Pojęcia i metody matematyki/Wstęp/Analiza i synteza
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Analiza i synteza |
| Pochodzenie | Pojęcia i metody matematyki / Wstęp |
| Wydawca | Wydawnictwo Redakcyi „Prac matematyczno-fizycznych“ |
| Data wyd. | 1891 |
| Druk | Drukarnia J. Sikorskiego |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Źródło | Skany na Commons |
| Inne | Wstęp całość |
| Indeks stron | |
Euklides w następujący sposób określa obie metody: W analizie rzecz szukana uzasadnia się za pomocą kolejnych wniosków, prowadzących do prawdy uznanéj; w syntezie rzecz uzasadnia się za pomocą wniosków, które do niéj prowadzą od prawd uznanych.
Te niezupełne jasne określenia utrwaliły się, jak powiada Hankel[1], w tradycyi szkolnéj i późniejsze komentarze licznych pisarzy nie uczyniły ich jaśniejszemi. Aby pokazać, na czém istotnie polega różnica obu metod, weźmy dla przykładu jedno z twierdzeń geometrycznych i dowiedźmy go metodą analityczną, a następnie syntetyczną[2].
“Niechaj będzie prosta AB, podzielona w stosunku skrajnym i średnim w punkcie C, i niechaj AC będzie część większa. [Czytelnik zechce sam nakreślić potrzebny do tego rysunek; punkt D znajduje się po przeciwległéj stronie punktu C względem punktu A]. Jeżeli linia AD równa się połowie linii AB, mówię, że kwadrat odcinka CD jest pięć razy większy od kwadratu odcinka AD„.
1°. Sposób analityczny. Ponieważ kwadrat odcinka CD jest pięć razy większy od kwadratu odcinka AD, kwadrat zaś odcinka CD równa się kwadratowi odcinka AC wraz z kwadratem odcinka AD i podwójnym prostokątem, zbudowanym na odcinkach AC i AD, przeto suma kwadratów odcinków AC i AD i podwójnego prostokąta, wystawionego na tych odcinkach, równa się pięciokrotnemu kwadratowi odcinka AD. Odejmując od wielkości równych po kwadracie z odcinka AD, otrzymujemy, że suma kwadratu odcinka AC i podwójnego prostokąta, wystawionego na odcinkach AC i AD, równa się poczwórnemu kwadratowi z odcinka AD. Lecz podwójny prostokąt, wystawiony na odcinkach AC i AD, równa się prostokątowi, wystawionemu na liniach AC i AB, gdyż linia AB jest dwa razy większą od odcinka AD. Prostokąt, wystawiony na odcinkach AC i BC, równa się kwadratowi, wystawionemu na odcinku AC, gdyż ten ostatni odcinek jest częścią większą linii AB, podzielonéj w stosunku skrajnym i średnim; otrzymujemy tedy, że suma dwóch prostokątów — jednego, wystawionego na liniach AC i AB, drugiego, wystawionego na liniach BC i AB — równa się poczwórnemu kwadratowi, wystawionemu na odcinku AD. Lecz ostatnie dwa prostokąty stanowią razem kwadrat, wystawiony na linii AB; a więc kwadrat, wystawiony na linii AB, jest cztery razy większy od kwadratu, wystawionego na odcinku AD, co jest oczywiście prawdą, gdyż linia AB jest równa podwojonemu odcinkowi AD. Twierdzenie tym sposobem jest dowiedzione.
