Pojęcia i metody matematyki/Wstęp/Wielkość
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Wielkość |
| Pochodzenie | Pojęcia i metody matematyki / Wstęp |
| Wydawca | Wydawnictwo Redakcyi „Prac matematyczno-fizycznych“ |
| Data wyd. | 1891 |
| Druk | Drukarnia J. Sikorskiego |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Źródło | Skany na Commons |
| Inne | Wstęp całość |
| Indeks stron | |
Nazwę wielkość spotykamy już u Euklidesa, według którego do wielkości zaliczą się formy geometryczne: linie, kąty, powierzchnie, ciała, oraz liczby całkowite, które mają następujące cechy wspólne: wielkości jednorodne można porównywać, dodawać, odejmować i dzielić na części. Według Hankela[1], pojęcie “wielkość„ nie potrzebuje wcale definicyi metafizycznéj, ale tylko wyjaśnienia. Wielkością nazywa on każdy przedmiot, który jest większy, mniejszy lub równy innemu przedmiotowi, który może być uwielokrotniony lub dzielony na części, albo, wyrażając się słowami Bolzano[2], “który należy do gatunku rzeczy, z których dwie którekolwiek M i N nie mogą mieć nigdy innego stosunku, jak ten, że są albo równe, albo jedna jest sumą zawierającą jednę z nich jako część“. Szeroko rozwodzi się nad pojęciem wielkości P. Dubois-Reymond[3], którego wywody postaramy się tu streścić.
Nie wszystkie szeregi wyobrażeń, z jakiemi można wykonywać działania matematyczne, podpadają pod zwykłe określenie wielkości, t. j. nie wszystkie dają się porównywać liczebnie, jak np. długości lub ciężary. Wielkością matematyczną jest ogół (Inbegriff) następstwa takich tylko wyobrażeń, o którym powiedzieć można, że 1. każde pojedyńcze wyobrażenie ma w tém następstwie miejsce dostatecznie określone; 2. pomiędzy wielkościami danego następstwa lub też pomiędzy wyobrażeniami, należącemi do innych ustalonych następstw, istnieją związki, które mogą być kombinowane w nowe związki. Trzeba przyznać, że to określenie, będące abstrakcyjném przedstawieniem znanych cech każdéj wielkości, podlegającéj porównaniu z innemi, nie jest wcale jasném; zresztą nie zadawalnia ono i samego autora, który widzi w niém “produkt dyplomatycznéj sztuki definicyi, nie dający wcale poznać ani zakresu ani treści tak delikatnego i bogato rozwiniętego pojęcia wielkości„. Jak nie możemy poznać, powiada trafnie Dubois-Reymond, nowéj formy zwierzęcéj, oznaczając liczbę płaszczyzn, która ją w sobie zamyka, tak samo powyższa definicya nie daje nam poznać, czém jest wielkość matematyczna i czém różni si od wielkości niematematycznéj. Szuka przeto Dubois-Reymond tego pojęcia we wszystkich dziedzinach, w których je przypuszczalnie znaleźć może, i bada następnie, co wszystkie przypadki mają, w sobie wspólnego.
W przeglądzie tym znajduje najprzód wielkość matematyczną, w liczbie, jako w wielkości przerywanéj, która się wprawdzie różni zasadniczo od wielkości ciągłéj, jaką naprzykład widzimy w linii geometrycznéj, [o formach ciągłych i przerywanych mówić będziemy w art 3.], ale różnicę tę usuwa powoli rozwój Matematyki, gdyż wielkość ciągła, aby mogła być mierzoną, poddaną być musi pod pojęcie liczbowe. Przykładem wielkości matematycznych ciągłych są długości, powierzchnie, objętości, ciężary, czas, prędkość, siła, ilość ciepła, natężenie światła, napięcie elektryczne, siła prądu elektrycznego itd. Typem wszystkich tych wielkości może być odcinek linii prostéj. Jak odcinki mogą być dodawane i dzielone na części, jak różnice odcinków, wielokrotności i części tychże nie zmieniają swéj natury, dają się porównywać, powiększać i zmniejszać, podobnie i każda z wymienionych wielkości te same własności posiada. Z tego powodu nazywa je wszystkie wielkościami matematycznemi linearnemi. Do tych wielkości należą, według niego, nie tylko wielkości, wzięte ze świata zewnętrznego, ale i takie, do których prowadzi badanie życia psychicznego, a więc np. wrażenia, jako stopniujące się w zależności od podrażnienia zewnętrznego. Cała dziedzina Psychofizyki opiera się właśnie na téj możliwości zaliczenia wielkości badanych do szeregu wielkości linearnych.
