskiego
Miejsce wyd.	Warszawa
Źródło	Skany na Commons
Inne	Wstęp całość
Indeks stron

›››

[33]

7. ZASADA ZACHOWANIA I WARUNKI STOSOWALNOŚCI DZIAŁAŃ FORMALNYCH.

 Wiemy już z powyższego, że Matematyka rozwija się, dzięki uogólnianiu pojęć i związków pomiędzy przedmiotami swojego [34]badania. Jak z postępem techniki człowiek z kombinacyi najprostszych machin, spożytkowując czynniki przyrody, zdobywa coraz doskonalsze narzędzia pracy, podobnież w Matematyce uogólnianie pojęć, będące wynikiem pracy umysłowéj pokoleń, daje nowe i doskonalsze narzędzia myślenia, które następnie z pożytkiem stosujemy do badania przyrody. Najbardziéj oderwane i wyidealizowane formy matematyczne, którym zdaje się nie odpowiadać nic rzeczywistego, okazują się następnie potężnemi narzędziami badania; za przykład służyć mogą nieskończenie małe, jedna z najważniejszych form Matematyki wyższéj, dzięki któréj udoskonaliły się tak znakomicie Mechanika, Astronomia i Fizyka. Ważność i płodność tego kierunku twórczości ludzkiéj wykazują dostatecznie dzieje nauki, a prawa tego postępu myśli w nauce tak ścisłéj, jak Matematyka, stanowią zadanie wielce ciekawe dla filozofa^[1].
 Przed 23 laty Hankel^[2] sformułował dla dziedziny liczb zasadę, którą kierujemy się zwykle przy uogólnianiu prawd i związków matematycznych, i nazwał ją zasadą zachowania praw formalnych [Prinzip der Permanenz formaler Gesetze]. W postaci nadanéj przez Hankela, zasada ta jest właściwie tylko szczególnym przypadkiem zasady ogólniejszéj, którą niżej podajemy.
 Oto jak uzasadnia rzecz tę Hankel:
 Niechaj a,b,c... będą pewne formy lub związki pomiędzy formamiformami. Wyobraźmy sobie, że formy a i b skombinowaliśmy czysto pojęciowo i że na wypadek tego połączenia czyli działania otrzymaliśmy nową formę c. Forma ta we wszystkich działaniach, jakie nad formami wykonywać będziemy, zastępuje połączenie form a i b, jest równą temu połączeniu. Rzecz oczywista, że jeżeli formy łączyć będziemy ze sobą według pewnych stałych prawideł, to pomiędzy wynikami różnych połączeń otrzymamy pewne związki, wynikające z saméj natury połączeń, bez względu na istotę form łączonych ze sobą; związki, dające się wyprowadzić z samych założeń drogą dedukcyi. Ponieważ natura połączeń form jest zupełnie dowolną, więc i prawidła działań czysto formalnych są zupełnie dowolne, z tém tylko zastrzeżeniem, aby nie wyłączały się wzajemnie i nie zawierały się jedne w drugich: wybieramy przeto prawidła bezwzględnie dostateczne.
 Można oczywiście utworzyć system takich form, w którym wszystkie formy i działania są określone dostatecznie [i nie bardziej niż [35]dostatecznie], który wszakże pozostanie bez wartości, jeżeli w tworzeniu systemu nie zwracaliśmy wcale uwagi na znaczenie działań. Aby więc nasze formalne działania miały istotne znaczenie dla nauki, trzeba, aby prawidła ich obejmowały w sobie prawidła działań nad formami znanemi, aby z jednéj dziedziny można było działania te przenieść do innéj, gdzie mają już znaczenie ustalone. Albo, objaśniając rzecz na przykładzie: jeżeli tworzymy nowe liczby np. urojone, trzeba działania nad temi liczbami poddać takim prawidłom, któreby jako szczególny przypadek zawierały w sobie działania nad liczbami rzeczywistemi; jeżeli wprowadzamy potęgi z wykładnikami ułamkowemi, trzeba, aby działania nad nowemi formami dawały nam wyniki pewne i ustalone, jeżeli ułamki staną się równe liczbom całkowitym.
 Zasadę zachowania w zastosowaniu do liczb Hankel wypowiada w ten sposób: “Jeżeli dwie formy, wyrażone w ogólnych znakach algebraicznych, są sobie równe, to mają takiemi pozostać, jeżeli znaki te nie oznaczają liczb rzeczywistych, gdy przeto działania nad niemi otrzymują nowe znaczenie„.
 Dodaje przy tém Hankel, że nie należy zasady téj stosować wszędzie bez żadnych zastrzeżeń; że ma ona służyć przedewszystkiém do określenia prawideł koniecznych i dostatecznych, o ile te są od siebie niezależne, ale wymaga zarazem, by stosowanie zasady pozwalało na rozwinięcie należytéj ogólności w tworzeniu form.
 Zasadę zachowania możemy wypowiedzieć w postaci ogólniejszéj, a mianowicie:
 “Jeżeli formy pewné, określonéj dziedziny poddajemy określonym konstrukcyom i działaniom, które doprowadzają do pewnych związków między formami téj dziedziny, to związki te uważamy, za zachodzące i wtedy, gdy konstrukcye i działania prowadzą do wyników, których nie można uważać za formy, bezpośrednio do naszéj dziedziny należące„.
Utrzymanie właśnie związków tych samych dla jednych i drugich form pozwala objąć te formy jedną dziedziną rozszerzoną.
 Jeżeli teraz z góry pomyślimy sobie dwie dziedziny czyli rozmaitości takie, że każdéj formie czyli każdemu elementowi jednéj rozmaitości odpowiada pewna forma lub element drugiéj; jeżeli to przejście od jednéj rozmaitości do drugiéj, stanowiące pewien proces myślowy, mający swój wyraz w pewnéj konstrukcyi lub działaniu, [36]nazwiemy wogóle odwzorowaniem lub przekształceniem, to z poprzedniego wynika zasada odwrotna:
