Nauka i Hypoteza/Przestrzeń/Przestrzeń a geometrya
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Nauka i Hypoteza |
| Część | Przestrzeń |
| Rozdział | Przestrzeń a geometrya |
| Redaktor | Ludwik Silberstein |
| Wydawca | G. Centnerszwer i Ska. |
| Data wyd. | 1908 |
| Druk | Drukarnia Narodowa w Krakowie |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Tłumacz | Maksymilian Horwitz |
| Źródło | Skany na Commons |
| Inne | Cały tekst |
| Indeks stron | |
Rozpocznijmy od małego paradoksu.
Istoty, obdarzone takim samym umysłem, jak my, oraz takimi samymi zmysłami, a nie posiadające żadnego uprzedniego
wykształcenia, gdyby zostały umieszczone w odpowiednio dobranym świecie zewnętrznym, odbierałyby od tego świata wrażenia takie, iż doprowadziłoby je to do zbudowania geometryi innej niż geometrya Euklidesa i do lokalizowania zjawisk tego świata zewnętrznego w przestrzeni nieeuklidesowej albo nawet w przestrzeni czterowymiarowej.
My, których wykształcenie urobione zostało przez nasz świat obecny, gdybyśmy zostali nagle przeniesieni do tego nowego świata, nie znajdowalibyśmy trudności w odnoszeniu jego zjawisk do naszej przestrzeni euklidesowej.
I odwrotnie, gdyby te istoty przeniesione zostały do nas, to odnosiłyby nasze zjawiska do przestrzeni nieeuklidesowej.
Co mówię! przy pewnym wysiłku moglibyśmy to sami uczynić.
Ktoś, co poświęciłby temu swoje życie, mógłby może dojść do wyobrażenia sobie czwartego wymiaru.
Przestrzeń geometryczna a przestrzeń wyobrażeniowa. — Mówi się często, że obrazy przedmiotów zewnętrznych lokalizujemy w przestrzeni, że jest to nawet warunek konieczny ich powstawania. Powiada się również, że przestrzeń ta, która służy w ten sposób jako gotowa rama dla naszych czuć i wyobrażeń, toż samą jest z przestrzenią geometrów i wszystkie jej posiada własności.
Każdemu, kto podziela taki pogląd, musiało się poprzednie nasze twierdzenie wydać bardzo dziwnym. Rozważmy wszelako, czy pogląd taki nie jest złudzeniem, które rozwiaćby mogła głębsza nieco analiza.
Jakież są własności przestrzeni we właściwym znaczeniu, tj. przestrzeni, która jest przedmiotem geometryi, i którą nazwiemy przestrzenią geometryczną? Oto niektóre z najistotniejszych tych własności:
1° Przestrzeń jest ciągła,
2° Jest nieskończona,
3° Posiada trzy wymiary;
4° Jest jednorodna, to znaczy, że wszystkie jej punkty są toż same między sobą;
5° Jest izotropową, to znaczy, że wszystkie proste przechodzące przez jeden i ten sam punkt, są tożsame między sobą.
Porównajmy ją teraz do ramy naszych wyobrażeń i naszych czuć, którą moglibyśmy nazwać przestrzenią wyobrażeniową (l’espace représentatif).
Przestrzeń wzrokowa. — Rozważmy nasamprzód wrażenie czysto wzrokowe, pochodzące od obrazu tworzącego się na siatkówce.
Sumaryczna analiza powiada nam, że obraz ten jest ciągły, lecz posiada tylko dwa wymiary, i tym już różni się czysta przestrzeń wzrokowa od przestrzeni geometrycznej.
Następnie obraz ów zawarty jest w ograniczonej ramie.
Wreszcie zachodzi jedna jeszcze niemniej ważna różnica: ta czysta przestrzeń wzrokowa nie jest jednorodna. Nie wszystkie punkty siatkówki, niezależnie od tego, jakie się na niej tworzą obrazy, odgrywają jednakową rolę. Żółtej plamy nie można żadną miarą uważać za tożsamą z punktem, położonym na brzegu siatkówki. Nietylko bowiem jeden i ten sam przedmiot tworzy w tym miejscu o wiele żywszy obraz, lecz naogół w każdej ograniczonej ramie punkt, zajmujący jej środek, nie będzie tożsamy z punktem, leżącym w pobliżu jednego z jej brzegów.
Głębsza analiza wykazałaby nam bez wątpienia, że i ciągłość przestrzeni wzrokowej i dwa jej wymiary są również tylko złudzeniem; odsunęłaby ją przeto jeszcze bardziej od przestrzeni geometrycznej — ale nie zatrzymamy się tu dłużej na tej uwadze.
