Nauka i Metoda/Rozumowanie matematyczne/Matematyka i Logika
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Matematyka i Logika |
| Pochodzenie | Nauka i Metoda / Rozumowanie matematyczne |
| Wydawca | G. Centnerszwer i Ska. |
| Data wyd. | 1911 |
| Druk | Drukarnia Narodowa w Krakowie |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Tłumacz | Maksymilian Horwitz |
| Źródło | Skany na Commons |
| Inne | Pobierz jako: EPUB  • PDF  • MOBI  Cały tekst Cała Księga Druga |
| Indeks stron | |
Czy matematyka może zostać sprowadzona do logiki, czy może się obejść bez właściwych sobie zasad? Istnieje cała szkoła, pełna zapału i wiary, usiłująca wykazać, że tak jest. Posiada ona swój specjalny język, w którym niema słów, i który się posługuje jedynie znakami. Język ten jest rozumiany jedynie przez niewielką ilość wtajemniczonych, profani więc skłonni są ufać ich stanowczym orzeczeniom. Nie będzie, być może, bez pożytku rozpatrzenie nieco bliższe tych orzeczeń, aby przekonać się, czy wykluczający wszelkie wątpienie ich ton jest usprawiedliwiony.
Dla tym lepszego przecież zrozumienia natury kwestji, trzeba będzie wdać się w niektóre szczegóły historyczne, zwłaszcza przypomnieć charakter prac Cantora.
Oddawna już wprowadzone zostało do matematyki pojęcie nieskończoności; lecz nieskończoność ta była, mówiąc językiem filozofów, stawaniem się. Nieskończoność matematyczna była jedynie ilością, zdolną rosnąć ponad wszelkie granice; była to ilość zmienna, o której nie można było powiedzieć, że przekroczyła wszelkie granice, lecz że może je przekroczyć.
Cantor przedsięwziął wprowadzenie do matematyki nieskończoności aktualnej, to znaczy ilości, która nietylko jest zdolna przekroczyć wszelkie granice, lecz którą uważa się za taką, która je istotnie przekroczyła. Nasuwają się pytania w rodzaju następujących: Czy punktów w przestrzeni jest więcej niż liczb całkowitych? Czy w przestrzeni jest więcej punktów niż na płaszczyźnie? Itp.
Ilość liczb całkowitych, ilość punktów w przestrzeni itd. jest dla Cantora liczbą kardynalną nadskończoną, to znaczy liczbą kardynalną większą niż wszystkie zwykłe liczby kardynalne. Zajął się on następnie porównaniem tych liczb kardynalnych nadskończonych; przez ułożenie w odpowiednim porządku elementów zespołu, który zawiera ich nieskończoność, wymyślił on również liczby porządkowe nadskończone, nad któremi się nie będę tutaj rozwodził.
Liczni matematycy puścili się w jego ślady i postawili sobie szereg podobnych pytań. W takim stopniu spoufalili się z liczbami nadskończonemi, że w końcu doszli do uzależnienia teorji liczb skończonych od teorji liczb kardynalnych Cantora. Ich zdaniem prawdziwie logiczny wykład matematyki powinien rozpocząć od ustanowienia własności ogólnych liczb kardynalnych nadskończonych, i następnie wyodrębnić z pośród nich pewną malutką klasę — zwykłych liczb całkowitych. Dzięki tej okólnej drodze możnaby było dowieść wszystkich twierdzeń, dotyczących tej małej klasy (to znaczy całej naszej arytmetyki i algiebry), nie opierając się na żadnej zasadzie, nieobjętej logiką.
Metoda ta jest oczywiście przeciwna wszelkiej zdrowej psychologji; nie tak z pewnością postępował umysł ludzki, gdy budował matematykę; to też autorzy jej nie zamierzają, jak mniemam, wprowadzić ją do nauczania średniego. Ale czy jest ona przynajmniej logiczna, albo, mówiąc trafniej, czy jest poprawna? Wolno jest o tym wątpić.
Jednakże matematycy, którzy się nią posługiwali, są bardzo liczni. Nagromadzili wzory i wyzwolili się w swym mniemaniu od wszystkiego, co nie jest czystą logiką, przez napisanie rozpraw, w których wzory nie są przeplatane, jak to bywa w zwykłych książkach matematycznych, mową wyjaśniającą, lecz z których mowa ta zupełnie znikła.
