Nauka i Hypoteza/Liczba a Wielkość/Wielkość matematyczna a doświadczenie
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Nauka i Hypoteza |
| Część | Liczba a Wielkość |
| Rozdział | Wielkość matematyczna a doświadczenie |
| Redaktor | Ludwik Silberstein |
| Wydawca | G. Centnerszwer i Ska. |
| Data wyd. | 1908 |
| Druk | Drukarnia Narodowa w Krakowie |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Tłumacz | Maksymilian Horwitz |
| Źródło | Skany na Commons |
| Inne | Cały tekst |
| Indeks stron | |
Aby dowiedzieć się, co matematycy rozumieją przez continuum, nie do geometryi należy się zwrócić. Geometra stara się mniej lub więcej wyobrazić sobie figury, które bada, ale wyobrażenia te są dlań tylko środkami pomocniczemi; posługuje się on w geometryi rozciągłością, podobnie jak posługuje się kredą, którą kreśli po tablicy; to też należy wystrzegać się przywiązywania zbytniej wagi do okoliczności wypadkowych, które nie bardziej są dla danej kwestyi istotne, niż biała barwa kredy.
Analityk czysty może nie obawiać się tego szkopułu. Uwolnił on naukę matematyczną od wszelkich pierwiastków obcych, może więc dać odpowiedź na nasze pytanie: Czym jest w istocie swej owo continuum, które jest przedmiotem rozumowań matematyków? Wielu z nich, umiejących rozmyślać nad swą sztuką, dało już odpowiedź na to pytanie, jak np. Tannery w swojej Introduction à la theorie des Fonctions d’une variable.
Weźmy za punkt wyjścia drabinę liczb całkowitych; między dwa kolejne szczeble wstawmy jeden lub kilka szczebli pośrednich, następnie między te nowe szczeble wstawmy inne, i tak dalej bez końca. Otrzymamy w ten sposób nieograniczoną ilość wyrazów — będą to liczby ułamkowe, racyonalne lub spółmierne. Ale nie dość na tem; między wyrazy te, których jest nieskończenie wiele, należy wstawić inne jeszcze, zwane iracyonalnemi lub niespółmiernemi.
Zanim pójdziemy dalej, zróbmy jedną uwagę. Continuum, tak rozumiane, jest tylko zbiorem indywiduów, uszeregowanych w pewnym porządku; jest ich wprawdzie nieskończenie wiele, lecz każde jest zewnętrzne względem innych. Nie odpowiada to zwykłemu pojmowaniu, przypuszczającemu między elementami, stanowiącemi continuum, pewną łącznię wewnętrzną tworzącą z nich całość, w której nie punkt istnieje przed linią lecz linia przed punktem. Ze słynnej formuły: »continuum jest to jedność w mnogości« — pozostała tylko mnogość, jedność znikła. Niemniej wszakże analitycy mają zupełną słuszność, gdy określają swoje continuum w sposób wskazany powyżej, bo takie właśnie jest przedmiotem ich rozumowań od czasu, gdy w rozumowaniach tych zaczęli skwapliwie przestrzegać ścisłości. Wystarcza to, byśmy zdali sobie sprawę z tego, że prawdziwe continuum matematyczne jest czymś zupełnie innym, niż continuum fizyków, oraz metafizyków.
Mógłby ktoś zarzucić jeszcze, że matematycy, zadawalający się tem określeniem, ulegają złudzeniom słownym, że należałoby powiedzieć w sposób ścisły, czym jest każdy z tych szczebli pośrednich, wytłumaczyć, jak należy je wstawiać, i dowieść, że można to istotnie wykonać. Zarzut ten byłby niesłuszny; jedyna własność tych szczebli, wchodząca do ich rozumowań[1], polega na tym, że znajdują się one przed lub po takich a takich innych szczeblach; ta więc jedynie własność powinna wchodzić do określenia.
Tak więc nie należy kłopotać się o to, w jaki sposób mają być wstawiane wyrazy pośrednie; z drugiej strony nikt nie będzie wątpił, że operacya ta jest możliwa, chyba, że zapomni, iż wyraz ten w języku matematyków znaczy poprostu: wolna od sprzeczności.
Wszelako określenie nasze nie jest jeszcze zupełne; powróćmy więc doń po tej przydługiej dygresyi.
