Nauka i Hypoteza/Przestrzeń/Doświadczenie a geometrya
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Nauka i Hypoteza |
| Część | Przestrzeń |
| Rozdział | Doświadczenie a geometrya |
| Redaktor | Ludwik Silberstein |
| Wydawca | G. Centnerszwer i Ska. |
| Data wyd. | 1908 |
| Druk | Drukarnia Narodowa w Krakowie |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Tłumacz | Maksymilian Horwitz |
| Źródło | Skany na Commons |
| Inne | Cały tekst |
| Indeks stron | |
1. W rozdziałach poprzedzających staraliśmy się niejednokrotnie okazać, że zasady geometryi nie są faktami doświadczalnemi i że w szczególności postulat Euklidesa nie może być dowiedziony przez doświadczenie.
Jakkolwiek przekonywującemi wydają nam się racye, które już podałem, uważam przecież za wskazane jeszcze do
tej kwestyi powrócić, albowiem mamy tu do czynienia z poglądem błędnym a głęboko zakorzenionym w wielu umysłach.
2. Sporządźmy sobie materyalne koło, zmierzmy jego promień i obwód i sprobujmy sprawdzić, czy stosunek tych dwu długości równy jest π; cóż zrobimy w ten sposób? Zrobimy doświadczenie nad własnościami materyi, z której sporządzony został nasz krążek, oraz materyi, z jakiej sporządzono metr, którym dokonaliśmy pomiaru.
3. Geometrya a astronomia. — Kwestyę tę postawiono w inny jeszcze sposób. Jeżeli geometrya Łobaczewskiego jest prawdziwa, to paralaksa bardzo oddalonej gwiazdy będzie skończona; jeżeli prawdziwa jest geometrya Riemanna, tedy paralaksa ta będzie ujemna. Są to rezultaty, które wydają się dostępnemi doświadczeniu, to też żywiono nadzieję, że obserwacye astronomiczne pozwolą, być może, na rozstrzygnięcie, która z trzech geometryi jest prawdziwą.
Lecz to, co w astronomii nazywa się linią prostą, jest tylko drogą promienia świetlnego. Gdyby więc, na przekór wszystkiemu, zdarzyło się, że trafionoby na paralaksy ujemne, albo też, że okazanoby, iż wszystkie paralaksy wykraczają ponad pewną granicę, pozostawałby wybór między dwoma wnioskami: moglibyśmy zrzec się geometryi euklidesowej albo zmienić prawa optyki i przypuścić, że światło nie rozchodzi się ściśle po liniach prostych.
Zbytecznym jest dodać, że każdy uważałby to ostatnie rozwiązanie za dogodniejsze.
Geometryi euklidesowej nie może więc nic grozić ze strony nowych doświadczeń.
4. Czy można twierdzić, że pewne zjawiska, możliwe w przestrzeni euklidesowej byłyby niemożliwe w przestrzeni nie-euklidesowej, że przeto doświadczenie, wykazując te zjawiska, zaprzeczałoby wprost założeniu nie-euklidesowemu? Zdaniem moim, pytanie takie wcale nie może być postawione. Albowiem jest ono zupełnie równoważne z pytaniem następującym, którego niedorzeczność bije w oczy: czy istnieją długości, dające się wyrazić w metrach i centymetrach, lecz nie dające się zmierzyć zapomocą sążni, stóp i cali, tak iż doświadczenie, wykazując istnienie takich długości zaprzeczyłoby wprost założeniu, że istnieją sążnie, podzielone na sześć stóp?
Rozważmy kwestyę tę bliżej. Przypuśćmy, że linia prosta posiada w przestrzeni euklidesowej dwie jakiekolwiek własności, które nazwiemy A i B; że w przestrzeni nie-euklidesowej, posiada ona również własność A, lecz nie posiada już własności B; przypuśćmy wreszcie, że zarówno w przestrzeni euklidesowej, jak w nie-euklidesowej prosta jest jedyną linią, posiadającą własność A.
Gdyby tak było, doświadczenie mogłoby rozstrzygnąć między założeniem Euklidesa a założeniem Łobaczewskiego, Stwierdzonoby, że dany przedmiot konkretny dostępny doświadczeniu, np. pęk promieni świetlnych, posiada własność A; wywnioskowanoby stąd, że jest on prostolinijny, poczym sprawdzonoby, czy posiada lub nie własność B.
