Pojęcia i metody matematyki/Rozdział I/Działania proste
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Działania proste |
| Pochodzenie | Pojęcia i metody matematyki / Rozdział I |
| Wydawca | Wydawnictwo Redakcyi „Prac matematyczno-fizycznych“ |
| Data wyd. | 1891 |
| Druk | Drukarnia J. Sikorskiego |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Źródło | Skany na Commons |
| Inne | Rozdział I całość |
| Indeks stron | |
Wiemy już, że liczby całkowite stanowią fundament Arytmetyki i że prowadzi do nich abstrakcya z dostrzeganéj wielości przedmiotów.
Przedmioty, zjawiska dostrzegane, lub odpowiadające im akty myśli nazywamy: pierwszym, drugim, trzecim, i t. d. Każdemu z dostrzeżonych przedmiotów odpowiada pewien liczebnik porządkowy; inaczéj mówiąc, przedmioty, przez nas dostrzeżone i odróżnione, odpowiadają kolejno wyrazom szeregu:
Szereg tych wyrazów zastąpić można. szeregiem innych przedmiotów lub znaków w ten sposób, aby każdemu przedmiotowi z pierwszego szeregu odpowiadał jeden przedmiot lub znak z drugiego szeregu, i odwrotnie, aby każdemu przedmiotowi z drugiego szeregu odpowiadał jeden przedmiot z pierwszego. Podobne przystosowywanie czyli odwzorowywanie wzajemne dwóch szeregów przedmiotów stanowi nie tylko podstawę liczenia, ale jest źródłem wielu ważnych metod matematycznych, o których w téj książce mówić będziemy.
Jeżeli z wyrazów szeregu
pierwszy, drugi, trzeci, czwarty, . . . .
utworzymy szeregi:
pierwszy,
pierwszy, drugi,
pierwszy, drugi, trzeci,
pierwszy, drugi, trzeci, czwarty,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
pierwszy, drugi, trzeci, czwarty,..., n - y,
to do każdego takiego szeregu będziemy mogli przydzielić liczbę, a mianowicie, do pierwszego szeregu liczbę jeden, do drugiego liczbę
dwa, . . . do ostatniego liczbę n. Przy tworzeniu liczby umysł wykonywa syntezę aktów myśli, odpowiadnjących każdemu z powyższych szeregów: do dziedziny nazw lub dziedziny przedmiotów dodaje coś nowego, a mianowicie szereg form matematycznych. Formy te odtąd służyć mają za szereg zasadniczy, z którym porównywać będziemy zawsze jakiekolwiek szeregi przedmiotów, podległych naszemu spostrzeganiu [1]. Liczba, otrzymana z syntezy aktów, o jakich mówimy, uważa się za liczbę przedmiotów badanego przez nas szeregu.
Licząc przedmioty, t. j. dając każdemu z nich nazwę, wziętą z szeregu liczebników porządkowych, przez to samo przedmioty te porządkujemy. Jeżeli zmienimy porządek przedmiotów, t. j. przestawimy je w sposób dowolny, i następnie porównamy z szeregiem liczebników porządkowych tak, aby kolejnym przedmiotom przypadły znowu nazwy pierwszy, drugi, trzeci..., to oczywiście ostatniemu przedmiotowi, bez względu na poczynione przestawienia, odpowie taż sama nazwa, która odpowiadała ostatniemu przedmiotowi w poprzedniem uporządkowaniu. Liczba przeto, odpowiadająca szeregowi po przestawieniu, będzie taka sama, jak liczba, odpowiadająca mu przed przestawieniem; liczba przedmiotów nie ulega zmianie, czyli, wyrażając się słowami Kroneckera, liczba jest niezmiennikiem danego szeregu przedmiotów [2].
