Nauka i Metoda/Rozumowanie matematyczne/Nowe logiki
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Nowe logiki |
| Pochodzenie | Nauka i Metoda / Rozumowanie matematyczne |
| Wydawca | G. Centnerszwer i Ska. |
| Data wyd. | 1911 |
| Druk | Drukarnia Narodowa w Krakowie |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Tłumacz | Maksymilian Horwitz |
| Źródło | Skany na Commons |
| Inne | Pobierz jako: EPUB  • PDF  • MOBI  Cały tekst Cała Księga Druga |
| Indeks stron | |
Ażeby usprawiedliwić swe pretensje, logika musiała się przekształcić. Narodziły się nowe logiki, z pośród których najbardziej interesującą jest logika Russella. Mogłoby się zdawać, że o logice formalnej nie można napisać nic nowego, i że Arystoteles przejrzał ją do dna. Lecz pole, jakie Russell przypisuje logice, jest nieskończenie rozleglejsze niż pole logiki klasycznej, i powiodło mu się wypowiedzieć o tym przedmiocie poglądy oryginalne i niekiedy słuszne.
Przedewszystkim, podczas gdy logika Arystotelesa była przedewszystkim logiką klas, i za punkt wyjścia brała stosunek podmiotu do orzeczenia, Russell podporządkowuje logikę klas logice twierdzeń. Klasyczny sylogizm »Sokrates jest człowiekiem« itd. ustępuje miejsca sylogizmowi hypotetycznemu: Jeżeli A jest prawdziwe, B jest prawdziwe, otóż jeżeli B jest prawdziwe, C jest prawdziwe, i t. d. Jestto, moim zdaniem, bardzo fortunny pomysł, ponieważ klasyczny sylogizm daje się łatwo sprowadzić do sylogizmu hypotetycznego, gdy natomiast przekształcenie odwrotne nie daje się uskutecznić bez trudności.
Cowięcej: Russella logika twierdzeń jest badaniem praw, według których kombinują się spójniki jeżeli, i, albo i przeczenie nie. Stanowi to znaczne rozszerzenie dawnej logiki. Własności klasycznego sylogizmu rozciągają się bez trudności na sylogizm hypotetyczny, a w formach tego ostatniego łatwo jest rozpoznać formy scholastyczne; odnajduje się tedy wszystko, co jest istotne w logice klasycznej. Lecz teorja sylogizmu jest dopiero składnią spójnika jeżeli oraz, być może, przeczenia.
Przez dodanie dwu innych spójników i i albo Russell otwiera przed logiką nowe dziedziny. Znaki i, albo stosują się do tych samych praw, co znaki ✕ i ＋, to znaczy do praw przemienności, łączności i rozdzielności.
Tak i przedstawia mnożenie logiczne, gdy albo przedstawia dodawanie logiczne. I to również jest bardzo interesujące.
B. Russell dochodzi do wniosku, że z jakiegokolwiek twierdzenia fałszywego wynikają wszystkie inne twierdzenia prawdziwe lub fałszywe. Couturat powiada, że wniosek ten na pierwszy rzut oka wydawać się będzie paradoksalnym. Ale każdy, komu zdarzyło się poprawiać złą dysertację matematyczną, oceni, jak trafna jest uwaga Russella. Autor często potrzebuje znacznego mozołu, żeby dojść do pierwszego fałszywego równania, lecz skoro tylko je otrzymał, gromadzenie najbardziej zadziwiających rezultatów — z których ten lub ów może być nawet prawdziwy — idzie mu jak po maśle.
Widzimy, o ile nowa logika jest bogatsza od logiki klasycznej; rozporządza ona liczniejszemi symbolami, które pozwalają na urozmaicone kombinacje, i ilość tych kombinacji nie jest, jak poprzednio, ograniczona. Czy ma się prawo nadać takie rozszerzone znaczenie wyrazowi logika? Próżnym byłoby zastanawiać się nad tą kwestją i toczyć przeciw Russellowi poprostu spór o słowa. Przyznajmy mu to, czego żąda; lecz nie dziwmy się, jeśli niektóre prawdy, które uznano za niedające się sprowadzić do samej logiki, w dawnym tego słowa znaczeniu, zostaną w ten sposób sprowadzone do logiki w znaczeniu nowym, zupełnie od tamtego różnym.