Atoli wzrok pozwala nam oceniać odległości a więc postrzegać trzeci wymiar. Wiadomo wszakże, iż to postrzeganie trzeciego wymiaru sprowadza się do wysiłku akomodacyjnego oraz do wysiłku zbieżności, którą nadać trzeba obu oczom, aby wyraźnie postrzegać dany przedmiot.
Są to czucia mięśniowe całkiem odmienne od czuć wzrokowych, które dały nam pojęcie dwu pierwszych wymiarów. Trzeci wymiar nie będzie więc dla nas odgrywał tej samej roli co tamte dwa. A więc to, co moglibyśmy nazwać przestrzenią wzrokową zupełną, nie jest przestrzenią izotropową.
Posiada ona wprawdzie trzy właśnie wymiary; to znaczy, że elementy naszych czuć wzrokowych (a przynajmniej te, które składają się na wytworzenie pojęcia rozciągłości) będą całkowicie określone, skoro się będzie znało trzy z pośród nich, czyli — w języku matematycznym, będą to funkcye trzech zmiennych niezależnych.
Rozpatrzmy przecież sprawę tę nieco bliżej. Trzeci wymiar objawia się nam dwoma różnemi sposobami: przez wysiłek akomodacyi i przez zbieżność oczu.
Zapewne, obie te wskazówki są zawsze ze sobą w zgodzie, zachodzi między niemi stały związek czyli — mówiąc językiem matematycznym — obie zmienne, będące miarą tych dwu czuć mięśniowych, nie przedstawiają się nam jako niezależne; innemi jeszcze słowy, unikając odwoływania się do dość już subtelnych pojęć matematycznych, możemy sformułować ten sam fakt w języku poprzedniego rozdziału tak oto: Jeżeli dwa czucia zbieżności A i B nie dają się wzajemnie odróżnić, tedy towarzyszące im czucia akomodacyjne A¹ i B¹ również nie dadzą się od siebie odróżnić.
Ale jest to, że tak powiem, fakt doświadczalny; nic nie przeszkadza a priori, abyśmy przypuścili, że jest przeciwnie, a jeśli to przypuszczenie przeciwne jest prawdziwe, jeżeli te dwa czucia mięśniowe zmieniają się jedno niezależnie od drugiego, to będziemy mieli o jedną zmienną niezależną więcej i »przestrzeń wzrokowa zupełna« stanie się dla nas continuum fizycznym o czterech wymiarach.
Dodałbym nawet, że jest to fakt doświadczenia zewnętrznego. Nic nie zabrania nam przypuścić, że istota o umyśle takim samym, jak nasz o tych samych organach zmysłowych, co my, znalazła się w świecie, w którym światło dochodziłoby do niej dopiero po przejściu zawile ukształtowanych środowisk załamujących. Owe dwie wskazówki, służące nam do oceniania odległości, przestałyby być związane zależnością stałą. Istota, której zmysły kształciłyby się w podobnym świecie, przypisywałaby niewątpliwie przestrzeni wzrokowej zupełnej cztery wymiary.
Przestrzeń dotykowa i przestrzeń ruchowa (motoryczna). »Przestrzeń dotykowa« jest bardziej jeszcze skomplikowana, niż wzrokowa, i bardziej jeszcze oddalona od przestrzeni geometrycznej. Zbytecznym byłoby powtarzać dla dotyku roztrząsanie, które przeprowadziliśmy dla wzroku.
Lecz poza danemi wzroku i dotyku istnieją inne jeszcze czucia, przyczyniające się tyleż, jeśli nie więcej, do genezy pojęcia przestrzeni. Są to znane każdemu czucia, towarzyszące naszym ruchom, zwane zwykle czuciami mięśniowemi.
Odpowiadająca im rama stanowi to, co można nazwać przestrzenią ruchową.
Każdy mięsień rodzi specyalne czucie, które może się zmniejszać i zwiększać, tak iż ogół naszych czuć mięśniowych zależeć będzie od tyluż zmiennych, ile posiadamy mięśni. Z tego więc punktu widzenia przestrzeń ruchowa posiadałaby tyleż wymiarów, ile mamy mięśni.
Powie kto na to, że jeśli czucia mięśniowe biorą udział w tworzeniu się pojęcia przestrzeni, to dlatego, że posiadamy poczucie kierunku każdego ruchu, które stanowi część integralną czucia. Gdyby tak było rzeczywiście, gdyby czucie mięśniowe nie mogło powstawać inaczej, jak w związku z tym poczuciem geometrycznym kierunku, przestrzeń geometryczna byłaby w istocie formą, narzuconą naszemu światu czuć.