Liczba w tém znaczeniu, to jest liczba całkowita, zastępuje przy liczeniu liczebniki porządkowe, zamiast więc nazywać przedmioty pierwszym, drugim, trzecim,..., liczymy: jeden, dwa, trzy... Przy liczeniu w ten sposób nie tylko oznaczamy każdy przedmiot, ale jednocześnie wykonywamy syntezę aktów myśli, odpowiadających każdemu z przedmiotów, to jest określamy ów niezmiennik, ową formę matematyczną, która pozostaje niezmienną przy dowolném przestawianiu przedmiotów liczonych. [Na nazwę tego niezmiennika język niemiecki posiada wyraz “Anzahl„, gdy wyraz “Zahl„ używa się w znaczeniu ogólném, a więc nie tylko dla liczb całkowitych, ale i ułamkowych, ujemnych i t. d. I my w tém samem znaczeniu używamy wyrazu “liczba„, dla oznaczenia zaś pojęcia “Anzahl„ najwłaściwszym byłby wyraz “ilość„. Lecz upowszechniło się w naszym języku naukowym używanie wyrazu ilość, raz w znaczeniu logiczném, w przeciwstawieniu do wyrazu jakość, drugi raz do oznaczania wogóle liczb jakichkolwiek, a nawet do oznaczania wielkości. Dla niewywołania więc zamieszania w języku naukowym, dla wyrażenia pojęcia “Anzahl„ używać będziemy wyrażenia “liczba całkowita„ lub, gdy nie zachodzi obawa dwuznaczności, wyrazu liczba; mówić téż będziemy o wielości, mnogości lub 'rozmaitości przedmiotów, nadającéj się do przedstawienia za pomocą liczby].
Szereg liczb:
lub w znakach:
wystarcza do liczenia jakiegokolwiek szeregu przedmiotów, ale posiada on jeszcze inne ważne zastosowania, które zaraz przedstawimy.
Niechaj będą dwa szeregi przedmiotów, nazwijmy je A i B. Każdy z tych szeregów możemy liczyć oddzielnie, nazywając przedmioty szeregu A kolejno: pierwszym, drugim, trzecim, ..., n1-ym, przedmioty szeregu B, nazywając także kolejno: pierwszym, drugim, trzecim, ..., n2-ym. Wyobraźmy sobie teraz szereg liczb całkowitych
| 1. | 1, 2, 3, 4, . . . . . |
i przystosujmy do niego liczebniki porządkowe z poprzednich dwóch szeregów w ten sposób, aby liczbom szeregu 1. odpowiadały po kolei i bez przerwy liczebniki pierwszy, drugi, trzeci, ..., n1-y, pierwszy, drugi, trzeci, ..., n2-y, wtedy ostatniemu przedmiotowi szeregu B odpowie liczba szeregu 1., którą nazywamy sumą liczb n1 i n2 i oznaczamy przez n1 + n2. Liczba n1 + n2 w odniesieniu do dwóch danych szeregów A i B oznacza, że jeżeli przedmioty obu szeregów wyobrazimy sobie, jako stanowiące szereg jeden, w którym idą przedmioty najprzód szeregu A, a następnie szeregu B,
to, bez względu na porządek przedmiotów w każdym z szeregów danych, liczba, odpowiadająca temu jednemu szeregowi złożonemu, będzie n1 + n2.
Jeżeli znowu do szeregu 1. przystosujemy w sposób wyżej opisany najprzód liczebniki porządkowe pierwszy, drugi, trzeci, ..., n2-y, odpowiadające szeregowi A, następnie liczebniki porządkowe, pierwszy, drugi, trzeci, ..., n1-y, odpowiadające szeregowi B, to dojdziemy do pewnej liczby, która będzie sumą liczb n2 i n1, a którą wedle przyjętego znakowania przedstawiamy za pomocą n2 + n1. Liczba ta wyraża oczywiście, że jeżeli wyobrazimy sobie przedmioty obu szeregów, jako stanowiące szereg jeden, w którym najprzód idą przedmioty szeregu B, a następnie przedmioty szeregu A, to, bez względu na porządek przedmiotów w każdym z szeregów danych, liczba, odpowiadająca temu jednemu szeregowi złożonemu, będzie n2 + n1.
Działanie, za pomocą którego otrzymaliśmy liczbę n1 + n2 lub n2 + n1 nazywa się dodawaniem.