Tak wszakże nie jest — niema własności, któraby mogła, na podobieństwo owej własności A, służyć jako kryteryum bezwzględne do rozpoznania linii prostej i odróżnienia jej od każdej innej linii.
Powie, kto może: »oto własność taka: linia prosta jest linią taką, iż figura, w której skład linia ta wchodzi, może się poruszać bez żadnej zmiany we wzajemnej odległości jej punktów, przyczym wszystkie punkty tej linii pozostają nieruchome«.
Istotnie własność ta przysługuje, zarówno w przestrzeni euklidesowej jak i nie-euklidesowej, linii prostej i jedynie tylko linii prostej. Ale jakże sprawdzić doświadczalnie, czy jest ona własnością tego lub innego przedmiotu konkretnego? Trzeba będzie mierzyć odległość, a skądże będziemy wiedzieli, że taka a taka wielkość konkretna, którą zmierzyliśmy naszym materyalnym narzędziem mierniczym, rzeczywiście wyobraża abstrakcyjną odległość?
Trudność nie została pokonana, lecz tylko przesunięta.
W rzeczywistości własność, którą sformułowaliśmy powyżej, nie jest własnością samej tylko linii prostej, jest to własność linii prostej i odległości. Ażeby mogła ona służyć jako kryteryum bezwzględne, trzebaby ustanowić nietylko, że nie jest ona własnością żadnej innej linji, prócz linji prostej oraz odległości, lecz nadto, że nie jest ona własnością żadnej innej linii prócz prostej i żadnej innej wielkości prócz odległości. Otóż to nie jest prawdą.
Niepodobna zatym wyobrazić sobie żadnego konkretnego doświadczenia, które mogłoby być interpretowane w geometryi euklidesowej a nie miałoby interpretacyi w geometryi Łobaczewskiego; wobec tego wolno nam sformułować wniosek następujący:
Żadne doświadczenie nie będzie nigdy w sprzeczności z postulatem Euklidesa; ale zarazem też żadne doświadczenie nie będzie w sprzeczności z postulatem Łobaczewskiego.
5. Nie wystarcza jednak to, że geometryi euklidesowej (lub nie-euklidesowej) żadne doświadczenie nie zdoła nigdy wprost zaprzeczyć. Czy nie mogłoby się stać, że pogodzenie jej z doświadczeniem wymagałoby pogwałcenia zasady racyi dostatecznej i zasady względności przestrzeni?
Wytłumaczmy się jaśniej; rozważmy jakikolwiek układ materyalny; z jednej strony będziemy musieli wziąć pod uwagę »stan« poszczególnych ciał tworzących ten układ (np. ich temperaturę, potencyał elektryczny, itd.), z drugiej zaś strony ich położenie w przestrzeni; a wśród danych, pozwalających na oznaczenie tego położenia, rozróżnimy jeszcze wzajemne odległości tych ciał, określające ich położenia względne, i warunki określające położenie bezwzględne układu i jego bezwzględną oryentacyę w przestrzeni.
Prawa zjawisk, które zachodzą w tym układzie, będą mogły zależeć od stanu tych ciał i od ich odległości wzajemnych; lecz naskutek względności i bierności przestrzeni, nie będą one zależały od położenia i oryentacyi bezwzględnej układu.
Innemi słowy, stan ciał i ich odległości wzajemne w chwili dowolnie obranej zależne będą jedynie od stanu tych ciał i ich odległości wzajemnych w chwili początkowej, zupełnie zaś będą niezależne ani od początkowego położenia bezwzględnego układu ani od jego początkowej oryentacyi bezwzględnej. Moglibyśmy to nazwać, dla krótkości wysłowienia, prawem względności.
Mówiłem dotychczas jak geometra euklidesowski. Ale, jakeśmy już powiedzieli, jeżeli każde doświadczenie posiada interpretacyę przy założeniu euklidesowym, to posiada ono również interpretacyę przy założeniu nie-euklidesowym. Otóż, wykonaliśmy szereg doświadczeń; znaleźliśmy dla nich interpretacyę przy założeniu euklidesowym i przekonaliśmy się, że zainterpretowane w ten sposób doświadczenia nie gwałcą owego »prawa względności«.
Interpretujmy je teraz przy założeniu nie-euklidesowym, co zawsze jest możliwe; tylko odległości nie-euklidesowe poszczególnych naszych ciał nie będą w nowej tej interpretacyi naogół te same, co odległości euklidesowe w interpretacyi pierwotnej.
