Pojęcia i metody matematyki/Rozdział IV/Całość
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Rozdział IV |
| Pochodzenie | Pojęcia i metody matematyki |
| Wydawca | Wydawnictwo Redakcyi „Prac matematyczno-fizycznych“ |
| Data wyd. | 1891 |
| Druk | Drukarnia J. Sikorskiego |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Źródło | Skany na Commons |
| Inne | Cały tekst |
| Indeks stron | |
W “Arytmetyce„ Diofanta, o któréj powiedział Lagrange, że jest jedném z dzieł, przynoszących największy zaszczyt duchowi ludzkiemu, znajdujemy już prawidła znaków w mnożeniu liczb dodatnich i ujemnych, jakkolwiek same liczby ujemne nie występują nigdzie u Diofanta wyraźnie. Przeciwnie, wszystkie zagadnienia, o ile mogłyby prowadzić do rozwiązań ujemnych, arytmetyk grecki opatruje starannie warunkami, mającemi na celu ominięcie podobnych rozwiązań[1]. Liczby ujemne w dzisiejszém znaczeniu tego pojęcia nie istniały wówczas w dziedzinie matematyki; nawet w dziesięć wieków po Diofancie matematycy włoscy Fibonacci, Paccioli, Cardano, natrafiając przy rozwiązywaniu równań na pierwiastki ujemne, odrzucali je, jako liczby fałszywe, fikcyjne, niemożliwe. Fakt analogiczny, jak to powiemy niżéj, powtórzył się następnie z liczbami urojonemi: duch uogólnienia, stanowiący wybitną cechę późniejszych badań, nie panował jeszcze tak dalece nad umysłami, aby bez pewnego oporu można było ogłosić równouprawnienie dla liczb, które według pojęć ówczesnych były niejako przeciwieństwem rzeczywistości. Wprowadzenie liter do Algebry, a więc powstała stąd konieczność przywiązywania znaczenia do działań w przypadkach ogólnych; a następnie zastosowanie rachunku do Geometryi, wktóréj oznaczanie długości o kierunkach przeciwnych, wykazało ważność a nawet konieczność używania liczb o znakach przeciwnych, przyczyniła się w wysokim stopniu do osłabienia owego oporu matematyków. Liczby ujemne pozyskują tedy zupełne prawo obywatelstwa w rachunku, a teorya ogólna równań jeszcze bardziéj użytek ich utrwala. Mimo to, jeszcze w końcu ubiegłego i na początku bieżącego stulecia, matematycy nie byli w zgodzie co do istotnego znaczenia liczb ujemnych. Euler[2] nazywa liczby ujemne mniejszemi od zera, przeciwko czemu powstają D’Alembert[3] i Śniadecki[4]. L. N. M Carnot[5] widzi w liczbach ujemnych tylko symbole, służące do zachowania ogólności związków algebraicznych; Wroński[6], zwalczając ten pogląd, uważa liczby dodatnie i ujemne, jako przedstawicielki dwóch różnych stanów jakości, i nie uznaje żadnéj różnicy stanowiska jednych i drugich w Matematyce. Podobny pogląd wygłasza Gauss[7], według którego liczby dodatnie i ujemne przedstawiają, przeciwieństwo pewnych dwóch procesów elementarnych np. przeciwieństwo przejścia w szeregu elementów od elementu A do elementu B a przejścia odwrotnego od B do A. Następny rozwój nauki, a mianowicie wprowadzenie liczb urojonych, rzuciło nowe światło na znaczenie liczb ujemnych, bo pozwoliło proces myśli, który prowadzi do nich, uważać za przypadek szczególny procesu, prowadzącego do ogólniejszych gatunków liczb.