Jest oczywistém — i oczywistość ta niezależnie od poglądu na źródła naszego poznania, musi być uważana za założenie zasadnicze teoryi działań, — że liczba n2 + n1, do któréj doszliśmy przy drugiém liczeniu, jest tą samą liczbą szeregu 1., jaką jest liczba n1 + n2, do któréj doszliśmy przy pierwszém liczeniu, co wyrażamy w ten sposób:
| 2. | n1 + n2 = n2 + n1. |
Prawo to nazywa się prawem przemienności dodawania [commutativ Law]. Wzór 2., wyrażający to prawo w przypadku dwóch składników, z łatwością może być rozszerzony do jakiéjkolwiek [skończonej] liczby składników, jeżeli znaczenie dodawania trzech i więcéj liczb za pomocą określenia ustalimy. Prawo to wyrazić można ogólnie za pomocą; wzoru
gdzie α, β, ..., ρ stanowi jakąkolwiek przemianę szeregu 1, 2, ..., r.
Z poprzedzającego wnieść można, że dodawanie dwóch [i więcéj liczb] jest tylko uogólnieniem liczenia. W dodawaniu zestawiamy szeregi przedmiotów, z których każdemu odpowiada jedna z liczb szeregu 1., w liczeniu zaś te szeregi składają się każdy z jednego przedmiotu, któremu w szeregu 1. odpowiada pierwszy wyraz. Jeżeli liczbę, odpowiadającą takiemu pojedyńczemu przedmiotowi, nazwiemy jednością, to liczenie będzie można nazwać dodawaniem jedności. Widzimy zarazem: 1. że gdy idzie o dodawanie i wogóle o działania na liczbach całkowitych, wszystkie przedmioty liczone, bez względu na różnice, jakie pomiędzy niemi istnieć mogą, zamieniają się w procesie liczenia wszystkie na jedności, wszystkie zatém stają się równemi. 2. że każdą liczbę szeregu 1. wyrazić można jako sumę liczby, bezpośrednio przed nią się znajdującéj, i jedności, czyli, liczbą szeregu 1., bezpośrednio następującą po liczbie n, jest n + 1. Z prawa przemienności 2. wynika
| 3. | n + 1 = 1 + n. |
Jeżelibyśmy wzór 3. stanowiący przypadek szczególny wzoru 2., przyjęli za założenie zasadnicze, to z niego i przy pomocy określenia
| 4. | n1 + (n2 + 1) = (n1 + n2) + 1, |
moglibyśmy wyprowadzić tak wzór 2. jako też i wszystkie własności dodawania.
Wzór 4. stanowi przypadek szczególny ogólniejszego wzoru
| 5. | n1 + (n2 + n3) = (n1 + n2) + n3, |
wyrażającego prawo łączności [associative Law] dodawania. Prawo to określa właśnie sumę trzech składników: jedna i druga strona wzoru 5. oznacza sumę trzech liczb n1 + n2 + n3. Prawo to rozciąga się na jakąkolwiek [skończoną] liczbę składników.
Łącząc prawo przemienności i łączności w jedno prawidło, możemy powiedzieć, że mając do dodania ilekolwiek liczb n1, n2, ..., nr, możemy otrzymać sumę ich, łącząc którekolwiek i ilekolwiek z nich w sumę cząstkową, z pozostałych liczb łącząc znów którekolwiek i ilekolwiek w drugą sumę cząstkową i t. d., póki nie wyczerpiemy wszystkich składników danych, i dodając następnie sumy cząstkowe w dowolnym porządku[3].
Jeżeli pojedyńcze składniki sumy n1 + n2 + . . . + nr są wszystkie równe jednéj liczbie n, wtedy dodawanie przechodzi w mnożenie, suma zaś n1 + n2 + . . . + nr = n + n + . . . + n przyjmuje nazwę iloczynu liczb n i r i oznacza się przez nr. Liczba nr jest niezmiennikiem, odpowiadającym szeregowi utworzonemu ze złączenia r szeregów, z których każdy zawiera po n przedmiotów. Jeżeli w tym szeregu złożonym zmienimy ustawienie przedmiotów w ten sposób, aby najprzód stały obok siebie wszystkie przedmioty, które w szeregach danych były pierwszemi, następnie wszystkie, które były drugiemi i t. d., wreszcie wszystkie, które były ostatniemi, to dojdziemy tym sposobem do liczby rn. Ponieważ liczba przedmiotów nie uległa zmianie, a zatém
| 6. | n r = r n. |
Wzór ten wyraża prawo przemienności mnożenia dla przypadku dwóch czynników. Jeżeli określimy mnożenie trzech [i więcéj] czynników za pomocą wzoru
| 7. | n1(n2n3) = (n1n2)n3, |
wyrażającego prawo łączności, przyczém pierwsza i druga strona wzoru 7. wyrażają iloczyn n1 n2 n3, to na zasadzie tego określenia będzie można wzór 6. rozszerzyć na dowolną [skończoną] liczbę czynników t. j. napisać ogólnie
gdzie α, β, . . . , ρ oznacza jakąkolwiek przemianę szeregu 1, 2, ..., r.