Atoli analizując nasze czucia, bynajmniej tego nie stwierdzamy.
Widzimy tylko, że czucia, odpowiadające ruchom o tych samych kierunkach, związane są w naszym umyśle prostym skojarzeniem wyobrażeń. Do tego to skojarzenia sprowadza się tak zwane »poczucie kierunku«. Nie moglibyśmy więc odnaleźć go w jednym czuciu.
Skojarzenie to jest niezmiernie zawiłe, albowiem skurcz jednego i tego samego mięśnia może odpowiadać, w zależności od położenia członków naszych, ruchom o bardzo różnych kierunkach.
Oczywiście zresztą jest ono nabyte; jest, jak wszystkie skojarzenia wyobrażeń, wynikiem przyzwyczajenia, które z kolei pochodzi od licznych bardzo doświadczeń; niema wątpliwości, że gdyby wykształcenie naszych zmysłów odbywało się w innym środowisku, gdzie podlegalibyśmy innym ważeniom, zrodziłyby się odmienne przyzwyczajenia, i mięśniowe nasze czucia kojarzyłyby się według innych praw.
Cechy przestrzeni wyobrażeniowej. — Tak więc przestrzeń wyobrażeniowa w trojakiej swej postaci, wzrokowej, dotykowej i ruchowej, jest zasadniczo różna od przestrzeni geometrycznej.
Nie jest ani jednorodna ani izotropowa; nie można nawet powiedzieć, że ma trzy wymiary.
Mówi się często, że »rzutujemy« w przestrzeń geometryczną przedmioty naszego zewnętrznego postrzegania, że je »lokalizujemy«.
Czy ma to jaki sens, i jakiż mieć może?
Czy ma to oznaczać, że wyobrażamy sobie przedmioty zewnętrzne w przestrzeni geometrycznej?
Nasze wyobrażenia są tylko odtworzeniem naszych czuć, mogą się więc one mieścić w tej samej tylko ramie, co one, tj. w przestrzeni wyobrażeniowej.
Równie jest dla nas niemożliwe wyobrażać sobie ciała zewnętrzne w przestrzeni geometrycznej, jak niemożliwym jest dla malarza namalowanie na płaskiej tablicy przedmiotów z ich trzema wymiarami.
Przestrzeń wyobrażeniowa jest tylko obrazem przestrzeni geometrycznej, obrazem odkształconym przez pewnego rodzaju perspektywę; nie możemy wyobrażać sobie przedmiotów inaczej, jak naginając je do praw tej perspektywy.
Nie wyobrażamy więc sobie ciał zewnętrznych — w przestrzeni geometrycznej, lecz rozumujemy nad temi ciałami, tak, jak gdyby znajdowały się w przestrzeni geometrycznej.
Kiedy zaś mówi się, że »lokalizujemy« dany przedmiot w tym a tym punkcie przestrzeni, co to ma znaczyć?
Znaczy poprostu, że wyobrażamy sobie ruchy, jakich trzeba dokonać, aby dosięgnąć tego przedmiotu; i niechaj nikt nam nie zarzuci, że aby wyobrazić sobie te ruchy, trzeba je również rzutować w przestrzeń, że przeto pojęcie przestrzeni musi już istnieć poprzednio.
Mówiąc, że wyobrażamy sobie te ruchy, nie chcemy powiedzieć nic więcej jak to, że wyobrażamy sobie towarzyszące im czucia mięśniowe, które nie posiadają żadnego charakteru geometrycznego, a więc bynajmniej nie polegają na założeniu uprzedniem istnienia pojęcia przestrzeni.
Zmiany stanu i zmiany położenia. Jeżeli tedy idea przestrzeni geometrycznej nie narzuca się naszemu umysłowi, jeżeli z drugiej strony żadne z naszych czuć nie może nam jej dostarczyć, to skądże mogła się ona wziąć?
Do poszukania odpowiedzi na to pytanie przejdziemy teraz, a zajmie nam to trochę czasu; możemy wszakże obecnie już streścić w kilku słowach próbę wyjaśnienia, które poniżej rozwiniemy.
Żadne z oddzielnych naszych czuć nie mogłoby nas doprowadzić do idei przestrzeni, doszliśmy zaś do niej, badając prawa, według których czucia te po sobie następują.