Do wielkości nielinearnych, należących do dziedziny badania matematycznego, zalicza Dubois-Reymond przedewszystkiém wielkości, “powstające ze stosowania działań matematycznych po za granicami naturalnéj ich stosowalności„, albo przy pomocy analogij, “którym nie przypada w udziale żadne liczbowe znaczenie„, jak np. wielkości urojone, lub pojęcie “nieskończoności funkcyj„. Do pierwszych nie przypada bezpośrednio pojęcie większości lub mniejszości, które przenosimy do ich modułu[4], przy drugich o większości lub mniejszości rozstrzyga nie różnica lecz iloraz. Jeżeli mimo to te formy matematyczne nazywamy wielkościami, to tylko dlatego, że możemy wykonywać nad niemi rachunki tak samo jak nad wielkościami linearnemi, rozumie się, przy pewném ograniczeniu lub modyfikacyi zasadniczych praw działań. Takie wielkości nielinearne nazywa Dubois-Reymond analitycznemi.
Jest wreszcie trzecia kategorya wielkości, różna zupełnie od poprzednich i nie nadająca się, według Dubois-Reymonda, do traktowania matematycznego. Nazywa je on wielkościami giernemi [Spielgrössen]; w tych do elementu, który poddaje się rachunkowi, przybywa element niematematyczny “błędów myślenia„.
Istotne własności wielkości linearnych zamyka Dubois-Reymond w następujących określeniach:
I. Wielkości matematyczne linearne są albo równe albo nierówne. Równemi są wtedy, gdy ich objawy zmysłowe sprawiają zawsze to samo wrażenie przy tych samych warunkach. Jedna wielkość jest większa od drugiéj, gdy obraz zmysłowy jednéj może być zmieniony za pomocą “wyczerpania„ [t. j. przez kolejne zmniejszanie] w taki sposób, że zawrze w sobie całkowicie obraz drugiéj; ale nie odwrotnie.
II. Żadna szczególna z wielkości linearnych danego gatunku [t.j. żaden odcinek z pomiędzy możliwych odcinków], nie posiada sam przez się pierwszeństwa przed innemi, i dlatego nie posiadamy wyobrażenia kresu [granicy], koniecznego tak dla małości jak i wielkości [Grossheit] któréjkolwiek z nich.
III. Dwie lub więcéj wielkości tego samego gatunku, dodane do siebie, dają wielkość tego samego gatunku, większą od każdéj z części składowych. Każda wielkość może być dzielona na dowolną liczbę części, z których każda jest mniejsza od wielkości danéj.
IV. Jeżeli jedna wielkość jest większa od drugiéj, to istnieje zawsze trzecia wielkość tego samego gatunku, która, dodana do drugiej, daje pierwszą.
V. Wielkości równe lub nierówne, z których najmniejsza nie ma być mniejszą od wielkości dowolnie małéj, można zawsze w dostatecznéj liczbie połączyć tak, aby otrzymać wielkość, nie mniejszą od jakiejkolwiek wielkości dowolnéj tego samego gatunku.
VI. Wielkości dają się niezliczonemi sposobami dzielić na mniejsze; między temi sposobami wyróżnia się ten, w którym wielkość rozpada się na dwie, trzy i więcéj części równych. Dzielenie wielkości daje się prowadzić tak długo, dopóki wszystkie części nie staną się mniejszemi od wielkości dowolnie małéj. Lecz jakkolwiek daleko prowadzić będziemy w myśli ten podział, części otrzymywane będą zawsze tego samego gatunku, co dana wielkość.