Winiliśmy zauważyć, że i dziś spotykamy u teoretyków wiedzy poglądy na istotę liczb ujemnych, niezupełnie zgodne Duhamel,
stojący na stanowisku Carnota, twierdzi, że nie można nadawać żadnego znaczenia rzeczywistego działaniom arytmetycznym nad liczbami ujemnemi samoistnemi[8]. Dühring widzi w nich właściwie symbole działania, mającego być wykonaném na wielkościach bezwzględnych, a rachunek na liczbach ujemnych uważa za rachunek nad “niemożliwościami„[9], Kronecker[10] wreszcie pragnie je usunąć z Arytmetyki, a równości, w których występują liczby ujemne, zastąpić kongruencyami, w które wchodzi pewna nieoznaczona. Ta teorya znakomitego matematyka jest w związku z jego dążeniem do oparcia całéj dziedziny Arytmetyki i Algebry jedynie na liczbach całkowitych dodatnich.
Teorya formalna działań, która z góry nie jest przywiązaną do żadnej speeyalnéj dziedziny przedmiotów, wprowadza liczby ujemne na podstawie określenia formalnego i stosuje do nowych liczb działania na podstawie prawa zachowania. Teorya ta czyni zadość wymaganiom ścisłości i nie przesądza wcale znaczenia, jakie nadajemy lub nadać możemy liczbom ujemnym w specyalnych dziedzinach zastosowań.
Już w art. 11. określiliśmy liczby ujemne jako formy odwrotne za pomocą równania
i podaliśmy równania
Równania 1′a. 2′a. 4′'a. i 12. art. 11., stosują się do liczb ujemnych zarówno jak do dodatnich; będzie tedy:
| b + (a - b) | = | a |
| b + a - b | = | a |
| (b - c) + a | = | (b + a) - c, |
| a - (b + c) | = | (a - b) - c, |
| (c + a) - b | = | a - (b - c), |
| (a - b) + (c - d) | = | (a + c) - (b + d). |
Według równania 12′b. tegoż artykułu mamy
czyniąc a = 0 i uwzględniając przyjętą własność modułu dodawania, otrzymujemy
Zakładając znów w równaniu
d = - c, otrzymujemy na zasadzie własności modułu
skąd
Z równania wreszcie
gdy w niém napiszemy -c zamiast c, otrzymamy
Tym sposobem prawidło znaków w mnożeniu jest wynikiem określeń formalnych teoryi działań.
Prawidło znaków w dzieleniu wynika bezpośrednio z prawidła znaków w mnożeniu.
Powyższy wywód stosuje si oczywiście nietylko do liczb ujemnych całkowitych ale i do liczb ujemnych ułamkowych, jeżeli liczby ułamkowe wprowadzimy na podstawie teoryi, wyłożonej w rozdziale poprzedzającym.
Kronecker podał o teoryi liczb ujemnych krótką uwagę polegającą na tém, że równość taką, jak np.
można zastąpić kongruencyą
gdzie “nieoznaczona„ x zastępuje jednostkę -1. Kongruencya ta ma treść szerszą od poprzedniéj równości, bo dla każdéj liczby całkowitej x wyrażenia 7 + 9x i 3 + 5x, przy podzieleniu przez x + 1, dają reszty równe. Przy dołączeniu warunku x + 1 = 0, kongruencya przechodzi na równość i otrzymujemy liczby ujemne. Teorya liczb ujemnych wypływa przeto z teoryi kongruencyj powyższego kształtu.
W myśl tej uwagi Kroneckera, możemy z łatwością wyrazić wzory główne, odnoszące się do działań nad liczbami ujemnemi, pod nową postacią. Przedewszystkiém liczby ujemne
możemy nastąpić wyrażeniami
gdzie x jest liczbą “nieoznaczoną„. Równania
możemy zastąpić kongruencyami
w którym a - b i c - d są liczbami ujemnemi, możemy zastąpić wzorem
Prawo rozdzielności wyraża się pod postacią:
Prawidło znaków, np. wzór
wypływa z kongruencyi
W podobny sposób wszystkie inne wzory z łatwością uzasadnić się dają. Wiążąc zaś tę teoryą z wyłożoną w artykule 13. teoryą liczb ułamkowych, możemy te prawidła rozciągnąć do wszystkich liczb wymiernych dodatnich i ujemnych, tak że w teoryi Kroneckera występować będą tylko kongruencye pomiędzy liczbami całkowitemi dodatniemi[11].
