Pojęcia i metody matematyki/Rozdział III/Całość

<<< Dane tekstu >>>
Autor	Samuel Dickstein
Tytuł	Rozdział III
Pochodzenie	Pojęcia i metody matematyki
Wydawca	Wydawnictwo Redakcyi „Prac matematyczno-fizycznych“
Data wyd.	1891
Druk	Drukarnia J. Sikorskiego
Miejsce wyd.	Warszawa
Źródło	Skany na Commons
Inne	Cały tekst
Indeks stron

›››

[107]

ROZDZIAŁ III.

LICZBY UŁAMKOWE.

---

13. TEORYE DZIAŁAŃ NAD UŁAMKAMI.

 Rachunek na ułamkach sięga czasów najstarożytniejszych. Przed czterdziestu wiekami rachmistrze egipscy znali już sposoby oznaczania ułamków i umieli rozkładać je na ułamki prostsze; babilończycy hindusowie, grecy i rzymianie posługiwali się ułamkami, lecz dopiero po wprowadzeniu Arytmetyki cyfrowéj ustanowiono ogólne prawidła rachunku tak z ułamkami zwyczajnemi jak i dziesiętnemi^[1]. Tu, jak wszędzie, praktyka poprzedziła teoryą. Działania nad wielkościami wykazały potrzebę i ważność ułamków, wszakże dopiero teorya działań wyjaśniła właściwą istotę tych nowych form liczbowych i działań nad niemi.
 Według teoryi, wyłożonéj w art 9. i 10., ułamkiem nazywamy liczbę, zadość czyniącą równaniu

x b = a

gdy co do a i b nie czynimy żadnych zastrzeżeń [z wyjątkiem warunku, by b nie było równe zeru]; pojęcie zatém liczby ułamkowéj obejmuje w sobie i pojęcie liczby całkowitéj, mianowicie dla przypadku, gdy a = b lub a jest wielokrotnością liczby b.
 Zasada zachowania przepisuje nam stosowanie do działań nad nowemi liczbami tych samych praw, które mają miejsce dla dziedziny pierwotnéj liczb całkowitych.
[108] Z równań 10b. w art. 11. otrzymujemy

a . 1/b = a/b,

co oznacza, że każdy ułamek a/b przedstawić można jako iloczyn liczby całkowitéj a przez ułamek 1/b o liczniku równym jedności.
 Jeżeli założymy przemienność mnożenia, to możemy napisać

a . 1/b = 1/ba = 1/b + 1/b + ... + 1/b,

to jest ułamek a/b rozłożyć na sumę a składników, z których każdy równa się 1/b.
 Ponieważ z równania x b = a, wynika x . m b = m a, a więc na zasadzie określenia dzielenia i liczb ułamkowych będzie

a/b = m a/m b,

skąd wynika, że każdemu ułamkowi można nadać nieskończoną liczbę postaci.
 Z równań 1′b., 2′b., 13 w art. 9., otrzymujemy

b . a/b	=	a
b/c . a	=	b . a/c
a/b : c	=	a/bc
a : b/c	=	ac/b
a/d ± b/d	=	a ± b/d
a/b . c/d	=	a c/b d
a/b : c/d	=	a d/b c

Są to wzory, określające działania zasadnicze nad ułamkami i stwierdzające zarazem, że działania te posiadają też same [109]własności formalne, jakie mają odpowiednie działania nad liczbami całkowitemi.
 Można łatwo dowieść, że wszystkie powyższe wzory utrzymują się w zupełności i wtedy, gdy w nich a, b, c, d ... są już nietylko liczbami całkowitemi, ale dowolnemi liczbami ułamkowemi. Tym sposobem przez wprowadzenie liczb ułamkowych działania arytmetyczne, otrzymują znaczenie ogólniejsze od tego, jakie miały w przypadku liczb całkowitych.
 Ponieważ mnożenie przez ułamek 1/b daje ten sam wynik, co dzielenie przez liczbę b, mnożenie przez ułamek a/b zastępuje działanie, złożone z mnożenia przez a i dzielenia przez b, można przeto liczby ułamkowe, uważać jako znaki działań i na tém oprzeć teoryą działań nad ułamkami. Myśl ta, nienowa zresztą, stanowi podstawę nowéj teoryi elementarnéj Ch. Méray’a^[2].
 Teorya Weierstrassa^[3] opiera się na wprowadzeniu nowych jednostek ε_n, określonych równaniem

ε_n . n = 1.

