Wikiźródła

Pojęcia i metody matematyki/Wstęp/Przedmiot Matematyki

< Pojęcia i metody matematyki | Wstęp
<<< Dane tekstu >>>
Autor Samuel Dickstein
Tytuł Przedmiot Matematyki
Pochodzenie Pojęcia i metody matematyki / Wstęp
Wydawca Wydawnictwo Redakcyi „Prac matematyczno-fizycznych“
Data wyd. 1891
Druk Drukarnia J. Sikorskiego
Miejsce wyd. Warszawa
Źródło Skany na Commons
Inne Wstęp całość
Indeks stron
›››


1. PRZEDMIOT MATEMATYKI.

 Bogactwo treści najściślejszéj wiedzy ludzkiéj, jaką jest Matematyka, stanowiąca świat odrębny pojęć, odźwierciadlających w sobie wiekową pracę ducha ludzkiego nad trudnemi zagadnieniami bytu, nie da się zawrzeć w kilku słowach wstępnego określenia; przytaczając więc niżéj niektóre z częściej napotykanych określeń Matetematyki, musimy zastrzedz z góry, że żadne z nich nie jest wystarczającém, bo właściwe zadanie nauki dopiero przy wykładzie jéj pojęć i metod najlepiej uwydatnić się daje.
 Matematyka jest nauką o wielkościach — oto najpospolitsza z napotykanych definicyj. Jest ona wszakże niezupełną, bo nie wszystkie twory Matematyki są wielkościami i nie we wszystkich jéj badaniach idzie o związki pomiędzy wielkościami. [O wielkości mówimy obszerniéj w następnym artykule]. Nauka kombinacyi np. nie ma nic do czynienia bezpośrednio z wielkościami, a do takich np. tworów, jak liczby urojone i nadurojone, nie można wprost stosować pojęcia wielkości. I Geometrya w wielu badaniach swych obywa się zupełnie bez pojęcia miary wielkościowéj[1].
 Do następujących typów głównych sprowadzają się wszystkie twory lub formy badań matematycznych[2]. Do pierwszego typu należą liczby, a więc przedewszystkiém liczby całkowite, stanowiące zasadniczy materyał Arytmetyki, następnie wszystkie inne rodzaje liczb, które drogą uogólnienia działań powstają, a więc liczby ułamkowe, ujemne, urojone, nadurojone, liczby idealne Kummera, “ideały„ Dedekinda; liczby nieskończenie wielkie i nieskończenie małe, nadskończone (transfinite) G. Cantora, wymierne i niewymierne, algebraiczne i przestępne. Daléj należą tu funkcye matematyczne, wyobrażające w jedném pojęciu szeregi stanów, przez jakie przechodzą liczby, zmieniające swą wartość w zależności od innych liczb.
 Do typu drugiego należą formy geometryczne, t. j. ciała geometryczne trójwymiarowe, formy dwu i jednowymiarowe, punkt geometryczny, oraz ogólniejsze formy rozmaitościowe czyli przestrzenie wielowymiarowe; daléj układy czyli kombinacye rozmaitych form, i formy, wyobrażające w jedném pojęciu szeregi stanów, przez jakie przechodzi pewna forma geometryczna lub układy podobnych form.
 Do trzeciego wreszcie typu należą rozmaite formy matematyczne, utworzone przy badaniu zjawisk, jak formy foronomiczne, mechaniczne, fizyczne i t. p.
 Na pierwszy rzut oka zdaje się, że objęcie tych różnorodnych przedmiotów jedną nauką odbiera téjże charakter jednolitości: liczby bowiem zdają się być czémś zupełnie różném od form geometrycznych, te zaś różnią się zasadniczo od tworów, cechujących zjawiska. Rozwój nauki, jak to zobaczymy, zbliża wszakże do siebie te różnorodne początkowo dziedziny.
 I tak pojęcie liczby przez uogólnianie prowadzi kolejno od liczb całkowitych dodatnych z jednéj strony do urojonych i nadurojonych, z drugiéj zaś strony do niewymiernych i przestępnych. Tworzenie liczb urojonych i nadurojonych odpowiada wprowadzeniu do nauki o liczbach wymiarowości, stanowiącéj cechę tworów geometrycznych. Tworzenie zaś liczb niewymiernych i przestępnych i w ogóle uważanie całego continuum liczb odpowiada ciągłości, uważanéj za cechę pierwotną form geometrycznych. Tak więc przy pomocy liczb dają się przedstawić formy geometryczne i obie różne napozór dziedziny jednoczą metody badania form analitycznych. Na odwrót, formy geometryczne służyć mogą do przedstawienia właściwości form liczbowych. Daléj znów badanie zjawisk prowadzi do konstrukcyj analitycznych i geometrycznych.