Wprowadziliśmy wiele nowych pojęć, które nie są prostemi kombinacjami dawnych; Russell zdawał też sobie z tego sprawę, i nietylko na początku rozdziału pierwszego, to jest logiki twierdzeń, lecz również na początku rozdziału drugiego i trzeciego, to jest logiki klas i zależności, wprowadził on nowe wyrazy, które uznał za niedające się zdefinjować.
Ponadto wprowadza on również zasady, które uznaje za niedające się dowieść. Ale te niedające się dowieść zasady to są odwołania się do intuicji, to sądy syntetyczne a priori. Uważaliśmy je za intuicyjne, kiedyśmy je napotykali mniej lub bardziej jawnie sformułowane w wykładach matematyki; czyż zmieniła się ich natura przez rozszerzenie się znaczenia wyrazu logika i dlatego, że znajdujemy je teraz w książce, zatytułowanej: »Traktat logiki«? Charakter ich się nie zmienił; zmieniło się jedynie ich miejsce.
Czy zasady te możnaby uważać za przebrane definicje? W tym celu trzebaby móc dowieść, że nie zawierają one w sobie sprzeczności. Trzebaby dowieść, że jakkolwiek daleko przedłużyłoby się szereg dedukcji, nie naraziłoby się nigdy na sprzeczność.
Możnaby spróbować rozumować, jak następuje: Możemy sprawdzić, że działania nowej logiki, zastosowane do przesłanek wolnych od sprzeczności muszą dać wyniki również wolne od sprzeczności. Jeżeli przeto po n działaniach nie napotkamy sprzeczności, nie napotkamy jej również i po n+1. Niemożliwe jest przeto, żeby była chwila, kiedy sprzeczność się zaczyna, co dowodzi, że jej nie napotkamy nigdy. Czy mamy prawo tak rozumować? Nie — bo opieralibyśmy się na indukcji zupełnej; a zasady indukcji zupełnej — nie zapominajmy o tym — jeszcze nie znamy.
Nie mamy zatym prawa uważać te pewniki za przebrane definicje, i pozostaje nam jedno tylko wyjście: dla każdego z nich musimy przyjąć nowy akt intuicji. Taka też jest, jak sądzę, myśl Russella i Couturat.
Tak więc każde z dziewięciu niedających się zdefinjować pojęć, i z dwudziestu niedających się dowieść twierdzeń (myślę, że gdybym to ja je liczył, dorachowałbym się kilku więcej), które stanowią podstawę nowej logiki, logiki w znaczeniu szerokim, wymaga nowego i niezależnego aktu naszej intuicji i, czemu tego nie powiedzieć, prawdziwego sądu syntetycznego a priori. Co do tego punktu wszyscy zdają się być w zgodzie, ale Russell utrzymuje — i to wydaje mi się wątpliwym, że po tych odwołaniach się do intuicji rola jej się kończy; nie będzie już nigdy potrzeby ponownego odwoływania się do niej, i można będzie ukonstytuować całą matematykę, nie wprowadzając żadnego nowego elementu.
Couturat powtarza często, że ta nowa logika jest zupełnie niezależna od pojęcia liczby. Nie będę się bawił liczeniem, ile jego wykład zawiera przymiotników liczbowych zarówno kardynalnych jak porządkowych lub przymiotników nieoznaczonych, jak »kilka«. Przytoczmy przecież parę przykładów:
»Iloczyn logiczny dwu lub kilku twierdzeń jest...«;
»Wszystkie twierdzenia mogą posiadać jedynie dwie wartości, mogą być prawdziwe lub fałszywe«;
»Iloczyn względny dwu zależności jest zależnością«;
»Zależność zachodzi między dwu wyrazami«; itd. itd.
Niekiedy nie byłoby niemożliwym ominięcie tej niedogodności, ale też niekiedy stanowi ona istotę rzeczy. Zależność nie da się rozumieć bez dwu wyrazów; niepodobna mieć intuicję zależności bez jednoczesnej intuicji obu jej wyrazów i bez stwierdzenia, że jest ich dwa, albowiem warunkiem właśnie, żeby zależność można było pojąć, jest, aby wyrazów było dwa i tylko dwa.