Za pomocą takich jednostek dają się przedstawić liczby całkowite. np. liczba całkowita a = a . 1 będzie miała postać aε_nn, lub też naε_n, jeżeli przyjmiemy prawo przemienności. Ogólnie liczba całkowita lub ułamkowa daje się przedstawić pod postacią

a₀ + a₁ε_n1 + a₂ε_n2 + . . . + a_mε_nm

gdzie a₀, a₁, a₂ . . . a_n są liczbami całkowitemi, ε_n1, ε_n2, . . . ε_nm — jednostkami, określonemi jak wyżéj.
 Ponieważ na zasadzie tegoż określenia jest

m . n . ε_{m n} = 1,

gdzie m i n są liczbami całkowitemi, wnosimy więc stąd, że

(m εm n) n = 1,	a więc	m εm n = εn
(n εm n) m = 1,	„	n εm n = εm

Na téj zasadzie można każdą liczbę

a = a₀ + a₁ε_n1 + . . . + a_mε_nm

przekształcić w ten sposób, aby zawierała tylko jednostki ε_n jednego gatunku. W saméj rzeczy, jeżeli n jest najmniejszą wspólną [110]wielokrotną liczb n₁, n₂ .... n_m, to można napisać

n₁ ν₁ = n₂ ν₂ = . . . . = n_m ν_m = n

gdzie ν₁, ν₂, . . ., ν_m są liczbami całkowitemi; będzie zatém

ε_nμ = ν_μ.ε_nμνμ = ν_μ ε_n, (μ = 1, 2,..., m),

skutkiem czego a przyjmuje postać

a = (a₀ n + a₁ ν₁ + . . . + a_m ν_m) ε_n.

Na téj podstawie wykonywamy dodawanie i odejmowanie liczb ułamkowych o dowolnych mianownikach.
 Mnożenie liczb ułamkowych winno czynić zadość prawidłom mnożenia liczb całkowitych i dla tego będzie

(ε_m + ε_m + . . . m razy) (ε_n + ε_n + . . . + n razy) = m n (ε_m ε_n);

ponieważ zaś

m ε_m = 1, n ε_n = 1, m n (ε_m ε_n) = 1,

przeto:

m n (εm εn)	=	(m εm) . (n εn) = m n εm m,
εm εn	=	εm m,
p εm . q εn	=	p q εm n.

Wzory te wystarczają do znalezienia iloczynu jakichkolwiek liczb ułamkowych.
 Iloraz dwóch liczb ułamkowych otrzymujemy za pomocą prawidła

p ε_m/q ε_n = p n . ε_m q,

które stwierdzić możemy, mnożąc obie strony przez q ε_n, przez co otrzymujemy po jednéj i drugiéj stronie iloczyn p ε_m.
 Jeżeli ε_n zastąpimy przez 1/n, m ε_n przez m/n, otrzymamy wszystkie wzory działań nad ułamkami w postaci zwykłéj.

 Kronecker^[4] dla ominięcia pojęcia liczb ułamkowych, zastępuje czynnik 1/m formą nieoznaczoną x_m a równość — kongruencyą. [O kongruencyach mówimy w części II]. Prawidła działań nad ułamkami, a mianowicie prawidło dodawania i odejmowania [111]

a/m ± b/n = a n ± b m/m n,

mnożenia

a/m . b/n = a b/m n

i dzielenia

a/m : b/n = a n/b m

zastępuje on trzema następującemi kongruencyami:

a xm	+	b xn	≡	(a n + b m) xm n (modd.mxm - 1, n xn - 1, m n xm n - 1),
a xm	.	b xn	≡	a b xm n (modd.mxm-1, n xn - 1, m n xm n - 1),
a xm	.	xbxn	≡	anxb m (modd.mxn-1, n xn - 1, bmxb m - 1, bxnxn - 1),

które wypływają odpowiednio z następujących trzech tożsamości:

a xm	+	b xn	=	(a n + b m) xm n + a n xm n (m xm - 1) + b m xm n (n xn - 1) - (a xm + b xn) (m n xm n - 1),
a xm	.	b xn	=	a b xm n + a b n xn xm n (m xm - 1) + a b xm n (n xn - 1) - a b xm xn (m n xm n - 1),
a xm	.	xbxn	=	a n xb m + a n xb n (m xm - 1) - a b m xm xb m xb xn (n xn - 1) - a xm xbxn (b m xb m - 1) + a m n xm xbm (bxn xbxn - 1).

