Wikiźródła

Wartość nauki/Nauki matematyczne/Przestrzeń i jej trzy wymiary

< Wartość nauki | Nauki matematyczne
<<< Dane tekstu >>>
Autor Henri Poincaré
Tytuł Wartość nauki
Część Nauki matematyczne
Rozdział Przestrzeń i jej trzy wymiary
Redaktor Ludwik Silberstein
Wydawca G. Centnerszwer i Ska.
Data wyd. 1908
Druk Drukarnia Narodowa w Krakowie
Miejsce wyd. Warszawa
Tłumacz Ludwik Silberstein
Źródło Skany na Commons
Inne Cały tekst
Pobierz jako: EPUB  • PDF  • MOBI 
Indeks stron
›››
Rozdział Czwarty.
Przestrzeń i Trzy jej Wymiary.
§ 1. — Grupa przesunięć.

 Streśćmy krótko otrzymane wyniki. Chcieliśmy zbadać, co rozumiemy, gdy powiadamy, że przestrzeń ma trzy wymiary, a w tym celu zapytaliśmy przedewszystkiem, co to jest continuum fizyczne i — kiedy można powiedzieć, że ma ono n wymiarów. Rozważając rozmaite układy wrażeń i porównywając je wzajemnie, przekonywamy się częstokroć, że dwa z pośród tych układów wrażeń nie dają się odróżnić od siebie (co wyrażamy zwykle, mówiąc, że są one zbyt bliskie siebie i że zmysły nasze są zbyt tępe, abyśmy je mogli odróżnić), i — co więcej — stwierdzamy, że dwa układy dają się czasami odróżnić od siebie pomimo iż nie można ich odróżnić od jednego i tego samego trzeciego układu. Jeżeli rzecz tak się ma, powiadamy, że ogół tych układów wrażeń tworzy continuum fizyczne C. Każdy zaś z tych układów nazywać się będzie elementem tego continuum C.
 Ileż posiada ono wymiarów? Weźmy nasamprzód dwa jego elementy A i B i przypuśćmy, że istnieje szereg Σ elementów należący całkowicie do C i taki, że A i B stanowią jego wyrazy krańcowe i że żaden z własnych jego wyrazów (t. j. z elementów tworzących Σ) nie daje się odróżnić od poprzedzającego. Jeżeli można znaleść podobny szereg Σ, powiemy, że A i B są związane ze sobą; jeżeli zaś każdy element C jest związany z każdym innym tegoż C, powiemy, że continuum C jest spójne[1].
 Obierzmy teraz w C pewną liczbę elementów, w sposób zresztą zupełnie dowolny. Ogół tych elementów nazywać się będzie przekrojem. Z pośród szeregów Σ, które wiążą A i B [lub: łączą A z B], odróżnimy takie, których element jakiś jest nieodróżnialny od jednego z elementów przekroju (powiemy, że szeregi te przecinają ów przekrój), od takich, których wszystkie elementy dają się odróżnić od wszystkich elementów przekroju. Jeżeli wszystkie szeregi Σ, łączące A z B, przecinają przekrój, powiemy, że A jest oddzielone od B tym przekrojem, i że przekrój ten dzieli C.[2]. Jeżeli zaś w C nie można znaleść dwóch elementów, które byłyby oddzielone przekrojem naszym, powiemy, że przekrój ten nie dzieli C[3].
 Otóż, jeżeli continuum C, w myśl powyższych określeń, daje się podzielić za pomocą przekrojów, które same przez się nie tworzą continuum, powiadamy, że C posiada jeden tylko wymiar: w przeciwnym zaś razie ma ich więcej. Jeżeli dla podziału C wystarcza przekrój stanowiący continuum jednowymiarowe, C będzie miało dwa wymiary; jeżeli wystarcza przekrój stanowiący continuum dwuwymiarowe, C będzie miało trzy wymiary; i t. d.
 Dzięki tym określeniom będziemy zawsze wiedzieli, ile ma wymiarów jakiekolwiek continuum fizyczne. Pozostaje zatem znaleść tylko takie continuum fizyczne, które byłoby — że tak powiem — równoważne przestrzeni, tak iżby każdemu punktowi przestrzeni odpowiadał pewien jego element i aby punktom przestrzeni bardzo bliskim siebie odpowiadały elementy nieodróżnialne. Przestrzeń będzie wówczas miała tyleż wymiarów, co to continuum.