2°. Sposób syntetyczny. Ponieważ kwadrat linii AB równa się poczwórnemu kwadratowi odcinka AD, kwadrat zaś, wystawiony na linii AB, równa się sumie prostokątów — jednego, wystawionego na liniach AB i AC, drugiego na liniach AB i CB, — przeto suma tych dwóch prostokątów równa się poczwórnemu kwadratowi, wystawionemu na odcinku AD. Lecz pierwszy z tych prostokątów równa się podwójnemu prostokątowi na liniach AD i AC, drugi zaś kwadratowi odcinka AC, a więc suma kwadratu odcinka AC i podwójnego prostokąta, wystawionego na odcinkach AC i AD, równa się poczwórnemu kwadratowi odcinka AD. Dodając do wielkości równych po kwadracie z odcinka AD i zważywszy, że kwadrat z odcinka AC, kwadrat z odcinka AC i podwójny prostokąt, wystawiony na odcinkach AD i AC, stanowią razem kwadrat odcinka CD, otrzymamy, .że ten kwadrat równa się pięciokrotnemu kwadratowi odcinka AD, co należało dowieść.
Jeżeli wprowadzimy następujące oznaczenia
to obie metody dadzą się w skróceniu przedstawić w sposób następujący:
1°. Sposób analityczny.
co jest prawdą, gdyż a = 2 d.
2°. Sposób syntetyczny.
co należało dowieść.
Porównywając obie metody dowodzenia, spostrzegamy z łatwością, że metoda syntetyczna jest najzupełniej wystarczającą, gdyż wychodząc z prawdy znanéj i kombinując ją, z innemi prawdami pewnemi i znanemi, dochodzimy w niéj do twierdzenia, którego należało dowieść; gdy tymczasem w metodzie analitycznéj, przyjmując twierdzenie nasze za dowiedzione, przychodzimy wprawdzie do prawdy uznanéj, nie mamy wszelako zupełnéj pewności, czy wychodząc i z innych założeń, różnych od przyjętego, nie doszlibyśmy do tego samego wyniku. Aby więc upewnić się, czy metoda analityczna w naszym przypadku prowadzi do twierdzenia szukanego, należy jeszcze dowieść, że gdy kwadrat odcinka CD nie jest równy pięciokrotnemu kwadratowi odcinka AD, to stąd wyniknie że poczwórny kwadrat odcinka AD nie jest równy kwadratowi odcinka AB.
W jednym przypadku można dowodzenie analityczne uważać za wystarczające, mianowicie, jeżeli wychodząc z pewnego założenia i kombinując je z prawdami poprzednio dowiedzionemi, dochodzimy do wniosku niezgodnego z prawdą: wtedy bowiem założenie musiało być oczywiście fałszywe, gdyż jest rzeczą niemożliwą, aby z prawdy, uznanéj za pewną, można było przez kombinacyą z prawdami dowiedzionemi dojść do wniosku niezgodnego z prawdą. W tym przypadku sposób dowodzenia znany jest pod nazwą sprowadzenia do niedorzeczności (reductio ad absurdum) i jest najzupełniej wystarczający, jakkolwiek może nie posiada téj siły przekonywającéj, jaką ma sposób dowodzenia bezpośredni. Mimo to sposób ten często był używany przez starożytnych i dopiero metody Rachunku wyższego Matematyki nowożytnéj dały nam środek zastąpienia go sposobem bezpośrednim dowodzenia.
Hankel[3] scharakteryzował metody syntetyczną i analityczną w Geometryi starożytnych i określił warunki, pod któremi są one zawsze stosowalne, w sposób następujący.
Każde twierdzenie geometryczne wyraża, że gdy pewna figura posiada pewną własność A, wtedy koniecznie i ogólnie posiada inną własność B, czyli mówiąc krótko: jeżeli jest A, to musi być i B.
Jeżeli obok tego twierdzenia zachodzi i drugie twierdzenie, mianowicie: jeżeli niema A, to niema i B, to oba twierdzenia można
zawrzeć w jedném: A jest warunkiem koniecznym i dostatecznym dla B. Ponieważ wynika stąd, że gdy jest B, to jest i A, a więc w tym przypadku twierdzenie jest bezwarunkowo i ogólnie odwracalne: obie własności A i B warunkują się wzajemnie.