Na nieszczęście doszli oni do wyników sprzecznych ze sobą, do tak zwanych antynomji cantorowskich, do których będziemy mieli sposobność powrócić. Sprzeczności te nie zniechęciły ich, pobudziły ich raczej do wprowadzenia zmian do stosowanych reguł tak, iżby ujawnione już sprzeczności zostały usunięte, co zresztą nie gwarantuje zupełnie od ukazania się sprzeczności nowych.
Czas jest poddać sprawiedliwemu sądowi te przesadne dążności. Nie mam nadziei, że przekonam ich wyznawców; gdyż zbyt długo żyli w tej atmosferze. Zresztą, kiedy obaliliście jeden z ich dowodów, możecie być pewni, że odrodzi się on jutro z nieznacznemi zmianami, i niektóre zpośród nich kilkakrotnie już powstawały z popiołów. Podobne są do starożytnej hydry lerneńskiej o słynnych, wciąż znowu odrastających głowach. Herkules dał sobie z nią radę, bo jego hydra miała dziewięć tylko czy też jedenaście głów; ale tutaj jest ich więcej, są one w Anglji, w Niemczech, we Włoszech, we Francji, i sam Herkules musiałby spasować. Odwołuję się przeto jedynie do ludzi zdrowego rozsądku bez uprzedzeń.
W ostatnich latach ogłoszono wiele prac o matematyce czystej i filozofji matematyki, zmierzających do wywikłania i wyodrębnienia z rozumowania matematycznego pierwiastków logicznych. Prace te zanalizował i wyłożył z dużą jasnością Couturat w dziele zatytułowanym: »Zasady Matematyki«.
Zdaniem Couturat nowsze prace, zwłaszcza prace Russella i Peano ostatecznie, rozstrzygnęły tak długo ciągnący się spór między Leibnitzem a Kantem. Wykazali oni, że niemasz sądu syntetycznego a priori (jak Kant nazywał sądy których nie można dowieść analitycznie, ani sprowadzić do tożsamości, ani ustanowić doświadczalnie), wykazali, że matematyka daje się całkowicie sprowadzić do logiki, i że intuicja nie gra w niej żadnej roli.
To właśnie wyłożył Couturat w wymienionej powyżej książce; to samo wypowiedział wyraźniej jeszcze w mowie swojej na jubileuszu Kanta, czym spowodował mego sąsiada do zauważenia półgłosem: »Widać, że obchodzimy setną rocznicę śmierci Kanta«.
Czy możemy się podpisać pod tym ostatecznym wyrokiem? Nie sądzę, i spróbuję okazać, dlaczego.
W nowej matematyce uderza nas przedewszystkiem czysto formalny jej charakter: »Pomyślmy, mówi Hilbert, trzy rodzaje rzeczy, które nazywać będziemy punktami, prostemi i płaszczyznami, umówmy się, że prosta będzie oznaczona przez dwa punkty, i że zamiast mówić, że ta prosta jest oznaczona przez dwa punkty, będziemy mogli mówić, że przechodzi ona przez te dwa punkty, albo też, że te dwa punkty leżą na tej prostej«. Nie tylko nie wiemy, czym są te rzeczy, lecz nie powinniśmy nawet próbować się tego dowiedzieć. Nie potrzebujemy tego, i ktoś, ktoby nigdy nie widział ani punktu, ani prostej, ani płaszczyzny, mógłby uprawiać gieometrję równie dobrze jak my. Niech wyrażenie przechodzić przez lub wyrażenie leżeć na nie wywołuje w nas żadnego obrazu, gdyż pierwsze jest poprostu synonimem wyrażenia być oznaczonym, drugie wyrażenia oznaczać.
Tak tedy, aby dowieść pewnego twierdzenia, nie jest potrzebne ani nawet pożyteczne wiedzieć, co ono oznacza. Możnaby zastąpić gieometrę przez fortepian do rozumowania, wymyślony przez Stanley Jevonsa; albo, jeśli wolicie, możnaby wymyślić maszynę taką, iż w jeden jej koniec wkładanoby pewniki, a z drugiego otrzymywanoby twierdzenia, podobnie jak do legiendarnej maszyny chicagoskiej wkłada się żywe wieprze a wydobywa szynki i kiełbasy. Matematyk nie potrzebuje więcej niż ta maszyna rozumieć, co robi.