Dochodzimy do tak nazwanej przez Couturat teorji porządkowej, która jest podstawą właściwej arytmetyki. Couturat zaczyna od sformułowania pięciu pewników Peana, które są niezależne, jak tego dowiedli Peano i Padoa.
1. Zero jest liczbą całkowitą.
2. Zero nie jest następnikiem żadnej liczby całkowitej.
3. Następnikiem liczby całkowitej jest liczba całkowita, do czego należałoby dodać:
każda liczba całkowita posiada następnik.
4. Dwie liczby całkowite są równe, jeżeli ich następniki są równe.
5-tym pewnikiem jest zasada indukcji zupełnej.
Couturat uważa te pewniki za przebrane definicje; stanowią one definicję przez postulaty: zera, »następnika« i liczby całkowitej.
Lecz widzieliśmy, że definicja przez postulaty wówczas tylko się nadaje, jeśli można dowieść, że nie zawiera ona w sobie sprzeczności.
Czy tak się rzeczy tutaj mają? Bynajmniej.
Dowodu nie można przeprowadzić przez przykład. Niemożna wybrać części liczb całkowitych np. trzy pierwsze, i okazać, że czynią one zadość definicji.
Jeżeli wezmę serję O, 1, 2 widzę wprawdzie, że czyni ona zadość pewnikom 1, 2, 4 i 5; ale żeby czyniła zadość pewnikowi 3, trzeba jeszcze, żeby 3 było liczbą całkowitą a więc, żeby serja 0, 1, 2, 3 czyniła zadość pewnikom; jakoż czyni ona zadość pewnikom 1, 2, 4 i 5, lecz pewnik 3 wymaga nadto, żeby 4 było liczbą całkowitą, i żeby serja 0, 1, 2, 3, 4 czyniła zadość pewnikom, i tak dalej.
Jest tedy niemożliwym przeprowadzenie dowodu pewników dla kilku liczb całkowitych bez przeprowadzenia tego dowodu dla wszystkich; trzeba się zrzec dowodu przez przykład.
Trzeba zatym wziąć wszystkie konsekwencje naszych pewników i zobaczyć, czy niema w nich sprzeczności. Gdyby ilość tych konsekwencji była skończona, byłoby to łatwe; ale jest ich nieskończoność; jestto cała matematyka albo przynajmniej cała arytmetyka.
Cóż tedy robić? Ostatecznie możnaby, być może, powtórzyć rozumowanie z Nr. III.
Ale, jak powiedzieliśmy, rozumowanie to jest indukcją zupełną, a idzie właśnie o sprawdzenie zasady indukcji zupełnej.
Przystąpmy z kolei do kapitalnej pracy Hilberta, którą przedstawił kongresowi matematyków w Heidelbergu, i której przekład francuski, dokonany przez Piotra Boutroux pojawił się w Enseignement mathematique jednocześnie z przekładem angielskim Halsteda w The Monist. W pracy tej, zawierającej myśli wielkiej głębokości, autor kładzie sobie cel podobny do celu Russella, lecz odchyla się w wielu punktach od swego poprzednika.
»Jednakże, mówi on, jeśli patrzeć zbliska, to okaże się, że w zasadach logicznych w postaci, jaką się im zwykle nadaje, tkwią już pewne pojęcia arytmetyczne, np. pojęcie Zespołu i, w pewnej mierze, pojęcie Liczby. W ten sposób wpadamy w błędne koło, i dlatego to, aby usunąć możliwość jakiegokolwiek paradoksu, zdawało mi się koniecznym rozwinąć jednocześnie zasady Logiki i zasady Arytmetyki«.
Widzieliśmy wyżej, że to, co mówi Hilbert o zasadach Logiki w postaci, jaką się im zwykle nadaje, stosuje się również do logiki Russella. Tak tedy dla Russella Logika poprzedza Arytmetykę; dla Hilberta są one »jednoczesne«. Znajdziemy później inne, bardziej jeszcze głębokie różnice. Wskażemy na nie w miarę ich ujawniania się, tymczasem wolę śledzić krok za krokiem rozwój myśli Hilberta, przytaczając dosłownie najważniejsze ustępy.
