Nauka i Hypoteza/Przestrzeń/Geometrye nie-euklidesowe
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Nauka i Hypoteza |
| Część | Przestrzeń |
| Rozdział | Geometrye nie-euklidesowe |
| Redaktor | Ludwik Silberstein |
| Wydawca | G. Centnerszwer i Ska. |
| Data wyd. | 1908 |
| Druk | Drukarnia Narodowa w Krakowie |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Tłumacz | Maksymilian Horwitz |
| Źródło | Skany na Commons |
| Inne | Cały tekst |
| Indeks stron | |
Każdy wniosek ma przesłanki, które są albo oczywiste same przez się i nie potrzebują dowodu, albo też mogą być ustanowione jedynie przez powołanie się na inne twierdzenia; ponieważ zaś nie można się w ten sposób cofać do nieskończoności, każda nauka dedukcyjna a w szczególności geometrya musi opierać się na pewnej liczbie pewników, nie dających się dowieść. Jakoż wszystkie wykłady geometryi rozpoczynają się od sformułowania tych pewników. Wśród nich należy wszakże rozróżnić dwa rodzaje: niektóre, jak np. ten oto: »dwie ilości równe trzeciej, są wzajem równe«, nie są twierdzeniami geometrycznemi lecz twierdzeniami z dziedziny analizy. Uważam je za sądy analityczne a priori i nie będę się niemi zajmował.
Muszę natomiast zatrzymać się nad innemi pewnikami, właściwemi samej geometryi. Większość wykładów tej nauki formułuje w sposób jawny trzy takie pewniki:
1° Przez dwa punkty może przechodzić jedna tylko prosta;
2° Linia prosta jest najkrótszą drogą od jednego punktu do drugiego;
3° Przez dany punkt można przeprowadzić jedną tylko równoległą do danej prostej.
Jakkolwiek drugie z powyższych twierdzeń podawane bywa zwykle jako pewnik, a więc jako niewymagające dowodu, w rzeczywistości możnaby je wyprowadzić z dwu pozostałych oraz z innych liczniejszych jeszcze pewników, które przyjmuje się milcząco w sposób utajony, jak to w dalszym biegu naszych rozważań wykażemy.
Przez długi czas starano się napróżno o przeprowadzenie dowodu trzeciego pewnika, znanego pod nazwą postulatu Euklidesa. Trudno zaprawdę wyobrazić sobie, ile zużyto wysiłków dla dopięcia tego chimerycznego celu. Wreszcie na początku ubiegłego stulecia i prawie jednocześnie dwaj uczeni: rosyanin Łobaczewski i węgier Bolyai okazali w sposób niezbity, że dowód ten jest niemożliwy: uwolnili nas oni prawie zupełnie od wynalazców geometryi bez postulatu; od owego czasu (paryska) Akademia Umiejętności nie otrzymuje rocznie więcej nad dwa lub trzy nowe dowody.
Kwestya ta przecież nie została wyczerpana; rychło posunęła się ona o wielki krok naprzód przez ogłoszenie słynnej rozprawy Riemanna: Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Rozprawa ta natchnęła większość prac nowszych, o których mówić będziemy w dalszym ciągu, a wśród których wymienić wypada badania Beltramiego i Helmholtza.
Geometrya Łobaczewskiego. — Gdyby można było wyprowadzić postulat Euklidesa z pozostałych pewników, tedy zaprzeczenie tego postulatu łącznie z przyjęciem pozostałych pewników doprowadziłoby oczywiście do wyników sprzecznych; niemożliwym więc byłoby zbudować na takich przesłankach logicznie spójną geometryę.
Otóż Łobaczewski taką właśnie geometryę zbudował. Zakłada on na samym wstępie, że:
Przez dany punkt można przeprowadzić kilka równoległych do danej prostej.
Pozatym jednak zachowuje wszystkie inne pewniki Euklidesa. Z założeń tych wyprowadza on szereg twierdzeń nie zawierających żadnej sprzeczności, i buduje geometryę, której logika wewnętrzna nie ustępuje w niczym logice geometryi euklidesowej.