Określenie liczb niespółmiernych. — Matematycy szkoły berlińskiej, zwłaszcza L. Kronecker, pracowali nad budową owej drabiny ciągłej liczb ułamkowych i niespółmiernych bez pomocy innych materyałów, jak liczby całkowite. Continuum matematyczne ma być z tego stanowiska czystym tworem umysłu, zbudowanym bez żadnego udziału doświadczenia.
Ponieważ pojęcie liczby wymiernej nie zdawało im się nasuwać żadnych trudności, skierowali oni swoje usiłowania przeważnie na określenie liczby niespółmiernej. Zanim wszakże odtworzymy tutaj ich określenie, zrobimy pewną uwagę, aby uprzedzić zdziwienie, któreby określenie to zapewnie wywołało u czytelników mało obytych z nawyknieniami matematyków.
Matematycy nie badają przedmiotów, lecz stosunki między przedmiotami; obojętnym jest im tedy zastąpienie tych przedmiotów przez inne, byle tylko stosunki pozostały niezmienione. Nie obchodzi ich treść, zajmuje ich tylko forma.
Gdybyśmy o tym zapomnieli, nie zrozumielibyśmy, dlaczego Dedekind oznacza przez nazwę liczby niespółmiernej prosty symbol, czyli coś bardzo różnego od wyobrażenia, jakie się ma pospolicie o ilości, jako o czymś nadającym się do pomiaru i niemal dotykalnym.
Oto jest określenie Dedekinda:
Istnieje nieskończona ilość sposobów podziału liczb spółmiernych na dwie klasy takie, iżby każda liczba pierwszej klasy była większa od każdej liczby drugiej klasy.
Zdarzyć się może, że wśród liczb klasy pierwszej znajduje się jedna mniejsza od wszystkich innych; jeżeli np. umieścimy w pierwszej klasie wszystkie liczby większe od 2 oraz samą liczbę 2, w drugiej zaś wszystkie liczby mniejsze od 2, natenczas liczba 2 będzie oczywiście mniejsza od wszystkich liczb klasy pierwszej. Liczbę 2 będzie można wziąć za symbol tego podziału.
Może się też zdarzyć, że wśród liczb klasy drugiej będzie jedna większa od wszystkich innych; zachodzi to np. wówczas, gdy pierwsza klasa zawiera wszystkie liczby większe od 2, druga zaś wszystkie liczby mniejsze od 2 oraz liczbę 2. I w tym wypadku będzie można wziąć liczbę 2 za symbol tego podziału.
Ale zdarzyć się również może, że ani w pierwszej klasie nie będzie liczby mniejszej od wszystkich innych ani w drugiej — liczby większej od wszystkich innych. Przypuśćmy np., że umieszczamy w klasie pierwszej wszystkie liczby spółmierne, których kwadrat jest większy od 2, w drugiej zaś wszystkie liczby spółmierne, których kwadrat mniejszy jest od 2. Wiadomo, że niema żadnej, której kwadrat byłby ściśle równy 2. Nie będzie oczywiście w klasie pierwszej liczby mniejszej od wszystkich innych, gdy jakkolwiek bliskim 2 będzie kwadrat jakiejś liczby, zawsze znaleźć będzie można liczbę spółmierną, której kwadrat będzie bardziej jeszcze zbliżony do 2.
Ze stanowiska Dedekinda liczba niespółmierna
nie jest niczym innym, jak tylko symbolem tego szczególnego podziału liczb spółmiernych; każdemu podziałowi odpowiada w ten sposób liczba spółmierna lub niespółmierna, która jest jego symbolem.
Gdybyśmy przecież zadowolili się tym, to zgrzeszylibyśmy pominięciem pochodzenia tych symbolów; wypada nadto wyjaśnić, w jaki sposób matematycy doszli do przypisywania tym symbolom pewnego rodzaju istnienia konkretnego; z drugiej zaś strony czy trudność nie zachodzi już dla samych liczb ułamkowych? Czy posiadalibyśmy pojęcie tych liczb, gdybyśmy nie znali z góry jakiegoś przedmiotu, który pojmujemy jako nieskończenie podzielny czyli jako continuum?