Wyłożona w tych twierdzeniach teorya jest urobiona na podstawie doświadczenia i stosuje się przedewszystkiém do wielkości geometrycznych. Gdy idzie o formy matematyczne, ogólnie uważane, pojęcie ich równości lub nierówności nie może oczywiście opierać się na porównywaniu wrażeń zmysłowych, jak chce Dubois-Reymond, lecz musi być dane za pomocą określenia formalnego, takiego np., jakie znajdujemy u H. Grassmanna[5]. Pojęciem wielkościowem, według Grassmanna, nazywamy takie pojęcie, że dwa podpadające pod nie przedmioty mogą być uważane za równe lub nierówne. Równemi nazywa on takie przedmioty, gdy w każdym sądzie [Aussage] jeden można zastąpić drugim. Należy to rozumieć w ten sposób, że gdy A = B, B = C, to stąd wynika A = C, i że tym sposobem A, B, C mogą się wzajem zastępować we wszelkich połączeniach czyli działaniach. Bez takiej podstawy żadna teorya działań nie byłaby wcale możliwą. Co się zaś tyczy określenia nierówności np. większości, to musi ona czynić zadość warunkowi: „Jeżeli A > B, B ≥ C, to A > C. Ale warunków tych dla równości i nierówności bezpośrednio do wszelkich form matematycznych stosować nie można, i dlatego przy każdém nowo wprowadzaném pojęciu przedmiot ten wymaga oddzielnego roztrząsania.
Podział wielkości na linearne i nielinearne jest zbyteczny, jeżeli dla przedmiotów badania matematycznego zachowamy ogólną nazwę formy, a wielkościami nazywać będziemy takie formy, do których potrafiliśmy zastosować pojęcia równości, większości i mniejszości.
Pytanie o możności stosowania działań i metod Matematyki do form, otrzymywanych z abstrakcyi przy badaniu przedmiotów i zjawisk świata zewnętrznego, a mianowicie określenie ich równości i nierówności, oraz sposób wprowadzania ich we wzajemne związki nie są tak proste, jak to z przykładów życia codziennego wydawać się może. Pytanie to wymaga gruntownego oświetlenia, opartego na wynikach teoryi ogólnéj działań matematycznych. Podjął je niedawno Helmholtz w rozprawie o liczeniu i mierzeniu[6].
Helmholtz uważa Arytmetykę czyli naukę o liczbach za metodę, zbudowaną na faktach czysto-psychologicznych, która uczy należytego używania układu “znaków„ [liczb] o nieograniczonéj rozciągłości i zdatnych do nieograniczonéj subtelności [Verfeinerung]. Liczby są zatém, według niego, symbolami, “dającemi nam opis przedmiotów rzeczywistych; opis, któremu możemy nadać żądany stopień dokładności i za pomocą którego dla wielkiéj liczby przypadków działania ciał, pozostających pod władzą znanych praw przyrody, można znaleźć rachunkowo wartości liczbowe, mierzące skutek działania„. Zapytuje daléj Helmholtz, jakie jest objektywne znaczenie tego faktu, iż stosunki rzeczywiste pomiędzy przedmiotami wyrażamy, jako wielkości w liczbach mianowanych, i przy jakich warunkach uczynić to można? Pytanie to, według niego, rozpada się na dwa następujące:
I. Jakie jest znaczenie objektywne faktu, że dwa przedmioty uważamy za równe w pewnym względzie?
II. Jaki charakter musi mieć fizyczne łączenie dwóch przedmiotów, aby ich atrybuty porównalne można było uważać za dodajne [additiv], t. j. mogące być dodanemi, i za wielkości, dające się wyrazić liczbami mianowanemi?