Czy doświadczenia nasze w tej nowej interpretacyi będą również w zgodności z naszym »prawem względności«? — A jeśli zgodność ta nie zachodzi, czy nie wypadnie wnieść, że doświadczenie dowiodło fałszywości geometryi nie-euklidesowej?
Łatwo można się przekonać, że obawa ta jest płonna; w rzeczy samej, aby można było zastosować z całą ścisłością prawo względności, trzeba je zastosować do całego wszechświata. Albowiem, gdybyśmy rozważali jedynie część pewną wszechświata, i gdyby położenie bezwzględne tej części zmieniło się, zmieniłyby się również odległości od innych ciał wszechświata, a przeto wpływ ich na rozważaną część mógłby się zwiększyć lub zmniejszyć, co mogłoby spowodować zmianę w prawach zjawisk, jakie w niej zachodzą.
Lecz skoro układem naszym jest cały wszechświat, doświadczenie nie może powiadomić nas o jego położeniu i oryentacyi bezwzględnej w przestrzeni. Najdoskonalsze nawet narzędzia nasze nie mogą nam nigdy dać poznać nic ponad stan poszczególnych części wszechświata i ich odległości wzajemne.
Wobec tego nasze prawo względności przybiera następującą postać:
Dane, które odczytamy na naszych przyrządach w jakiejkolwiek chwili, zależeć będą jedynie od danych, które moglibyśmy odczytać na tych samych przyrządach w chwili początkowej.
Otóż formuła taka jest niezależna od wszelkiej interpretacyi doświadczeń. Jeżeli prawo jest prawdziwe w interpretacyi euklidesowej, będzie nim również w interpretacyi nie-euklidesowej.
Niechaj nam będzie wolno zrobić przy tej sposobności małą dygresyę. Mówiliśmy wyżej o danych, określających położenie poszczególnych ciał układu; powinnibyśmy byli mówić również o danych określających ich prędkości; śród tych prędkości wyróżnilibyśmy prędkość, z jaką zmieniają się wzajemne odległości poszczególnych ciał, z drugiej zaś strony prędkość przenoszenia się i obrotu układu, tj. prędkości, z jakiemi zmienia się jego położenie i oryentacya bezwzględna.
Aby wszystkie wymagania umysłu były zaspokojone, powinnoby prawo względności brzmieć, jak następuje:
Stan ciał i ich odległości wzajemne w jakiejkolwiek chwili jak również prędkości, z jakiemi odległości te zmieniają się w tej samej chwili, zależne będą jedynie od stanu tych ciał i od ich odległości wzajemnych w chwili początkowej oraz od prędkości, z jakiemi odległości te zmieniały się w owej chwili początkowej, lecz nie będą zależne ani od początkowego położenia bezwzględnego układu, ani od jego oryentacyi bezwzględnej, ani też od prędkości z jakiemi zmieniało się to położenie i ta oryentacya bezwzględna w chwili początkowej.
Na nieszczęście prawo, w ten sposób sformułowane, nie jest w zgodzie z doświadczeniami, przynajmniej przy zwykłej tych doświadczeń interpretacyi.
Przypuśćmy, że człowiek przeniesiony został na planetę, której niebo jest ustawicznie pokryte grubą zasłoną obłoków, tak iż nie widać stamtąd nigdy innych ciał niebieskich; człowiekowi temu planeta ta będzie się zdawała odosobnioną w przestrzeni. Człowiek ten będzie wszakże mógł dostrzedz, że się ona obraca, bądź przez pomiar spłaszczenia (co robi się zazwyczaj z pomocą obserwacyi astronomicznych, lecz mogłoby być uskutecznione środkami wyłącznie geodezyjnemi) bądź przez powtórzenie eksperymentu Foucaulta. Obrót bezwzględny tej planety mógłby zatym zostać ujawniony.
Jest to fakt, który razi filozofa, fizyk przecież zmuszony jest go uznać.
Wiadomo, że z faktu tego Newton wywnioskował istnienie przestrzeni bezwzględnej; z poglądem tym nie mogę żadną miarą się zgodzić, co uzasadnię w części trzeciej niniejszej książki. W tej chwili jednak nie chciałbym jeszcze rozważyć tej trudności.