Z tego formalnego charakteru jego gieometrji nie robię zarzutu Hilbertowi. Ku temu musiał dążyć wobec zagadnienia, jakie sobie postawił. Przedsięwziął on sprowadzić do minimum liczbę podstawowych pewników gieometrji i sporządzić zupełną ich listę; otóż w rozumowaniach, w których umysł nasz pozostaje czynnym, w których intuicja odgrywa jeszcze pewną rolę, w rozumowaniach, że tak powiem, żywych, trudno jest nie wprowadzić jakiegoś pewnika lub postulatu, któryby pozostał niedostrzeżony. Dlatego dopiero po sprowadzeniu wszystkich rozumowań gieometrycznych do postaci czysto mechanicznej mógł on mieć pewność, że spełnił swoje zamierzenie i wykończył swe dzieło.
Inni podjęli zrobienie dla arytmetyki i dla analizy tego, co Hilbert zrobił dla gieometrji. Czy jednak, nawet gdyby im się to całkowicie powiodło, równałoby się to ostatecznemu skazaniu kantystów na milczenie? Może niezupełnie — gdyż sprowadzenie myśli matematycznej do próżnej formy z całą pewnością myśl tę kaleczy. Przypuśćmy nawet, że dowiedziono, iż wszystkie twierdzenia można wyprowadzić zapomocą metod czysto analitycznych, zapomocą prostych kombinacji logicznych ze skończonej ilości pewników, i że pewniki te są jedynie umowami. Filozof miałby prawo dochodzić źródeł tych umów, badać, dlaczego uznano je za lepsze, niż umowy przeciwne.
Dalej, logiczna poprawność rozumowań, które prowadzą od pewników do twierdzeń, nie jest jedyną rzeczą, którą się mamy zajmować. Czy prawidła doskonałej logiki wyczerpują całą matematykę? Równałoby się to powiedzeniu, że sztuka szachisty sprowadza się do prawideł posuwania figur. W pośród wszystkich konstrukcji, które można skombinować z materjałów, jakich dostarcza logika, trzeba dokonać wyboru; prawdziwy gieometra dokonywa wyboru trafnie, bo kieruje nim określony instynkt lub niewyraźne poczucie jakiejś głębszej, bardziej ukrytej gieometrji, która jedynie nadaje wartość całej skonstruowanej budowli.
Poszukiwać źródło tego instynktu, badać prawa tej głębokiej gieometrji, które się czuje lecz których się nie formułuje, byłoby też pięknym zadaniem dla filozofów, którzy nie chcą, by logika była wszystkim. Nie z tego wszakże punktu widzenia chcę patrzeć, nie tak chcę postawić kwestję. Instynkt ten, o którym mówiłem powyżej, niezbędny jest dla tych, co tworzą, zdawaćby się jednak mogło, że możnaby się bez niego obejść przy uczeniu się danej już stworzonej nauki. Otóż chcę poddać zbadaniu, czy prawdą jest, że skoro przyjmiemy za dane zasady logiki, można już nie odkryć lecz dowieść wszystkich prawd matematycznych, nie odwołując się znowu do intuicji.
Na pytanie to dałem dawniej już odpowiedź przeczącą (p. Nauka i Hypoteza, rozdział I); czy nowsze prace pobudzają nas zmienienia tej odpowiedzi? Jeśli odpowiedź moja brzmiała przecząco, to dlatego, że »zasada indukcji zupełnej« wydawała mi się niezbędną dla matematyka i niedającą się sprowadzić do logiki. Zasada ta, jak wiadomo ma następujące brzmienie:
»Jeśli pewna własność jest prawdziwa dla liczby 1, i jeśli ustanowimy, że jest ona prawdziwa dla n + 1 o ile jest prawdziwa dla n, tedy będzie ona prawdziwa dla wszystkich liczb całkowitych«. Upatrywałem w tej zasadzie rozumowania matematyczne par excellence. Nie chciałem przez to powiedzieć, jak mniemali niektórzy, że wszystkie rozumowania matematyczne dadzą się sprowadzić do zastosowania tej zasady. Bliższe nieco rozpatrzenie tych rozumowań wykazałoby nam, że stosują one wiele innych analogicznych zasad, posiadających te same cechy istotne. Zasada indukcji zupełnej jest tylko najprostszą ze wszystkich tej kategorji, i dlatego wybrałem ją, jako typ.