14. WIELKOŚĆ UŁAMKA. MNOGOŚĆ LICZB UŁAMKOWYCH.

 W powyższym wykładzie teoryi ułamków nie mówiliśmy o tém, w jaki sposób rozumieć należy, co jest ułamek większy lub mniejszy od drugiego. Jeżeli pojęcie ułamka opieramy na pojęciu podziału jedności na części, to oczywiście z dwóch ułamków o równym liczniku ten jest większy, którego mianownik jest mniejszy; z dwóch ułamków o równym mianowniku — ten, którego licznik jest większy; gdy zaś dwa ułamki mają różne liczniki i mianowniki, to sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika pokaże z łatwością, który jest większy lub mniejszy. Jeżeli ułamkami danemi są a/m i b/n, to wniesiemy stąd, że a/m >< b/n,stosownie do tego czy a n >< b m.
[112] W teoryi formalnéj działań nad ułamkami można albo wprost wynik ten uważać za określenie, albo też przyjąć, że ułamek, będący sumą dwóch ułamków, uważa się za większy od każdego ze składników. Przyjmując to określenie, będziemy w zupełnéj zgodzie ze zwykłą teoryą i potrafimy każdemu ułamkowi, stosownie do wielkości jego, wyznaczyć miejsce właściwe w dziedzinie liczb całkowitych i ułamkowych.
 Wszystkie ułamki właściwe, to jest mniejsze od jedności, których mnogość jest nieskończona, możemy uporządkować w sposób następujący.
 Wyobraźmy sobie wszystkie te ułamki w postaci nieprzywiedlnéj, to jest w takiéj, aby ich liczniki i mianowniki były liczbami względnie pierwszemi. Niechaj suma licznika i mianownika równa się liczbie całkowitej p. Otóż każdemu ułamkowi właściwemu odpowiada oznaczona wartość liczby p, i odwrotnie, do każdéj danéj liczby p należeć może tylko skończona mnogość ułamków. Jeżeli przeto pomyślimy sobie wszystkie ułamki właściwe, uporządkowane w ten sposób, aby te, które odpowiadają mniejszéj wartości liczby p, znajdowały się przed temi, które odpowiadają wartości większéj, i aby ułamki różne, odpowiadające jednéj i téj saméj wartości liczby p, następowały po sobie porządkiem wielkości, to wtedy oczywiście każdy z ułamków właściwych będzie miał miejsce zupełnie oznaczone; to znaczy, że jeden z nich będzie pierwszym, inny — drugim, inny znów — trzecim, i że licząc w ten sposób, nie pominiemy żadnego. Mnogość zatém nieskończona wszystkich ułamków właściwych, jest, wyrażając się słowami Dedekinda, podobna do mnogości

1, 2, 3, 4 . . .,

albo, według terminologii Cantora, posiada tę samą moc, t. j. tę samą liczbę kardynalną, jaką, ma szereg nieskończony liczb całkowitych, jest mnogością odliczalną.
 Tym samym sposobem można dowieść, że mnogość wszystkich liczb ułamkowych, a więc mniejszych i większych od jedności, jest również odliczalną, czyli, innemi słowy, mnogość wszystkich liczb wymiernych jest odliczalną.
 Twierdzenie to, dające się jeszcze uogólnić, zawdzięczamy G. Cantorowi^[5].

---

1. Szczegóły historyczne o ułamkach u starożytnych znaleźć można w dziele M. Cantora, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, I. Band. 1880; o rachunku z ułamkami w wiekach średnich i nowożytnych u Günthera, Geschichte des mathematischen Unterrichts im dentachen Mittelalter bis zum Jahre 1525, 1887 i u Ungera. Die Methoden der praktischen Arithmetik in historischer Entwickelung vom Ausgange des Mittelalters bis auf die Gegenwart, 1888.
2. Ch. Méray. Les fractions et les quantités imaginaires, nouvelle théorie élémentaire. 1890, w ten sposób wprowadza pojęcie ułamka:
    Wynik działania, polegającego na pomnożeniu danéj całkowitéj E przez liczbę całkowitą m i następnie na podzieleniu iloczynu przez trzecią liczbę całkowitą n [nie równą zeru], przy założeniu, że to dzielenie jest możliwe, może być także otrzymany jednym z dwóch sposobów: 1. Jeżeli E jest podzielne przez n, dzielimy E przez n i iloraz mnożymy przez m. 2. Jeżeli m jest podzielne przez n, uskuteczniamy to dzielenie, a następnie E mnożymy przez otrzymany iloraz. Aby zachować korzyści, wynikające z drugiego sposobu i w tym przypadku, gdy m nie jest podzielne przez n, umawiamy się, by wynik działania, o ktorém mowa, przedstawić w tym przypadku przez
   E . m/n [lub m/n × E]

   i nazwać go iloczynem liczby E przez czynnik “fikcyjny„ [facteur fictif] m/n. Te czynniki “fikcyjne„ są liczbami ułamkowemi lub ułamkami.
    Łatwo już widzieć, jak na téj podstawie buduje się dalsza teorya, Jeżeli przy pomnożeniu jednéj i téj saméj liczby całkowitéj E, nie równéj zeru, przez dwa ułamki m′/n′, i m″/n″ zachodzi jeden z trzech związków

