Nauka i Hypoteza/Liczba a Wielkość/O istocie rozumowania matematycznego
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Nauka i Hypoteza |
| Część | Liczba a Wielkość |
| Rozdział | O istocie rozumowania matematycznego |
| Redaktor | Ludwik Silberstein |
| Wydawca | G. Centnerszwer i Ska. |
| Data wyd. | 1908 |
| Druk | Drukarnia Narodowa w Krakowie |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Tłumacz | Maksymilian Horwitz |
| Źródło | Skany na Commons |
| Inne | Cały tekst |
| Indeks stron | |
Sama już możliwość nauki matematycznej wydaje się sprzecznością nierozwiązalną. Jeżeli nauka ta pozornie tylko jest dedukcyjną, skąd się bierze owa doskonała jej ścisłość, której nikt nie myśli poddawać wątpliwości? Jeżeli natomiast wszystkie twierdzenia, jakie ona głosi, mogą być wyprowadzone jedne z drugich zapomocą prawideł logiki formalnej, czemuż matematyka nie sprowadza się do olbrzymiej tautologii? Sylogizm nie może nas nauczyć niczego istotnie nowego, i jeżeli wszystko miałoby wypływać z zasady tożsamości, wszystko też dałoby się do niej znowu sprowadzić. Czyż zgodzimy się na to, że sformułowania wszystkich twierdzeń, zapełniające tyle tomów, są jedynie okolnymi sposobami wypowiedzenia, że A jest A!
Prawdą jest niewątpliwą, że można wznieść się do pewników, leżących u źródła wszystkich tych rozumowań. Jeżeli się sądzi, że niepodobna ich sprowadzić do zasady sprzeczności, jeżeli z drugiej strony nie chce się w nich upatrywać faktów doświadczalnych, które nie mogłyby posiadać charakteru konieczności matematycznej, pozostaje jeszcze wyjście trzecie: uznać je za sądy syntetyczne a priori. Nie jestto wszakże rozwiązaniem trudności, lecz tylko jej ochrzczeniem; i nawet gdyby istota sądów syntetycznych nie posiadała już dla nas tajemnic, sprzeczność nie znikłaby, lecz przesunęłaby się tylko; rozumowanie sylogistyczne nie może niczego dodać do danych, których mu się dostarcza; dane te sprowadzają się do kilku pewników, a więc i we wnioskach nie powinniśmy znajdować nic ponad to.
Żadne twierdzenie nie powinnoby być nowym, jeżeli do dowodu tego twierdzenia nie wprowadziło się nowego pewnika; rozumowanie mogłoby nam zwrócić tylko prawdy wprost oczywiste, a zapożyczone od bezpośredniej intuicyi; byłoby ono tylko pasorzytniczym pośrednikiem, a wobec tego czyż nie wypadałoby zadać sobie pytania, czy cały aparat sylogistyczny nie służy poprostu do zasłonięcia owej pożyczki?
Sprzeczność stanie się jeszcze bardziej uderzającą, skoro otworzymy jakąkolwiek książkę matematyczną; na każdej stronicy autor zapowiada zamiar uogólnienia twierdzenia poprzednio znanego. Czyż znaczyłoby to, że metoda matematyczna postępuje od szczególnego do ogólnego, a w takim razie, jakże można nazywać ją dedukcyjną?
Gdyby wreszcie nauka o liczbie była czysto analityczną albo też mogła być wyprowadzona analitycznie z niewielkiej ilości sądów syntetycznych, umysł dość potężny mógłby, zdaje się, jednym rzutem oka objąć wszystkie jej prawdy; co mówię! możnaby nawet mieć nadzieję, że nadejdzie dzień, kiedy zostanie wynaleziony tak prosty sposób ich wysłowienia, że będą też one bezpośrednio dostępne dla pospolitej nawet umysłowości.
Jeżeli wzdragamy się przyjąć te konsekwencye, musimy przecież uznać, że rozumowanie matematyczne posiada samo przez się pewnego rodzaju zdolność twórczą, że więc różni się od sylogizmu.