Twierdzenia te różnią się oczywiście bardzo od twierdzeń, do których jesteśmy przyzwyczajeni, i z początku nieco nas dziwią.
Tak naprzykład »Suma kątów trójkąta jest zawsze mniejsza od dwu prostych, i różnica między tą sumą a dwoma prostemi jest proporcyonalna do pola trójkąta«.
»Niemożliwe jest zbudować figurę podobną do figury danej lecz o innych rozmiarach«.
»Podzielmy okrąg na n równych części i poprowadźmy styczne w punktach podziału; styczne te utworzą wielokąt, jeżeli promień okręgu jest dostatecznie mały; — jeżeli natomiast jest on dostatecznie wielki, styczne nie spotkają się«.
Zbyteczne byłoby mnożenie tych przykładów; twierdzenia Łobaczewskiego różnią się zasadniczo od twierdzeń Euklidesa, niemniej wszakże są one logicznie ze sobą powiązane.
Geometrya Riemanna. — Wyobraźmy sobie świat, zaludniony wyłącznie przez istoty pozbawione grubości; przypuśćmy nadto, że te »nieskończenie płaskie« zwierzęta znajdują się wszystkie w jednej płaszczyźnie i nie mogą z niej wyjść. Przypuśćmy jeszcze, że świat ten jest dostatecznie oddalony od innych, aby nie ulegać ich wpływom. Skoro już gromadzimy przypuszczenia, tedy nic nam nie przeszkadza obdarzyć istoty te władzą rozumowania i uważać je za zdolne do zajmowania się geometryą. W geometryi swojej nadadzą one oczywiście przestrzeni dwa tylko wymiary.
Przypuśćmy jednak z kolei, że urojone te żyjątka pozostając nadal bez grubości, mają postać figur sferycznych nie zaś płaskich i znajdują się wszystkie na jednej kuli, od której nie mogą się oderwać. Jakąż będą one mogły zbudować geometryę? Przedewszystkim, oczywiście przypiszą one przestrzeni dwa tylko wymiary; rolę linii prostej dla nich grać będzie najkrótsza droga między dwoma punktami kuli, czyli łuk wielkiego koła; jednym słowem, geometrya ich będzie geometryą sferyczną.
Przestrzenią nazywać będą powierzchnię kulistą, z której nie mogą się wydostać i na której odbywają się wszystkie zjawiska, dostępne dla ich poznania. Przestrzeń ich nie będzie więc miała granic, gdyż można po kuli posuwać się ustawicznie przed siebie, nie trafiając nigdy na przeszkodę; będzie wszakże skończona; nigdy nie dojdzie się do jej krańca, lecz będzie można obejść ją dookoła.
Otóż geometrya Riemanna — to geometrya sferyczna, rozciągnięta do trzech wymiarów. Aby ją zbudować, matematyk niemiecki musiał odrzucić nietylko postulat Euklidesa, ale nadto pierwszy pewnik, który brzmi: Przez dwa punkty można przeprowadzić jedną tylko prostą.
Przez dwa punkty dane na kuli można przeprowadzić naogół jedno tylko wielkie koło (które, jakeśmy widzieli, odgrywa dla naszych istot urojonych rolę linii prostej); istnieje wszakże wyjątek: jeżeli dwa dane punkty są średnicowo przeciwległe, można przez nie przeprowadzić nieskończoną liczbę wielkich kół.
Podobnież w geometryi Riemanna (a przynajmniej w jednej z jej postaci) przez dwa punkty będzie przechodziła na ogół jedna tylko prosta; istnieją wszakże wypadki wyjątkowe, dla których przez dwa punkty będzie przechodziło nieskończenie wiele prostych.
Między geometryą Riemanna a geometryą Łobaczewskiego zachodzi pewnego rodzaju przeciwstawność.
Tak naprzykład suma kątów trójkąta jest:
równa dwu prostym w geometryi Euklidesa,
mniejsza od dwu prostych w geometryi Łobaczewskiego,
większa od dwu prostych w geometryi Riemanna.