Nazwa zasady indukcji zupełnej, która się upowszechniła, nie jest trafna. Niemniej ten tryb rozumowania jest prawdziwą indukcją matematyczną, różniącą się od indukcji zwykłej jedynie swą pewnością.
Istnienie takich zasad stanowi trudność dla nieprzejednanych logików; jakże dają sobie z nią radę? Zasada indukcji zupełnej, mówią oni, nie jest właściwym pewnikiem czyli sądem syntetycznym a priori; jestto poprostu definicja liczby całkowitej. Jestto więc prosta umowa. Ażeby roztrząsnąć ten pogląd, musimy zbadać nieco bliżej stosunki między definicjami a pewnikami.
Zajrzyjmy nasaprzód do artykułu Couturat o definicjach matematycznych, umieszczonego w czasopiśmie »l’Enseignement mathématique«, wydawanym przez księgarnie Gauthier-Villarsa w Paryżu i Georga w Gienewie. Znajdziemy w tym artykule rozróżnienie między definicją bezpośrednią i definicją przez postulaty.
»Definicja przez postulaty, mówi Couturat, stosuje się nie do jednego oddzielnego pojęcia lecz do układu pojęć; polega ona na wyliczeniu zależności podstawowych, które je łączą, i które wystarczają dla dowiedzenia wszystkich innych własności; zależności te są postulatami...«
Jeżeli uprzednio określono wszystkie te pojęcia prócz jednego, tedy to ostatnie będzie mocą definicji przedmiotem, czyniącym zadość tym postulatom.
Tak więc niektóre niedające się dowieść pewniki matematyczne miałyby być poprostu przebranemi definicjami. Stanowisko to jest często słuszne; i ja je podzielam w stosunku n. p. do postulatu Euklidesa.
Inne pewniki gieometrji nie wystarczają dla zupełnego określenia odległości; odległością jest tedy, mocą definicji, ta zpośród wszystkich wielkości, czyniących zadość tym innym pewnikom, dla której postulat Euklidesa jest prawdziwy.
Otóż logicy zapatrują się na zasadę indukcji zupełnej tak, jak ja na postulat Euklidesa, chcą w niej widzieć jedynie przebraną definicję.
Aby wszakże na to mieli prawo, muszą być spełnione dwa warunki. Stuart Mill powiedział, że każda definicja przypuszcza pewnik, opiewający, że definjowany przedmiot rzeczywiście istnieje. W tym rozumieniu nie pewnik byłby przebraną definicją lecz przeciwnie definicja — przebranym pewnikiem. Stuart Mill rozumiał wyraz »istnieć« w znaczeniu materjalnym i empirycznym; chciał on powiedzieć, że definjując koło, twierdzi się, że w przyrodzie istnieją rzeczy okrągłe.
W tej postaci niepodobna się zgodzić z jego poglądem. Matematyka jest niezależna od istnienia przedmiotów materjalnych; w matematyce wyraz »istnieć« może mieć jedno tylko znaczenie — znaczy on: być wolnym od sprzeczności. Z tą poprawką myśl Stuarta Milla staje się słuszną; definjując pewien przedmiot, twierdzimy, że definicja nie zawiera w sobie sprzeczności.
Jeżeli tedy mamy pewien układ postulatów i jeżeli potrafimy dowieść, że postulaty te nie zawierają sprzeczności, będziemy mieli prawo uważać je za definicję jednego z figurujących w nich pojęć. Jeżeli nie możemy tego dowieść, musimy to przyjąć bez dowodu, i to właśnie będzie pewnikiem; i w ten sposób, szukając definicji pod postulatem, znajdziemy znowu pewnik pod definicją.