Musiałem tedy pogodzić się z tym, że w sformułowaniu prawa względności pomieszane są ze sobą prędkości wszelkiego rodzaju wśród danych, określających stan ciał.
W każdym razie trudność ta zachodzi równie dobrze dla geometryi euklidesowej, jak dla geometryi Łobaczewskiego; nie mamy więc powodu niepokoić się nią, i mówiliśmy o niej tylko przygodnie.
Ważne jest dla nas to, że doświadczenie nie może rozstrzygnąć między Euklidesem a Łobaczewskim.
Słowem, w którąkolwiek stronę się zwrócimy, nie widzimy możności wykrycia, jaki sens rozumny możnaby nadać empiryzmowi geometrycznemu.
6. Doświadczenia pozwalają nam poznać jedynie wzajemne stosunki ciał: żadne z nich nie dotyczy i dotyczyć nie może stosunków ciał do przestrzeni ani stosunków wzajemnych poszczególnych częsci przestrzeni.
»Zapewne«, powie kto na to, »jedno doświadczenie wystarczyć nie może, bo daje nam tylko jedno równanie z kilku niewiadomemi; kiedy wszakże wykonam dostateczną ilość doświadczeń, będę miał dość równań, aby obliczyć wszystkie niewiadome«.
Znajomość wysokości wielkiego masztu nie wystarcza do wyliczenia wieku kapitana. Kiedy zmierzymy wszystkie kawałki drewna, z których składa się okręt, będziemy mieli wiele równań, ale nie poznamy przez to lepiej wieku kapitana. Wszystkie nasze pomiary dotyczą tylko kawałków drewna, a więc nie mogą nam ujawnić nic ponad to co dotyczy tych kawałków drewna. Podobnież doświadczenia nasze, jakkolwiek byłyby liczne, ponieważ dotyczyły jedynie stosunków wzajemnych ciał, nie ujawnią nam nic, coby dotyczyło wzajemnych stosunków poszczególnych części przestrzeni.
7. Wprawdzie, odpowiedzą nam, chociaż doświadczenia dotyczą tylko ciał, to dotyczą one przecież własności geometrycznych tych ciał.
Ale cóż to należy rozumieć przez własności geometryczne ciał? Przypuśćmy, że chodzi tu o stosunki ciał z przestrzenią; własności te są w takim razie niedostępne dla doświadczeń, które dotyczą jedynie wzajemnych stosunków ciał. To jedno wystarczyłoby do okazania, że nie o te własności tu chodzi.
Zacznijmy przeto od porozumienia się co do znaczenia wyrażenia: własności geometryczne ciał. Kiedy mówimy, że ciało składa się z kilku części, to nie formułujemy przez to chyba żadnej własności geometrycznej, nawet wówczas, gdybyśmy najmniejszym rozważanym przez nas cząstkom danego ciała nadali nazwę punktów.
Kiedy mówimy, że pewna część danego ciała styka się z daną częścią pewnego innego ciała, wypowiadamy twierdzenie, dotyczące wzajemnych stosunków tych dwu ciał, nie zaś ich stosunków z przestrzenią.
Sądzę, że czytelnik zgodzi się ze mną na to, że nie są to własności geometryczne; pewny jestem w każdym razie, że przyzna mi, iż twierdzenia te są niezależne od jakiejkolwiek znajomości geometrycznej.
Po tym objaśnieniu wyobraźmy sobie ciało, składające się z ośmiu wąskich żelaznych prętów OA, OB, OC, OD, OE, OF, OG, OH, połączonych u jednego ze swych końców O. Weźmy inne jeszcze ciało stałe, np. kawałek drewna, na którym znajdują się trzy plamki atramentowe, powiedzmy α, β, γ. Przypuśćmy następnie, że stwierdzamy, iż można doprowadzić α β γ do zetknięcia z AGO (tj. α z A, i jednocześnie β z G i γ z O), następnie, że można doprowadzić kolejno do zetknięcia α β γ z BGO, CGO, DGO, EGO, FGO dalej z AHO, BHO, CHO, DHO, EHO, FHO, wreszcie α γ kolejno z AB, BC, CD, DE, EF, FA.