 Pośrednictwo tego continuum fizycznego, wyobrażalnego, jest niezbędne; samej bowiem przestrzeni nie możemy sobie wyobrazić, a to dla całego mnóstwa powodów. Przestrzeń jestto continuum matematyczne, nieskończone, my zaś możemy sobie wyobrazić jedynie continua fizyczne i przedmioty skończone. Różne elementy przestrzeni, które nazywamy punktami, są wszystkie do siebie podobne, aby zaś określenie nasze zastosować, powinniśmy umieć odróżnić jedne elementy od drugich, przynajmniej gdy nie są zbyt bliskie siebie. Przestrzeń bezwzględna, wreszcie, jest niedorzecznością, i musimy odnosić ją, na samym już wstępie, do układu osi niezmiennie związanego z naszem ciałem (które, według przypuszczenia niezbędnego, ma być zawsze sprowadzane do tej samej postawy).
 Usiłowałem następnie zbudować równoważne przestrzeni continuum fizyczne z naszych czuć wzrokowych; daje się to, bezwątpienia, łatwo uskutecznić, a przykład ten nadaje się szczególniej dobrze do dyskusyi liczby wymiarów; dyskusya ta okazała nam, w jakiej mierze wolno jest powiedzieć, że »przestrzeń wzrokowa« ma trzy wymiary. Rozwiązanie to atoli jest, dla objaśnionych powyżej przyczyn, niezupełne i sztuczne, a wysiłki nasze musimy skierować nie na przestrzeń wzrokową, lecz na przestrzeń ruchową.
 Przypomniałem, w dalszym ciągu, pochodzenie odróżnienia, które czynimy między zmianami położenia a zmianami stanu.
 Pośród zmian zachodzących we wrażeniach naszych odróżniamy przedewszystkiem zmiany wewnętrzne, dowolne i związane z czuciami mięśniowemi, od zmian zewnętrznych — o cechach przeciwnych. Stwierdzamy, że w pewnych wypadkach zmiana zewnętrzna daje się skorygować przez zmianę wewnętrzną, która odtwarza czucia pierwotne. Takie zmiany zewnętrzne nazywają się zmianami położenia, te zaś, które nie dają się sprostować przez zmianę wewnętrzną, nazywają się zmianami stanu. Zmiany wewnętrzne korygujące zmianę zewnętrzną nazywają się przesunięciami całego ciała, inne zaś nazywają się zmianą »pozycyi« (naszego ciała).
 Niechaj teraz α i β oznaczają dwie zmiany zewnętrzne, zaś α′ i β′ dwie zmiany wewnętrzne. Przypuśćmy, że α daje się sprostować bądź to przez α′, bądź przez β′, i że zapomocą α′ można sprostować bądź α, bądź też β; doświadczenie uczy nas wówczas, że przez β′ można również skorygować β. W tym razie powiemy, że α i β odpowiadają temuż samemu przesunięciu, tudzież, że α′ i β′ odpowiadają temuż samemu przesunięciu.

 Po tych uwagach możemy wyobrazić sobie continuum fizyczne, które nazwiemy continuum lub grupą przesunięć, a które określimy w sposób następujący. Elementami tego continuum będą zmiany wewnętrzne nadające się do sprostowania zmiany zewnętrznej. Dwie z tych zmian wewnętrznych, α′ i β′, będziemy uważali jako nieodróżnialne: 1°) jeżeli są niemi poprostu, t. j. jeżeli są zbyt bliskie siebie, 2°) jeżeli α′ nadaje się do sprostowania tej samej zmiany zewnętrznej, którą prostuje trzecia jakaś zmiana wewnętrzna wprost nieodróżnialna od β′. W drugim wypadku będą one nieodróżnialne, że tak powiem, na mocy umowy, według której mianowicie zgodzono się abstrahować od okoliczności, mogących pozwolić na ich odróżnienie.
 Obecnie continuum nasze jest zupełnie określone, albowiem znamy jego elementy i podaliśmy ściśle warunki, w jakich można je uważać jako nieodróżnialne. Mamy tedy wszystko, co jest niezbędne do zastosowania naszego określenia i do wyznaczenia liczby wymiarów tego continuum. Zobaczymy, że ma ich ono sześć. Grupa przesunięć nie jest więc równoważna przestrzeni, gdyż liczby ich wymiarów nie są te same; jest ona jedynie spowinowacana z przestrzenią.
 Skądże jednak wiemy, że to continuum przesunięć posiada sześć wymiarów; wiemy to z doświadczenia.
