Pojęcia i metody matematyki/Rozdział I/Działania odwrotne
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Działania odwrotne |
| Pochodzenie | Pojęcia i metody matematyki / Rozdział I |
| Wydawca | Wydawnictwo Redakcyi „Prac matematyczno-fizycznych“ |
| Data wyd. | 1891 |
| Druk | Drukarnia J. Sikorskiego |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Źródło | Skany na Commons |
| Inne | Rozdział I całość |
| Indeks stron | |
Opisane wyżéj działania: dodawanie, mnożenie i potęgowanie nazywają się działaniami prostemi; w przeciwstawieniu do nich cztery następujące nazywają się działaniami odwrotnemi. [Działania proste nazywa Hankel tetycznemi — thetische Operationen, odwrotne — litycznemi, lytische Operationen].
Odejmowanie jest to działanie odwrotne względem dodawania; jest to takie działanie, za pomocą którego wyznaczamy liczbę x, czyniącą zadość równaniu
| 1. | x - n2 = n1. |
| 2. | (n1 - n2) + n2 = n1. |
Wzór 2. może być uważany za określenie różnicy lub odejmowania.
Z istoty odejmowania wynika, że jeżeli n1 i n2 są liczbami szeregu 1., że wtedy tylko na x otrzymujemy odpowiedź, to jest otrzymujemy liczbę, znajdującą się w tym szeregu, jeżeli liczba n1 znajduje się w szeregu na prawo od liczby n2, jest od liczby n2 większa. Jeżeli zaś co do n1 i n2 nie czynimy z góry żadnych zastrzeżeń, wynika potrzeba nadania znaczenia odejmowaniu i w tym przypadku, w którym warunek powyższy się nie spełnia. To prowadzi do rozszerzenia dziedziny liczb, to jest do utworzenia zera i liczb ujemnych, przyczém naturalnie równanie 2. służyć winno za określenie nowych liczb. Tak więc definicya formalna liczb ujemnych jest tożsama z definicyą odejmowania.
Dzielenie jest działaniem odwrotném względem mnożenia; jest to działanie, za pomocą, którego wyznaczamy liczbę x, czyniącą zadość równaniu
| 3. | x n2 = n1, |
gdzie n1 i n2 są liczbami szeregu 1. Liczba x oznacza się przez
i nazywa się ilorazem. Kładąc za x to wyrażenie w równaniu 3., otrzymamy równość
| 4. | n1n2n2 = n1, |
która może być uważana za określenie ilorazu lub dzielenia.
Z istoty dzielenia wynika, że jeżeli n1 i n2 są liczbami szeregu 1, to wtedy tylko otrzymujemy na x odpowiedź, to jest otrzymujemy liczbę zawartą w 1., jeżeli liczba n1 jest wielokrotnością liczby n2. Jeżeli zaś co do n1 i n2 nie czynimy żadnych zastrzeżeń, to wynika wtedy potrzeba nadania znaczenia dzieleniu i w tym przypadku, w którym warunek powyższy się nie spełnia. To prowadzi do nowego rozszerzenia dziedziny liczb, to jest do utworzenia liczb ułamkowych, przyczém naturalnie równość 4. winna służyć za ich określenie. Tak więc definicya formalna liczb ułamkowych zawartą jest w definicyi dzielenia.
Z przyczyny prawa przemienności, stosującego się do dodawania i mnożenia, każdemu z tych działań odpowiada jedno działanie odwrotne, tymczasem potęgowaniu, które przemienném nie jest odpowiadają dwa działanie odwrotne, a mianowicie pierwiastkowanie [właściwie: wyciąganie pierwiastka] i logarytmowanie.
Pierwiastkowanie jest działaniem, za pomocą którego wyznaczamy liczbę x, czyniącą zadość równaniu
| 5. | xn2 = n1 |
Liczba x czyli podstawa potęgi otrzymuje nazwę pierwiastka [pierwiastka n2-ego lub pierwiastka n2-éj potęgi] i oznacza się w ten sposób:
Jeżeli to oznaczenie wprowadzimy do równania 5., otrzymamy wzór
| 6. | (n2√n1)n2 = n1 |
który można uważać za określenie pierwiastka i pierwiastkowania. Jeżeli n1 i n2 są liczbami calkowitemi, to na x wtedy tylko otrzymujemy odpowiedź w szeregu 1., gdy liczba n1 jest potęgą zupełną t. j. iloczynem n2 równych czynników; IV przeciwnym razie odpowiedź nie może zawierać się w szeregu 1. Jeżeli więc co do n1 i n2 nie czynimy żadnych zastrzeżeń, to wynika stąd potrzeba nadania znaczenia pierwiastkowaniu i w tym przypadku, w którym warunek powyższy się nie spełnia. To prowadzi nas znowu do rozszerzenia dziedziny liczb, to jest do tworzenia liczb niewymiernych, przyczém równanie 6. może służyć za formalne ich określenie.
Równanie 5. stanowi przypadek szczególny równania algebraicznego ogólnego, to też liczby niewymierne, określone formalnie za pomocą takiego równania, zawierają się w pojęciu ogólnlejszém liczb algebraicznych.
Logarytmowanie jest działaniem, za pomocą którego wyznaczamy liczbę x czyniącą zadość równaniu wykładniczemu
| 7. | n2x = n1. |
Liczba x nazywa się logarytmem liczby n1 przy podstawie n2 i oznacza się w ten sposób:
Wstawiając to oznaczenie w 7., otrzymujemy równość
| 8. | n2logn2n1 = n1, |
Ponieważ równanie 7. stanowi tylko jedną z postaci, jaką przybierać mogą równania przestępne, więc definicya formalna, zawarta we wzorze 8., daje tylko specyalną klasę liczb przestępnych, klasę logarytmów.