Continuum fizyczne. — Prowadzi nas to do pytania, czy pojęcie continuum matematycznego nie jest poprostu zaczerpnięte z doświadczenia. Gdyby tak było, dane surowe doświadczenia, czyli nasze czucia, byłyby dostępne pomiarom. Możnaby mniemać, że tak jest rzeczywiście, albowiem w ostatnich czasach usiłowano je poddać pomiarom, a nawet sformułowano prawo, znane pod nazwą prawa Fechnera, według którego czucie ma być proporcyonalne do logarytmu podniety.
Bliższe atoli rozpatrzenie doświadczeń, zapomocą których starano się prawo to ustanowić, doprowadza do wniosku wprost przeciwnego. Dostrzeżono np., że ciężar A 10-gramowy i ciężar B 11-gramowy wywołują czucia jednakowe, że ciężaru B niepodobna również odróżnić od ciężaru C 12-gramowego, że natomiast odróżnia się łatwo ciężar A od ciężaru C. Surowe więc wyniki doświadczenia dadzą się wyrazić przez następujące wzory:
które można uważać za formułę continuum fizycznego.
Między tą formułą a zasadą sprzeczności zachodzi jawny rozdźwięk, i właśnie konieczność usunięcia tego rozdźwięku zmusiła nas do wynalezienia continuum matematycznego.
Musimy tedy wnieść, że wprawdzie pojęcie to zostało zupełnie stworzone przez umysł, lecz że doświadczenie nastręczyło mu po temu sposobności.
Nie możemy się zgodzić, by dwie ilości równe jednej i tej samej trzeciej mogły nie być sobie równe, i w ten to sposób naprowadzeni zostajemy na przypuszczenie, że A jest różne od B a B od C, lecz że niedoskonałość naszych zmysłów nie pozwoliła ich nam odróżnić.
Stworzenie continuum matematycznego. — Pierwsze stadyum. — Dotychczas wystarczyłoby, dla zdania sobie sprawy z faktów, wstawienie między A i B małej ilości oddzielnych (discrets) wyrazów. Cóż stanie się wszakże, gdy wzmocnimy słabe nasze zmysły zapomocą jakiegoś narzędzia, np. mikroskopu? Wyrazy, których nie mogliśmy poprzednio od siebie odróżnić, jak A i B, występują dla nas teraz jako różne; lecz między A i B, które stały się różnemi, znajdzie się wyraz nowy D, którego nie będziemy mogli odróżnić ani od A ani od B. Pomimo stosowania najbardziej udoskonalonych środków wyniki surowe naszego doświadczenia zachowają zawsze charakter continuum fizycznego wraz z tkwiącą w nim sprzecznością.
Aby uwolnić się od tej sprzeczności, będziemy musieli ustawicznie wstawiać nowe wyrazy między wyrazy już rozróżnione, i działanie to powtarzać nieograniczenie. Nie moglibyśmy wyobrazić sobie, by trzeba było gdziekolwiek się zatrzymać, chyba że wystawilibyśmy sobie jakieś narzędzie tak potężne, że rozłożyłoby ono continuum fizyczne na elementy odrębne, podobnie jak teleskop rozkłada drogę mleczną na gwiazdy. Lecz tego właśnie nie możemy sobie wyobrazić; bo z narzędzi korzystamy zawsze zapomocą naszych zmysłów; powiększony przez mikroskop obraz obserwujemy okiem, obraz ten musi przeto zawsze zachowywać charakter czucia wzrokowego, a więc i continuum fizycznego.
Pewna długość obserwowana wprost nie różni się niczym od połowy tejże długości, powiększonej dwa razy przez mikroskop. Całość jest jednorodną względem części; mamy tu nową sprzeczność, a właściwiej mielibyśmy ją, gdybyśmy przypuścili, że ilość wyrazów jest skończona; oczywiście bowiem część, zawierająca mniej wyrazów niż całość, nie mogłaby być do tej całości podobna.
Sprzeczność ta znika, skoro tylko uważać będziemy ilość wyrazów za nieskończoną: nic np. nie przeszkadza rozpatrywać ogół liczb całkowitych jako podobny do ogółu liczb parzystych, który przecież stanowi tylko część pierwszego; w rzeczy samej, każdej liczbie całkowitej odpowiada liczba parzysta, otrzymana przez podwojenie tamtej.