Przy stosowaniu Arytmetyki do wielkości fizycznych, przybywa do pojęć równości i nierówności, które wymagają wyjaśnienia, jeszcze pojęcie jednostki. Uważa Helmholtz, że bez potrzeby ograniczamy dziedzinę stosowalności twierdzeń Arytmetyki, gdy wielkości fizyczne z góry przyjmujemy, jako złożone z jednostek.
Wyłożywszy najprzód teoryą dodawania i odejmowania liczb “czystych„, w czém głównie opiera się na teoryi Grassmanna[7], przechodzi Helmholtz do określenia wielkości fizycznych, ich równości i działań nad niemi. Wielkościami nazywa, jak zwykle, przedmioty lub atrybuty przedmiotów, do których stosować można pojęcia równości, większości i mniejszości. Postępowanie, za pomocą którego do każdéj uważanéj wielkości przystosowujemy liczbę tak, aby różnym wielkościom odpowiadały liczby różne, i aby liczba, odpowiadająca danéj wielkości, mogła zastępować ją w ciągu rozumowania, jakie przeprowadzamy nad wielkościami, nazywa mierzeniem. Stosunek, zachodzący między atrybutami dwóch przedmiotów, nazywający się równością, charakteryzuje pewnik:
“Dwie wielkości, z których każda jest równa trzeciéj, są, sobie równe„.
Nie jest to, jak mówi Helmholtz, pewnik o znaczeniu objektywném; zadaniem jego jest wskazanie tylko, jakie związki fizyczne winniśmy określić nazwą równości.
Jeżeli A = C, i B = C, to stąd wynika A = B, jak również B = A. Stosunek równości jest wzajemny.
Równość porównywanych atrybutów jest wogóle przypadkiem wyjątkowym i przy spostrzeganiu faktyczném może być wskazaną, jedynie w ten sposób, że dwa przedmioty równe, spotykając się lub działając wspólnie pod odpowiedniemi warunkami, dają spostrzedz szczególny skutek, nie zachodzący pomiędzy innemi parami podobnych przedmiotów. Postępowanie, za pomocą którego wprowadzamy przedmioty badano w takie właśnie warunki, aby zachodzenie tego skutku można było stwierdzić, nazywa Helmholtz metodą porównania.
Z powyższego pewnika wynika najprzód, że skutek porównania nie zmienia się, jeżeli oba przedmioty przestawimy, stosując metodę porównania. Daléj, jeżeli okazało się, że dwa przedmioty A i B są równe, i jeżeli za pomocą téj saméj metody porównania znaleziono, że przedmiot A równa się trzeciemu przedmiotowi C, to wnioskujemy stąd i za pomocą téj metody sprawdzić możemy, iż przedmioty B i C są równe.
To są warunki, jakie stawia Helmholtz metodzie porównania. Tylko takie metody są w stanie wykazać równość, które warunkom tym czynią zadość.
Wielkości, o których równości lub nierówności przekonywamy się za pomocą téj saméj metody porównania, nazywają się jednorodnemi. Jeżeli atrybut, którego równość lub nierówność z atrybutem innego przedmiotu znaleźliśmy, oderwiemy za pomocą abstrakcyi od wszystkiego, co w tych przedmiotach jest wogóle różném, pozostanie nam dla odpowiednich przedmiotów tylko różnica wielkości.
Na przykładach pokazuje Helmholtz, jakie metody porównania obmyślono dla rozmaitych gatunków wielkości: dla ciężarów, odległości punktów, przedziałów czasu, jasności światła, wysokości tonów.
Następnie bada warunki, przy jakich połączenie fizyczne dwóch wielkości może być nazwane dodawaniem. Są one: 1°) jednorodność sumy i składników; 2°) prawo przemienności, według którego wynik dodawania jest niezależny od porządku, w jakim dodajemy składniki; 3°) prawo łączności, według którego połączenie wielkości jednorodnych może być uskutecznione w ten sposób, że dwie lub więcéj z nich zastąpimy jedną, która jest ich sumą. [O prawach dodawania mówić będziemy szczegółowo w następnych rozdziałach].