Fakty te stwierdzić można, nie mając uprzednio żadnej wiadomości o kształcie lub własnościach metrycznych przestrzeni. Nie dotyczą one wcale »geometrycznych własności ciał«. A fakty te nie będą możliwe, jeśli ciała, z któremi eksperymentowaliśmy, poruszają się według grupy o takiej samej strukturze, jak grupa Łobaczewskiego (to znaczy, według tych samych praw, co ciało stałe w geometryi Łobaczewskiego). Wystarczają one tedy do okazania, że ciała te poruszają się według grupy euklidesowej albo przynajmniej, że nie poruszają się według grupy Łobaczewskiego.
Że ruchy te zgadzają się z grupą euklidesową, dowieść nietrudno.
Albowiem dałyby się one wykonać, gdyby ciało α β γ było niezmienną bryłą naszej geometryi zwykłej o formie trójkąta prostokątnego a punkty A B C D E F G H wierzchołkami wielościanu, utworzonego przez dwie piramidy sześciokątne foremne zwykłej naszej geometryi, posiadające jako wspólną podstawę A B C D E F a jako wierzchołki jedna G, druga H.
Przypuśćmy teraz, że zamiast poprzednio stwierdzonych faktów stwierdza się, że można przyłożyć α β γ jak i powyżej kolejno do AGO, BGO, CGO, DGO, FGO, AHO, BHO, CHO, DHO, EHO, FHO, następnie, że można przyłożyć α β (nie zaś α γ) kolejno do AB, BC, CD, DE, EF, FA.
Fakty takie możnaby stwierdzić, gdyby geometrya nie-euklidesowa była prawdziwa, gdyby ciała α β γ, O A C D E F G H były niezmiennemi bryłami, gdyby pierwsze było trójkątem prostokątnym a drugie podwójną piramidą sześciokątną foremną odpowiednich rozmiarów.
Nowe te fakty są tedy niemożliwe, jeśli ciała poruszają się według grupy euklidesowej; stają się natomiast możliwe, skoro przypuścimy, że ruch ciał odbywa się według grupy Łobaczewskiego. Wystarczyłyby tedy (gdyby je stwierdzono) do okazania, że pomienione ciała nie poruszają się według
grupy euklidesowej.
Tak więc, nie czyniąc żadnego założenia co do kształtu, co do istoty przestrzeni, co do stosunków ciał z przestrzenią, nie przypisując ciałom żadnej własności geometrycznej, stwierdziliśmy fakty, które pozwoliły nam wykazać w pierwszym wypadku, że ciała, których dotyczyło doświadczenie, poruszają się według grupy o strukturze euklidesowej, w drugim zaś wypadku, że poruszają się one według grupy o strukturze Łobaczewskiego.
Nie należy wszakże sądzić, że pierwszy zespół faktów stanowiłby doświadczenie dowodzące, że przestrzeń jest euklidesowa, a drugi, że przestrzeń jest nie-euklidesowa.
W rzeczy bowiem samej, możnaby wyobrazić sobie ciała, poruszające się w sposób, umożliwiający stwierdzenie drugiego zespołu faktów. Mógłby je zbudować pierwszy lepszy mechanik, gdyby chciał zadać sobie trudu i nie szczędził kosztów. A przecież nikt z tego nie wniesie, że przestrzeń jest nie-euklidesowa.
Tymbardziej, że ponieważ zwykłe ciała stałe nie przestałyby istnieć z chwilą, gdyby nasz mechanik zbudował owe osobliwe ciała, o których mówiliśmy, trzeba byłoby wywnioskować, że przestrzeń jest zarazem euklidesowa i nie-euklidesowa.
Przypuśćmy np., że mamy wielką kulę o promieniu R, i że temperatura zmniejsza się od środka tej kuli ku jej powierzchni według prawa, o którym mówiliśmy, opisując świat nie-euklidesowy.
Moglibyśmy mieć ciała, których rozszerzanie się byłoby nieuczuwalne, i które zachowywałyby się jak zwykłe bryły niezmienne, oprócz zaś nich inne ciała o bardzo wielkiej rozszerzalności, zachowujące się, jak bryły nie-euklidesowe. Moglibyśmy mieć dwie podwójne piramidy O A B C D E F G H i O′ A′ B′ C′ D′ E′ F′ G′ H′ i dwa trójkąty α β γ i α′ β′ γ′. Pierwsza piramida podwójna byłaby prostolinijna, druga krzywolinijna; trójkąt α β γ składałby się z materyi nierozszerzalnej, drugi zaś z materyi bardzo rozszerzalnej.