 Nietrudno byłoby opisać doświadczenia, przez które moglibyśmy dojść do tego wyniku. Zobaczylibyśmy, że w continuum tem można przeprowadzić przekroje, które je dzielą i które same też stanowią continua, że można same te przekroje dzielić przez inne przekroje drugiego rzędu, które wciąż jeszcze są continuami, i że zatrzymalibyśmy się dopiero przy przekrojach szóstego rzędu, które nie stanowiłyby już continuów. Według określeń naszych znaczyłoby to, że grupa przesunięć posiada sześć wymiarów.
 Byłoby to nietrudne, jak powiedziałem, lecz zbyt długie; czyż jednak nie byłoby to nieco powierzchowne? Grupa ta przekształceń jest, jak widzieliśmy, spowinowacona z przestrzenią i możnaby z niej przestrzeń wyprowadzić; nie jest ona jednak równoważną przestrzeni; gdyż nie posiada tej samej liczby wymiarów; a gdy okażemy, jak pojęcie tego continuum powstać może i jak daje się zeń wyprowadzić pojęcie przestrzeni, można będzie zawsze jeszcze pytać, dlaczego z przestrzenią trójwymiarową jesteśmy znacznie więcej oswojeni niż z tem continuum sześciowymiarowem, a więc też wątpić, czy istotnie na tej właśnie okólnej drodze ukształtowało się w umyśle ludzkim pojęcie przestrzeni.

§ 2. — Tożsamość dwóch punktów.

 Co to jest punkt? Skąd będziemy wiedzieli, czy dwa punkty przestrzeni są identyczne czy też różne? Innemi słowy: co chcę powiedzieć, gdy twierdzę, że przedmiot A zajmował w chwili α ten sam punkt, który zajmuje przedmiot B w chwili β?
 Takie to zagadnienie przedłożyliśmy sobie w § 4 poprzedzającego rozdziału. Jak powiedziałem, nie chodzi tu o porównanie położenia przedmiotów A i B w przestrzeni bezwzględnej; pytanie nasze nie miałoby wówczas żadnego oczywiście sensu; chodzi natomiast o porównanie położenia tych dwóch przedmiotów względem osi niezmiennie związanych z mojem ciałem, przy założeniu, że będzie ono w każdym wypadku do tej samej przywrócone »pozycyi«.
 Przypuszczam, że między chwilami α i β nie poruszyłem ani swego ciała ani swego oka, o czem powiadamia mnie mój zmysł mięśniowy. Nie poruszyłem też ani głowy, ani ramienia, ani dłoni. Stwierdzam, że w chwili α pewne wrażenia, które przypisuję przedmiotowi A, doszły mnie po części wzdłuż jednego z włókien mego nerwu optycznego, po części wzdłuż jednego z nerwów dotykowych mego palca; podobnie też stwierdzam, że w chwili β pewne inne wrażenia, które przypisuję przedmiotowi B, doszły mnie po części wzdłuż tego samego włókna nerwu optycznego, poczęści wzdłuż tego samego nerwu dotykowego.
 Dla wyjaśnienia sprawy musimy tu zatrzymać się na chwilę. Co powiadamia mnie o tem, że wrażenie, które przypisuję przedmiotowi A i wrażenie, które przypisuję przedmiotowi B, różne od tamtego, doszły mnie po jednym i tym samym nerwie? Czy, biorąc dla przykładu czucia wzrokowe, należy przypuścić, że A wywołuje jednocześnie dwa czucia: jedno czysto świetlne a, drugie czysto barwne a′, że B wywołuje również jednocześnie jedno czucie świetlne b i drugie — barwne b′, że, jeżeli różne te czucia dochodzą mnie po tem samem włóknie nerwowem, a jest identyczne z b, lecz że wogóle czucia barwne a′ i b′ wywołane przez różne ciała są różne? W tym razie powiadamiałaby mnie o tem, że wszystkie te czucia dochodzą mnie po tem samem włóknie, ta właśnie identyczność czucia a, towarzyszącego czuciu a′, z czuciem b, towarzyszącem b′.
 Cokolwiek powiedzianoby o tej hypotezie, i nie bacząc na to, że przekładam nad nią pewne inne znacznie zawilsze, nie ulega wątpliwości, że w jakiś ostatecznie sposób jesteśmy powiadamiani o tem, że czucia a + a′ i b + b′ mają ze sobą coś spólnego; inaczej bowiem nie mielibyśmy żadnego środka do rozpoznania, że przedmiot B zajął miejsce przedmiotu A.