Różnica ta musi być nawet głęboką. Nie znajdziemy naprzykład klucza tej tajemnicy w częstym stosowaniu prawidła, według którego jedno i to samo jednoznaczne działanie, zastosowane do dwu równych liczb, da wyniki identyczne.
Wszystkie te sposoby rozumowania, niezależnie od tego, czy dają się one sprowadzić do właściwego sylogizmu, czy też nie, zachowują charakter analityczny, i przez to już są bezsilne.
Stary to spór; już Leibniz usiłował dowieść, że 2 i 2 daje 4; rozpatrzmy nieco bliżej jego dowodzenie.
Przypuśćmy, że określono liczbę 1 oraz działanie x + 1, które polega na dodaniu jedności do danej liczby x.
Określenia te, jakakolwiek jest ich treść, nie będą występowały w dalszym ciągu rozumowania.
Określam następnie liczby 2, 3 i 4 zapomocą równości:
Określam podobnież działanie x + 2 przez równość:
To założywszy mamy
| 2 + 2 = (2 + 1) + 1 | (określenie 4) |
| (2 + 1) + 1 = 3 + 1 | (określenie 2) |
| 3 + 1 = 4 | (określenie 3) |
skąd wypływa
| 2 + 2 = 4 | c. b. d. d. |
Niepodobna zaprzeczyć, że rozumowanie to jest czysto analityczne. Zapytajcie jednak o to jakiegokolwiek matematyka, a odpowie wam: »Nie jest to dowodzenie we właściwym znaczeniu słowa, lecz tylko sprawdzenie«. Ograniczono się do zestawienia dwóch określeń czysto konwencyonalnych i stwierdzono ich tożsamość; nie dowiedziano się niczego nowego. Sprawdzenie różni się od prawdziwego dowodzenia tym właśnie, że jest czysto analityczne i że jest jałowe. Jest jałowe, gdyż wniosek jest tylko przekładem na inny język treści zawartej w przesłankach. Dowodzenie prawdziwe jest natomiast płodne, ponieważ wniosek, do jakiego prowadzi jest poniekąd ogólniejszy niż przesłanki.
Równość 2 + 2 = 4 może być poddana sprawdzeniu dlatego tylko, że jest szczególną. Każde twierdzenie szczególne w matematyce będzie zawsze nadawało się do takiego rodzaju sprawdzenia. Gdyby wszakże matematyka miała się redukować do szeregu takich sprawdzeń, nie byłaby ona nauką. Tak naprzykład szachista nie tworzy bynajmniej nauki, wygrywając partyę. Niemasz nauki jak o rzeczach ogólnych.
Można nawet rzec, że przedmiotem właśnie nauk ścisłych jest oszczędzanie nam takich sprawdzeń bezpośrednich.
Przypatrzmy się tedy matematykowi przy pracy, i sprobujmy uchwycić, na czym polega właściwe mu postępowanie.
Zadanie to nie jest pozbawione trudności; nie wystarcza otworzyć jakąś książkę na chybił-trafił i zbadać pierwsze lepsze dowodzenie.
Musimy przedewszystkiem wyłączyć geometryę, w której kwestya komplikuje się przez trudne zagadnienia, dotyczące roli postulatów, istoty i pochodzenia pojęcia przestrzeni. Dla podobnych racyj nie możemy zwrócić się do analizy nieskończonostkowej. Musimy zbadać myśl matematyczną tam, gdzie pozostała ona czysta, to jest w arytmetyce.
I tutaj jeszcze musimy wybierać; w najwyższych działach teoryi liczb pierwotne pojęcia matematyczne uległy już tak głębokiemu opracowaniu, że analiza ich nastręcza wielkie trudności.