Liczby ujemne całkowite i ułamkowe stanowią nowe uzupełnienie dziedziny liczb dodatnich całkowitych i ułamkowych, której własności poznaliśmy w artykułach poprzedzających.
Liczby całkowite ujemne
| 1. | -1, -2, -3 . . . |
stanowią mnogość nieskończoną, złożoną z wyrazów, odpowiadających wyrazom mnogości
| 2. | 1, 2, 3 . . . ; |
Każdy wyraz szeregu 2. nazywa się wartością bezwzględną odpowiedniego wyrazu szeregu 1.; możemy zatém powiedzieć, że każdy wyraz szeregu 1. ma wartość bezwzględną większą od wartości bezwzględnéj każdego z wyrazów poprzedzających, mniejszą zaś od wartości bezwzględnéj każdego z wyrazów następujących.
Oba szeregi 1. i 2., z dołączeniem do nich zera, grupują się w jeden szereg
ciągnący się w obie strony do nieskończoności. Jeżeli n oznacza którąkolwiek liczbę tego szeregu, to liczba, po niéj bezpośrednio następująca, będzie n + 1, bezpośrednio poprzedzająca — n - 1. Szereg 3., uporządkowany w ten sposób, aby pierwszym jego wyrazem było 0, drugim 1, trzecim -1, czwartym 2, piątym -2 i t. d. daje się oczywiście przyporządkować do szeregu 1.; odpowiadająca mu liczba kardynalna jest taka sama jak dla szeregu 1.
Jeżeli oprócz liczb całkowitych pomyślimy tak w szeregu 1. jako
też w szeregu 2. wszystkie liczby ułamkowe, otrzymamy znowu dwie odpowiadające sobie mnogości nieskończone; każda liczba -μ drugiéj mnogości będzie wartością bezwzględną odpowiedniéj liczby μ w pierwszéj z nich. Obie mnogości dadzą się również uporządkować w szereg podwójnie nieskończony, odliczalny na szeregu 1. i zawierający w sobie wszystkie liczby wymierne dodatnie i ujemne. Przy porównywaniu liczb wymiernych porównywamy ich wartości bezwzględne. Przyjęty niekiedy sposób mówienia, że liczby ujemne są od zera mniejsze, wyraża tę okoliczność, że w mnogości podwójnie nieskończonéj wszystkich liczb wymiernych liczby ujemne znajdują się po lewéj stronie zera, a nierówność -a < -b należy rozumieć w ten sposób, że wartość bezwzględna liczby a jest większa od wartości bezwzględnéj liczby b, to jest, Ze w mnogości liczb wymiernych liczba ujemna o wartości bezwzględnéj większéj znajduje się na lewo od liczby ujemnéj, mającéj wartość bezwzględną mniejszą.
- ↑ Porówn. najnowsze wydanie Arytmetyki Diofanta w przekładzie niemieckim G. Wertheima, 1890., gdzie we wstępie [str. 6.] znajdujemy następujące twierdzenie: “Liczba, mająca być odjętą, pomnożona przez takąż liczbę, daje liczbę, którą należy dodać; liczba zaś, mająca być odjętą, pomnożona przez liczbę, mającą być dodaną, daje liczbę, którą należy odjąć„. Twierdzenie to [“λεῖψις έπί λεῖψιν πολλαπλασιασθεῖσα ποιεῖ ὕπαρξιν, λεῖψις δέ επί ὕπαρξιν ποιεῖ λεῖψιν„]. Wyrazy λεῖψις i ὕπαρξις przełożono tu umyślnie za pomocą wyrazów “liczba, mająca być odjętą„, “liczba, mająca być dodaną„, dla zaznaczenia, że liczby te nie występują, jako samoistne liczby ujemne. Jako przykład starannego omijania liczb ujemnych samoistnych przez naszego autora niechaj posłuży np. zadanie 5-e księgi I-ej: “Liczbę daną podzielić na dwie inne liczby w ten sposób, aby pewna przepisana część pierwszéj, dodana do pewnéj, również przepisanéj części drugiéj liczby, dała sumę daną„, do którego Diofant dodaje warunek następujący: “Suma dana musi być zawartą pomiędzy dwiema liczbami, które powstają, gdy weźmiemy przepisane części obu liczb danych„
Rozwiążemy zadanie to ogólnie. Liczbę a rozłożyć na dwie liczby, aby m-a część pierwszéj, powiększona o n-ą część drugiéj, równała się b. Niewiadomą liczbę pierwszą x znajdujemy z równaniaxm + a - xn = b,z którego otrzymujemy
x = mn - m (bn - a),a - x = nn - m (a - bm).Aby liczby x i a - x były dodatnie, trzeba aby było jednocześnie
b n >< a. b m >< a,skąd oczywiście wynika, że b musi być zawarte pomiędzy liczbami a/m i b/n. Przy spełnieniu się tego warunku, zagadnienie nie będzie miało rozwiązań ujemnych.