Atoli inne jeszcze racye, prócz konieczności usunięcia tej sprzeczności tkwiącej w danych empirycznych naprowadzają umysł na stworzenie pojęcia continuum, złożonego z nieograniczonej ilości wyrazów.
Sprawa jest zupełnie ta sama jak dla szeregu liczb całkowitych. Posiadamy zdolność pojmowania, że jedność może być dodana do danego zbioru jedności; dzięki doświadczeniu mamy sposobność ćwiczenia tej naszej zdolności i uświadomienia jej sobie: ale odtąd czujemy tu, że ta nasza zdolność nie ma granic, i że moglibyśmy liczyć nieograniczenie, nie bacząc na to, że w praktyce zdarzało nam się liczyć jedynie skończone ilości przedmiotów.
Podobnież, skoro tylko naprowadzeni zostaliśmy na wstawienie wyrazów pośrednich między dwa kolejne wyrazy szeregu, czujemy, że działanie to może być kontynuowane poza wszelką granicę, i że niema, że tak powiem, żadnej wewnętrznej racyi zatrzymania się.
Niechaj mi będzie wolno, dla krótkości wysłowienia, nazwać continuum matematycznym pierwszego rzędu każdy zbiór wyrazów, utworzony według tego samego prawa, co drabina liczb spółmiernych. Jeżeli wpleciemy następnie nowe szczeble według prawa tworzenia się liczb niespółmiernych, otrzymamy continuum matematyczne drugiego rzędu.
Drugie stadyum. — Zrobiliśmy dopiero pierwszy krok; wytłumaczyliśmy pochodzenie continuów pierwszego rzędu; trzeba teraz zbadać, dlaczego okazały się one niewystarczającemi i dlaczego trzeba było wynaleźć liczby niespółmierne.
Jeżeli wyobrażamy sobie linię, to zawsze posiada ona charakter continuum fizycznego, t. j. wyobrażamy ją sobie jako posiadającą pewną szerokość. Dwie linie przedstawiać nam się będą w postaci dwu wąskich wstęg i jeśli zadowolimy się tym grubym obrazem tedy oczywistym będzie, że linie te, przecinając się, posiadają pewną część wspólną.
Ale czysty geometra zdobywa się na jeszcze jeden wysiłek: nie zrzekając się całkowicie pomocy swych zmysłów, chce on dojść do pojęcia linii bez szerokości, punktu bez rozciągłości. Dopiąć tego może jedynie przez rozważanie linii, jako granicy, do której zdąża wstęga coraz węższa, a punktu jako granicy, do której zdąża pole coraz to mniejsze. Wobec tego dwie nasze wstęgi, jakkolwiek wąskie, będą zawsze posiadały wspólne pole tym mniejsze im będą węższe, a granicą tego wspólnego pola będzie to, co geometra czysty nazywa punktem.
Dlatego to mówi się, że dwie przecinające się linie posiadają punkt wspólny i prawda ta wydaje nam się intuicyjną.
Tkwiłaby w niej atoli sprzeczność, gdybyśmy pojmowali linie, jako continua pierwszego rzędu, t. j. gdyby na liniach, kreślonych przez geometrę, miały się znajdować jedynie punkty, których spółrzędne są liczbami spółmiernemi. Sprzeczność ta stałaby się jawną, skoro byśmy założyli np. istnienie prostych i kół.
W rzeczy samej, gdyby jedynie punkty o spółrzędnych spółmiernych były uważane za punkty rzeczywiste, okrąg wpisany do kwadratu i przekątna tego kwadratu nie przecinałyby się, oczywiście, spółrzędne bowiem punkty ich przecięcia są niespółmierne.
Nie wystarczałoby to jednak; tym bowiem sposobem mielibyśmy niektóre tylko liczby spółmierne, lecz nie wszystkie.
Wyobraźmy sobie teraz prostą, podzieloną na dwie półproste. Każda z nich przedstawia się naszej wyobraźni, jako wstęga o pewnej szerokości; wstęgi te będą zresztą końcami swemi następowały na siebie, gdyż nie ma być między niemi odstępu. Część wspólna przedstawi się nam jako punkt, który istnieć będzie ciągle, jakkolwiek wąskiemi będziemy sobie wyobrażali nasze wstęgi; przyjmiemy tedy jako prawdę intuicyjną, że jeśli prosta jest podzielona na dwie półproste, wspólne ich pogranicze jest punktem. Poznajemy tu koncepcyę Dedekinda, w której liczba niespółmierna jest rozpatrywana jako granica wspólna dwu klas liczb spółmiernych.