»Rozważmy przedewszystkiem przedmiot 1«. Stwierdźmy, że postępując w ten sposób, nie przypuszczamy zgoła pojęcie liczby, gdyż 1 jest dla nas poprostu symbolem, którego znaczenie nic nas nie obchodzi. »Grupy utworzone zapomocą tego przedmiotu przez powtórzenie go dwa, trzy, kilka razy...« Otóż tym razem jest już inaczej: skoro wprowadzamy wyrazy dwa, trzy i zwłaszcza kilka, wprowadzamy pojęcie liczby; i definicja liczby całkowitej skończonej, którą znajdziemy za chwilę, będzie nieco spóźniona. Autor był o wiele za przenikliwy, żeby nie dostrzec tego petitio principii. Toteż pod koniec swej pracy usiłuje on naprawić to zapomocą istnego gipsowania.
Hilbert wprowadza następnie dwa proste przedmioty 1 i = i rozpatruje wszystkie kombinacje tych dwu przedmiotów, wszystkie kombinacje ich kombinacji itd. Rozumie się samo przez się, że trzeba zapomnieć zwykłe znaczenie tych dwu znaków i nie przypisywać im żadnego. Dzieli on następnie te kombinacje na dwie klasy, na klasę istot i na klasę nie-istot, i aż do dalszych założeń podział ten jest całkowicie dowolny; wszelkie twierdzenie twierdzące mówi nam, że dana kombinacja należy do klasy istot; wszelkie twierdzenie przeczące mówi, że pewna kombinacja należy do klasy nie-istot.
Zaznaczmy teraz różnicę najwyższej doniosłości. Dla Russella przedmiot jakikolwiek, który oznacza on przez x, jestto przedmiot zupełnie nieoznaczony, co do którego nie przypuszcza on nic; dla Hilberta jestto jedna z kombinacji, utworzonych z symbolów 1 i =; nie pojmuje on wprowadzania czegokolwiek innego prócz kombinacji przedmiotów już zdefinjowanych. Hilbert formułuje zresztą swą myśl w sposób najwyraźniejszy, i uważam za konieczne przytoczyć in extenso odnośny ustęp. »Wyrazy nieoznaczone, figurujące w pewnikach (zamiast wyrazów »jakikolwiek« lub »wszystkie« logiki zwykłej) wyobrażają wyłącznie ogół przedmiotów i kombinacji, któreśmy już posiedli w obecnym stanie teorji, lub które właśnie wprowadzamy. Kiedy przeto wyprowadzać się będzie twierdzenia z danych pewników, na miejsce tych nieoznaczonych będzie się miało prawo wstawiać jedynie te przedmioty i ich kombinacje. Nie trzeba będzie również zapominać, że, kiedy zwiększamy ilość przedmiotów podstawowych, pewniki zostają tym samym rozszerzone, i dlatego powinny być znowu poddane próbie i ewentualnie ulec modyfikacjom«.
Pogląd ten stanowi zupełny kontrast w stosunku do zapatrywań Russella. Dla tego filozofa można zastąpić x nietylko przez przedmioty znane, lecz przez cokolwiek. Russell jest wierny swemu stanowisku, które jest stanowiskiem zrozumiałości [de la compréhension]. Wychodzi on z ogólnej idei istnienia i bogaci ją coraz więcej, zarazem ją zwężając, dodając jej nowe własności. Hilbert natomiast uznaje za istoty możliwe jedynie kombinacje przedmiotów już znanych; dlatego (uwzględniając jedną ze stron jego myśli) możnaby powiedzieć, że staje on na stanowisku rozciągłości [de l’extension].
Ciągnijmy dalej wykład idej Hilberta. Wprowadza on dwa pewniki, które wyraża w swoim języku symbolicznym, a które w języku takich profanów, jak my, oznaczają, że wszelka ilość jest równa samej sobie, i że wszelkie działanie, dokonane na dwu tożsamych ilościach, daje wyniki tożsame. W takim sformułowaniu pewniki te są oczywiste, lecz przedstawienie ich w takiej postaci jest zdradą w stosunku do myśli Hilberta: według niego zadaniem matematyki jest jedynie kombinowanie czystych symbolów, i prawdziwy matematyk powinien operować niemi, nie troszcząc się o ich znaczenie. To też jego pewniki nie są dla niego tym, czym są dla zwykłego człowieka.