W działach początkowych arytmetyki winniśmy tedy szukać wyjaśnień, o które nam chodzi — jakkolwiek właśnie w dowodzeniach twierdzeń najelementarniejszych autorzy traktatów klasycznych ujawnili najmniej ścisłości i precyzyi. Nie należy im tego poczytać za zbrodnię; ulegli oni tylko konieczności; początkujący nie są przygotowani do prawdziwej ścisłości matematycznej; nie widzieliby oni w niej nic prócz próżnych i nużących subtelności; stratą czasu byłoby, gdyby usiłowano zbyt wcześnie zwiększać ich wymagalność; powinni oni przebiedz szybko, ale bez przeskakiwania etapów, drogę, którą przebyli powoli założyciele nauki.
Czemuż potrzebne jest tak długie przygotowanie, aby przyzwyczaić się do doskonałej ścisłości, która, zdawałoby się, powinnaby narzucać się w sposób naturalny wszystkim zdrowym umysłom? Jest to zagadnienie z dziedziny logiki i psychologii, w wysokim stopniu godne rozmyślań.
Nie zatrzymamy się przecie nad nim; jest ono obce przedmiotowi, który nas tutaj zaprząta; to tylko stwierdzimy, że, pod grozą chybienia naszego celu, musimy przerobić dowodzenia twierdzeń najelementarniejszych i nadać im zamiast postaci nieociosanej, którą się im pozostawia kwoli nietrudzenia początkujących, postać ścisłą, która zadowoliłaby wytrawnego matematyka.
Określenie dodawania. — Przypuśćmy, że określono uprzednio działanie x + 1, polegające na dodaniu liczby 1 do danej liczby x.
Określenie to, jakąkolwiek włożono w nie treść, nie będzie grało żadnej roli w dalszych rozumowaniach.
Chodzi teraz o określenie działania x + a, polegającego na dodaniu liczby a do danej liczby x.
Przypuśćmy, że określono działanie
działanie x + a będzie natenczas określone przez równość:
Będziemy więc wiedzieli, co to jest x + a, skoro będziemy wiedzieli, co jest x + (a - 1); że zaś przypuściliśmy na początku, i wiemy, co jest x + 1, będziemy tedy mogli określić kolejno i »przez rekurencyę« działania x + 2, x + 3 itd.
Określenie to zasługuje na chwilę uwagi; jest ono natury osobliwej, wyróżniającej je już od określenia czysto logicznego; w rzeczy samej równość (1) zawiera nieskończoność poszczególnych określeń, z których każde ma sens jedynie o tyle, o ile znamy poprzedzające.
Własności dodawania. — Łącznościowość. — Twierdzę, że
W rzeczy samej, twierdzenie to jest prawdziwe dla c = 1; brzmi ono wówczas
co, z pominięciem różnicy w znakowaniu, nie jest niczym innym, jak równością (1), zapomocą której określiliśmy dodawanie.
Przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla c = γ; twierdzę, że będzie ono prawdziwe i dla c = γ + 1; jakoż niechaj będzie
skąd kolejno wyprowadzimy
albo na podstawie określenia (1)
skąd wynika, przez szereg dedukcyj czysto analitycznych, że twierdzenie jest prawdziwe dla γ + 1.
Skoro zaś jest ono prawdziwe dla c = 1, tedy kolejno można okazać w sposób powyższy, że jest prawdziwe dla c = 2, dla c = 3, i t. d.
Przemiennościowość. - 1° Twierdzę, że
Twierdzenie to jest oczywiście prawdziwe dla a = 1; można by sprawdzić zapomocą rozumowań czysto analitycznych, że jeśli jest prawdziwe dla a = γ, to będzie również dla a = γ + 1; otóż jest prawdziwe dla a = 1, będzie więc nim również dla a = 2, dla a = 3, i t. d., co wyraża się, mówiąc, że twierdzenie zostało dowiedzione przez rekurencyę.
2° Twierdzę, że
Twierdzenia tego dowiedliśmy przed chwilą dla b = 1; można sprawdzić analitycznie, że skoro jest ono prawdziwe dla b = β, to będzie również prawdziwe dla b = β + 1.