 Nie zatrzymam się więc dłużej nad tym punktem, lecz powtórzę przypuszczenie, które dopiero co uczyniłem: Przypuszczam, że stwierdziłem, iż wrażenia, które przypisuję przedmiotowi B, dochodzą mnie w chwili β wzdłuż tych samych włókien, tak optycznych jak dotykowych, które w chwili α przyniosły mi wrażenia przypisywane przedmiotowi A. Jeżeli tak rzecz się ma, nie zawahamy się twierdzić, że punkt zajęty przez B w chwili β jest identyczny z punktem zajętym przez A w chwili α.
 Podałem tu dwa warunki tożsamości tych dwóch punktów; jeden z tych warunków dotyczy wzroku, drugi — dotyku. Rozważmy je z osobna. Pierwszy jest niezbędny, lecz niewystarczający. Drugi jest zarazem niezbędny i wystarczający. Ktoś, co znałby geometryę, wyjaśniłby to łatwo w sposób następujący: Niechaj O będzie punktem siatkówki, w którym tworzy się w chwili α obraz ciała A; niechaj M będzie punktem przestrzeni zajętym w chwili α przez to ciało A, zaś M′ punktem przestrzeni zajętym w chwili β przez ciało B. Jeżeli obraz ciała B ma się utworzyć w O, punkty M i M′ niekoniecznie muszą się zlewać ze sobą; ponieważ widzenie odbywa się na odległość, wystarcza, aby trzy punkty O, M, M′ znajdowały się na jednej linii prostej. Warunek więc, według którego obrazy obydwóch przedmiotów mają się tworzyć w O, jest niezbędny, lecz nie wystarcza, aby punkty M i M′ zlewały się ze sobą. Niechaj teraz P będzie punktem zajętym przez mój palec i zajmowanym przezeń stale, skoro ma się on nie poruszać. Ponieważ dotyk nie działa na odległość, przeto, jeżeli ciało A dotyka mego palca w chwili α, punkty M i P zlewają się ze sobą; jeżeli B dotyka mego palca w chwili β, zlewają się ze sobą punkty M′ i P. Zlewają się więc również ze sobą punkty M i M′. Warunek tedy, według którego B ma dotykać mego palca w chwili β jeżeli dotyka go A w chwili α, jest niezbędny i zarazem wystarczający, aby M i M′ zlewały się ze sobą.
 My jednak, nie znając jeszcze geometryi, rozumować w ten sposób nie możemy; nic też innego nie wypada nam uczynić, jak tylko stwierdzić doświadczalnie, że pierwszy warunek, dotyczący wzroku, może być spełniony bez drugiego, który stosuje się do dotyku, że natomiast drugi warunek nie może być spełniony bez pierwszego.
 Przypuśćmy, że doświadczenie udzieliło nam wprost przeciwnej lekcyi. Mogłoby tak być, a przypuszczenie to bynajmniej nie jest niedorzeczne. Przypuśćmy tedy, iż stwierdziliśmy doświadczalnie, że warunek dotykowy może być spełniony bez warunku wzrokowego, lecz że odwrotnie warunek wzrokowy nie może być spełniony bez dotykowego. Wówczas orzeklibyśmy, oczywiście, że dotyk może działać na odległość, wzrok zaś nie.
 Nie dość na tem. Dotychczas przypuszczałem, że dla wyznaczenia miejsca jakiegoś przedmiotu posługiwałem się tylko okiem i jedynym palcem; mógłbym jednak również dobrze uciec się do innych jeszcze środków, naprzykład do wszystkich pozostałych mych palców.
 Przypuśćmy, że pierwszy mój palec odbiera w chwili α wrażenie dotykowe, które przypisuję przedmiotowi A. Wykonywam szereg ruchów odpowiadający szeregowi S czuć mięśniowych. Po odbyciu tych ruchów, w chwili α', drugi mój palec odbiera wrażenie dotykowe, które również przypisuję przedmiotowi A. Następnie, w chwili β, gdy wciąż jeszcze trwam w spoczynku (o czem powiadamia mnie mój zmysł mięśniowy) tenże sam drugi palec przynosi mi znowu wrażenie dotykowe, które tym razem przypisuję przedmiotowi B; wykonywam potem szereg ruchów odpowiadających szeregowi S′ czuć mięśniowych. Wiem, że szereg ten S′ jest odwróceniem szeregu S i odpowiada ruchom przeciwnym. Wiem zaś o tem stąd, że liczne dawniejsze doświadczenia okazały mi niejednokrotnie, że, skoro wykonywałem po sobie dwa szeregi ruchów odpowiadających szeregom czuć S i S′, odtwarzały się wrażenia pierwotne, t. j. że dwa te szeregi kompensowały się wzajemnie. Otóż, czy po tem wszystkiem mogę oczekiwać, że w chwili β′, w której skończy się drugi szereg ruchów, pierwszy mój palec dozna wrażenia dotykowego dającego się przypisać przedmiotowi B?