Uważa je on jako definicję przez postulaty symbolu =, dotychczas pozbawionego wszelkiego znaczenia. Lecz aby uprawnić tę definicję, trzeba okazać, że owe dwa pewniki nie prowadzą do żadnej sprzeczności.
W tym celu Hilbert posługuje się rozumowaniem z § III, nie zdając sobie, jak się zdaje, sprawy z tego, że stosuje indukcję zupełną.
Koniec rozprawy Hilberta jest całkiem enigmatyczny — nie będziemy się też nad nim obszerniej zastanawiali. Roi się tu od sprzeczności; czuje się, że autor posiada niejasną świadomość petitio principii, jakie popełnił, i że usiłuje on napróżno zagipsować pęknięcia swego rozumowania.
Cóż to mówi? W chwili, kiedy ma dowieść, że definicja liczby całkowitej zapomocą pewnika indukcji zupełnej nie zawiera w sobie sprzeczności, Hilbert wymyka się, jak wymknęli się Russell i Couturat, bo trudności tej niemoże podołać.
Gieometrja, mówi Couturat, jest obszerną zamkniętą w sobie nauką, w której nie napotyka się wcale zasady indukcji zupełnej. Jestto słuszne w pewnej tylko mierze, nie można powiedzieć, że się jej nie napotyka wcale, lecz, że się ją napotyka mało. Jeżeli odniesiemy się do Rational Geometry Halsteda (New-York, John Wiley and Sons, 1904), ułożonej według zasad Hilberta, napotkamy zasadę indukcji zupełnej po raz pierwszy na str. 114 (o ile nie szukałem źle, co jest bardzo możliwe).
Tak więc gieometrja, która przed paru zaledwie laty zdawała się dziedziną, w której panowanie intuicji było bezsporne, jest dziś obszarem, na którym zdają się trjumfować logistycy. Fakt ten jest najlepszą miarą doniosłości prac gieometrycznych Hilberta i głębokiej pieczęci, jaką prace te pozostawiły na naszych pojęciach.
Nie poddawajmy się przecież złudnemu wrażeniu. Jakież jest w gruncie rzeczy twierdzenie podstawowe Gieometrji? Że pewniki Gieometrji nie zawierają w sobie sprzeczności, a tego nie można dowieść bez zasady indukcji.
Jak Hilbert dowodzi tego podstawowego punktu? Opierając się na Analizie, a przez nią na Arytmetyce, a przez nią na zasadzie indukcji.
I jeśli kiedykolwiek zostanie wynaleziony inny dowód, trzeba będzie znowu oprzeć się na tej zasadzie, boć ilość możliwych konsekwencji pewników, które mają nie być ze sobą w sprzeczności, jest nieskończona.
Konkluzją naszą jest przedewszystkim, że zasady indukcji zupełnej nie można uważać za przebraną definicję liczby całkowitej.
Oto trzy prawdy:
Zasada indukcji zupełnej;
Postulat Euklidesa;
Prawo fizyczne, według którego fosfor topnieje przy 44° (przytoczona przez Le Roy).
Mówią: są to trzy przebrane definicje, pierwsza jest definicją liczby całkowitej, druga linji prostej, trzecia fosforu.
Przyznaję to w wypadku drugiej, nie przyznaję pierwszej ani trzeciej, i wytłumaczę racje tej pozornej niekonsekwencji.
Przedewszystkim widzieliśmy, że definicja nadaje się o tyle tylko, o ile jest dowiedzione, że nie zawiera ona sprzeczności. Wykazaliśmy również, że dla pierwszej definicji dowód ten jest niemożliwy; co do drugiej, to przypomnieliśmy właśnie przed chwilą, że Hilbert przeprowadził w zupełności ten dowód.
Co do trzeciej, to jasne jest, że nie tkwi w niej sprzeczność: ale czy znaczy to, że ta definicja gwarantuje należycie istnienie zdefinjowanego przedmiotu? Jesteśmy tu już nie w naukach matematycznych, lecz w naukach fizycznych, i wyraz istnienie posiada tu znaczenie odmienne, nie oznacza on braku sprzeczności, lecz istnienie objektywne.