   E m′/n′ >/< E m″/n″,

   to związek ten pozostanie niezmienny dla każdéj innéj liczby całkowitéj E [zakładamy, rozumie się, że mnożenie przez czynniki “fikcyjne„ są wykonalne]. Ten związek stały wyrażamy pisząc:

   m′/n′ >/< m″/n″

   i mówimy, że wartość pierwszego ułamka jest większa, równa lub mniejsza od wartości drugiego.
    Aby zachodził jeden z tych trzech przypadków, warunkiem koniecznym i dostatecznym jest

   m′ n′ >/< m″ n″

   Z warunku tego wynika bezpośrednio, że mnożąc licznik i mianownik ułamka przez jednę i tę samę liczbę całkowitą lub dzieląc licznik i mianownik przez ich wspólny dzielnik, otrzymujemy ułamek równy danemu.
    Na téj własności polega sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.
   

    Jeżeli działania, oznaczone przez

   E m′/n′, E m″/n″, E m‴/n‴. . . .

   są możliwe, to połączenie ich wyników za pomocą dodawania i odejmowania

   E m′/n′ ± E m″/n″ ± E m‴/n″n‴ ±....

   daje liczbę, którą możemy otrzymać, mnożąc E przez pewną liczbę ułamkową. Ta liczba ułamkowa nazywa się sumą ułamków, m′/n′, m″/n″, m″m‴/n″″n‴ i nie zmienia się, jeżeli za punkt wyjścia przyjmiemy inną liczbę całkowitą, od E różną.
    Jeżeli działania

   E m′/n′, (E m′/n′) × m″/n″

   są możliwe, to wynik ostatniego z nich, oczywiście równy

   E m′ m″/n′ n″,

   można otrzymać, mnożąc E przez ułamek m′ m″/n′ n″, który nazywamy iloczynem ułamków m′/n″, m″/n′ .
    Jeżeli mamy dwa ułamki

   M/N, m/n,

   [m jest nie zerem]

   to ułamek

   x/y = Mn/Nm

   ma tę własność, że iloczyn jego przez ułamek m/n daje wynik równy ułamkowi M/N. Ten ułamek x/y nazywa się ilorazem ułamków M/N i m/n.
    Lerch [Základove ryzé arithmetické theorie veliczin, Athenaeum, 1886] podaje teoryą ułamków, polegającą na wprowadzeniu form liczbowych postaci (a/b). Równoważność dwóch takich form

   (a/b) ~ (c/d)

   określamy za pomocą równania

   a d = b c.

   Z tego określenia wynika bezpośrednio

   (0/a) ~ (0/b).

   Forma (a + a′/b) nazywa się sumą form (a/b) i (a′/b).
    Na zasadzie tych określeń dowieść można, że

   (a/b) + (c/d) ~ (ad + bc/bd)

   Iloczyn form

   (a/b), (c/d)

   określamy za pomocą równania

   (a/b) . (c/d) = (a c/b d);

   skąd wynika, że jeżeli

   (a/b) ~ (a′/b′) . (c/d) ~ (c′/d′),

   to będzie także

   (a/b) . (c/d) ~ a′/b′) . (c′/d′).

   Z określenia iloczynu wynika pojęcie ilorazu.
    Jeżeli przez a/b oznaczymy wyrażenie, przedstawiające każdą z form równoważnych formie (a/b), to na zasadzie poprzedzających wzorów można już będzie wyprowadzić wszystkie własności działań nad liczbami ułamkowemi.

3. Porówn. Pincherle, Saggio di una introduzione alla teoria delle funzioni analitiche [Giornale di Matematiche, XVIII, str. 179.], oraz Biermann, Theorie der analytischen Functionen, 1887., str. 9.
4. Kronecker, Ueber den Zahlbegriff, [l. c. str. 346].
5. G. Cantor. Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre. [Journal für die reine und angewandte Mathematik, LXXXIV, str. 250.]
   

Tekst jest własnością publiczną (public domain). Szczegóły licencji na stronie autora: Samuel Dickstein.