Twierdzenie jest tedy dowiedzione przez rekurencyę.
Określenie mnożenia. — Mnożenie określimy zapomocą równości
(2) a × b = [a × (b - 1)] + a.
Równość (2) zawiera podobnie jak równość (1), nieskończoną ilość określeń; po określeniu a × 1 pozwala ona kolejno określić a × 2, a × 3 i t. d.
Własności mnożenia. — Rozdzielnościowość. — Twierdzę, że
Sprawdza się analitycznie, że równość ta jest prawdziwa dla c = 1; następnie, że jeśli jest prawdziwa dla c = γ, jest prawdziwa i dla c = γ + 1. I to twierdzenie jest tedy dowiedzione przez rekurencyę.
Przemiennościowość. - 1° Twierdzę, że
Twierdzenie to jest oczywiste dla a = 1.
Sprawdza się analitycznie, że jeśli jest prawdziwe dla a = α, to jest prawdziwe dla a = α + 1.
2° Twierdzę, że
Twierdzenia tego dowiedliśmy powyżej dla b = 1. Można sprawdzić analitycznie, że jeśli jest ono prawdziwe dla b = β, to będzie prawdziwe również dla b = β + 1.
Urywam tutaj ten monotonny szereg rozumowań. Lecz sama ta monotonia posłużyła do lepszego uwydatnienia sposobu rozumowania, który jest jednostajny i napotyka się na każdym kroku.
Sposób ten polega na dowodzeniu przez rekurencyę. Ustanawia się naprzód twierdzenie dla n = 1; okazuje się następnie, że jeśli jest ono prawdziwe dla n - 1, będzie nim też dla n, skąd się wnosi, że jest prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych. Widzieliśmy powyżej, jak można się nim posługiwać dla dowiedzenia prawideł dodawania i mnożenia, to jest prawideł rachunku algebraicznego; rachunek ten jest narzędziem przekształcania, nadającym się do znacznie większej rozmaitości kombinacyi niż prosty sylogizm; ale jest to również narzędzie czysto analityczne, niezdolne do powiedzenia nam czegoś nowego. Gdyby matematyka nie rozporządzała żadnym innym, zatrzymałaby się rychło w swym rozwoju; lecz ucieka się ona znowu do tego samego postępowania, t. j. do rozumowania przez rekurencyę, i w ten sposób może postępować naprzód.
Przy baczniejszej nieco uwadze, odnajdujemy ten sposób rozumowania na każdym kroku, bądź w postaci prostej, którąśmy mu powyżej nadali, bądź w postaci mniej lub bardziej zmienionej.
Jest to więc rozumowanie matematyczne par excellence, i dlatego wypada nam bliżej je rozpatrzeć.
Cechą istotną rozumowania przez rekurencyę jest, że zawiera ono zgęszczoną, że tak powiem w jedną formułę nieskończoną ilość sylogizmów.
Aby lepiej to uwydatnić wypowiedzmy jedne po drugich te sylogizmy, układające się — że użyjemy wyrażenia obrazowego — w kaskadę.
Są to rozumie się, sylogizmy hypotetyczne.
| Twierdzenie jest prawdziwe dla liczby 1. | |
| Jeżeli zaś jest prawdziwe dla 1, to jest prawdziwe i dla 2. | |
| A więc jest prawdziwe dla 2. | |
| Jeżeli zaś jest prawdziwe dla 2, to jest prawdziwe dla 3. | |
| A więc jest prawdziwe dla a, i tak dalej. |
Widzimy, że wniosek każdego sylogizmu służy jako przesłanka mniejsza sylogizmu następnego.
Nadto przesłanki większe wszystkich naszych sylogizmów można sprowadzić do jedynej formuły:
Jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla n - 1, to jest prawdziwe i dla n.