W przypadku gdy A nie jest koniecznym warunkiem zachodzenia B, twierdzenie “A jest B„ nie jest odwracalne i wynika z niego jedno z dwóch; “B jest A„ albo “B jest nie-A„. W tym właśnie przypadku znajdują się wszystkie twierdzenia, w których B jest własnością podrzędną, w A zawartą, jakiej się używa często w twierdzeniach pomocniczych. Twierdzenie zaś, wyrażające związek pewnéj własności A z inną, nie zawartą z nią logicznie, musi być odwracalne. Twierdzenie: “Jeżeli jest A, to jest i B„ gdy nie jest odwracalne, wskazuje, że istnieje inne twierdzenie odwracalne: “Jeżeli jest A′ to jest i B′„, gdzie A′ oznacza własność ogólniejszą od własności A, lub B′ wyraża własność specyalniejszą od własności B.
Synteza przy dowodzeniu twierdzenia “A jest B„ polega na kombinowaniu twierdzeń, poprzednio dowiedzionych: “A jest D„, “D jest E„..., dopóki nie dojdziemy do wyniku “F jest B„, skąd bezpośrednio wnosimy: “A jest B„.
Analiza przy dowodzeniu twierdzenia “A jest B„ polega na kombinowaniu twierdzeń: “B jest C„, “C jest D„..., skąd wynika “A jest C„, “A jest D„... póki nie dojdziemy do wyniku “A jest E„, który jest albo fałszywy, albo wyraża pewną własność figury. W pierwszym przypadku, jak to już powiedzieliśmy, twierdzenie “A jest B„ jest stanowczo fałszywém, w drugim zaś jest prawdziwém, ale tylko przy warunku, aby wszystkie twierdzenia użyte, poprzednio stosowane, były odwracalne.
O ile synteza przeważała u starożytnych przy dowodzeniu twierdzeń, o tyle analiza znowu miała ważniejsze znaczenie, jako droga rozwiązywania zagadnień; czytelnika, interesującego się tą kwestyą stosowania analizy do zagadnień, odsyłamy po bliższe szczegóły do dzieł Hankela i Duhamela[4], z których ostatni znaczną część pierwszego tomu swojéj książki o metodach rozumowania w naukach ścisłych poświęca analizie i syntezie starożytnych.
W Matematyce dzisiejszéj analiza i synteza utraciły znaczenie dawne i przybrały znaczenie zupełnie odmienne. Przez analizę rozumiemy dziś zbiór metod rachunkowych, a w ściślejszém znaczeniu Rachunek wyższy czyli nieskończonościowy; synteza zaś oznacza badanie bezpośrednie form geometrycznych i foronomicznych. Geometrya zowie się analityczną, jeżeli formy geometryczne badamy w niej pod postacią form liczbowych, im odpowiadających; syntetyczną zaś, jeżeli nie posiłkujemy się narzędziem rachunkowém i używamy jedynie konstrukcyj geometrycznych. Gdy idzie o dowodzenie twierdzeń w którejkolwiek gałęzi nauk matematycznych, używamy bez żadnéj różnicy jednej lub drugiej drogi rozumowania, którą, starożytni starannie odróżniali, jako analizę i syntezę; dziś jednak nie przywiązujemy znaczenia do tych nazw specyalnych, gdyż analiza i synteza są obie w usługach dedukcyi, stanowiącéj przeważną metodę rozumowań matematycznych[5].
- ↑ Hankel. Zur Geschichte der Mathematik im Alterthum und Mittelalter, 1874, str. 137—150.
- ↑ Przykład wzięty z Dauge'a Leçons de Methodologie mathématique 1881—1882.
- ↑ Hankel. Zur Geschichte der Mathematik im Alterthum und Mittelalter, jak wyżéj.
- ↑ J. M. C. Duhamel. Des méthodes daus les sciences des raisonnement. Première partie. Des méthodes communes a toutes les sciences de raisonnement. Wydanie 3-e. 1885.
- ↑ O indukcyi i dedukcyi matematycznéj, patrz Wundt, Logik II. 85—114.