Ponieważ wynik dodawania uważamy za większy od każdego ze składników, posiadamy przeto możność poznania, która z dwóch wielkości jest większa, a która mniejsza. Przy takich wielkościach, jak przedziały czasu, długości, ciężary, które znamy od wczesnego dzieciństwa, nie mamy nigdy żadnéj wątpliwości co do tego, co jest większe lub mniejsze, bo znamy metody dodawania tych wielkości. Gdy takie dwie wielkości są równe, to i wielkości od nich zależne, utworzone dla obu w sposób zupełnie jednaki, są równe; ale co należy uważać za dodawanie takich wielkości, o tém rozstrzyga tylko doświadczenie. Są np. przypadki, gdzie możliwe są dwa gatunki dodawania. Tak np. za pomocą téj saméj metody porównania oznaczamy w Fizyce, czy dwa druty mają równy opór galwaniczny w, albo też czy mają równą zdolność przewodnictwa λ, gdyż w = 1/λ. Lecz opory dodajemy, umieszczając druty tak, aby prąd przebiegał po kolei jeden drut za drugim; zdolności zaś przewodnictwa, dodajemy, umieszczając druty tak, aby końce ich odpowiednio były złączone. Pytanie, co jest większe a co mniejsze, znajduje dla oporu odpowiedź przeciwną niż dla przewodnictwa. Podobnież i kondensatory elektryczne [butelki lejdejskie] umieszczamy obok siebie lub jeden za drugim; w pierwszym przypadku dodajemy pojemności, w drugim potencyały [napięcia] dla równego naładowania.
Wielkiego uproszczenia doznaje przedstawienie wielkości dopiero wtedy, gdy je rozłożymy na jednostki i przedstawimy za pomocą liczb mianowanych. Wielkości, które można dodawać, dają się w ogólności i dzielić. Jeżeli bowiem każdą z uważanych wielkości możemy uważać, jako powstałą z dodania pewnéj liczby składników według praw dodawania, to, jeżeli idzie o jéj wartość, możemy ją zastąpić przez sumę tych składników. Te składniki równe są wtedy jednostkami, Jeżeli wielkość nie jest podzielną bez reszty przez dobraną jednostkę, dobieramy wtedy jednostek mniejszych, a to przez podział jednostki poprzedniéj na części równe. Tylko w przypadkach wymierności mogą być wielkości wyrażone przy pomocy jednostek z zupełną dokładnością.
Oprócz wielkości, dla których zawsze określić można dodawanie, istnieją szeregi stosunków, wyrażalnych za pomocą liczb mianowanych lub niemianowanych, dla których to stosunków nie znamy dotąd połączenia, które można by nazwać dodawaniem. Stosunki te zachodzą, wtedy, gdy związek pomiędzy wielkościami dodajnemi ulega wpływowi pewnéj specyficznéj substancyi, pewnego ciała i t. p. Tak np. prawo załamania światła wyraża, że pomiędzy wstawą kąta podania i wstawą kąta załamania promienia oznaczonéj długości fali, przechodzącego z próżni do substancyi przezroczystéj, istnieje stosunek oznaczony. Dla różnych ciał stosunek ten wszakże jest różny, stanowi zatém własność specyficzną danego ciała, wyraża jego zdolność załamania. Podobne znaczenie mają: ciężar właściwy, zdolność przewodnictwa elektrycznego, pojemność cieplna. Podobnéj natury są pewne stałe, które nazywamy stałemi całkowania w Dynamice. Możemy wprawdzie dodawać liczby oderwane, odpowiadające tym wielkościom, ale jakie znaczenie przypisać by można dodawaniu samych wartości? Helmholtz utrzymuje, że różnica tych stosunków, które nazywa “współczynnikami„, od prawdziwych wielkości nie jest istotną, że z czasem nowe odkrycia mogą doprowadzić do znalezienia połączeń dodajnych tych “współczynników„, przez co staną się one wielkościami w zwykłém znaczeniu tego wyrazu.