- ↑ Euler. Vollständige Anleitung zur Algebra, 1770. Wydanie nowe Reclama, str. 18.
- ↑ D’Alembert, w Opuscules mathématiques, I. [Porówn. Duhamel Des méthodes etc. II. str. 165.] dla okazania fałszywości poglądu Eulera, przytacza proporcyą
1 : - 1 = - 1 : 1.
w któréj, zgodnie z zasadniczą własnością proporcyj, iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi wyrazów średnich i stosunek 1- 1 = - 1 jest równy stosunkowi - 11 = - 1. Tymczasem, jeżeli będziemy uważali liczby ujemne za mniejsze od zera, będzie w pierwszym stosunku 1 > - 1, w drugim zaś - 1 < 1, co nie zgadza się znowu z równością stosunków. „“Prawda, mówi daléj D'Alembert, że, według poglądu Leibniza, liczba - 1 nie jest średnią proporcyonalną pomiędzy pomiędzy 1 i 1, ani -2 pomiędzy 1. i 4., gdyż liczby ujemne wchodzą do rachunku, nie wchodząc do stosunków, ułamki zaś nie są tém samem, co stosunki; przyznaję jednak, że nie rozumiem ani siły ani prawdy tego rozumowania. Rozumowanie podobne obaliłoby wszystkie nasze pojęcia algebraiczne za pomocą niepotrzebnych i sztucznych ograniczeń i było by zresztą słuszném tylko w razie przypuszczenia, że liczby ujemne są niższe od zera, co nie jest prawdą„.
- ↑ Śniadecki w “Rachunku algebraicznego teoryi„ 1783, która pozostanie najpiękniejszym pomnikiem literatury matematycznéj polskiéj XVIII stulecia, mówi [tom I, str. 10]: “Ilości ujemne [u Śniadeckiego “odjemne„] mają swoje jestestwo tak rzetelne i prawdziwe jak i ilości dodatnie, tylko że w sposobie między sobą przeciwnym. A przeto wyrażenie ilości ujemnych nie zawisło od tak dzikich i obłąkanych tłomaczeń, któremi niektórzy autorowie uczących się bałumucą. Jeżeli to jest prawo dla ludzkiego rozumu, że we wszystkich poznawaniach nie może przeniknąć do prawdy tylko drogą porównywania, rozstrząsając naturę ilości, wpada w konieczną potrzebę uważania ich jedne względem drugich, a przeto znaki na wyrażenie tych względów i stanów są mu nieprzerwanie potrzebne...„ Co się zaś tyczy nazwy nadanéj liczbom ujemnym, jako mniejszym od zera [minores nihilo], to ona, według Śniadeckiego, oznacza tylko zmianę stanu, pochodzącą stąd, że pewne ilości zmieniające się stają się z dodatnich ujemnemi lub odwrotnie. “Jeżeli więc, powiada [str. 83], niektórzy autorowie wyrywają się zaraz z tą nazwą przy wstępie, możemy z teraźniejszych i przeszłych uwag rozsądzić, jak mało znnją teoryą ilości dodatnich i ujemnych. Oprócz wielkiéj nieprzyzwoitości, przez którą uczących się wprawiają w ciemne i dziwaczne rzeczy opisywanie, błądzą przeciwko prawom geometrycznym, dając nazwisko powszechne bardzo szczególnemu przypadkowi i wprowadzając niezrozumiany język w tę naukę, która z swéj natury jest stolicą jasności i przekonania„.