Widzimy przedewszystkim, że nasze wrażenia ulegają zmianom; lecz wśród zmian tych rychło zaczynamy robić pewne rozróżnienia.
Powiadamy raz, że przedmioty wywołujące nasze wrażenia uległy zmianom stanu, to znów, że zmieniły położenie, że się tylko przesunęły.
Zarówno zmiana jak zmiana stanu położenia wyraża się dla nas zawsze w jeden tylko sposób: jako zmiana w całokształcie naszych wrażeń.
Cóż nas naprowadziło na zrobienie zaznaczonego powyżej rozróżnienia? Nie trudno zdać sobie z tego sprawę. Jeśli zaszła tylko zmiana położenia, tedy możemy odtworzyć znowu pierwotny całokształt wrażeń, wykonywając ruchy, które sprawią, że zajmiemy w stosunku do przedmiotu ruchomego to samo położenie względne. Korygujemy w ten sposób zmianę zaszłą i odtwarzamy stan początkowy przez zmianę odwrotną.
Jeżeli chodzi np. o wrażenia wzrokowe i jeżeli przedmiot przesuwa się przed nami, możemy za nim »wodzić okiem« i zatrzymać jego obraz w tym samym punkcie siatkówki przez odpowiednie ruchy gałki ocznej.
Jesteśmy świadomi tych ruchów dlatego, że są dowolne, oraz że towarzyszą im czucia mięśniowe, co wcale jednak nie znaczy, byśmy je sobie wyobrażali w przestrzeni geometrycznej.
Tak więc charakteryzuje zmianę położenia i odróżnia ją od zmiany stanu to, że można ją zawsze skorygować we wskazany sposób.
Może się tedy zdarzyć, że przechodzi się od grupy wrażeń A do grupy B dwiema różnemi drogami: 1° bez udziału woli i bez czuć mięśniowych, mianowicie wówczas, gdy przedmiot się porusza; 2° z udziałem woli i z czuciami mięśniowemi co zachodzi, gdy przedmiot pozostaje nieruchomy, a porusza się obserwator, tak iż przedmiot posiada w stosunku do niego ruch względny.
W obu razach przejście od grupy A do grupy B jest tylko zmianą położenia.
Wynika stąd, że wzrok i dotyk nie mogłyby dać nam pojęcia przestrzeni, bez pomocy »zmysłu mięśniowego«.
Pojęcie przestrzeni nie mogło tedy pochodzić od jednego czucia lecz wymagało szeregu czuć; cowięcej: istota nieruchoma nie mogłaby pojęcia tego nigdy zdobyć, albowiem skoroby nie mogła korygować zapomocą swoich ruchów skutków zmian położenia przedmiotów zewnętrznych, nie miałaby żadnego powodu odróżniać je od zmian stanu. Nie mogłaby również go zdobyć, gdyby ruchy jej nie odbywały się z udziałem jej woli lub gdyby nie towarzyszyły im żadne wogóle czucia.
Warunki kompensacyi. — Jakże możliwą jest taka kompensacya, która sprawia, że dwa od siebie niezależne ruchy wzajemnie się korygują.
Umysł, któryby znał już geometryę, rozumowałby tak oto:
Ażeby zaszła kompensacya, trzeba oczywiście, by z jednej strony poszczególne części przedmiotu zewnętrznego, z drugiej zaś poszczególne organy naszych zmysłów, znalazły się po obu zmianach w tym samym położeniu względnym. To zaś wymaga, żeby poszczególne części przedmiotu zewnętrznego zachowały również jedne w stosunku do drugich to samo położenie względne, oraz żeby to samo miało miejsce dla położenia względem siebie poszczególnych części naszego ciała.
Innemi słowy, przy pierwszej zmianie przedmiot zewnętrzny musi się przesuwać na podobieństwo bryły niezmiennej, przy drugiej zmianie, korygującej pierwszą, tak samo ma się zachowywać całe nasze ciało.
Takie są warunki odbycia się kompensacyi.
My jednak, którzy nie znamy jeszcze geometryi, skoro pojęcie przestrzeni jeszcze się dla nas nie ukształtowało, nie możemy rozumować w ten sposób, nie możemy przewidzieć a priori, czy kompensacya jest możliwa. Otóż doświadczenie uczy nas, że odbywa się ona niekiedy, i ten to fakt doświadczalny jest dla nas podstawą rozróżniania zmian stanu od zmian położenia.