Natenczas, operując piramidą podwójną OAH i trójkątem αβγ, stwierdzilibyśmy pierwszy zespół faktów, posługując się zaś podwójną piramidą O′A′H′ i trójkątem α′β′γ′ — drugi zespół faktów.
Doświadczenie zdawałoby się tedy dowodzić raz, że geometrya euklidesowa jest prawdziwa, to znów, że jest fałszywa.
Doświadczenia nie dotyczyły zatym przestrzeni, lecz ciał.
8. Dla zupełności powinnibyśmy mówić teraz o pewnej kwestyi bardzo subtelnej i wymagającej długich wywodów; ograniczę się streszczeniem tego, co wyłożyłem w tej mierze w Revue de Métaphysique et de Morale i w The Monist[1].
Gdy mówimy, że przestrzeń posiada trzy wymiary, co chcemy przez to powiedzieć?
Widzieliśmy, jak ważną rolę odgrywają owe »zmiany wewnętrzne«, które objawiają się nam przez czucia mięśniowe. Charakteryzują one rozmaite postawy naszego ciała. — Obierzmy dowolnie, jako postawę początkową, jedną z tych postaw A. Gdy przechodzimy od tej postawy A do jakiejkolwiek innej B, odczuwamy szereg S czuć mięśniowych, i ten szereg S określi B. Zaznaczmy wszakże, iż często będziemy uważali dwa szeregi S i S′ za określające tę samą postawę B (albowiem przy tych samych postawach początkowej i końcowej A i B postawy pośrednie i odpowiadające im czucia mogą być różne). W jakiż sposób poznamy równoważność tych dwu szeregów? Oznaką tej równoważności będzie to, że oba szeregi mogą skompensować jedną i tę samą zmianę zewnętrzną, albo, mówiąc ogólniej, że gdy chodzi o kompensacyę pewnej zmiany zewnętrznej, jeden z szeregów może być zastąpiony przez drugi.
Wśród szeregów tych wyróżniliśmy te, które mogą same przez się skompensować zmianę zewnętrzną, i które nazwaliśmy »przesunięciami«. Ponieważ nie umiemy odróżnić od siebie dwu zbyt bliskich siebie przesunięć, zespół więc tych przesunięć posiada cechy continuum fizycznego; doświadczenie powiada nam, że są to cechy continuum fizycznego o sześciu wymiarach; lecz nie wiemy jeszcze, ile sama przestrzeń posiada wymiarów, musimy uprzednio rozwiązać inne zagadnienie.
Co to jest punkt przestrzeni? Wszystkim się zdaje, że wiedzą to — ale jest to złudzenie. To, co widzimy, gdy usiłujemy sobie wyobrazić punkt przestrzeni, jest to czarna plama na białym papierze, plama kredowa na czarnej tablicy, jest to zawsze przedmiot. Pytanie nasze należy przeto rozumieć w następujący sposób:
Co chcę powiedzieć, gdy mówię, że przedmiot B znajduje się w tym samym punkcie, który zajmował poprzednio przedmiot A? Innemi słowy, jakie kryteryum pozwala mi na rozpoznanie tego.
Chcę powiedzieć, że jakkolwiek nie poruszyłem się sam (o czym powiadamia mnie zmysł mięśniowy) pierwszy mój palec, który przed chwilą dotykał przedmiotu A, dotyka teraz przedmiotu B. Mógłbym posługiwać się innemi kryteryami, np. innym palcem lub zmysłem wzroku. Lecz pierwsze kryteryum wystarcza; wiem, że skoro ono da odpowiedź twierdzącą, wszystkie inne kryterya dadzą taką samą odpowiedź. Wiem to z doświadczenia, nie mogę tego wiedzieć a priori. Dla tej samej racyi powiadam, że dotyk nie może działać na odległość; jest to inny sposób wyrażenia tego samego faktu doświadczalnego. Gdy natomiast powiadam, że wzrok działa na odległość; chcę przez to rozumieć, że sprawdzian jakiego dostarcza mi wzrok, może dać odpowiedź twierdzącą, gdy inne sprawdziany dają odpowiedź przeczącą.