- ↑ Carnot zastanawia się obszernie nad liczbami ujemnemi we wstępie do swego dzieła Géométrie de position [An XI, 1803 str. II—XX], oraz w inném sławném dziełku, Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitésimal [1797., wyd. 5-e, 1881. str. 173 — 200]. Teoryą liczb ujemnych opiera na następującéj zasadzie głównéj:
“Każda wartość ujemna, znaleziona na niewiadomą w rozwiązywaniu zagadnienia, wyraża — jeżeli odwrócimy uwagę od znaku téj wartości — różnicę dwóch innych wartości, z których większa została wzięta za mniejszą, mniejsza zaś za większą w wyrażeniu warunków zagadnienia„.
Nie będziemy przytaczali ani dowodu téj zasady, prostego zresztą bardzo, ani rozmaitych wniosków, jakie z niéj wyprowadza Carnot, powiemy tylko, że idzie mu przedewszystkiém o wytłomaczenie znaczenia rozwiązań ujemnych, do jakich prowadzi rachunek algebraiczny. Rozwiązania te, według niego, nie mają znaczenia same przez się, wskazując tylko, jakie zmiany poczynić należy w warunkach zagadnienia, aby utrzymać rozwiązanie dodatnie. Związki albo równania zachodzą, według niego, tylko pomiędzy wielkościami beswzględuemi pewnego układu; jeżeli zmienimy w związkach tych znaki jednéj lub kilku wielkości, to wzory, tak przekształcone, należeć będą do innego stanu układu, w którym wielkości, ze zmienionemi znakami są odwrotnemi [inverses] względem wielkości w pierwszym stanie układu. Gdybyśmy tych zmian znaków nie dokonali, doszlibyśmy do wartości ujemnych.
Dla uniknienia wyrażeń niewłaściwych, proponuje Carnot wprowadzenie pojęcie wielkości względnéj [valeur de corrélation] dla wyrażenia, mającego zastąpić wielkość bezwzględną przy stosowaniu związków. nie objętych warunkami pierwotnemi. O takiéj wartości względnéj mówi, że staje się ujemną, a odpowiednia jéj wielkość staje się wtedy odwrotną, co odpowiada, według niego, zasadzie, wyrażanéj dotąd nieściśle: “wartości ujemne należy brać w kierunku przeciwnym wartościom dodatnim„. Wartość względna ujemna jest dla Carnota pewną formą algebraiczną złożoną, wskazującą zarazem wielkość i działanie nad niém, jest działaniem, które staje się niewykonalném, jeżeli to wyrażenie ma zostać odosobnioném. Lecz wszystkie te “formy czysto hieroglificzne„ powiada, znikają przez przekształcenia, a formy pierwotne, stosowane początkowo tylko do przypadku, dla którego przeprowadzono rozumowanie, stają się przez to przekształcenie właściwemi i dla innych przypadków.
Ten sam pogląd, jak to zobaczymy, stanowi podstawę teoryi Dühringa. - ↑ Wroński poświęca w swém dziele Introduction i t. d. [str. 159], krótkie tylko uwagi liczbom ujemnym. Dwa związki wzajemne
A + B = C i C - B = A,
wskazują na szczególne znaczenie wielkości B, które — gdy odwrócimy uwągę od daiałań dodawania i odejmowania — występuje w pierwszym z tych związków, jako mające własność powiększania, w drugim zaś, opatrzone własnością zmniejszania. Różność roli liczby B w tych dwóch przypadkach pozwala na stosowanie prawa jakości, a stąd wynikają cechy szczególne, które nazywa stanami dodatnim i ujemnym liczby B. Stany odnoszą się do jakości, powiada Wroński, działania — do ilości; brak tego bardzo prostego rozróżnienia zaciemnił wszystkie dotychczasowe teorye liczb dodatnych i ujemnych.