Widzimy tedy, że w rozumowaniach przez rekurencyę formułuje się tylko przesłankę mniejszą pierwszego sylogizmu oraz formułę ogólną, zawierającą, jako wypadki szczególne, wszystkie przesłanki większe.
W ten sposób szereg sylogizmów, któryby się nigdy nie skończył, sprowadzony zostaje do zdania kilkuwierszowego.
Łatwo jest teraz zrozumieć, czemu to każdy wynik szczególny danego twierdzenia może zostać sprawdzony — jakeśmy to wyjaśnili wyżej — sposobami czysto analitycznemi.
Gdybyśmy chcieli, zamiast okazać, że nasze twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb, dowieść tylko, że jest ono prawdziwe dla liczby 6 naprzykład, wystarczyłoby ustanowić 5 pierwszych sylogizmów naszej kaskady; potrzebowaliśmy ich 9 dla liczby 10; potrzebowalibyśmy ich więcej jeszcze dla liczby większej; ale jakkolwiek wielką byłaby ta liczba, potrafilibyśmy zawsze jej dosięgnąć, i każdy wynik możnaby poddać sprawdzeniu analitycznemu.
A jednak, jakkolwiek dalekobyśmy się w ten sposób posunęli, nie wznieślibyśmy się nigdy do twierdzenia ogólnego, stosującego się do wszystkich liczb, a takie jedynie twierdzenie może być przedmiotem nauki. Aby doń dotrzeć trzebaby nieskończonej ilości sylogizmów, trzebaby przebyć przepaść, której cierpliwość analityka, rozporządzającego jedynie środkami logiki formalnej, nie zdoła nigdy zapełnić!
Zadaliśmy sobie na początku pytanie, dlaczego niepodobna wyobrazić sobie umysłu dość potężnego, któryby objął jednym rzutem oka całokształt prawd matematycznych.
Odpowiedź teraz jest łatwa; szachista może skombinować z góry cztery lub pięć posunięć, lecz najlepszy nawet szachista będzie mógł przygotować sobie zawsze tylko pewną skończoną liczbę posunięć; jeżeli zwróci on swe zdolności do arytmetyki, nie zdoła on objąć ogólnych jej prawd zapomocą jednej bezpośredniej intuicyi; chcąc dojść do najmniejszego bodaj twierdzenia, nie będzie mógł obejść się bez pomocy rozumowania przez rekurencyę, albowiem jest to narzędzie pozwalające na przejście od skończoności do nieskończoności.
Narzędzie to jest zawsze pożyteczne, ponieważ dając nam możność przebycia jednym skokiem dowolnej liczby etapów, zwalnia nas ono od sprawdzań długich, mozolnych i monotonnych, które rychło stałyby się praktycznie niewykonalnemi. Ale staje się ono niezbędnym, skoro tylko mamy na widoku twierdzenie ogólne, do którego sprawdzanie analityczne bezustannie by nas przybliżało, nie pozwalając nam wszakże nigdy doń dotrzeć.
Zdawać by się mogło, że ten dział arytmetyki odległy jest bardzo od analizy nieskończonostkowej; a przecież, jak widzieliśmy powyżej, idea nieskończoności matematycznej odgrywa w nim już rolę przemożną, i bez niej nie byłoby nauki, bo nie byłoby nic ogólnego.
Sądowi, na którym oparte jest rozumowanie przez rekurencyę, można nadać inne postacie; można np. powiedzieć, że w nieskończonym zbiorze liczb całkowitych różnych istnieje zawsze jedna, która jest mniejsza od wszystkich innych.
Możnaby przejść łatwo od jednego sformułowania tego sądu do drugiego, łudząc się, że dowiodło się prawowitości rozumowania przez rekurencyę. Ale zawsze gdzieś będziemy musieli się zatrzymać, zawsze dojdziemy do jakiegoś nie dającego się dowieść pewnika, który nie będzie w gruncie rzeczy niczym innym, jak właśnie twierdzeniem, o którego dowiedzenie chodzi, w innym tylko wysłowieniu.