 Prócz tego, jedność i jednolitość Matematyki jest ugruntowaną na jednolitości genezy psychologicznéj jéj form. Formy matematyczne powstają, przedewszystkiém za pomocą abstrakcyi z przedmiotów doświadczenia, po usunięciu wszelkiéj ich treści specyficznéj, z zachowaniem wszakże syntezy tych aktów świadomości, które współdziałały przy abstrakcyi. Tak np. wielość przedmiotów doprowadza przez abstrakcyą do liczb całkowitych, gdy odwracając uwagę od wszelkich właściwości przedmiotów, jedynie przy pomocy syntezy aktów, które przy abstrakcyi współdziałały, tworzymy formy, będące odbiciem umysłowém wielości spostrzeżonéj. Od ciał fizycznych o różnéj postaci abstrakcya doprowadza do form geometrycznych, które są właśnie ową postacią, od treści oderwaną.
 Taki sam proces doprowadza do pojęcia przestrzeni, obejmującéj w sobie wyobrażalne utwory geometryczne, a także do pojęcia czasu, będącego formą następstwa zjawisk.
 Opisany wyżéj proces nie wystarcza wszakże do tworzenia form wszystkich; albowiem umysł z jednéj strony kombinuje i łączy formy; z drugiéj zaś strony uogólnia formy raz utworzone i dochodzi tym sposobem do form nowych, nie będących bezpośrednio odwzorowaniem przedmiotów lub zjawisk. Tak np. od układu liczb rzeczywistych o jednéj jednostce zasadniczéj przechodzi do liczb urojonych lub zespolonych o dwu lub więcéj takich jednostkach; przestrzeń trójwymiarową uogólnia, tworząc rozmaitość wielowymiarową. Postępowanie w tym razie jest tak samo uznsadnioném jak i abstrakcya, która z przestrzeni trójwymiarowéj prowadzi do dwu lub jednowymiarowéj. Wprowadza ono wprawdzie twory niewyobrażalne wprost, ale wyobrażalność, w zwykłém znaczeniu tego wyrazu, nie stanowi zasadniczéj cechy pojęć matematycznych. Pojęcia bez poglądu są puste, powiedział Kant, ale w tym, jak i w innych przypadkach, poglądowość czyli wyobrażalność dostatecznie wynagradza ogół tych cech, któremi dane pojęcie określamy. Tworzenie form podobnych, ogólniejszych od form pierwotnych, przez abstrakcyą utworzonych, stanowi właśnie cechę właściwą, Matematyce i jest jednym z najważniejszych czynników jéj rozwoju.
 Winniśmy wprawdzie na samym wstępie zaznaczyć, co dokładniéj przedstawioném będzie w dalszym wykładzie, że uogólnianie pojęć matematycznych może być podjęte dwojako. Można bowiem z jednéj strony uważać pojęcia uogólnione, jako odpowiadające formom istotnie nowym, mającym w dziedzinie badania takie same prawa bytu, jakie mają pojęcia form pierwotnie wprowadzonych; albo też można widzieć w formach uogólnionych tylko nowe związki, w jakie wprowadzamy formy pierwotne, czyli nowe a raczéj uogólnione działania. Tak np. można uważać liczby ujemne, urojone, niewymierne i t. p. za nowe rodzaje liczb, mające taką samą samodzielność, jaką mają liczby całkowite; przestrzenie czyli rozmaitości wielowymiarowe można uważać za uprawnione z przestrzenią zwykłą, euklidesową; albo téż widzieć w nowych liczbach formy, pod jakiemi liczby całkowite dodatnie wchodzą do związków i do rozumowania, a w nowych przestrzeniach — przestrzeń zwykłą, przy przyjęciu za element nie punktu, lecz innego tworu geometrycznego. Lecz przy jednym zarówno jak i przy drugim sposobie uważania, Matematyka wznosi się po nad dziedzinę pierwotną, uogólniając raz pojęcie tworów, drugi raz pojęcie działań. Wybór pomiędzy jednym a drugim sposobem uważania zależy od poglądu teoretyczno-poznawczego na podstawy Matematyki. W samej Matematyce oba sposoby uważania są równouprawnione i każdy z nich w sposób sobie właściwy prowadzi do wyników prawdziwych.