Aby okazać, że definicja nie zawiera sprzeczności, posługujemy się najczęściej przykładem, usiłujemy znaleźć przykład przedmiotu, czyniącego zadość definicji. Weźmy definicję przez postulaty; chcemy zdefinjować pojęcie A i mówimy, że mocą definicji do kategorji A należy każdy przedmiot, dla którego pewne postulaty są prawdziwe. Jeżeli potrafimy dowieść bezpośrednio, że wszystkie te postulaty są prawdziwe dla pewnego przedmiotu B, definicja będzie usprawiedliwiona; przedmiot B będzie przykładem dla kategorji A. Będziemy mieli pewność, że postulaty nie są ze sobą sprzeczne, skoro istnieją wypadki, w których wszystkie one są prawdziwe.
Ale taki bezpośredni dowód przez przykład nie zawsze jest możliwy.
Ażeby ustanowić, że postulaty nie zawierają sprzeczności, trzeba wówczas rozpatrzeć wszystkie twierdzenia, jakie dają się wyprowadzić z tych postulatów, uważanych jako przesłanki, i wykazać, że pośród tych twierdzeń niema dwóch, z którychby jedno było w sprzeczności z drugim. Jeżeli ilość tych twierdzeń jest skończona, bezpośrednie sprawdzenie jest możliwe. Wypadek taki jest nieczęsty i mało zresztą interesujący.
Jeżeli ilość tych twierdzeń jest nieskończona, przeprowadzenie takiego bezpośredniego sprawdzenia nie jest możliwe; trzeba się uciec do sposobów dowodzenia, które zwykle będą się musiały powoływać na tę zasadę indukcji zupełnej, którą właśnie chce się poddać sprawdzeniu.
Wyłuszczyliśmy powyżej jeden z warunków, którym logicy winni uczynić zadość, i zobaczymy dalej, że tego nie zrobili.
Istnieje inny ponadto warunek. Skoro dajemy definicję, to po to, by się nią posługiwać.
W dalszym więc ciągu wykładu znajdujemy zdefinjowany uprzednio wyraz; czy mamy prawo stosować do przedmiotu, który wyraz ten wyobraża, postulat, który nam posłużył jako definicja? Oczywiście, że tak, jeżeli tylko wyraz zachował to samo znaczenie, jeżeli nie przypisujemy mu domyślnie odmiennego znaczenia. Otóż zdarza się to niekiedy, i po większej części trudno jest to zauważyć; trzeba sprawdzić, w jaki sposób wyraz ten dostał się do naszego wykładu, i czy w samej rzeczy drzwi, przez które wszedł, nie wymagają innej definicji niż ta, która została sformułowana.
Trudność tę napotykamy we wszystkich zastosowaniach matematyki. Pojęcie matematyczne ujęliśmy w definicję oczyszczoną i ścisłą; i dla czystego matematyka niemasz miejsca na żadne wahanie; kiedy wszakże zechcemy je zastosować do nauk fizycznych n. p., natenczas mamy nie to czyste pojęcie lecz przedmiot konkretny, który jest częstokroć grubym tylko pojęcia tego obrazem. Mówiąc, że przedmiot ten czyni bodaj w przybliżeniu zadość definicji, wypowiadamy nową prawdę, którą wynieść ponad wątpliwość może jedynie doświadczenie, i która nie posiada już cech na umowie opartego postulatu.
Ale i w obrębie matematyki czystej napotyka się tę samą trudność.
Dajecie subtelną definicję liczby; poczym, gdy załatwiliście się z definicją, nie myślicie o niej więcej; albowiem w istocie nie z definicji tej dowiedzieliście się, co to jest liczba, wiedzieliście to oddawna, i kiedy później pióro wasze kreśli wyraz liczba, wkładacie weń tę samą treść, co każdy; żeby wiedzieć, jaka jest ta treść, i czy jest ona rzeczywiście ta sama w tym lub innym zdaniu, trzeba sprawdzić, jak zostaliście naprowadzeni na mówienie o liczbie i na wprowadzenie tego wyrazu do każdego z tych zdań. Nie będę się tutaj dłużej nad tym rozwodził, gdyż będę miał sposobność do tego powrócić.