Liczba równoległych do danej prostej, które można przeprowadzić przez dany punkt jest równa:
Jedności w geometryi Euklidesa,
Zeru w geometryi Riemanna,
Nieskończoności w geometryi Łobaczewskiego.
Dodajmy, że przestrzeń Riemanna jest skończona, jakkolwiek nieograniczona, w powyższym znaczeniu wyrazów.
Powierzchnie o stałej krzywiźnie. — Pozostawał atoli jeszcze jeden możliwy zarzut. Wprawdzie twierdzenia Łobaczewskiego i Riemanna nie zawierają żadnej sprzeczności; lecz jakkolwiek licznemi byłyby konsekwencye, które ci matematycy wyprowadzili ze swych założeń, musieli się oni zatrzymać, zanim te konsekwencye wyczerpali, boć ilość ich możnaby zwiększać do nieskończoności; któż więc zaręczy nam, że, jeśliby posunęli oni dalej swoje dedukcye, nie napotkaliby wreszcie jakiejś sprzeczności?
Wątpliwość ta nie zachodzi dla geometryi Riemanna, o ile ograniczymy się do dwóch wymiarów, albowiem dwuwymiarowa geometrya Riemanna nie różni się, jak widzieliśmy, od geometryi sferycznej, która jest gałęzią geometryi zwykłej, a więc stoi poza wszelką dyskusyą.
Beltrami sprowadził dwuwymiarową geometryę Łobaczewskiego również do jednej z gałęzi geometryi zwykłej i tym samym odparł ów zarzut w stosunku do niej.
Osiągnął on to w sposób następujący. Rozważmy na pewnej powierzchni dowolną figurę. Wyobraźmy sobie, że figura ta jest nakreślona na giętkim i nierozciągliwym płótnie, rozpostartym na tej powierzchni tak, iż przy zmianie miejsca i kształtu tego płótna poszczególne linie figury mogą zmieniać swój kształt, zachowując wszakże długość. Naogół giętka ta i nierozciągliwa figura nie będzie mogła się przesuwać, nie opuszczając tej powierzchni; istnieją przecież pewne powierzchnie szczególne, na których ruch taki jest możliwy: są to powierzchnie, o stałej krzywiznie.
Jeżeli powrócimy do porównania, którym posługiwaliśmy się już wyżej, i wyobrazimy sobie istoty pozbawione grubości, żyjące na jednej z takich powierzchni, będą one uważały za możliwy ruch figury, której wszystkie linie zachowują długość stałą. Ruch taki wydawałby się natomiast niedorzecznym żyjątkom dwuwymiarowym, przebywającym na powierzchni o krzywiznie zmiennej.
Powierzchnie te o krzywiznie stałej rozpadają się na dwie klasy:
Jedne posiadają krzywiznę dodatnią i mogą po odkształceniu zostać rozpostarte na kuli. Geometrya tych powierzchni sprowadza się więc do geometryi sferycznej, czyli geometryi Riemanna.
Inne posiadają krzywiznę ujemną. Beltrami okazał, że geometrya tych powierzchni jest taka sama, jak geometrya Łobaczewskiego. Geometrye dwuwymiarowe Riemanna i Łobaczewskiego dały się więc wprowadzić w związek z geometryą euklidesową.
Interpretacya geometryi nie-euklidesowych. — W ten sposób znika ostatni zarzut w stosunku do geometryi dwuwymiarowych.
Nie trudno byłoby rozciągnąć rozumowanie Beltramiego na geometrye trójwymiarowe. Umysły, których nie odstręcza przestrzeń czterowymiarowa, nie będą w tym widziały żadnej trudności, nie są one jednakże liczne. Obierzmy tedy inną drogę.