Jestto pierwsza racja, dlaczego robię różnicę między owemi trzema wypadkami; istnieje nadto racja druga. Czy w procesie stosowania tych trzech pojęć występują one, jako zdefinijowane przez te trzy postulaty?
Zastosowania możliwe zasady indukcji zupełnej są niezliczone; weźmy np. jedno z wyłożonych wyżej, to, w którym usiłuje się ustanowić, że dany zbiór pewników nie może doprowadzić do sprzeczności. W tym celu rozważa się jeden z szeregów sylogizmów, które można snuć, wychodząc z tych pewników, jako z przesłanek.
Kiedy dokończyło się n-go sylogizmu, widzi się, że można zbudować jeszcze jeden, będzie to n+1-y; tak więc liczba n służy do liczenia szeregu kolejnych działań, jestto liczba, którą można otrzymać drogą kolejnych dodawań. Jestto zatym liczba, od której można wznieść się do jedności drogą kolejnych odejmowań. Byłoby to oczywiście niemożliwe, gdyby zachodziła równość n = n - 1, gdyż w takim razie otrzymywalibyśmy przez odejmowanie ciągle tę samą liczbę. Tak więc sposób, w jaki zostaliśmy naprowadzeni na rozważanie tej liczby n, przypuszcza definicję liczby całkowitej skończonej, mianowicie definicji następującej: liczbą całkowitą skończoną jest liczba, którą można otrzymać przez kolejne dodawania, liczba taka, że n nie jest równe n-1.
Poczym, co robimy? Okazujemy, że jeżeli nie było sprzeczności przy n-ym sylogizmie, nie będzie jej również przy n+1-ym, i wnosimy, że jej nie będzie nigdy. Mówicie: mam prawo tak wnioskować, ponieważ liczby całkowite są mocą definicji takiemi, dla których podobne rozumowanie jest uprawnione; ale to przypuszcza inną definicję liczby całkowitej, mianowicie następującą: liczbą całkowitą jest liczba, do której można stosować rozumowanie przez rekurencję; w danym razie jestto liczba, o której można powiedzieć, że, jeżeli brak sprzeczności w chwili sylogizmu, którego numer jest liczbą całkowitą, pociąga za sobą brak sprzeczności w chwili sylogizmu, którego numer jest następną liczbą całkowitą, to nie będzie sprzeczności w żadnym sylogizmie, którego numer jest liczbą całkowitą.
Dwie te definicje nie są tożsame; zapewne, są one równoważne, lecz są takiemi mocą sądu syntetycznego a priori; nie można przejść od jednej do drugiej drogą czysto-logiczną. Dlatego nie mamy prawa przyjąć drugiej definicji, wprowadziwszy liczbę całkowitą drogą, która przypuszcza pierwszą.
Jakże natomiast rzeczy się mają w wypadku linji prostej? Tłumaczyłem to już tyle razy, że waham się powtórzyć się raz jeszcze; ograniczę się zwięzłym streszczeniem mojej myśli.
Nie mamy tu, jak w wypadku poprzednim, dwu równoważnych definicji, niedających się logicznie do siebie sprowadzić. Mamy tylko jedną, dającą się wyrazić słowami. Czyżbyśmy mieli drugą, którą czujemy, nie będąc w stanie jej sformułować, przez to, że posiadamy intuicję linji prostej, albo, że wyobrażamy sobie linję prostą? Przedewszystkim nie możemy jej sobie wyobrazić w przestrzeni gieometrycznej, lecz jedynie w przestrzeni wyobrażeniowej, nadto zaś możemy sobie wyobrazić równie dobrze przedmioty, posiadające inne własności linji prostej prócz czynienia zadość postulatowi Euklidesa. Przedmiotami temi są »proste nie-eukildesowe«, które z pewnego stanowiska nie są istnościami bez konkretnej treści, lecz kołami (prawdziwemi kołami prawdziwej przestrzeni) ortogonalnemi do pewnej kuli. Jeżeli z pośród tych przedmiotów, jednakowo dostępnych dla wyobraźni, prostemi nazwiemy pierwsze (proste euklidesowe), nie zaś drugie (proste nie-euklidesowe), to dzieje się to poprostu mocą definicji.