Tak tedy niechaj będzie wyraz, który określiliśmy jawnie przez wyraźną definicję A; stosujemy go następnie w wykładzie naszym w sposób, przypuszczający domyślnie inną definicję B. Możliwe jest, że obie definicje oznaczają ten sam przedmiot. Ale jeżeli tak jest, jestto nowa prawda, której trzeba albo dowieść, albo którą trzeba przyjąć jako niezależny pewnik.
Zobaczymy poniżej, że logicy nie uczynili temu drugiemu warunkowi lepiej zadość niż pierwszemu.
Definicje liczby bardzo są liczne i bardzo rozmaite; zrzekam się wyliczenia nawet nazwisk ich autorów. Nie powinno nas to dziwić, że jest ich tak wiele. Gdyby jedna z nich była zadowalająca, nie kuszonoby się o dawanie nowych. Jeżeli każdy nowy filozof, który zajmował się tą kwestją, uważał za konieczne wynaleźć inną definicję, to dlatego, że nie był zadowolony z definicji swych poprzedników, a nie był zadowolony dlatego, że wydawało mu się, że zawierają one błędne koło.
Ilekroć czytałem prace, poświęcone temu zagadnieniu, miałem zawsze silne uczucie niepokoju; ustawicznie spodziewałem się potknięcia o błędne koło, a jeślim go odrazu nie zauważał, obawiałem się, żem źle patrzył.
Bo nie można dać definicji, nie formułując zdania, a trudno jest sformułować zdanie, do któregoby nie wchodził wyraz, oznaczający jakąś liczbę, albo przynajmniej wyraz »kilka«, albo przynajmniej jakiś wyraz w liczbie mnogiej. Znajdziemy się wówczas na śliskiej pochyłości, która w każdej chwili naraża na niebezpieczeństwo spadku w błędne koło.
Poniżej zatrzymam się na tych jedynie definicjach, w których błędne koło najzręczniej jest ukryte.
Język symboliczny, stworzony przez Peano, odgrywa w nowych tych badaniach dużą bardzo rolę. Wprawdzie język ten posiada pewną pożyteczność, lecz zdaje mi się, że Couturat przywiązuje doń przesadną wagę, co wywołać musiało ździwienie u samego Peana.
Istotnym pierwiastkiem tego języka są pewne znaki algiebraiczne, przedstawiające poszczególne łączniki: jeżeli, i, albo, więc. Być może, że znaki te są dogodne; inną jest rzeczą, czy są one powołane do odnowienia całej filozofji. Trudno jest przypuścić, że wyraz jeżeli, skoro go napiszemy w postaci ᑐ nabiera nowej jakiejś mocy.
Ten wynalazek Peana nazywał się dawniej pazygrafją t. j. sztuką napisania traktatu matematycznego bez użycia ani jednego wyrazu z języka pospolitego. Nazwa ta określała bardzo wyraźnie jej stosowalność. Później podniesiono ją do wybitniejszej godności, nadając jej tytuł logistyki. Wyrazu tego używają podobno w Szkole wojennej dla oznaczenia sztuki wachmistrzowskiej (po francusku maréchal des logis), sztuki prowadzenia i rozkładania obozem wojska; jasne przecież jest, że nowa logistyka nie ma z tą nic wspólnego, że nowa ta nazwa zdradza zamiar dokonania przewrotu w logice.
Nową tę metodę widzimy przy pracy w rozprawie matematycznej Burali-Fortiego: »Una Questione sui numeri transfiniti«, umieszczonej w tomie XI Rendiconti del circolo matematico di Palermo.
Przedewszystkim zaznaczam, że jestto rozprawa bardzo ciekawa, i jeśli biorę ją tutaj jako przykład, to właśnie dlatego, że jest ona najważniejszą ze wszystkich, napisanych w nowym języku. Zresztą mogą ją czytać i profani, dzięki tłumaczeniu włoskiemu, podanemu między wierszami.
Ważność tej rozprawy polega na tym, że zawiera ona pierwszy przykład owych antynomji, które napotykamy w badaniu liczb nadskończonych, i które od kilku lat przyprawiają matematyków o rozpacz. Celem tej rozprawki, mówi Burali-Forti, jest okazanie, że mogą istnieć dwie liczby nadskończone (porządkowe) a i b, takie, iż a nie jest równe b, ani większe, ani mniejsze.