- ↑ Liczby dodatnie i ujemne, powiada Gauss [Göttingische gelehrte Anzeigen, 1831, także Werke II, str. 176], mogą znaleźć zastosowanie tylko tam, gdzie rzeczom liczonym odpowiadają przeciwne, które, pomyślane z niemi razem, wzajemnie się znoszą. Dokładniéj mówiąc, założenie to ma miejsce wtedy tylko, jeżeli rzeczami liczonemi nie są substancye [przedmioty pomyślane w sobie], lecz związki pomiędzy dwoma przedmiotami. Znkłada się przytém, że te przedmioty są uporządkowane w szereg, w pewien oznaczony sposób, np. A, B, C, D... i że wzajemność [stosunek] między A i B uważamy za równy wzajenmności, zachodzącéj pomiędzy B i C i t. d. Tu do pojęcia przeciwieństwa należy tylko przestawienie [Umtausch] wzajemności, tak, że jeżeli wzajemność albo przejście od A do B uważamy za +1, to wzajemność albo przejście od B do A oznaczamy przez -1. Jeżeli więc taki szereg po obu stronach jest nieograniczony, to każda liczba rzeczywista całkowita wyraża wzajemność pewnego dowolnego wyrazu, przyjętego za pierwszy, do pewnego oznaczonego wyrazu szeregu.
- ↑ Duhamel, Des méthodes etc. II. str. 169.
- ↑ Znaki, powiada Dühring [Neue Grundmittel und Erfindungen, 1884, str. 8. i dalsze] mogą oznaczać tylko działania lub związki, z działań wynikające; znak - nigdy nie oznacza nic innego niż odejmowanie. Jeżeli w wyrażeniu postaci a - x, a jest wielkością oznaczoną, x wielkością zmienną np. rosnącą, to z chwilą, gdy x staje się równém a, poczyna się niemożność wykonania działania. Jeżeli napiszemy a - x = -y, to równanie to nie wyraża nic innego nad tę niemożność. Taka jest, według Dühringa, geneza i znaczenie liczby ujemnéj odosobnionéj. Znaczenie zaś rozwiązań ujemnych wyjaśnia on w sposób następujący:
Jeżeli mamy równanie x + y = a, gdzie x' i y są liczby zmienne, a zaś jest liczba stałą, to równanie y = a - x w przypadku, gdy x jest większe od a, przedstawia niemożność. Kładąc x - a = z, mamy y = -z jako wskazówkę, że y nie może być wielkością bezwzględną. Zastępując y przez z, otrzymujemy równanie x - z = a, gdzie wszystkie liczby [wielkości] są już bezwzględne, a zmieniając tu literę z na literę y — oznaczenie jest tu obojętne — otrzymujemy zamiast równania pierwotnego x + y = a równanie x - y = a nowego typu. Rozwiązanie ujemne daje przeto poznać, że w warunkach zadania mieści się niemożność, i jak tę niemożność usunąć przez zmianę znaku. Dühring stoi tu, jak widzimy na stanowisku Carnota.
Przyjmując rozwiązania ujemne, obejmujemy dwa typy równań x + y = a x - y = a jednym typem np. x + y = a; wprowadzenie liczb ujemnych oznacza tedy to samo, co zastąpienie jedném równaniem dwóch równań różnych. Ten sam fakt powtórzy się, jak to zobaczymy, w teoryi liczb urojonych.