Takie jest pochodzenie continuum drugiego rzędu, które stanowi właściwe continuum matematyczne.
Streszczenie. — Umysł posiada zdolność tworzenia symbolów i w ten to sposób zbudował continuum matematyczne, które jest pewnym tylko szczególnym układem symbolów. Jedynym ograniczeniem tej potęgi umysłu jest konieczność unikania wszelkiej sprzeczności; atoli umysł korzysta z tej swojej zdolności o tyle tylko, o ile doświadczenie daje mu do tego powód.
W zajmującym nas wypadku powodem tym było pojęcie continuum fizycznego, zaczerpnięte z surowych danych zmysłowych. Lecz pojęcie to prowadzi do szeregu sprzeczności, od których trzeba się kolejno wyzwalać. W ten sposób jesteśmy zmuszeni do budowania coraz bardziej skomplikowanego układu symbolów. Układ, na którym się zatrzymamy, jest nietylko wolny od wszelkiej sprzeczności wewnętrznej — bo takim był już na wszystkich kolejnych etapach — ale jest on nadto w zgodzie z poszczególnemi twierdzeniami, które nazywamy intuicyjnemi, a które są wyprowadzone z mniej lub bardziej obrobionych pojęć empirycznych.
Wielkość wymierzalna. — Wielkości, któreśmy rozpatrywali dotychczas, nie są wymierzalne; umiemy wprawdzie powiedzieć, czy jedna z tych wielkości jest większa od drugiej, lecz nie — czy jest większa dwa lub trzy razy.
Jakoż zajmowaliśmy się dotychczas jedynie porządkiem, w jakim wyrazy nasze są uszeregowane. Dla większości zastosowań nie jest to przecież wystarczające. Należy się nauczyć porównywania odstępów, oddzielających dwa jakiekolwiek wyrazy. Pod tym dopiero warunkiem continuum staje się wielkością wymierzalną i można doń zastosować działania arytmetyki.
W tym celu należy wprowadzić nową a specyalną umowę. Umówimy się, że w takim a takim wypadku odstęp, zawarty między wyrazami A i B jest równy odstępowi, oddzielającemu C i D. Na początku naszej pracy np. wyszliśmy ze skali liczb całkowitych i przypuściliśmy, że się wstawia między każde dwa kolejne stopnie n stopni pośrednich; otóż mocą umowy nowe te stopnie będziemy uważali za jednakowo od siebie oddalone.
Jest to zarazem sposób określenia dodawania dwu wielkości; skoro bowiem na mocy określenia odstęp AB jest równy odstępowi CD, odstęp AD będzie na mocy tegoż określenia sumą odstępów AB i AC.
Określenie to jest dowolne w znacznej bardzo mierze, lecz przecie nie zupełnie. Podlega ono pewnym warunkom, naprzykład prawidłu przemiennościowemu i łącznościowemu dodawania. Byle tylko określenie czyniło zadość tym regułom, wybór jego będzie zresztą obojętny, i zbyteczne jest bardziej go ograniczać.
Różne uwagi. — Nasuwa się kilka ważnych pytań:
1° Czy zdolność twórcza umysłu jest wyczerpana przez stworzenie continuum matematycznego?
Nie: dowodzą tego w sposób uderzający prace Du Bois Reymonda.
Wiadomo, że matematycy rozróżniają nieskończenie małe ilości różnych rzędów, i że nieskończenie małe rzędu drugiego są niemi nietylko bezwzględnie lecz również w stosunku do nieskończenie małych rzędu pierwszego. Nietrudno jest stworzyć pojęcie nieskończenie małych rzędu ułamkowego lub nawet niespółmiernego i odtworzyć w ten sposób drabinę continuum matematycznego, która była przedmiotem poprzedzających stronic.