Ciała stałe a geometrya. — Wśród przedmiotów, które nas otaczają, istnieją niektóre, ulegające często przesunięciom nadającym się do skorygowania w zaznaczony sposób przez ruch spółwzględny naszego własnego ciała, i są to ciała stałe.
Inne przedmioty, o kształcie zmiennym, ulegają wyjątkowo tylko podobnym przesunięciom (zmiana położenia bez zmiany postaci). Gdy ciało przesunęło się zmieniając swój kształt, nie możemy już zapomocą odpowiednich ruchów nadać organom naszych zmysłów tego samego położenia względnego w stosunku do tego ciała; nie możemy zatym odbudować pierwotnego całokształtu wrażeń.
Później dopiero, na podstawie nowych doświadczeń, uczymy się rozkładać ciała o zmiennym kształcie na takie elementy mniejsze, iż każdy z nich przesuwa się według tych samych mniej więcej praw co ciało stałe. Odróżniamy w ten sposób »odkształcenia« od innych zmian stanu; w tych odkształceniach każdy element ulega prostej zmianie położenia, która może być skorygowana; lecz zmiana zaszła w całości jest głębsza i nie nadaje się już do skorygowania zapomocą ruchu spółwzględnego.
Pojęcie takie jest już bardzo złożone i zjawić się mogło dopiero względnie późno; nie mogłoby ono zresztą powstać, gdyby obserwacya ciał stałych nie była nas już nauczyła odróżniać zmiany położenia od zmian innych.
Gdyby więc w przyrodzie nie było ciał stałych, nie byłoby geometryi.
Inna jeszcze uwaga zasługuje na chwilę zastanowienia. Niechaj pewne ciało stałe zajmuje naprzód położenie α i przejdzie następnie do położenia β: w pierwszym swym położeniu wywoła ono w nas grupę wrażeń A, w drugim grupę wrażeń B. Weźmy teraz inne ciało stałe, o własnościach zupełnie różnych od pierwszego, np. posiadające inną barwę. Przypuśćmy również, że przechodzi ono od położenia α, w którym wywołuje w nas grupę wrażeń A′, do położenia β, w którym wywołuje w nas grupę wrażeń B′.
Naogół grupa A nie będzie miała nic wspólnego z grupą A′, ani też grupa B z grupą B′. Przejście od grupy A do grupy B oraz przejście od grupy A′ do grupy B′ są to więc dwie zmiany, które same przez się nie mają naogół nic wspólnego.
A przecież obie te zmiany uważamy za przesunięcia a nawet więcej — za to samo przesunięcie. Czymże to się dzieje?
Oto dlatego poprostu, że tak jedna jak druga zmiana mogą być skorygowane przez ten sam ruch spółwzględny naszego ciała.
Ten to więc »ruch spółwzględny« stanowi jedyny łącznik między dwoma zjawiskami, którychbyśmy pozatym nigdy nie mieli żadnej racyi zestawiać ze sobą.
Z drugiej strony ciało nasze dzięki znacznej ilości swych artykulacyi i mięśni może odbywać mnóstwo rozmaitych ruchów; nie wszystkie przecież są zdolne »korygować« zmiany w przedmiotach zewnętrznych; te tylko będą się do tego nadawały, przy których całe nasze ciało, albo przynajmniej te z jego organów, które wchodzą w grę, przesuwają się jako całość tj. bez zmiany w swych położeniach względnych, a więc zachowują się na podobieństwo ciała stałego.
W streszczeniu:
1° Nasuwa się nam przedewszystkim rozróżnienie dwu kategoryi zjawisk:
Jedne, zachodzące bez udziału naszej woli, którym nie towarzyszą czucia mięśniowe, przypisujemy przedmiotom zewnętrznym; są to zmiany zewnętrzne.
Inne, o cechach przeciwnych, przypisujemy ruchom naszego własnego ciała; są to zmiany wewnętrzne;
2° Stwierdzamy, że niektóre zmiany jednej z tych kategoryi mogą być skorygowane przez zmianę korelatywną drugiej kategoryi;
3° Wśród zmian zewnętrznych wyróżniamy te, które posiadają korelatyw taki w drugiej kategoryi, i zmiany te nazywamy przesunięciami; podobnież wśród zmian wewnętrznych wyróżniamy te, które posiadają korelatyw w pierwszej kategoryi.
W ten sposób określona została, dzięki tej dwustronnej odpowiedniości, szczególna klasa zjawisk, które nazywamy przesunięciami. Prawa tych to zjawisk stanowią przedmiot geometryi.
Prawo jednorodności. — Pierwszym z tych praw jest prawo jednorodności.