Niepodobna więc uchylić się od wniosku, że prawidło rozumowania przez rekurencyę nie da się sprowadzić do zasady sprzeczności.
Prawidło to nie może być również pochodzenia doświadczalnego; doświadczenie mogłoby nam tylko powiedzieć, że prawidło to jest prawdziwe dla dziesięciu, dla stu np. pierwszych liczb; nie może ono objąć nieskończonego szeregu liczb, ale jedynie część tego szeregu krótszą lub dłuższą, lecz zawsze tylko ograniczoną.
Gdyby chodziło tylko o to, zasada sprzeczności byłaby wystarczająca; pozwoliłaby nam ona zawsze na rozwinięcie tylu sylogizmów, ilebyśmy tylko chcieli; dopiero gdy chodzi o zamknięcie w jednej formule nieskończonej ich ilości, dopiero przed nieskończonością zasada ta odmawia usług; tutaj również okazuje się bezsilnym doświadczenie. Reguła ta, niedostępna dla dowodu analitycznego i dla doświadczenia jest prawdziwym typem sądu syntetycznego a priori. Niepodobna z drugiej strony upatrywać w niej prostej umowy jak w wypadku niektórych postulatów geometryi.
Dlaczegóż więc sąd ten narzuca się nam z nieodbitą oczywistością? Albowiem jest on wprost stwierdzeniem potęgi umysłu, który czuje się zdolnym do pojmowania nieograniczonego powtarzania jednego i tego samego aktu myśli, skoro tylko akt ten możliwy jest raz jeden. Umysł posiada bezpośrednią intuicyę tej potęgi, i doświadczenie może być dlań jedynie sposobnością posługiwania się nią, a tym samym uświadomienia jej sobie.
Ale, powie kto, jeżeli surowe doświadczenie nie może upodstawnić rozumowania przez rekurencyę, to czy stosuje się to samo do doświadczenia, wspartego przez indukcyę? Widzimy kolejno, że dane twierdzenie jest prawdziwe dla liczby 1, dla liczby 2, dla liczby 3 i tak dalej, mówimy tedy, że uwydatnia się tu wyraźne prawo, z tegoż samego tytułu co każde prawo fizyczne, oparte na dostrzeżeniach w ilości bardzo dużej wprawdzie, lecz zawsze ograniczonej.
Niepodobna zaprzeczyć, że zachodzi tu uderzająca analogia ze zwykłemi metodami indukcyi. Istnieje wszakże i istotna różnica. Indukcya w zastosowaniu do nauk fizycznych, jest zawsze niepewna, gdyż opiera się na wierze w powszechny porządek Wszechświata, porządek poza nami będący. Indukcya matematyczna czyli dowodzenie przez rekurencyę narzuca się natomiast z koniecznością, albowiem jest stwierdzeniem własności samego umysłu.
Matematycy, jak powiedziałem wyżej, usiłują zawsze uogólniać twierdzenia, do których doszli: aby nie szukać innych przykładów, przypomnijmy sobie, że dowiedliśmy przed chwilą równości
i użyliśmy jej następnie dla ustanowienia równości
która jest oczywiście ogólniejszą.
Matematyka więc, podobnie jak inne nauki może postępować od szczególnego do ogólnego.
Tkwi w tym fakt, który wydawałby się nam niezrozumiałym na początku niniejszego wykładu, a w którym niema już dla nas nic tajemniczego, skoro stwierdziliśmy analogie zachodzące między dowodzeniem przez rekurencyę a zwykłą indukcyą.
Zapewne, rozumowanie matematyczne rekurencyjne a rozumowanie fizyczne indukcyjne spoczywają na różnych podstawach, lecz bieg ich jest równoległy, postępują one w jednym kierunku, mianowicie od szczególnego do ogólnego.
Rozpatrzmy kwestyę tę nieco bliżej.
