Pojęcia i metody matematyki/Rozdział IV/Teorye działań nad liczbami ujemnemi
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Teorye działań nad liczbami ujemnemi |
| Pochodzenie | Pojęcia i metody matematyki / Rozdział IV |
| Wydawca | Wydawnictwo Redakcyi „Prac matematyczno-fizycznych“ |
| Data wyd. | 1891 |
| Druk | Drukarnia J. Sikorskiego |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Źródło | Skany na Commons |
| Inne | Rozdział IV całość |
| Indeks stron | |
Już w art. 11. określiliśmy liczby ujemne jako formy odwrotne za pomocą równania
i podaliśmy równania
Równania 1′a. 2′a. 4′'a. i 12. art. 11., stosują się do liczb ujemnych zarówno jak do dodatnich; będzie tedy:
| b + (a - b) | = | a |
| b + a - b | = | a |
| (b - c) + a | = | (b + a) - c, |
| a - (b + c) | = | (a - b) - c, |
| (c + a) - b | = | a - (b - c), |
| (a - b) + (c - d) | = | (a + c) - (b + d). |
Według równania 12′b. tegoż artykułu mamy
czyniąc a = 0 i uwzględniając przyjętą własność modułu dodawania, otrzymujemy
Zakładając znów w równaniu
d = - c, otrzymujemy na zasadzie własności modułu
skąd
Z równania wreszcie
gdy w niém napiszemy -c zamiast c, otrzymamy
Tym sposobem prawidło znaków w mnożeniu jest wynikiem określeń formalnych teoryi działań.
Prawidło znaków w dzieleniu wynika bezpośrednio z prawidła znaków w mnożeniu.
Powyższy wywód stosuje si oczywiście nietylko do liczb ujemnych całkowitych ale i do liczb ujemnych ułamkowych, jeżeli liczby ułamkowe wprowadzimy na podstawie teoryi, wyłożonej w rozdziale poprzedzającym.
Kronecker podał o teoryi liczb ujemnych krótką uwagę polegającą na tém, że równość taką, jak np.
można zastąpić kongruencyą
gdzie “nieoznaczona„ x zastępuje jednostkę -1. Kongruencya ta ma treść szerszą od poprzedniéj równości, bo dla każdéj liczby całkowitej x wyrażenia 7 + 9x i 3 + 5x, przy podzieleniu przez x + 1, dają reszty równe. Przy dołączeniu warunku x + 1 = 0, kongruencya przechodzi na równość i otrzymujemy liczby ujemne. Teorya liczb ujemnych wypływa przeto z teoryi kongruencyj powyższego kształtu.
W myśl tej uwagi Kroneckera, możemy z łatwością wyrazić wzory główne, odnoszące się do działań nad liczbami ujemnemi, pod nową postacią. Przedewszystkiém liczby ujemne
możemy nastąpić wyrażeniami
gdzie x jest liczbą “nieoznaczoną„. Równania
możemy zastąpić kongruencyami
w którym a - b i c - d są liczbami ujemnemi, możemy zastąpić wzorem
Prawo rozdzielności wyraża się pod postacią:
Prawidło znaków, np. wzór
wypływa z kongruencyi
W podobny sposób wszystkie inne wzory z łatwością uzasadnić się dają. Wiążąc zaś tę teoryą z wyłożoną w artykule 13. teoryą liczb ułamkowych, możemy te prawidła rozciągnąć do wszystkich liczb wymiernych dodatnich i ujemnych, tak że w teoryi Kroneckera występować będą tylko kongruencye pomiędzy liczbami całkowitemi dodatniemi[1].
- ↑ Lerch we wspomnianej wyżej pracy podaje teoryą liczb ujemnych, polegającą na zasadzie, podobnéj do téj, na jakiéj oparł teoryą liczb ułamkowych. Wprowadza on formy czyli pary liczb (a | b), w których a i b są liczbami całkowitemi. Dwie takie formy (a | b) i (c | d) nazywają się równoważnemi, jeżeli czynią zadość równości a+d=b+c. Określenie to stosuje się zarówno do przypadku, w którym a≥b, c≥d, jako téż do przypadku, w którym a<b, c<d.
Z dwóch równoważności(a | a′) ∼ (b | b′)(c | c′) ∼ (b | b′)wyniku, na zasadzie powyższego określenia, równoważność
(a | a′) ∼ (c | c′)Wyrażenie, przedstawiające ogół form wzajem równoważnych, nazywa Lerch “differentą„. Tak np. differenta (1 | 4) obejmuje formy (2 | 5), (3 | 6), (4 | 7)...
Differerenta (x | x) = (0 | 0) nazywa się differentą zerową.
Sumą form (a | a′) i (b | b′) nazywamy formę (a + b | a′ + b′). Z tego określenia wynika, że jeżeli(a | a′) ∼ (c | c′), (b | b′) ∼ (d | d′),to (a | a′) + (b | b′) ∼ (c | c′) + (d | d′) (a+b | a′+b′) ∼ (c+d | c′+d′) Jednowartościowość i przemienność dodawania stwierdzamy na zasadzie powyższego, bez trudności:
Sumę m form (a | b) oznaczamy przez m(a | b); jeżeli A jest znakiem formy (a | b), to sumę tę oznaczyć możemy przez mA lub Am, przyczémmA = (ma | mb).
Każda differenta jest postaci mE, gdzie E jest diff. (1 | 0) lub postaci m′E′ gdzie E′=diff. (0 | 1). E nazywa się jednostką dodatnią, E′ jednostką ujemną. Ogólnie jest
mE + nE′ = diff (m | n).Iloczyn form (a | b), (c | d) określamy za pomocą równania
(a | b) . (c | c) = (ac + bd | ad+bc),z którego wynika jednowartościowość i przemienność mnożenia.
Jeżeli A i B są dwie “differenty dowolne„ (a | a′), (b | b′) dwie odpowiadające im formy, to differenta C iloczynu (a | a′), (b | b′) nazywa się iloczynem different A i B, co oznaczamy w ten sposób C = AB = BA. Na podstawie tego określenia można łatwo dowieść, żemE . nE = mnE, mE . nE′ = mnE′, mE′ . nE′ = mnE,co wyraża. znane prawidło znaków w mnożeniu.
Teorya Lercha nie jest w istocie rzeczy nową, bo zawiera się jako szczególny przypadek w teoryi “par algebraicznych„ [algebraic couples] ogłoszonéj przez Sir Rowana Hamiltona. jeszcze w roku 1835. O téj teoryi podamy wzmiankę w następującym rozdziale.
Ogłoszona niedawno teorya elementarna liczb ujemnych Ch. Meray’a [Les fractious et les quantités négativés, 1890], polega na tém, że uważa wielkości dodatnie i ujemne, jak to czyni Wroński, za dwa stany, różnéj jakości [quantités qualifiées] i zamiast znaków + i - wprowadza na początek dla objaśnienia teoryi znaki → i ←, umieszczone nad głoskami. Iloczyn określa Méray za pomocą wzorów:→a×→b = ←a×←b = →(ab),←a×→b = →a×←b = ←(ab).