Z dotychczasowego przedstawienia widać jasno: że proces liczenia, podnosząc się na coraz wyższe stopnie, prowadzi do trzech działań prostych: dodawania, mnożenia i potęgowania; odwrócenie zaś zagadnienia zawartego w działaniach prostych, prowadzi do czterech nowych działań: odejmowania, dzielenia, pierwiastkowania i logarytmowania, i zarazem wywołuje potrzebę rozszerzenia dziedziny pierwotnéj, zawartéj w szeregu 1. Odwrócenie zagadnień, zawartych w działaniach prostych, jest myślą twórczą, która stwarza nowe dziedziny badania. Przekonamy się niejednokrotnie, że ten sam pomysł w innych gałęziach Matematyki, a głównie w teoryi funkcyj eliptycznych i hypereliptycznych, stał się podstawą znakomitych odkryć i uogólnień.
W uważanym obecnie przypadku mamy do czynienia z zagadnieniami najprostszemi, bo z najprostszemi połączeniami liczb, wchodzącemi do uważanych działań. Przy połączeniach bardziéj złożonych, utworzonych z rozmaitych kombinacyj powyższych działań, dochodzimy naturalnie do zagadnień odwrotnych ogólniejszych, i dlatego podane przez nas wyżéj nowe dziedziny liczb nie wyczerpują całej rozmaitości nowych form liczbowych, do jakich prowadzą działania matematyczne.
Z siedmiu opisanych działań, cztery, a mianowicie dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, nazywamy działaniami zasadniczemi albo arytmetycznemi dla tego, że stanowią one przedmiot Arytmetyki elementarnéj, która obejmuje dziedziny liczb całkowitych i ułamkowych, z wyłączeniem [dla względów dydaktycznych] dziedziny liczb ujemnych, uwzględnianéj dopiero w Algebrze elementarnéj. Dołączając do powyższych czterech działań jeszcze podoszenie do potęg całkowitych i wyciąganie pierwiastków o wykładniku całkowitym, otrzymamy sześć działań elementarnych, stanowiących podstawę działań algebraicznych.
Zawarta w tym i w poprzedzającym artykule teorya działań zawiera tylko zarys ogólny, w którym, opierając się na szeregu podstawowym 1., podaliśmy zasadnicze własności działań, ich związki wzajemne i wskazaliśmy źródło, z którego pochodzi potrzeba rozszerzenia pierwotnej dziedziny liczb całkowitych oraz znaczenia działań. Pozostają atoli do rozstrzygnięcia pytania ważne, a mianowicie, w jaki sposób wskazane uogólnienia urzeczywistnić, czyli innemi słowy, jakie własności nadać nowym formom; czy i w jaki sposób rozszerzenia, wskazane w różnych kierunkach, to jest z różnych pochodzące działań, łączą się ze sobą w jednę organiczną całość, wreszcie jaką rozmaitość form wydają kombinacye działań? Czytelnik przewiduje, że w tych pytaniach mieszczą się doniosłe zagadnienia nauki o liczbach. Zanim wszakże do rozwiązania tych pytań przejdziemy, musimy jeszcze raz zastanowić się nad wyłożonemi wyżéj prawami, określającemi własności działań zasadniczych, i, wziąwszy je za punkt wyjścia, zbadać konsekwencye, do jakich prowadzą. Stanowić to będzie przedmiot następującego rozdziału o teoryi działań formalnych, w któréj formy, podległe działaniu, będziemy uważali w caléj ogólności, nie przywiązując do nich zgóry charakteru liczb całkowitych[1].
- ↑ Wroński [Introduction, str 6. i 7.] dzieli działania, opisane w art. 8 i 9., które [za wyłączeniem logarytmowania] nazywa algorytmami pierwotnemi, na trzy klasy, z których każda znowu dzieli się na dwie gałęzie prostą [progressive] i odwrotną [regressive]. Podział ten przedstawia następująca tabliczka:
Sumowanie
[Sommation]proste: Dodawanie. odwrotne: Odejmowanie. Reprodukcya
[Reproduction]proste: Mnożenie. odwrotne: Dzielenie. Stopniowanie
[Graduation]proste: Potęgowanie. odwrotne: Pierwistkowanie. Reprodukcyą uważa Wroński za algorytm pośredni między sumowaniem i stopniowaniem, algorytmy zaś pierwotne sumowania i stopniowania nazywa “biegunami intelektualnemi„ poznania w zastosowaniu do form algorytmicznych. W sumowaniu części wielkości uważa za przerywane, mające charakter agregatów [per juxta positionem], w sumowaniu za ciągłe, w pewnéj mierze za intensywne i mające charakter wielkości wzrastających [per intus susceptionem]. Te dwie funkcye mają, według niego, każda swoje prawa specyalne; są one zupełnie różnorodne i niepodobna jednéj z nich wyprowadzić z drugiéj. Pierwsza jest opartą na prawach budujących rozsądku [lois constitutives de l’entendement], druga na prawach regulujących rozumu [lois régulatives de la raison]. Neutralizacya tych dwóch funkcyj intelektualnych daje funkcyą pośrednią, a mianowicie algorytm reprodukcyi, który z metafizycznego punktu widzenia odnosi do zdolności sądzenia [faculté du jugement].