Teorya Helmholtza ma tę zasługę, że kładzie nacisk na konieczność badania warunków stosowalności działań matematycznych do wielkości, przejmowanych z badań fizykalnych, a przedewszystkiém na warunki równości i dodawania. W saméj rzeczy, gdy idzie o przeniesienie działań liczbowych na połączenia wielkości, potrzebną jest wielka ostrożność, aby, jak się wyraża Kronecker, przez rozszerzenie znaczenia wyrażeń technicznych nie ucierpiała dokładność przedstawienia. Uwaga o “współczynnikach„ jest ważną i wskazuje na zagadnienia, które nauka ma rozwiązać w przyszłości. Sprowadzenie wszystkich “współczynników„ do trzech jednostek zasadniczych długości, czasu i masy — jak to czyni Fizyka nowoczesna, — jest zdobyczą ważną, ale zdobycz ta dotąd ogranicza się, jak wiadomo, przeważnie na wyrażaniu wymiarów współczynników za pomocą odpowiednich symbolów[7]. Niektórym tylko “współczynnikom„, jak prędkości, przyspieszeniu, sile, momentowi, i t.p. nauka nadała postać wielkości zwykłych [ekstensywnych] i bada je wyczerpująco, analitycznie i geometrycznie. Helmholtz przewiduje, że toż samo stanie się z innemi “współczynnikami„, to jest, że np. dodawaniu ich będzie można nadać znaczenie fizykalne w ten sam sposób, w jaki mają je dodawanie prędkości, sił, momentów i t. p.
A priori wydaje się możliwą i inna droga, a mianowicie, odszukanie warunków działań bezpośrednich nad “współczynnikami„, bez sprowadzania ich do wielkości zwykłych. Metoda taka byłaby w takim stosunku do metody poprzedniéj, w jakiem jest naprzykład badanie bezpośrednie form geometrycznych za pomocą metod geometryi syntetycznéj do badania ich pośredniego za pomocą form liczbowych w geometryi analitycznéj. Byłaby to “Matematyka wielkości intensywnych„ w przeciwstawieniu do dzisiejszéj Matematyki wielkości ekstensywnych. W takiéj Matematyce teorya jednostek fizycznych mogłaby rozwinąć się w samodzielną umiejętność. Nie wchodzimy tu w rozstrzygnięcie tego pytania, powiemy tylko, że wszystkie dotychczasowe próby utworzenia podobnéj Matematyki nie dały zadawalających rezultatów. Nietylko Fizyka ale i Psychofizyka, mająca do czynienia z wielkościami intensywnemi, stara się dla badań swych znaleźć odpowiednie formy liczbowe lub geometryczne[8].
- ↑ Hankel, Theorie der complexen Zahlensysteme, 1867, str. 48.
- ↑ Bolzano, Paradoxien des Unendlichen. Wydanie 2-e, 1889, str. 4—5.
- ↑ Paul Dubois-Reymond, Die allgemeine Functionentheorie, 1882, str. 14—57.
- ↑ Dziś wyraz moduł; w znaczeniu użytém w tekście, zastępujemy wprowadzonem przez Weierstrassa wyrażeniem wartość bezwzględna.
- ↑ H. Grassmann, Lehrbuch der Arithmetik, 1861, str. 1.