Rachunek liczb ujemnych jest, według Dühringa, rachunkiem niemożliwości. “Mit dem Unmöglichen, powiada on, wenn man es eben als unmöglich setzt und behandelt, muss es in Schlüssen und Rechnungen hantirt werden, sonst bleibt jeder Gedankengang in der Kindheit „ — więc i według jego teoryi ten rachunek “niemożliwości„ ma swoje pewne prawidła, które nie mogą się różnić i nie różnią się od prawideł działań nad liczbami dodatniemi [bezwzględnemi]. Mimo zasadniczej różnicy poglądu, całe następne rozwinięcie rachunku liczb ujemnych będzie zupełnie takie same, jak gdyby liczby te wprowadzone zostały, jako formy nowe, za pomocą określeń formalnych. - ↑ Kronecker. Ueber den Zahlbegriff [l. c. str. 345].
- ↑ Lerch we wspomnianej wyżej pracy podaje teoryą liczb ujemnych, polegającą na zasadzie, podobnéj do téj, na jakiéj oparł teoryą liczb ułamkowych. Wprowadza on formy czyli pary liczb (a | b), w których a i b są liczbami całkowitemi. Dwie takie formy (a | b) i (c | d) nazywają się równoważnemi, jeżeli czynią zadość równości a+d=b+c. Określenie to stosuje się zarówno do przypadku, w którym a≥b, c≥d, jako téż do przypadku, w którym a<b, c<d.
Z dwóch równoważności(a | a′) ∼ (b | b′)(c | c′) ∼ (b | b′)wyniku, na zasadzie powyższego określenia, równoważność
(a | a′) ∼ (c | c′)Wyrażenie, przedstawiające ogół form wzajem równoważnych, nazywa Lerch “differentą„. Tak np. differenta (1 | 4) obejmuje formy (2 | 5), (3 | 6), (4 | 7)...
Differerenta (x | x) = (0 | 0) nazywa się differentą zerową.
Sumą form (a | a′) i (b | b′) nazywamy formę (a + b | a′ + b′). Z tego określenia wynika, że jeżeli(a | a′) ∼ (c | c′), (b | b′) ∼ (d | d′),to (a | a′) + (b | b′) ∼ (c | c′) + (d | d′) (a+b | a′+b′) ∼ (c+d | c′+d′) Jednowartościowość i przemienność dodawania stwierdzamy na zasadzie powyższego, bez trudności:
Sumę m form (a | b) oznaczamy przez m(a | b); jeżeli A jest znakiem formy (a | b), to sumę tę oznaczyć możemy przez mA lub Am, przyczémmA = (ma | mb).
Każda differenta jest postaci mE, gdzie E jest diff. (1 | 0) lub postaci m′E′ gdzie E′=diff. (0 | 1). E nazywa się jednostką dodatnią, E′ jednostką ujemną. Ogólnie jest
mE + nE′ = diff (m | n).Iloczyn form (a | b), (c | d) określamy za pomocą równania
(a | b) . (c | c) = (ac + bd | ad+bc),z którego wynika jednowartościowość i przemienność mnożenia.
Jeżeli A i B są dwie “differenty dowolne„ (a | a′), (b | b′) dwie odpowiadające im formy, to differenta C iloczynu (a | a′), (b | b′) nazywa się iloczynem different A i B, co oznaczamy w ten sposób C = AB = BA. Na podstawie tego określenia można łatwo dowieść, żemE . nE = mnE, mE . nE′ = mnE′, mE′ . nE′ = mnE,co wyraża. znane prawidło znaków w mnożeniu.
Teorya Lercha nie jest w istocie rzeczy nową, bo zawiera się jako szczególny przypadek w teoryi “par algebraicznych„ [algebraic couples] ogłoszonéj przez Sir Rowana Hamiltona. jeszcze w roku 1835. O téj teoryi podamy wzmiankę w następującym rozdziale.
Ogłoszona niedawno teorya elementarna liczb ujemnych Ch. Meray’a [Les fractious et les quantités négativés, 1890], polega na tém, że uważa wielkości dodatnie i ujemne, jak to czyni Wroński, za dwa stany, różnéj jakości [quantités qualifiées] i zamiast znaków + i - wprowadza na początek dla objaśnienia teoryi znaki → i ←, umieszczone nad głoskami. Iloczyn określa Méray za pomocą wzorów:→a×→b = ←a×←b = →(ab),←a×→b = →a×←b = ←(ab).