Niechaj się czytelnik uspokoi: aby zrozumieć poniższe rozważania, nie ma on potrzeby wiedzieć, co to jest liczba porządkowa nadskończona.
Owóż Cantor właśnie dowiódł, że między dwiema liczbami nadskończonemi, podobnie jak między dwiema liczbami skończonemi, nie może zachodzić żaden inny stosunek prócz równości lub nierówności w tę lub inną stronę. Ale nie o treści tej rozprawy chcę tutaj mówić: chcę jedynie zająć się jej formą, i pytam właśnie, czy forma ta pozwala dużo zyskać pod względem ścisłości, i czy wynagradza ona przez to wysiłki, jakich wymaga od pisarza i od czytelnika.
Burali-Forti daje nam taką oto definicję liczby 1:
która to definicja wybitnie się nadaje do tego, aby dać pojęcie o liczbie 1 ludziom, którzy nigdy o liczbie tej nie słyszeli.
Zbyt mało znam język peański, by odważyć się na krytykę, ale mam obawę, czy definicja ta nie zawiera petitio principii, bo zauważam 1 w cyfrze w pierwszej części równości i jeden literami w drugiej.
Jakkolwiek jest, Burali Forti wychodzi z tej definicji i po krótkim rachunku otrzymuje równanie
| (27) | 1 ε No |
które poucza nas, że Jeden jest liczbą.
Skoro już mówimy o tych definicjach pierwszych liczb, przypomnijmy, że Couturat określił również O i 1.
Co to jest zero? jestto ilość elementów klasy żadnej (classe nulle); a co to jest klasa żadna? jestto klasa nie zawierająca żadnego elementu.
Określać zero przez nul a nul przez żaden jestto doprawdy nadużywaniem bogactwa języka francuskiego; to też Couturat wprowadził do swojej definicji udoskonalenie przez to, że ją napisał tak oto:
co znaczy po polsku: zero jestto ilość przedmiotów, czyniących zadość warunkowi, który nigdy nie jest spełniony.
Ponieważ jednak nigdy znaczy w żadnym razie, nie widzę, by postęp był bardzo znaczny.
Spieszę dodać, że definicja liczby 1, jaką daje Couturat, jest bardziej zadawalająca.
Jeden, mówi on, jestto ilość elementów klasy, której dwa jakiekolwiek elementy są identyczne.
Jest ona bardziej zadawalająca, rzekłem, w tym sensie, że dla określenia 1 nie posługuje się on wyrazem jeden; wzamian zato posługuje się wyrazem dwa. Otóż obawiam się, że gdyby zapytano Couturat, co to jest dwa, musiałby się on uciec do wyrazu jeden.
Ale powróćmy do rozprawy Burali-Fortiego; powiedziałem, że wnioski jego znajdują się w bezpośredniej sprzeczności z wnioskami Cantora. Otóż pewnego dnia odwiedził mnie p. Hadamard, i rozmowa dotknęła tej antynomji.
»Czy rozumowanie Burali-Fortiego, powiedziałem mu, nie wydaje się panu bez zarzutu?
— Nie, przeciwnie, nie umiem nic zarzucić Cantorowi. Zresztą Burali-Forti nie miał prawa mówić o zespole wszystkich liczb porządkowych.
Chciałbym wiedzieć, kto mógłby go od tego powstrzymać, i czyż można powiedzieć, że pewien przedmiot nie istnieje, skoro go nazwano Ω?«
Napróżno jednak, nie mogłem go przekonać (co zresztą byłoby smutne, bo on właśnie miał rację). Czy dlatego tylko żem nie mówił dość wymownie po peańsku? być może, choć, w gruncie rzeczy, myślę, że nie dlatego.
Tak więc, pomimo całego tego pazygraficznego aparatu, kwestja nie została rozwiązana. Czego to dowodzi? Dopóki idzie jedynie o okazanie, że jeden jest liczbą, pazygrafja wystarcza, lecz skoro nastręcza się trudność, skoro trzeba rozwiązać antynomję, pazygrafja staje się bezsilna.