Przypuśćmy, że na skutek zmiany zewnętrznej α przechodzimy od zespołu wrażeń A do zespołu B, że następnie zmiana α zostaje skorygowana przez ruch spółwzględny β, dokonany z udziałem naszej woli, tak iż powracamy do zespołu A.
Niechaj teraz inna zmiana zewnętrzna α′ przeprowadzi nas znowu od zespołu wrażeń A do zespołu B.
Doświadczenie natenczas uczy, że ta zmiana α′ może być, podobnie jak α, skorygowana przez ruch spółwzględny β′, dokonany z udziałem naszej woli, i że ruch β′ odpowiada tym samym czuciom mięśniowym, co ruch β, korygujący α.
Ten to fakt formułuje się zwykle przez powiedzenie, że przestrzeń jest jednorodna i izotropowa.
Można również powiedzieć, że ruch, który się odbył raz, może zostać powtórzony po raz drugi, trzeci, i tak dalej bez zmiany w jego własnościach.
W rozdziale pierwszym, w którym badaliśmy istotę rozumowania matematycznego, widzieliśmy, jaką doniosłość ma możliwość nieograniczonego powtarzania tego samego działania.
Z tego powtarzania czerpie rozumowanie matematyczne swą zdolność twórczą: dzięki prawu jednorodności zdołało ono ogarnąć fakty geometryczne.
Dla zupełności wypadałoby dołączyć do prawa jednorodności mnóstwo innych jeszcze praw analogicznych, w których szczegóły nie chcę tu wchodzić; ogół tych praw matematycy streszczają krótko, mówiąc, że przesunięcia tworzą »grupę«.
Świat nie-euklidesowy. — Gdyby przestrzeń geometryczna była ramą, narzucającą się każdemu naszemu wyobrażeniu, rozważanemu oddzielnie, byłoby niemożliwym wyobrazić sobie obraz, pozbawiony tej ramy, i nie moglibyśmy niczego zmienić w naszej geometryi.
Tak wszakże nie jest, geometrya jest jedynie streszczeniem praw, według których obrazy te następują po sobie. Nic wobec tego nie stoi na zawadzie, abyśmy wystawili sobie szereg wyobrażeń, pod każdym względem podobnych do naszych zwykłych wyobrażeń, lecz następujących po sobie według praw innych niż te, do których jesteśmy przyzwyczajeni.
Pojmujemy tedy, że istoty, które by zdobywały swe wykształcenie w środowisku, w którym panowałyby prawa odmienne, mogłyby mieć geometryę bardzo różną od naszej.
Weźmy np. świat, zamknięty w wielkiej kuli i ulegający następującym prawom:
Temperatura nie jest w nim jednostajna; jest ona największa w środku, i spada w miarę oddalania się odeń, aby dosięgnąć zera bezwzględnego u powierzchni kuli, zawierającej ten świat.
Określę bliżej jeszcze prawo, według którego zmienia się ta temperatura. Niechaj R będzie promieniem kuli granicznej; niech r oznacza odległość rozważanego punktu od środka tej kuli. Temperatura bezwzględna niechaj będzie proporcyonalna do R² - r² .
Przypuścimy nadto, że w świecie tym wszystkie ciała posiadają ten sam spółczynnik rozszerzalności, tak iż długość jakiejkolwiek linii będzie proporcyonalna do jej temperatury absolutnej.
Przypuścimy wreszcie, że przedmiot, przeniesiony z jednego punktu do innego o różnej temperaturze, wstępuje natychmiast w stosunek równowagi cieplnej z nowym swym otoczeniem.
W założeniach tych niema nic, coby zawierało w sobie sprzeczność lub nie dało się wyobrazić.
Poruszający się przedmiot będzie w takich warunkach stopniowo malał w miarę tego, jak zbliżać się będzie do kuli granicznej.
Zauważmy, że jeżeli świat ten jest ograniczony ze stanowiska naszej zwykłej geometryi, to mieszkańcom swym będzie się wydawał nieskończonym.
W rzeczy bowiem samej, gdy chcą się oni zbliżyć do kuli granicznej, oziębiają się i stają się coraz mniejsi. Kroki ich są więc również coraz mniejsze, nie mogą oni przeto nigdy dosięgnąć kuli granicznej.
Jeżeli dla nas geometrya jest tylko badaniem praw, według których poruszają się niezmienne ciała stałe — dla urojonych tych istot będzie ona badaniem praw, według których poruszają się ciała stałe odkształcane przez omówione powyżej zmiany temperatury.