 Ta dowolność tworzenia form w Matematyce nasuwa nawet pogląd, że w téj nauce umysł sam sobie stwarza przedmioty badania, bez żadnego udziału doświadczenia, że, jak powiada H. Grassmann:[3] “Matematyka jest nauką o bycie szczególnym, który stał się przez myślenie„, i że tém różni się od nauk realnych, których przedmiotem jest byt zewnętrzny, przeciwstawiający się myśleniu. Winniśmy wprawdzie nadmienić, że to określenie stosuje Grassmann do Matematyki czystéj, z której wyłącza Geometryą, zaliczając ją wraz z Foronomią i Mechaniką do nauk stosowanych (porównaj art. 4.).
 Kant[4] uważa formy matematyczne za konstrukcye “wewnątrz czasu„, gdy są liczbami, lub “wewnątrz przestrzeni„, gdy są formami geometrycznemi. Przestrzeń i czas są według niego “formami poglądu a priori„, od wszelkiego doświadczenia niezależnemi; stąd twierdzenia Matematyki zasadnicze są prawami koniecznemi i powszechnemi. Z tego wszakże, że wszystkie zjawiska uważamy, jako zachodzące w przestrzeni i w czasie, nie wynika jeszcze, aby formy matematyczne były tylko konstrukcyami wewnątrz przestrzeni i czasu; przeciwnie pojęcia matematyczne są ogólniejsze od pojęcia przestrzeni i czasu: czas jest jednym z przykładów formy jednowymiarowéj, przestrzeń przykładem formy trójwymiarowéj. Liczenie odbywa się w czasie, ale liczba — wytwór liczenia — nie ma w sobie nic z pojęcia czasu; formy geometryczne wyobrażamy sobie w przestrzeni, ale pojęcie rozmaitości wielowymiarowéj nie koniecznie mieć winno cechy przestrzenne.
 Wroński, którego poglądy na całość badań matematycznych postaramy się w książce naszéj przedstawić, w podstawowém swém dziele o filozofii Matematyki[5] w tworzeniu jéj zasad idzie za Kantem. Matematyką nazywa on naukę o wielkości, uważanéj intuicyjnie [poglądowo]; wielkością jest u niego, jak i u Kanta, “stan przedmiotu uważanego z punktu widzenia syntezy tego, co zawiera w sobie jednorodnego„. Inaczéj mówiąc, przedmiotem Matematyki jest forma t. j. sposób bytu natury czyli świata zewnętrznego, gdy przeciwnie treść tego bytu jest przedmiotem Fizyki. Formą świata zewnętrznego, powstającą ze stosowania praw transcendentalnych zmysłowości do zjawisk, danych a posteriori, jest czas dla wszystkich, a przestrzeń dla przedmiotów zewnętrznych. Prawa czasu i przestrzeni są prawdziwym przedmiotem Matematyki. Prawa te mogą być uważane in concreto lub in abstracto; w pierwszym razie stanowią przedmiot Matematyki czystéj, w drugim — stosowanéj. Stosując do czasu, uważanego objektywnie za należący do zjawisk fizycznych, danych a posteriori, prawa transcendentalne poznania, a mianowicie prawo ilości, wzięte ogólnie, dojdziemy do pojęcia następstwa momentów, a w najwyższéj tegoż abstrakcyi do liczby. Stosując znowu to samo prawo do poglądu przestrzeni, jako należącej do zjawisk fizycznych, danych a posteriori, dojdziemy do pojęcia “lączności„ (obokleżności, conjonction) punktów, a w najwyższéj tegoż abstrakcyi do pojęcia rozciągłości. Liczba i rozciągłość są więc ostatecznie przedmiotem Matematyki. To określenie Wrońskiego mogłoby być wystarczające i w dzisiejszym stanie wiedzy, jeżeli w niém liczbę uważać będziemy nie za związaną z następstwem momentów czasu, lecz jako formę zupełnie od czasu niezależną; pod nazwą zaś rozciągłości rozumieć będziemy nietylko formy przestrzenne ale i ogólnie rozmaitości wielowymiarowe.