 “Można pomyśleć takie przekształcenia, iż związki, zachodzące między formami pierwszéj rozmaitości zachodzić będą pomiędzy formami drugiéj; pomyślane przekształcenia mają tę własność, że nie zmieniają związków zachodzących pomiędzy formami„.
 Przetłomaczona na język geometryczny zasada wypowiedziana w tém twierdzeniu prowadzi nietylko bezpośrednio do dwóch ogólnych zasad Geometryi: dwoistości i odpowiedniości [la dualité et homographie)] Chasles’a^[3], ale sięga jeszcze daléj i głębiéj; przez wprowadzenie bowiem pojęcia grupy przekształcenia t. j. szeregu przekształceń, mających tę własność, że każda zmiana, wynikająca z kombinowania tych przekształceń, znajduje się w tym szeregu, prowadzi do zagadnienia, obejmującego w sobie najwyższe uogólnienie Geometryi, które w przedstawieniu F. Kleina^[4] wyraża się w ten sposób:
 “Dana jest rozmaitość i w niej pewna grupa przekształcenia; zbadać formy należące do jéj rozmaitości co do takich własności, które nie zmieniają się przez przekształcenia téj grupy„.
 Tak więc zasada zachowania panuje nad rozwojem Geometryi; z niéj to wypływają: ważna zasada ciągłości [principe de continuité] Ponceleta^[5] i wspomniane dwie zasady Chasles'a, ona to kierowała twórczością Steinera^[6], który “odkrył organizm, łączący najróżnorodniejsze zjawiska w świecie przestrzeni”. Potężny jéj wpływ widocznym jest w Analizie, gdzie nietylko otworzyła dla umysłu dziedziny nowych liczb, ale i teoryą funkcyj doprowadziła do wysokich uogólnień. Ona to była kierowniczką wielkiego matematyka Wrońskiego w zdobywaniu dla nauki nowych poglądów; ona doprowadziła go do prawa najwyższego^[7], które uważał za twierdzenie naczelne całéj wiedzy matematycznéj. Śmiało rzec można, że całkowity rozwój Matematyki odbywa się pod przewodnictwem zasady zachowania, pojętéj w całéj jéj ogólności. Ponieważ zaś rozwój nauk fizycznych ściśle jest związany z postępem nauk matematycznych, łatwo przeto rozumieć, że wpływ tej zasady musi się dać uwidocznić i w pierwszych. W saméj rzeczy, w naukach fizycznych zasada zachowania uwidocznia się w związkach stałych, zachodzących pomiędzy elementami zjawisk w rozmaitych dziedzinach; Fizyka związki te odkrywa, Matematyka zaś urabia je w formy sobie [37]właściwe i odpowiedniemu poddaje badaniu. Zastosowanie Matematyki do nauk realnych polega właśnie na tém, że związki formalne, jakie Matematyka stwarza, znajdują swoje urzeczywistnienie w związkach, zachodzących pomiędzy elementami zjawisk.
 Zasada zachowania jest wszakże tylko kierującą; oprócz niéj konieczną jest zasada regulująca, aby uogólnienia pojęć, działań i związków nie doprowadzały ani do sprzeczności logicznych, ani do niezgodności z prawdami, poprzednio dowiedzionemi. Zasadę tę możemy wyrazić w sposób następujący:
 “Wszelkie związki, konstrukcye i działania w dziedzinie form nowych nie powinny prowadzić do wyników logicznie sprzecznych lub niezgodnych z prawami, odnoszącemi się do dziedziny form dawnych„.
 W wielu razach, do usunięcia téj sprzeczności lub niezgodności wystarcza, jeżeli przy przenoszeniu związków z dziedziny pierwotnéj do dziedziny ogólniejszéj pomijamy pewne prawa, które w takim razie charakteryzować będą specyalnie dziedzinę pierwotną. Niekiedy jednak, gdy do form ogólniejszych dochodzimy inną drogą, wyjaśnienie i zbadanie niezgodności logicznéj, a zarazem określenie dziedziny form uogólnionych za pomocą warunków koniecznych i dostatecznych jest rzeczą niełatwą, i to stanowi powód, dla którego często uogólnienia nauki nie mają tak szerokiego zastosowania, jakie im przypisywano, dlaczego np. prawo najwyższe nie ziściło w całéj rozciągłości oczekiwań jego twórcy.
 Stosowalność prawa zachowania w specyalnych dziedzinach badania powinno dać się w ogólności sformułować za pomocą warunków, wyrażających niezmienność pewnych form oznaczonych przy wszelkich zmianach i konstrukcyach, jakie w badanéj dziedzinie wykonywamy; co ostatecznie wyrażać powinno konieczność zgodności logicznéj wyników całego biegu rozumowań z prawdami, przyjętemi za podstawę badania. W naukach formalnych tę podstawę stanowią, jak wiadomo, poczynione założenia; w naukach realnych — system faktów zasadniczych, hypotez lub wreszcie praw natury.
 Zbadanie istoty prawa zachowania i warunków jego stosowalności w Matematyce godném jest gruntowniejszych niż dotąd studyów ze strony filozofów wiedzy. Tymczasem to, co znajdujemy u Wundta^[8] lub Brixa^[9] i innych, którzy ze stanowiska Teoryi poznania badali podstawy wiedzy matematycznéj, jest mało wystarczające. Dubois-Reymond^[10], który nie należy do zwolenników wybitnie [38]formalnego kierunku dzisiejszéj Matematyki, zapatruje się też sceptycznie i na samą zasadę zachowania, opierając się na tém, że istnieje wiele przypadków, w których zasada ta prowadzi do wyników zupełnie fałszywych. Jako przykład podaje on twierdzenie