Niedość tego; istnieją nieskończenie małe, które są nieskończenie małemi w stosunku do nieskończenie małych rzędu pierwszego a nieskończenie wielkiemi w stosunku do nieskończenie małych rzędu 1 + ε, i to jakkolwiek małe będzie ε. Wprowadza to do naszego szeregu wyrazy nowe i — jeśli wolno powrócić do wysłowienia, którem się już wyżej posługiwaliśmy, i które jest dość dogodne, jakkolwiek nie uświęcone przez zwyczaj — powiemy, żeśmy stworzyli w ten sposób pewnego rodzaju continuum trzeciego rzędu.
Łatwo byłoby iść jeszcze dalej, ale byłaby to już tylko próżna gra umysłu; tworzyłoby się jedynie symbole, pozbawione wszelkiej stosowalności, i nikt nie zechce się tym zająć. Już continuum trzeciego rzędu, do którego prowadzi rozważanie różnych rzędów nieskończenie małych, jest zbyt mało pożyteczne, aby zdobyć sobie prawo obywatelstwa, i matematycy patrzą na nie jak na prostą ciekawostkę. — Umysł korzysta ze swej zdolności twórczej wówczas tylko, gdy doświadczenie narzuca mu konieczność tego.
2° Czy stworzenie pojęcia continuum matematycznego ochrania nas ostatecznie od sprzeczności podobnych do tych, które je zrodziły?
Nie, — a oto tego przykład:
Trzeba już być bardzo uczonym, żeby nie uważać za oczywiste, że każda krzywa posiada styczną: istotnie, skoro wyobrazimy sobie tę krzywą oraz prostą, jako dwie wąskie wstęgi, zawsze będziemy ją mogli ułożyć tak, by miały, nie przecinając się, część wspólną. Każmy następnie szerokości każdej z tych wstęg nieograniczenie się zmniejszać, a owa wspólna część będzie nadal istniała, i w granicy obie linie będą posiadały, nie przecinając się, punkt wspólny — to znaczy będą się stykały.
Geometra, któryby w ten sposób rozumował świadomie lub nieświadomie, nie robiłby nic innego, jak to, cośmy uczynili wyżej, aby dowieść, że dwie przecinające się linie posiadają punkt wspólny, a intuicya jego miałaby to samo uprawnienie co w tamtym wypadku.
A przecież wprowadziłaby go ona w błąd. Można dowieść, że istnieją krzywe, nie posiadające stycznej, o ile krzywe te są określone jako continua analityczne drugiego rzędu.
Zapewne, sprzeczność ta dałaby się usunąć zapomocą konstrukcyi pojęciowej analogicznej do tych, które zbadaliśmy powyżej; ponieważ wszakże sprzeczność tę napotyka się jedynie w wypadkach wyjątkowych, matematycy nie troszczyli się o nią. Zamiast postarać się o pogodzenie intuicyi z analizą, woleli poświęcić jedną z nich, a że analiza musi być bez zarzutu, odmówili poprostu słuszności intuicyi.
Wielowymiarowe continuum fizyczne. — Zbadaliśmy powyżej continuum fizyczne takie, jakie nam dają bezpośrednie dane naszych zmysłów albo, jeśli kto woli, wyniki surowe doświadczeń Fechnera; okazaliśmy, że wyniki te streszczają się w sprzecznych wzorach
Zobaczmy teraz, jak pojęcie to uległo uogólnieniu, i jak można było zeń wyprowadzić pojęcie continuów wielowymiarowych.
Rozważmy dwie jakiekolwiek grupy czuć. Albo będziemy je mogli wzajem od siebie odróżnić, albo też nie, — podobnie jak w doświadczeniach Fechnera ciężar 10-cio-gramowy można było odróżnić od 12-sto-gramowego, ale nie można go było odróżnić od 11-sto-gramowego. Nie potrzebujemy nic ponadto, aby zbudować continuum o kilku wymiarach.
Nazwijmy elementem jedną z tych grup czuć. Będzie to coś analogicznego do punktu matematyków; nie będzie wszakże zupełnie to samo. Nie możemy powiedzieć, że element nasz jest pozbawiony rozciągłości, skoro nie umiemy go odróżnić od elementów sąsiednich, skoro więc jest on otoczony pewnego rodzaju mgłą. Jeżeliby wolno mi było użyć porównania astronomicznego, »elementy« nasze byłyby mgławicami a punkty matematyczne — gwiazdami.