Rozważajmy pewną płaszczyznę, którą nazwiemy płaszczyzną podstawową i sporządźmy pewnego rodzaju słownik, w którym każdemu wyrazowi, wpisanemu do jednej kolumny, będzie odpowiadał wyraz wpisany do drugiej, zupełnie tak jak w zwykłych słownikach odpowiadają sobie wyrazy dwóch języków, posiadające to samo znaczenie:
| Przestrzeń ... | Część przestrzeni, leżąca nad płaszczyzną podstawową. |
| Płaszczyzna .. | Kula przecinająca normalnie płaszczyznę podstawową. |
| Prosta ..... | Koło przecinające pod kątem prostym płaszczyznę podstawową. |
| Kula ...... | Kula. |
| Koło ...... | Koło. |
| Kąt ....... | Kąt. |
| Odległość dwóch punktów .... |
Logarytm stosunku anharmonicznego tych dwóch punktów oraz przecięć płaszczyzny podstawowej z kołem, przechodzącym przez te dwa punkty i przecinającym ją pod kątem prostym; i t. d. i t. d. |
Weźmy następnie twierdzenia Łobaczewskiego i przetłumaczmy je zapomocą tego słownika tak, jakbyśmy przetłumaczyli tekst niemiecki zapomocą słownika niemiecko-francuskiego. Otrzymamy w ten sposób twierdzenia geometryi zwykłej.
Naprzykład twierdzenie Łobaczewskiego: »suma kątów trójkąta jest mniejsza od dwóch prostych« w tłumaczeniu takim brzmi: »Jeżeli boki trójkąta krzywolinijnego są łukami kół, które w przedłużeniu przecięłyby pod kątami prostemi płaszczyznę podstawową, suma kątów tego trójkąta krzywolinijnego będzie mniejsza, niż dwa proste«. Tak tedy, jakkolwiek daleko posuniemy się w wyprowadzaniu wniosków z założeń Łobaczewskiego, nie trafimy nigdy na sprzeczność. Istotnie bowiem, gdyby dwa twierdzenia Łobaczewskiego przeczyły sobie, to samo zachodziłoby dla przekładów dwu tych twierdzeń, dokonanych zapomocą naszego słownika; ale przekłady te są twierdzeniami geometryi zwykłej, a nikt nie wątpi, że geometrya zwykła wolna jest od sprzeczności. Skąd pochodzi ta pewność i czy da się usprawiedliwić? Jest to kwestya, której nie możemy rozważać tutaj, gdy wymagałaby ona dłuższych wywodów.
W każdym razie, zarzut przytoczony powyżej upada zupełnie.
Lecz to jeszcze nie wszystko. Geometrya Łobaczewskiego, skoro nadaje się do interpretacyi konkretnej, przestaje być próżnym ćwiczeniem logicznym i może znaleźć zastosowania; nie mogę mówić tutaj o tych zastosowaniach ani o ich wyzyskaniu przez Feliksa Kleina i przezemnie dla całkowania równań liniowych.
Interpretacya ta nie jest zresztą jedyną, i możnaby sporządzić kilka słowników analogicznych do powyższego, a wszystkie pozwoliłyby nam na przekształcenie zapomocą prostego »przekładu« twierdzeń Łobaczewskiego na twierdzenia geometryj zwykłej.
Pewniki utajone. — Czy pewniki, jawnie sformułowane w wykładach geometryi, są jedynemi jej podstawami? Można być z góry pewnym, że tak nie jest, skoro po kolejnym ich odrzuceniu pozostała jeszcze pewna liczba twierdzeń wspólnych teoryom Euklidesa, Łobaczewskiego i Riemanna. Twierdzenia te muszą opierać się na jakichś przesłankach, które geometrzy zakładają, nie formułując ich jawnie. Ciekawe byłoby wydzielenie ich z dowodzeń klasycznych.
Stuart-Mili twierdził, że każde określenie zawiera w sobie pewnik, albowiem określając, zakładamy domyślnie istnienie określanego przedmiotu. Posunął on się przecież zbyt daleko; w matematyce zdarza się rzadko, by po określeniu nie dawano dowodu istnienia określonego przedmiotu, a kiedy sobie tego oszczędzamy, to zazwyczaj dlatego, że czytelnik z łatwością sam to może uzupełnić. Pamiętać należy, że wyraz »istnienie« ma różne znaczenia zależnie od tego, czy stosuje się do tworu matematycznego, czy też do przedmiotu materyalnego. Twór matematyczny istnieje zawsze, byle jego określenie nie zawierało sprzeczności, bądź wewnętrznej, bądź w stosunku do twierdzeń poprzednio przyjętych.