${{\frac {d}{dx}}\sum _{1}^{\infty }{u_{p}}=\sum _{1}^{\infty }{{\frac {d}{dx}}u_{p}}}$

które, jak wiadomo, wypowiada swoje usługi w wielu przypadkach. Uwaga Dubois-Reymonda jest słuszną, ale nie świadczy na niekorzyść samej zasady, owszem powinna, zdaniem naszém, pobudzić matematyków do badania granic jéj stosowalności.

1. Potężnym bodźcem do uogólnienia badań matematycznych było wprowadzenie liter do oznaczania liczb w rachunkach algebraicznych. Przy przedstawianiu działań w takiéj postaci, musiały naturalnie powstawać pytania o ogólném znaczeniu działań, gdy się żadnych co do liczb, wyrażanych przez litery, nie czyni założeń specyalnych. Przez Geometryą Descartes'a wpływ téj metody przeszedł na Geometryą i rozwinął się następnie w Geometryi syntetycznéj.
2. Hankel, Theorie der complexen Zahlensysteme, 1867. str. 10—12.
3. Chasles. Aperçu historique sur l’origine et le développement des méthodes em géométrie, particulièrement de celles qui se rapportent à la géométrie moderne, suivi d’un mémoire sur deux principes généraux de la science, la dualité et l’homographie 1847, wyd. 3-e 1889, str. 586—695.
4. Klein F., Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, 1872, str. 7.
5. Poncelet, Traité des propriétés projectives des figures, 1822, Wydanie 2-gie, 1865. Dwa tomy. Porównaj nadzwyczaj interesujące uwagi zawarte we wstępie do tego znakomitego dzieła.
6. Steiner. Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten, 1832; także w Jacob Steiner's Gesammelte Werke I., 1881. str. 233.
7. Wroński podał w r. 1810 “prawo najwyższe„ w rozprawie: Premier principe des méthodes algorithmiques comme base de la Technie mathématique, i rozwinął ją w dwóch wielkich tomach dzieła: Philosophie de la Technie algorithmique, 1815, 1816—1817. Porównaj O „prawie najwyższém„ Hoene - Wrońskiego w Matematyce, przez S. Dicksteina, [Prace matematyczno-fizyczne, tom II, 1890. str. 145—168].
8.  Brak treści przypisu w oryginale.
9. Brix, Der mathematische Zahlenbegriff und seine Entwicklungsformen. [Philosophische Studien, VI, 1890 str. 290].
10. Dubois-Reymond. Die allgemeine Functionentheorie, str. 38.

Tekst jest własnością publiczną (public domain). Szczegóły licencji na stronie autora: Samuel Dickstein.