A w sprawie trzeciego przykładu, definicji fosforu, to jasne jest, że prawdziwa definicja brzmiałaby tak oto: Fosfor jestto ów kawałek materji, który widzę w tamtej flaszeczce.
Skoro już mówię o tym przedmiocie, jeszcze jedno słowo. O przykładzie fosforu powiedziałem: »Twierdzenie to jest prawdziwym sprawdzalnym prawem fizycznym, gdyż znaczy ono: wszystkie ciała, posiadające wszystkie inne własności fosforu prócz jego punktu topliwości, topnieją jak on, przy 44°«. Na co mi odpowiedziano: »Nie, prawo to nie jest sprawdzalne, albowiem, gdyby sprawdzono, że dwa ciała podobne do fosforu topnieją jedno przy 44° drugie przy 50°, możnaby zawsze powiedzieć, że prócz punktu topliwości istnieje jeszcze jakaś inna nieznana własność, która je od siebie odróżnia«.
Otóż chciałem powiedzieć niezupełnie to, — powinien byłem napisać: Wszystkie ciała, które posiadają takie a takie własności w ilości skończonej (mianowicie własności fosforu, wyliczone w wykładach chemji, z wyłączeniem punktu topliwości), topnieją przy 44°.
Dla tym lepszego unaocznienia różnicy między wypadkiem prostej a wypadkiem fosforu, zróbmy jedną jeszcze uwagę. Prosta posiada w przyrodzie kilka wizerunków mniej lub bardziej niedoskonałych, z których najważniejszemi są promienie świetlne i oś obrotu ciała stałego. Przypuśćmy, że stwierdzono, że promień świetlny nie czyni zadość postulatowi Euklidesa (np. przez okazanie, że pewna gwiazda posiada paralaksę ujemną) — cóż zrobimy wówczas? Czy wywnioskujemy, że prosta, która jest mocą definicji drogą światła, nie czyni zadość postulatowi, czy też, przeciwnie, że ponieważ prosta czyni mocą definicji zadość postulatowi, promień nie jest prostolinijny?
Zapewne, wolno nam przyjąć tę lub tamtą definicję, a przeto i ten lub tamten wniosek; lecz przyjęcie pierwszej byłoby głupie, bo promień świetlny czyni prawdopodobnie zadość w sposób niedoskonały nietylko postulatowi Euklidesa lecz i innym własnościom linji prostej; że, jeśli odchyla się on od prostej euklidesowej, to w nie mniejszej mierze odchyla się od osi obrotu ciał stałych, która jest innym niedoskonałym wizerunkiem linji prostej, wreszcie podlega on zapewne zmianom, tak iż linja, która była prostą wczoraj, przestanie nią być jutro, jeśli się zmieni ta lub inna okoliczność fizyczna.
Przypuśćmy teraz, że zostanie zrobione odkrycie, iż fosfor nie topnieje przy 44°, lecz przy 43-9°. Czy wywnioskujemy stąd, że, skoro fosfor jest mocą definicji ciałem, topniejącym przy 44°, ciało obecne nie jest prawdziwym fosforem, albo też, przeciwnie, że fosfor topnieje istotnie przy 43-9°?
I tutaj wolno nam jest przyjąć tę lub inną definicję, a więc i ten lub inny wniosek; ale przyjąć pierwszą definicję byłoby postępkiem głupim, ponieważ nie można zmieniać za każdym razem nazwy ciała, ilekroć oznaczy się nowy znak dziesiętny jego punktu topliwości.
W rezultacie próby Russella i Hilberta są owocem dużego nakładu siły; każdy z nich napisał książkę, pełną poglądów oryginalnych, głębokich i często bardzo trafnych. Książki te dadzą nam dużo materjału do rozmyślań i dużo możemy się z nich nauczyć. Pośród wyników, do których doszli, pewna ilość, duża nawet ilość, jest ugruntowana i zachowa trwałą wartość.
Ale mniemanie, że rozstrzygnęli oni ostatecznie spór między Kantem a Leibnitzem i obalili kantowską teorję matematyki, jest oczywiście niesłusznym. Nie wiem, czy istotnie takie było ich przeświadczenie, lecz jeśli tak było, tedy byli oni w błędzie.