Jeżeli wszakże uwaga Stuarta Milla nie da się zastosować do wszystkich określeń, to niemniej jest ona słuszna w odniesieniu do niektórych z pośród nich. Spotykamy się niekiedy z następującym określeniem płaszczyzny:
Płaszczyzną nazywamy powierzchnię taką, iż prosta, łącząca dwa jakiekolwiek z jej punktów, cała leży na tej powierzchni.
Określenie to kryje w sobie najwyraźniej nowy pewnik; możnaby wprawdzie wprowadzić do niej pewne zmiany — i lepiej byłoby to uczynić — ale wówczas trzebaby sformułować jawnie ów domyślny pewnik.
Inne określenia nasuwają niemniej doniosłe uwagi.
Takie jest np. określenie równości dwóch figur: dwie figury są równe, gdy można je nałożyć na siebie; aby tego dokonać trzeba przenieść jedną z nich tak, aby zlewała się z drugą, ale jak należy ją przenieść? Na pytanie to odpowiedzianoby nam zapewne, że należy ją przenosić, nie zmieniając jej kształtu, na podobieństwo bryły niezmiennej. Odpowiedź ta zawierałaby oczywiście błędne koło.
W rzeczy samej, definicya ta nie określa niczego; nie miałaby ona żadnego sensu dla istoty, zamieszkującej świat, w którym istniałyby jedynie płyny. Jeżeli nam wydaje się ona jasną, to dlatego, że jesteśmy przyzwyczajeni do własności przyrodzonych brył stałych, nie wiele różniących się od własności brył idealnych, których wszystkie wymiary pozostawałyby niezmiennemi.
Ale obok wszystkich tych braków, w określeniu tym tkwi jeszcze pewien utajony pewnik.
Możliwość ruchu figury niezmiennej nie jest sama przez się oczywistą, a jeżeli jest ona oczywistą to w takim tylko znaczeniu, jak postulat Euklidesa, nie zaś jak sądy analityczne a priori.
Roztrząsając zresztą określenia i dowodzenia geometryi, przekonywamy się, że zachodzi konieczność przyjęcia bez dowodu nietylko możliwości tego ruchu, ale nadto niektórych jego własności.
Wynika to przedewszystkim z samego określenia linii prostej. Istnieje wiele wadliwych określeń tej linii, prawdziwą wszakże jest poniższa, tkwiąca domyślnie we wszystkich dowodzeniach, do których wchodzi linia prosta:
»Może się zdarzyć, że ruch figury niezmiennej odbywa się w sposób taki, iż wszystkie punkty pewnej linii, należącej do tej figury, pozostają nieruchome, gdy wszystkie punkty poza tą linią leżące poruszają się. Linia taka nazywać się będzie linią prostą«. Rozmyślnie oddzieliliśmy, w tym sformułowaniu, określenie od związanego z nim pewnika.
Wiele dowodzeń — np. rozmaitych wypadków równości trójkątów, możliwości opuszczenia prostopadłej do danej prostej z danego punktu — przypuszcza domyślnie twierdzenia, których wyraźnego sformułowania oszczędzamy sobie; opierają się one bowiem na założeniu, że możliwe jest przeniesienie w pewien sposób figury w przestrzeni.
Czwarta geometrya. — Z pośród tych pewników domyślnych jeden zdaje nam się zasługiwać na uwagę, gdyż odrzucenie go pozwala na zbudowanie czwartej geometryi, równie logicznie spójnej, jak geometrye Euklidesa, Łobaczewskiego i Riemanna.
Aby dowieść, że można zawsze wznieść w punkcie A prostopadłą do danej prostej AB, rozważa się prostą AC, ruchomą dokoła punktu A i zlewającą się pierwotnie z prostą stałą AB i każe się jej obracać dokoła punktu A aż przystanie ona do przedłużenia AB.