 Aby na pytanie to odpowiedzieć, rozumowaliby ci, którzy znaliby już geometryę, w sposób następujący. Jest pewne prawdopodobieństwo, że przedmiot A nie poruszył się między chwilą α i chwilą α′, ani też przedmiot B między β i β′; zgódźmy się na to. W chwili α przedmiot A zajmował pewien punkt M przestrzeni. Otóż, w tejże chwili dotykał on mego pierwszego palca, a ponieważ dotyk nie działa na odległość, pierwszy mój palec znajdował się również w punkcie M. Wykonałem następnie szereg ruchów S, a w końcu tego szeregu, w chwili α′, stwierdziłem, że przedmiot A dotykał mego drugiego palca. Wnioskuję stąd, że drugi ten palec znajdował się wówczas w M, t. j. że skutek ruchów S polegał na sprowadzeniu drugiego palca na miejsce pierwszego. W chwili β przedmiot B zetknął się z drugim mym palcem: ponieważ nie poruszyłem się, palec ten pozostał w M; przedmiot więc B przybył do M; według założenia nie porusza się on aż do chwili β′. Lecz między chwilami β i β′ wykonałem ruchy S′; ponieważ ruchy te są odwróceniem ruchów S, skutkiem ich musi być sprowadzenie pierwszego palca na miejsce drugiego. W chwili β′ tedy pierwszy palec znajduje się w M: ponieważ zaś przedmiot B znajduje się wówczas również w M, przedmiot ten B dotknie pierwszego mego palca. Na pytanie nasze należy więc odpowiedzieć twierdząco.
 My jednak, nie znając jeszcze geometryi, nie możemy w ten sposób rozumować, lecz tylko skonstatować, że przewidywanie to urzeczywistnia się zazwyczaj; wyjątki zaś możemy zawsze objaśnić, mówiąc, że przedmiot A poruszył się w odstępie czasu α — α′, lub że przedmiot B poruszył się w odstępie β — β′.
 Czyż jednak doświadczenie nie mogłoby dać wyniku przeciwnego? Czy wynik taki byłby sam przez się niedorzeczny? Oczywiście nie. Cóż więc uczynilibyśmy, gdyby doświadczenie istotnie dało ten wynik przeciwny? Czyż geometrya cała stałaby się wówczas niemożliwą? Bynajmniej. Ograniczylibyśmy się w takim razie do orzeczenia, że dotyk może działać na odległość.
 Gdy powiadam, że wzrok może działać na odległość, dotyk zaś nie, twierdzenie to posiada następujące tylko znaczenie. Aby rozpoznać, czy B w chwili β zajmuje punkt, zajmowany w chwili α przez A, mogę posłużyć się całem mnóstwem różnych kryteryów; w jednem wchodzi w grę me oko, w drugiem pierwszy mój palec, w trzeciem drugi palec, i t. d. Otóż, wystarcza, że kryteryum dotyczące jednego z mych palców jest spełnione, aby wszystkie też inne były spełnione; spełnienie natomiast kryteryum opartego na oku nie wystarcza. Oto jest znaczenie naszego twierdzenia; ograniczamy się do głoszenia faktu doświadczalnego, który sprawdza się zazwyczaj.