 Twórca filozofii pozytywnéj. Comte, współczesny Wrońskiemu, zbyt jednostronnie pojmował zadanie Matematyki. I Comte’a wprawdzie nie zadawalniało określenie Matematyki, jako nauki o wielkościach; niedostateczność wszakże określenia widział on nie w tém, że pojęcie wielkości nie obejmuje wszystkich pojęć matematycznych, lecz w tém, że nie wskazuje, o co w Matematyce idzie przy badaniu wielkości. Comte widzi cel Matematyki w mierzeniu wielkości, nie w mierzeniu wszakże zwykłém i bezpośredniém, które nie może stanowić jeszcze nauki, lecz w mierzeniu pośredniém, “w oznaczaniu jednych wielkości przez drugie, według związków ścisłych, jakie między niemi istnieją„[6]. Dla Comte’a Matematyka nie ma właściwie odmiennego zadania od nauk fizycznych, które również szukają związku pomiędzy wielkościami, zachodzącemi w zjawiskach; tylko że zjawiska, badane przez Matematykę, są bardziéj proste, a przedmioty jéj oderwane.
 Ograniczenie Matematyki do roli nauki niejako pomocniczéj dla badań fizykalnych odejmuje jéj charakter wiedzy niezależnéj, powstającéj i rozwijającéj się o siłach własnych przez samodzielne tworzenie pojęć, nie zawsze bezpośrednio związanych z przedmiotem doświadczenia. Matematyka w rzeczy saméj zajmuje w systemie wiedzy ludzkiéj stanowisko odrębne. Badając przedmioty tylko ze względu na ich własności formalne, albo, jak mówi Wundt[7], ze względu na porządek, a nie treść rozmaitości, danych w doświadczeniu, albo też, co na jedno wychodzi, ze względu na funkcye intelektualne przy spostrzeganiu przedmiotów, nie zaś ze względu na treść wrażeń zmysłowych, Matematyka jest nauką formalną i tém różni się od nauk doświadczalnych czyli realnych, w których do właściwości czysto formalnych przybywa szczególna jakość (qualitas) elementów, t. j. najprostszych części składowych rozmaitości. Stosunek Matematyki i nauk doświadczalnych określić można w ten sposób, że “pierwsza ma za przedmiot to, co w doświadczeniu jest według warunków formalnych możliwém, drugie to, co według formy i treści jest rzeczywistém„[8]. Wyjaśnienie tego stosunku wskażą niejednokrotnie dalsze artykuły.





  1. ↑ O niedostateczności określenia Matematyki, jako nauki o wielkościach, mówią: K. Ch. Fr. Krause, Tagblatt des Menschcheitslebens, 1811. porówn. wydane w r. 1889 tegoż Philosophische Abhandlungen, str. 271, i następne; H. Grassmann, Ausdehnungslehre, wydanie 2-e, 1878, str. XXII, i inni.
  2. ↑ Nazwy formy dla utworów matematycznych używa H. Grassmann Ausdehnungslehre, str. XXII. Matematyka jest według niego nauką o formach [Formenlehre]. Według Roberta Grassmanna, Die Formenlehre oder Mathematik, 1872, nauka o formach czyli Matematyka jest nauką o prawach ścisłego naukowego myślenia i składa się z pięciu gałęzi, a mianowicie: z nauki o wielkościach, Logiki, nauki o kombinacyach, nauki o liczbach i z nauki o rozciągłości [Ausenlehre].
  3. ↑ Grassmann, Ausdehnungslehre, str. XXII.
  4. ↑ Kant, Kritik der reinen Vernunft, wydanie Erdmanna 1880. Pogląd ten wypowiedziany jest w wielu miejscach np. na str. 145, 488—494 i t. d.
  5. ↑ Wroński, Introduction à la philosophie des Mathématiques, 1811, str. 1—4. Porówn. także tegoż, Sept manuscrits inédits écrits de 1803 à 1806, oeuvres posthumes, 1879.
  6. ↑ Comte, Cours de philosophie positive, wydanie z r. 1863, I, str. 98.
  7. ↑ Wundt, System der Philosophie, 1889, str. 26.
  8. ↑ Wundt, tamże, str. 123.





Tekst jest własnością publiczną (public domain). Szczegóły licencji na stronie autora: Samuel Dickstein.
Źródło: „https://pl.wikisource.org/w/index.php?title=Pojęcia_i_metody_matematyki/Wstęp/Przedmiot_Matematyki&oldid=3281084”