Czyni się przytym dwa założenia: naprzód, że obrót taki jest możliwy, powtóre, że można go dokonywać, póty aż jedna z prostych stanie się przedłużeniem drugiej.
Przyjmując pierwsze założenie, a odrzucając drugie, otrzymalibyśmy szereg twierdzeń dziwniejszych jeszcze niż twierdzenia Łobaczewskiego i Riemanna, ale równie jak tamte wolnych od wszelkich sprzeczności.
Przytoczę jedno tylko z tych twierdzeń, i to nie najosobliwsze: prosta rzeczywista może być do siebie samej prostopadła.
Twierdzenie Liego. — Liczba pewników wprowadzonych domyślnie do dowodzeń klasycznych jest większa, niżby to było niezbędne; interesujące więc byłoby sprowadzenie ich do minimum. Możnaby sobie uprzednio zadać pytanie, czy jest to wogóle możliwe, czy liczba pewników niezbędnych i liczba geometryi możliwych nie jest nieskończona.
Nad całą tą kwestyą góruje pewne twierdzenie, podane przez Sophusa Liego. Można je tak wysłowić:
Przypuśćmy następujące przesłanki:
1° Przestrzeń posiada n wymiarów;
2° Ruch figury niezmiennej jest możliwy;
3° Trzeba p warunków, aby oznaczyć położenie tej figury w przestrzeni.
Natenczas liczba różnych geometryi zgodnych z temi przesłankami będzie ograniczona.
Możemy nawet dodać, że jeśli n jest dane, to można wyznaczyć dla p pewną górną granicę.
Jeżeli więc zakłada się możliwość ruchu (bez odkształcenia) liczba geometryi trójwymiarowych, które możnaby wymyślić, jest skończona (a nawet dość niewielka).
Geometrye Riemanna. — Wynikowi temu przeczą napozór badania Riemanna, który skonstruował nieskończenie wiele różnych geometryi, a ta, której zazwyczaj daje się jego imię, jest tylko wypadkiem szczególnym.
Wszystko zależy, powiada on, od sposobu, w jaki określa się długość krzywej. Otóż istnieje nieskończenie wiele sposobów określenia tej długości, a każdy z nich może się stać punktem wyjścia nowej geometryi.
Jest to całkiem słuszne, lecz większość tych określeń nie da się pogodzić z ruchem figury niezmiennej, którego możliwość zakłada się w twierdzeniu Liego. Te geometrye Riemanna, lubo wielce interesujące pod wielu względami, pozostałyby więc zawsze czysto analitycznemi i nie nadawałyby się do dowodzeń analogicznych do euklidesowych.
O istocie pewników. — Większość matematyków uważa geometryę Łobaczewskiego za prostą tylko ciekawostkę logiczną; niektórzy wszakże idą dalej. Skoro kilka jest geometryi możliwych, czyż pewnym jest, że prawdziwą jest nasza? Wprawdzie doświadczenie nas uczy, że suma kątów w trójkącie jest równa dwóm prostym; ale to dlatego, że operujemy tylko zbyt małemi trójkątami; różnica jest, według Łobaczewskiego, proporcyonalna do pola trójkąta: czy nie może się ona stać dostrzegalną, gdy będziemy mieli do czynienia z trójkątami większemi, albo też gdy pomiary nasze staną się dokładniejsze? Geometrya euklidesowa byłaby w takim razie tylko prowizoryczną.
Ażeby roztrząsnąć ten pogląd, musimy przedewszystkim zadać sobie pytanie, jaka jest istota pewników geometrycznych?
Czy są to sądy syntetyczne a priori, jak mówił Kant?
Gdyby tak było, narzucałyby się nam one z siłą taką, że nie moglibyśmy wprost pojmować twierdzeń przeciwnych ani też budować na nich gmachów teoretycznych. Nie byłoby więc geometryi nieeuklidesowej.