Otóż układ elementów tworzyć będzie continuum, jeżeli można przejść od jakiegokolwiek z nich do jakiegokolwiek innego przez szereg elementów kolejnych takich, iżby każdy z nich nie dawał się odróżnić od poprzedniego. Ten szereg liniowy ma się tak do linii matematyka, jak oddzielny element do punktu.
Zanim pójdziemy dalej, należy objaśnić, co to jest przekrój. Rozważajmy continuum C i wykluczmy zeń niektóre z jego elementów, na które przez chwilę będziemy patrzeli jako na nienależące już do tego continuum. Ogół elementów, wykluczonych w ten sposób, będzie się nazywał przekrojem. Może się stać, że dzięki temu przekrojowi C będzie podzielone na kilka odrębnych continuów, t. j. ogół pozostałych elementów przestanie stanowić jedno continuum.
Natenczas w C będą istniały dwa elementy A i B, które trzeba będzie uważać za należące do dwu odrębnych continuów, a oznaką tego będzie niemożność znalezienia szeregu liniowego elementów kolejnych C takich, iżby każdy z tych elementów nie dał się odróżnić od poprzedzającego, przyczym pierwszym ma być A, ostatnim zaś B, — chyba, że jeden z elementów tego szeregu będzie nieodróżnialnym od jednego z elementów przekroju.
Możliwe jest z drugiej strony, że przekrój nie będzie wystarczał dla podzielenia continuum C. Aby rozklasyfikować continua fizyczne, zbadamy właśnie, jakie należy w nich zrobić przekroje, aby je podzielić.
Jeżeli można podzielić continuum fizyczne C zapomocą przekroju, sprowadzającego się do skończonej liczby elementów, które wszystkie dają się wzajemnie odróżnić (a przeto nie stanowią ani jednego continuum ani kilku continuów), powiemy, że C jest continuum jednowymiarowym.
Jeżeli natomiast C można podzielić jedynie zapomocą przekrojów, które same muszą być continuami, powiemy, że C posiada kilka wymiarów. Jeżeli wystarczają przekroje będące continuami jednowymiarowemi, powiemy, że C jest dwuwymiarowe; jeżeli wystarczają przekroje dwuwymiarowe, powiemy, że C jest trójwymiarowe, itd.
W ten sposób doszliśmy do określenia pojęcia wielowymiarowego continuum fizycznego na podstawie prostego bardzo faktu, że dwie grupy czuć mogą być wzajemnie odróżnialne lub nieodróżnialne.
Wielowymiarowe continuum matematyczne. Pojęcie continuum matematycznego n — wymiarowego wynikło z pojęcia continuum fizycznego w sposób naturalny zapomocą procesu zupełnie podobnego do tego, któryśmy rozpatrzyli na początku niniejszego rozdziału. Punkt takiego continuum, jak wiadomo, przedstawia się nam, jako określony przez układ n różnych wielkości, zwanych jego spółrzędnemi.
Wielkości te niezawsze muszą być wymierzalne, i istnieje np. gałęź geometryi, w której abstrahuje się od pomiaru wielkości; gałąź ta zajmuje się jedynie zagadnieniami takiemi, jak np. czy na krzywej ABC' punkt B ley między A i C? przyczem jest zupełnie obojętne, czy łuk AB jest równy łukowi BC, czy też jest odeń dwa razy większy. Dział ten geometryi nosi nazwę Analizy Położenia (Analysis Situs).
Jest to zwarta i systematyczna nauka, którą zajmowali się najwięksi matematycy; znajdujemy w niej łańcuch ciekawych a doniosłych twierdzeń ustanowionych drogą ścisłych rozumowań. Wyróżniają się te twierdzenia od twierdzeń geometryi zwykłej tym, że są czysto jakościowe, i że pozostałyby prawdziwe, gdyby figury zostały przerysowane przez niezręcznego rysownika, któryby brutalnie zmienił ich proporcye i zamiast prostych nakreślił linie mniej lub więcej krzywe.
Dopiero gdy do continuum, któreśmy powyżej określili, wprowadzono miarę, stało się ono przestrzenią, i narodziła się geometrya. Zbadanie tej sprawy zachowam jednak dla części drugiej.
- ↑ Wraz z własnościami zawartemi w specyalnych umowach służących do określenia dodawania, o których będziemy mówili niżej.