Zapewne, i w naszym świecie przyrodzone ciała stałe ulegają również zmianom kształtu i objętości naskutek nagrzania lub ochłodzenia. Lecz my, kładąc podwaliny geometryi, zmiany te pomijamy, albowiem są one nietylko bardzo nieznaczne, ale nadto nieprawidłowe, naskutek czego wydają się nam wypadkowemi.
Inaczej byłoby w tym świecie hypotetycznym, w którym zmiany te odbywałyby się według praw regularnych i bardzo prostych.
Zaznaczamy, że poszczególne stałe części składowe, które tworzyłyby ciało jego mieszkańców ulegałyby tym samym zmianom kształtu i objętości.
Zrobimy jeszcze jedno przypuszczenie; założymy mianowicie, że światło przechodzi przez środowiska niejednakowo załamujące, przyczym spółczynnik załamania jest odwrotnie proporcyonalny do R² - r². Łatwo można się przekonać, że w takich warunkach promienie światła byłyby nie prostolinijne lecz kołowe.
Ażeby usprawiedliwić wszystko powyższe, powinniśmy jeszcze okazać, że niektóre zmiany, zaszłe w położeniu przedmiotów zewnętrznych, mogą być skorygowane przez ruchy korelatywne istot czujących, zamieszkujących ten świat urojony, i to w sposób odbudowujący pierwotny zespół wrażeń, odebranych przez te istoty czujące.
Przypuśćmy, w samej rzeczy, że pewien przedmiot przesuwa się nie jak niezmienne ciało stałe, lecz jak ciało stałe, ulegające rozszerzaniu się niejednostajnemu, ściśle stosującemu się do wyłożonego powyżej prawa temperatury. Niechaj mi będzie wolno dla krótkości wysłowienia nazwać taki ruch przesunięciem nie-euklidesowym.
Jeżeli tuż znajduje się istota czująca, wrażenia jej ulegną zmianie naskutek przesunięcia się przedmiotu, ale będzie ona je mogła odtworzyć, poruszając się sama w odpowiedni sposób. Wystarczy, by ostatecznie zespół przedmiotu oraz istoty czującej, rozważany jako stanowiący jedno ciało, uległ jednemu z owych przesunięć, które nazwaliśmy nie-euklidesowymi. Jest to możliwe, jeżeli przypuścimy, że członki tych istot rozszerzają się według tego samego prawa, co inne ciała zamieszkałego przez nie świata.
Jakkolwiek z punktu widzenia naszej zwykłej geometryi ciała odkształciły się przy tym przesunięciu i poszczególne ich części nie znajdują się już w tym samym położeniu względnym, to przecież przekonamy się, że wrażenia istoty czującej stały się znowu te same, co pierwotnie.
Jakoż, jeśli odległości wzajemne poszczególnych części mogły się zmienić, to wszakże części, które się pierwotnie ze sobą stykały, znowu się stykają. Wrażenia dotykowe nie zmieniły się zatym.
Następnie, wobec powyższego założenia co do załamania światła i krzywości promieni świetlnych, wrażenia wzrokowe pozostaną również te same.
Urojone te istoty zostaną więc, podobnie jak my, naprowadzone na podział obserwowanych przez siebie zjawisk i na wyróżnienie z pośród nich »zmian położenia« nadających się do skorygowania przez ruch spółwzględny dokonany z woli obserwatora.
Jeżeli zbudują geometryę, nie będzie to badanie ruchów naszych niezmiennych ciał stałych, lecz badanie zmian położenia, wyróżnionych we wskazany powyżej sposób, badanie owych »przesunięć nie-euklidesowych«; będzie to geometrya nie-euklidesowa.
Tak więc podobne do nas istoty, których wykształcenie odbywałoby się w takim świecie, nie miałyby tej samej geometryi, co my.
Świat czterowymiarowy. — Podobnie jak świat nie-euklidesowy można sobie wyobrazić świat czterowymiarowy.
Zmysł wzroku, nawet ograniczony do jednego oka, łącznie z czuciami mięśniowemi, związanemi z poruszeniami gałki ocznej, mógłby nam wystarczyć do poznania przestrzeni trójwymiarowej.
Obrazy przedmiotów zewnętrznych rysują się na siatkówce, która jest tablicą dwuwymiarową; są to perspektywy.
Ponieważ wszakże przedmioty te są ruchome, zarówno, jak nasze oko, oglądamy kolejno różne perspektywy tego samego ciała, wzięte z różnych punktów widzenia.