Jakoż, obraz przedmiotu, jakkolwiek przedmiot ten się oddalił, może tworzyć się w tym samym punkcie siatkówki. Wzrok odpowiada twierdząco, mówi, że przedmiot pozostał w tym samym punkcie, dotyk natomiast zaprzecza temu, albowiem palec mój, który poprzednio dotykał przedmiotu, teraz go już nie dotyka. Gdyby doświadczenie wykazało nam, że jeden palec może odpowiedzieć przecząco, gdy drugi daje odpowiedź twierdzącą, powiedzielibyśmy podobnież, że dotyk działa na odległość.
Słowem, dla każdej postawy mego ciała, pierwszy mój palec określa punkt; — to i tylko to określa punkt przestrzeni.
Każdej postawie odpowiada w ten sposób punkt; zdarza się przecież często, że jeden i ten sam punkt odpowiada kilku różnym postawom (w tym to razie mówimy, że palec nasz nie poruszył się, gdy poruszyła się reszta ciała). Wśród zmian postawy wyróżniamy tedy te, przy których palec się nie poruszył. Co nas na to naprowadza? To, iż często zauważamy, że przy zmianach tych przedmiot, znajdujący się w zetknięciu z palcem, nie przestaje się z nim stykać.
Umieśćmy tedy w jednej klasie wszystkie postawy, które wyprowadzają się jedne z drugich przez jedną ze zmian, któreśmy w ten sposób wyróżnili. Wszystkim postawom jednej klasy będzie odpowiadał jeden i ten sam punkt przestrzeni. Każdej więc klasie odpowiadać będzie punkt, a każdemu punktowi klasa. Zaznaczyć jednak trzeba, że doświadczenie nie dotyczy punktu lecz tej klasy zmian albo, jeszcze ściślej, odpowiadającej jej klasy czuć mięśniowych.
Kiedy więc mówimy, że przestrzeń posiada trzy wymiary, chcemy poprostu powiedzieć, że całokształt tych klas przedstawia się nam jako continuum fizyczne o trzech wymiarach.
Czy, gdybyśmy dla określenia punktów przestrzeni posługiwali się nie pierwszym palcem lecz innym, wyniki byłyby takie same? Nie jest to bynajmniej oczywiste a priori, ale, jakeśmy widzieli, doświadczenie wykazało, że wszystkie nasze kryterya są ze sobą w zgodzie; to pozwala nam na pytanie powyższe odpowiedzieć twierdząco.
Powracając do tak nazwanych przez nas przesunięć, których ogół, jak widzieliśmy, stanowi grupę, zaznaczmy, że z pośród nich wypadnie nam wyróżnić te, przy których palec się nie porusza; według powyższych wywodów te właśnie charakteryzują punkt przestrzeni i ogół ich stanowić będzie pod-grupę naszej grupy. Każdej pod-grupie odpowiadać więc będzie w ten sposób punkt przestrzeni.
Zdawać by się mogło, że wypływa stąd wniosek, iż doświadczenie powiedziało nam, ile przestrzeń posiada wymiarów. W rzeczywistości przecież i tu stwierdzić należy, że doświadczenia nasze dotyczyły nie przestrzeni lecz naszego ciała i jego stosunków do pobliskich przedmiotów. Doświadczenia te, nadto, są nadzwyczaj grube.
W umyśle naszym istniała uprzednio utajona idea pewnej ilości grup, teoryę których zbudował Lie. Jaką z nich obierzemy, aby z niej zrobić pewnego rodzaju wzorzec, do którego będziemy porównywali zjawiska przyrodzone? A po wyborze tej grupy, którą z pod-grup weźmiemy dla scharakteryzowania punktu przestrzeni? W zadaniu tym doświadczenie było nam pomocne, wskazując, jaki wybór jest najlepiej przystosowany do własności naszego ciała. Do tego wszakże ograniczyła się jego rola.
Spotyka się często zdanie, że jeśli doświadczenie indywidualne nie mogło stworzyć geometryi, to potrafiło tego dokonać doświadczenie naszych przodków. Cóż ma znaczyć to zdanie? Czy to, że my nie możemy dowieść doświadczalnie postulatu Euklidesa, lecz przodkowie nasi byli w stanie to zrobić? Bynajmniej. Ma ono wyrażać, że umysł nasz przystosował się drogą doboru naturalnego do warunków świata zewnętrznego, że przyjął on geometryę najkorzystniejszą dla gatunku, czyli innemi słowy, najdogodniejszą. Jest to w zupełnej zgodności z naszemi wnioskami: geometrya nie jest prawdziwa, lecz korzystna.