Aby się o tym przeświadczyć, weźmy prawdziwy sąd syntetyczny a priori, ten naprzykład, którego rolę przemożną okazaliśmy w rozdziale pierwszym:
Jeżeli twierdzenie jest prawdziwe dla liczby 1 i jeżeli dowiedziono, że jest ono prawdziwe dla n +1, skoro jest nim dlan, tedy będzie ono prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich.
Spróbujmyż wyzwolić się od tego twierdzenia i przyjmując założenie przeciwne, zbudować fałszywą arytmetykę analogiczną do geometryi nieeuklidesowej — nie potrafimy tego dokonać; skłonni nawet bylibyśmy zrazu uważać te sądy, za analityczne.
Powróćmy z drugiej strony do naszej fikcyi o żyjątkach pozbawionych grubości; niepodobna wprost przypuścić, by istoty te, o ile mają umysł ukształtowany na podobieństwo naszego, przyjęły geometryę euklidesową, której przeczyłoby wszelkie ich doświadczenie.
Czyż mamy wobec tego wnieść, że pewniki geometryi są prawdami doświadczalnemi? Ale przedmiotem doświadczeń nie są idealne proste lub okręgi; dotyczyć one mogą jedynie przedmiotów materyalnych. Do czegóż miałyby się tedy ściągać doświadczenia, któreby służyły za podstawę geometryi? Odpowiedź jest łatwa.
Widzieliśmy wyżej, że rozumuje się ustawicznie tak, jak gdyby figury geometryczne zachowywały się na wzór brył stałych. Geometrya miałaby więc zapożyczyć od doświadczenia własności tych brył?
Własności światła i prostolinijne jego rozchodzenie się dały również pochop do wprowadzenia niektórych twierdzeń do geometryi a w szczególności do geometryi rzutowej, tak, iż z tego stanowiska możnaby mniemać, że geometrya metryczna jest to badanie brył stałych, a geometrya rzutowa badanie światła.
Zachodzi wszakże pewna trudność, i to trudność niepokonalna. Gdyby geometrya była nauką doświadczalną, nie byłaby nauką ścisłą, podlegałaby ustawicznej rewizyi. Powiemy więcej: dziś już powinnibyśmy ją uważać za błędną, bo wiemy, że niema brył zupełnie niezmiennych.
Pewniki geometryczne nie są więc ani sądami syntetycznemi a priori ani faktami doświadczalnemi.
Są one umowami; w wyborze naszym pomiędzy wszystkiemi możliwemi umowami kierujemy się faktami doświadczalnemi; pozostaje on wszakże wolny, i ogranicza go jedynie warunek unikania wszelkich sprzeczności. W ten to sposób postulaty mogą pozostawać ściśle prawdziwemi nawet wówczas, gdy prawa doświadczalne, które wpłynęły na ich wybór, są tylko przybliżone.
Innemi słowy, pewniki geometryi (nie mówimy o pewnikach arytmetyki) są to określenia zamaskowane.
Cóż wobec tego należy myśleć o pytaniu: Czy geometrya euklidesowa jest prawdziwa?
Niema ono sensu.
Równie dobrze możnaby pytać, czy system metryczny jest prawdziwy a dawne miary fałszywe; czy spółrzędne kartezyańskie są prawdziwe a spółrzędne biegunowe fałszywe. Jedna geometrya nie może być prawdziwsza niż inna; może tylko być dogodniejsza.
Otóż geometrya euklidesowa jest i pozostanie najdogodniejszą:
1° Dlatego, że jest najprostsza; a jest nią nietylko naskutek naszych nawyknień umysłowych czy też jakiejś bezpośredniej intuicyi przestrzeni euklidesowej; jest ona najprostsza sama przez się, podobnie jak wielomian pierwszego stopnia jest prostszy od wielomianu drugiego stopnia; wzory trygonometryi kulistej są zawilsze niż — prostolinijnej, i takimi też wydawałyby się analitykowi, który nie znałby ich znaczenia geometrycznego.
2° Dlatego, że przystosowana jest dość dobrze do własności brył stałych przyrodzonych, brył, do których zbliżają się członki naszego ciała i nasze oko i z których sporządzamy nasze przyrządy miernicze.