Łącząc prawo przemienności i łączności mnożenia w jedno prawidło, możemy powiedzieć, że mając do mnożenia ilekolwiek liczb n1 n2 . . , nr, możemy otrzymać iloczyn ich, tworząc z którychkol- i ilukolwiek z nich iloczyn cząstkowy, z pozostałych ilukolwiek tworząc drugi iloczyn cząstkowy i t. d. póki nie wyczerpiemy wszystkich czynników, i mnożąc następnie przez siebie iloczyny cząstkowe w jakimkolwiek porządku.
Oprócz przemienności i łączności mnożenie liczb całkowitych posiada jeszcze jedną ważną własność, nazwaną prawem rozdzielności [distributive Law][4], które wyraża się wzorami
| 8. | (n1 + n2)n3 = n1n3 + n2n3 n3(n1 + n2) = n3n1 + n3n2 |
Pierwszy z tych wzorów daje się dowieść przez rozkład iloczynu po prawéj stronie na sumę n3 równych składników, a następnie przez odpowiednie uporządkowanie tych składników, drugi zaś wynika z pierwszego przy zastosowaniu prawa przemienności.
Jeżeli czynniki iloczynu n1 n2,...,nr są wszystkie równe jednéj liczbie n, wtedy mnożenie przechodzi w potęgowanie albo podnoszenie do potęgi, iloczyn zaś n1 n2 ... nr = n n ... n przyjmuje nazwę r-éj potęgi liczby n i oznacza się przez nr. Liczba n nazywa się podstawą potęgi, liczba r jéj wykładnikiem.
Potęgowanie nie jest przemienném ani łączném, gdyż
oraz
posiada natomiast własności wyrażone wzorami
| 9. | nr + s = nr ns nrs = (nr)s (mn)r = mrnr, |
odpowiadające prawu rozdzielności mnożenia; właściwie tylko, ostatni z wzorów 9. wyraża ściśle tę własność, która łączy potęgowanie z mnożeniem w podobny sposób, w jaki wzory 8. łączą mnożenie z dodawaniem. Pierwsze dwa wzory 9., nie mające analogicznych sobie w dodawaniu i mnożeniu, wyrażają charakterystyczne własności potęgowania[5].
- ↑ O szeregu tym mówi Kerry, Ueber Auschauung i t. d. [l. c., str. 324], że jest wielością miarową przyrodzoną [uatürliche Massvielheit] do mierzenia wszystkich innych wielości, podobnie jak nasze oko, nasze ucho, nasze organa dotyku, nasza pamięć są przyrodzonemi wzorcami do mierzenia długości.
O pojęciu liczby całkowitéj traktuje obszernie Frege w pracy, Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch-mathematische Untersnchung über den Begriff der Zahl, 1884. - ↑ Kronecker, Ueber den Zahlbegriff... l. c. str. 342.
- ↑ Suma złożona z dwóch liczb może być utworzona 2 sposobami, z trzech liczb — 18-ma, z czterech — 264-ma, z pięciu — 5400-ma, z szeciu 141840-ma sposobami. Toż samo stosuje się i do mnożenia.
- ↑ Nazwy praw przemienności, łączności i rozdzielności podajemy w nawiasach po angielsku dlatego, że one rozpowszechniły się najwcześniéj w literaturze angielskiéj, jakkolwiek pierwszy i trzeci termin wprowadził do nauki prawdopodobnie Servois w r. 1814. Porówn. Hankel, Ueber die complexen Zahlensysteme str. 3.
- ↑ Powtórzenie potęgowania prowadzi do działań
a a a a a a . a . . . . i t. d. które uważają niektórzy za nowe działanie, za “czwarty stopień„ działań. Wszakże działanie to jest małego użytku i mało zbadane. Porówn. artykuł E. Schultzego, Die vierte Rechenstufe [Archiv der Mathematik und Physik, 2 ser. IX, zeszyt 3, 1890, str. 320-326].