- ↑ Helmholtz. Zählen und Messen, erkenntnisstheoretisch betrachtet [Philosophische Aufsätze, Eduard Zeller zu seinem fünfzigjährigen Doctorjubiläum gewidmet, 1887, str. 16—52]. W roku 1868 Riemann w rozprawie, napisanéj jeszcze w r. 1854., Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen [Göttinger Abhandlungen, XIII, 1 — 20, także B. Riemann's Gesammelte mathematische Werke, 1876, str. 254 — 269; przekład polski S. Dicksteina i Wł. Gosiewskiego w Pamiętniku Towarzystwa Nauk Ścisłych w Paryżu, IX, 1877] i jednocześnie Helmholtz w pracy: Ueber die Thatsachen der Geometrie [Göttinger Nachrichten, 193—221, także Wissenschaftliche Abhandlungen von Hermann Helmholtz, II, 1883, str. 618 — 639], zajęli się zbadaniem podstaw, na których spoczywa nasza Geometrya. Te znakomite rozprawy wpłynęły na pogłębienie całéj wiedzy matematycznéj i z rodziły bogatą literaturę [porówn. Wiadomość o pracach z dziedziny Geometryi wielowymiarowéj, Prace matematyczno-fiyczne, I, 1888, str. 128—135]. Wyniki tych nowych badań przedstawimy we własciwém miejscu; tu powiemy tylko, że Helmholtz hołduje teoryi empirystycznéj, według któréj pewniki Geometryi nie są twierdzeniami a priori, jak utrzymuje Kant, lecz prawdami, które doświadczeniem zdobywamy i któremi jedynie doświadczenie zachwiać by mogło. Rozprawa o liczeniu i mierzeniu ma być odnośnie do Arytmetyki dopełnieniem tych poglądów wielkiego fizyka. Winniśmy dodać, że pod tym względem miał Helmholtz poprzedników w Grassmannie, Hankelu i Schröderze. Równocześnie z pracą podobnéj treści wystąpił Kronecker w rozprawie, Ueber den Zahlbegriff. [Philosophische Aufsätze i t. d., str. 263—274.]. Z krytyką poglądów Helmholtza i Kroneckera występują: G. Cantor, Zur Lehre von Transfiniten, 1890, str. 17, oraz Kerry, Ueber Anschauung und ihre psychische Verarbeitung [Vierteljahrsschrift für wissenschaftliche Philosophie, XIV, 1890, str. 317—353].
- ↑ 7,0 7,1 Porówn. Everetta, Jednostki i stałe fizyczne, przekład polski J. J. Boguskiego, 1885., Wł. Natansona, Wstęp do Fizyki teoretycznéj, 1890, str. 8—11., oraz J. Bertranda, Leçons sur la théorie mathématique de l’électricité, 1890, str. 266—296.
N. Thiele, Til Afslutning af Regneundervisningen, 1883, dzieli przedmioty badań matematycznych na pięć klas następujących: Do pierwszéj należą mnogości, posiadające jedność bezwzględną [indywiduum] i dające się przedstawić za pomocą liczb całkowitych. Do drugiéj wielkości [długości, powierzchnie, objętości, ciężary, wartości]; te mają jedności względne, dowolnie przyjęte, a do opisu ich potrzebne są liczby ułamkowe i niewymierne dodatnie. Przedmioty pierwszéj i drugiéj klasy mają zero bezwzględne. Trzecią klasę stanowią punkty rzeczowe — Tingpunkter — [temperatura, momenty czasu, punkty na prostéj nieograniczonéj], przy opisie których nie potrzeba ani zera bezwzględnego ani jedności bezwzględnéj; mają one tylko zero względne i jedności względne. Do klasy czwartéj należą “wyrazy„ — Led — [np. wyrazy nieskończonego łańcucha], mają one jedności bezwzględne, lecz nie mają bezwzględnego zera. Wreszcie do klasy piątéj zalicza Thiele kąty i wogóle przedmioty, prowadzące do pojęć, niedających się zawrzeć w jednéj z klas poprzednich. - ↑ Niemożność utworzenia Matematyki wielkości intensywnych tkwi według Dühringa, [Logik und Wissenschaftstheorie, 1878, str. 254] w braku koncepcyj czysto myślowych i czysto konstrukcyjnych odnośnie do istoty materyi. “Gdyby, powiada on, o ogólnym ośrodku materyalnym można było powiedzieć coś podobnego do tego, co się mówi w pewnikach o przestrzeni, i gdyby nad tworami, zawartemi w tych orzeczeniach, można było wykonywać takie same działania, jakie wykonywa Arytmetyka na liczbach, albo téż Matematyka w ogóle w przestrzeni i czasie, to doszlibyśmy do nowéj Matematyki materyi. Przy braku takich pojęć, dochodzimy tylko jedynie do zastosowań Matematyki do materyi i do ciał fizycznych„.