Aby dowieść równości:
wystarczy zastosować dwukrotnie prawidło
i napisać
Równość (1), wyprowadzona w ten sposób drogą czysto analityczną z równości (2), nie jest przecież względem niej zwyczajnym wypadkiem szczególnym, lecz czymś innym.
Nie można więc nawet powiedzieć, że w części rzeczywiście analitycznej i dedukcyjnej rozumowań matematycznych postępuje się od szczególnego do ogólnego w zwykłym tego słowa znaczeniu.
Obie części równości (1) są poprostu bardziej skomplikowanemi kombinacyami obu części równości (2), a analiza służy jedynie do wyodrębnienia elementów, które wchodzą do tych kombinacyi, i do zbadania ich stosunków.
Matematycy postępują tedy »zapomocą konstrukcyi«, »konstruują« oni kombinacye coraz bardziej skomplikowane. Powracając następnie przez analizę tych kombinacyi, tych skupień, że tak powiem, do ich elementów pierwotnych, dostrzegają oni stosunki tych elementów i wyprowadzają z nich stosunki samych skupień.
Jest to droga czysto analityczna, nie jest to wszakże droga od ogólnego do szczególnego, gdy skupień owych nie można oczywiście uważać za bardziej szczególne od ich elementów.
Niektórzy pisarze przywiązywali, słusznie zresztą, wielką wagę do tego postępowania przez »konstrukcyę« i chcieli upatrywać w nim warunek konieczny i dostateczny postępu nauk ścisłych.
Konieczny — zapewne, ale niedostateczny.
Aby dana konstrukcya mogła być pożyteczna, aby była czymś więcej, niż próżnym nużeniem umysłu, aby mogła służyć, jako szczebel, dla badaczy, którzy wznieść się chcą wyżej, musi ona przedewszystkim posiadać pewną jedność, któraby pozwalała widzieć w niej coś innego niż proste zestawienie elementów.
Mówiąc ściślej, trzeba, aby rozważanie konstrukcyi raczej niż samych jej elementów przedstawiało pewną dogodność.
Jakąż może być ta dogodność?
Po co rozumować nad wielokątem np., dającym się zawsze rozłożyć na trójkąty, nie zaś nad trójkątami elementarnemi?
Oto dlatego, że istnieją własności wielokątów o dowolnej liczbie boków, które następnie dają się wprost zastosować do jakiegokolwiek wielokąta szczególnego.
Natomiast odnalezienie tych własności przez bezpośrednie badanie stosunków trójkątów elementarnych wymagałoby na ogół większych wysiłków. Tych właśnie oszczędza nam znajomość twierdzenia ogólnego.
Konstrukcya staje się interesującą o tyle tylko, o ile można ją uszeregować obok innych konstrukcyi podobnych, stanowiących gatunki jednego i tego samego rodzaju.
Jeżeli czworobok jest czymś więcej niż zestawieniem dwu trójkątów, to dlatego, że należy on do rodzaju wielokąta.
Trzeba nadto, by własności rodzaju mogły być dowiedzione bez kolejnego ustanawiania ich dla każdego gatunku.
Aby to osiągnąć, należy koniecznie wznieść się od szczególnego do ogólnego, wspinając się o jeden lub kilka szczebli.
Postępowanie analityczne przez »konstrukcyę« nie zmusza nas wprawdzie do schodzenia na dół, lecz pozostawia nas na jednym i tym samym poziomie.
Wznieść się możemy tylko przez indukcyę matematyczną, która jedynie może powiedzieć nam coś nowego. Bez pomocy tej indukcyi, różnej pod pewnymi względami od indukcyi fizycznej, lecz również płodnej, konstrukcya byłaby bezsilną do tworzenia nauki.
Zauważmy na zakończenie, że indukcya ta jest możliwa tylko o tyle, o ile jedno i to samo działanie może być powtórzone nieograniczenie. Dlatego to teorya gry w szachy nie będzie mogła nigdy stać się nauką, gdyż poszczególne posunięcia jednej i tej samej partyi nie są do siebie podobne.