Stwierdzamy zarazem, że przejściu od jednej perspektywy do drugiej towarzyszą często czucia mięśniowe.
Jeżeli przejściu od perspektywy A do perspektywy B oraz przejściu od perspektywy A′ do perspektywy B′ towarzyszą te same czucia mięśniowe, zestawiamy je jako działania o tej samej istocie.
Badając następnie prawa, według których kombinują się te działania, przekonywamy się, że stanowią one grupę, posiadającą taką samą strukturę jak grupa ruchów brył niezmiennych.
Widzieliśmy zaś, że z cech tej właśnie grupy zostało wysnute pojęcie przestrzeni geometrycznej oraz trzech wymiarów.
Rozumiemy tedy, w jaki sposób widok tych perspektyw mógł zrodzić ideę przestrzeni trójwymiarowej, jakkolwiek każda z nich posiada dwa tylko wymiary: — albowiem następują one po sobie według pewnych praw.
Otóż, podobnie jak można zrobić na danej płaszczyźnie perspektywę figury trójwymiarowej, można zrobić perspektywę figury czterowymiarowej na tablicy trój- (lub dwu-) wymiarowej. Dla matematyka jest to zabawka.
Można nawet sporządzić kilka perspektyw jednej i tej samej figury, zdjętych z kilku punktów widzenia.
Perspektywy te możemy wyobrazić sobie łatwo, albowiem posiadają one tylko trzy wymiary.
Przypuśćmy, że rozmaite perspektywy jednego i tego samego przedmiotu następują kolejno po sobie; że przejściu od jednej do drugiej towarzyszą czucia mięśniowe.
Dwa takie przejścia, o ile im towarzyszyć będą te same czucia mięśniowe, będziemy oczywiście uważali za działania jednakowej natury.
Nic natenczas nie przeszkadza wyobrazić sobie, że działania te kombinują się z sobą według takiego lub innego prawa, naprzykład tak, iżby tworzyły grupę o takiej samej budowie, jak grupa ruchów czterowymiarowej bryły niezmiennej.
Niema w tym niczego, co nie dałoby się wyobrazić, a przecież czucia te byłyby właśnie czuciami istoty o siatkówce dwuwymiarowej, która mogłaby się poruszać w przestrzeni czterowymiarowej.
W tym to znaczeniu wolno powiedzieć, że możnaby sobie wyobrazić czwarty wymiar.
Wnioski. — Widzimy, że doświadczenie gra niezbędną rolę w genezie geometryi; lecz błędem byłoby wnieść stąd, że geometrya jest, bodaj w części, nauką doświadczalną.
Gdyby była doświadczalną, byłaby tylko przybliżoną i prowizoryczną. I jakże zgruba przybliżoną!
Geometrya byłaby tylko badaniem ruchów ciał stałych; w rzeczywistości wszakże nie zajmuje się ona przyrodzonemi bryłami: przedmiotem jej są pewne bryły idealne, bezwzględnie niezmienne, będące tylko uproszczonym i bardzo odległym obrazem tamtych.
Pojęcie tych ciał idealnych wzięte jest w całości z naszego umysłu, doświadczenie zaś jest tylko sposobnością, pobudzającą nas do ukształtowania tego pojęcia.
Przedmiotem geometryi jest badanie pewnej »grupy« szczególnej; lecz pojęcie ogólnej grupy istnieje już uprzednio w naszym umyśle, przynajmniej potencyalnie. Narzuca się ono nam nie jako forma naszego doświadczenia zmysłowego, lecz jako forma naszego poznania.
Zachodzi jedynie potrzeba wyboru z pośród wszystkich grup możliwych grupy, mającej być, że tak powiem, wzorem, do którego będziemy odnosili zjawiska przyrodzone.
Doświadczenie kieruje nami w tym wyborze, ale go nam nie narzuca; pozwala nam ono poznać, nie która geometrya jest najprawdziwszą, lecz która jest najdogodniejszą.
Zaznaczyć należy, że mogliśmy opisać światy fantastyczne, o których mówiliśmy wyżej, nie przestając używać języka geometryi zwykłej.
I w rzeczy samej, gdybyśmy w światy te zostali przeniesieni, nie mielibyśmy potrzeby zmieniać tego języka.
Istoty, które wychowywałyby się tam, uznałyby zapewne za dogodniejsze stworzenie geometryi różnej od naszej, przystosowanej lepiej do ich wrażeń. Co do nas, to wobec tych samych wrażeń uważalibyśmy najpewniej za dogodniejsze nie zmieniać naszych przyzwyczajeń.