 Pod koniec poprzedniego rozdziału zanalizowaliśmy przestrzeń wzrokową; widzieliśmy, że dla utworzenia tej przestrzeni należy wprowadzić w grę czucia związane z siatkówką, czucie zbieżności i czucie akomodacyi; że, gdyby dwa ostatnie nie były zawsze zgodne ze sobą, przestrzeń wzrokowa zamiast trzech posiadałaby cztery wymiary; z drugiej zaś strony, widzieliśmy, że wprowadzając tylko czucia odpowiadające siatkówce, otrzymalibyśmy »przestrzeń wzrokową czystą«, która miałaby dwa tylko wymiary. Rozważmy teraz przestrzeń dotykową, ograniczając się do czuć jednego tylko palca, t. j. ostatecznie do ogółu wszystkich położeń, w których palec ten może się znajdować. Ta przestrzeń dotykowa, którą zbadamy w następnym paragrafie i nad którą nie będę się tu rozwodził, posiada trzy wymiary. Dlaczegóż przestrzeń właściwie tak zwana posiada tyleż wymiarów, co przestrzeń dotykowa, a więcej niż czysta przestrzeń wzrokowa? Oto dlatego, że wzrok działa na odległość, dotyk zaś nie. Obadwa te orzeczenia posiadają jedno tylko i toż same znaczenie, które poznaliśmy przed chwilą.
 Wrócę teraz do pewnego punktu, którego poprzednio dotknąłem zaledwie, aby nie przerywać naszych rostrząsań. Skąd wiemy, że wrażenia, wywarte na naszą siatkówkę przez A w chwili α i przez B w chwili β, dochodzą nas przez to samo włókno biegnące od siatkówki, pomimo że wrażenia te są jakościowo różne? Podałem w tym względzie prostą hypotezę, dodając jednak, że inne znacznie zawilsze hypotezy miałyby, zdaniem mojem, większe za sobą prawdopodobieństwo. Oto owe hypotezy, o których zaledwie wspomniałem: — Skąd wiemy, że wrażenia wywołane w chwili α przez przedmiot czerwony A i w chwili β przez przedmiot niebieski B, skoro obadwa te przedmioty tworzą swój obraz w tym samym punkcie siatkówki, skąd wiemy — powiadam —, że wrażenia te mają ze sobą coś spólnego? Otóż można odrzucić powyższą prostą hypotezę i przypuścić natomiast, że dwa te, jakościowo różne, wrażenia dochodzą mnie po dwóch włóknach różnych, acz przyległych.
 Skądże, w takim razie, wiedziałbym, że włókna te są przyległe? Prawdopodobnem jest, że nie mielibyśmy żadnego po temu środka, gdyby oko było nieruchome. Ruchy to oka pouczyły nas o tem, że między czuciem barwy niebieskiej w punkcie A i takiemże czuciem w punkcie B siatkówki zachodzi ten sam stosunek, co między czuciem barwy czerwonej w punkcie A i takiemże czuciem w punkcie B. Istotnie, pokazały nam one, że te same ruchy, odpowiadające tym samym czuciom mięśniowym, przeprowadzają nas zarówno od pierwszego do drugiego jak i od trzeciego do czwartego. Nie wgłębimy się atoli w rozważania te, które — jak widzimy — nawiązują się do sprawy znaków lokalnych podniesionej przez Lotzego.

§ 3. — Przestrzeń dotykowa.

 Umiemy już tedy rozpoznać tożsamość dwóch punktów: punktu zajętego przez A w chwili α i punktu zajętego przez B w chwili β, pod jednym atoli warunkiem, a mianowicie, że nie poruszyliśmy się między chwilami α i β. Nie wystarcza nam to jednak. Przypuśćmy więc, że w odstępie czasu zawartym między temi chwilami poruszyłem się w jakikolwiek sposób; jakże będę wiedział, czy punkt zajęty przez A w chwili α jest identyczny z punktem, który B zajmuje w chwili β? Przypuśćmy, że w chwili α przedmiot A dotykał mego pierwszego palca i że przedmiot B dotyka tegoż palca w chwili β, że jednak zmysł mięśniowy powiadomił mnie, iż w odstępie czasu α — β ciało moje poruszyło się. Rozważając powyżej dwa szeregi czuć mięśniowych S i S′, powiedziałem, iż zdarza się czasami, że zniewoleni jesteśmy uważać podobne szeregi S i S′ jako odwrotne względem siebie, a to dlatego że, gdy dwa te szeregi następują po sobie, pierwotne nasze wrażenia — jak spostrzegamy często — odtwarzają się.
 Gdy więc zmysł mięśniowy powiadamia mnie, że poruszyłem się wprawdzie między chwilami α i β, lecz w sposób taki, że doznałem kolejno dwóch szeregów czuć mięśniowych S i S′, które uważam jako wzajemnie odwrotne, powiem zawsze jeszcze (zupełnie jak gdybym się nie poruszył), że punkty zajęte przez A w chwili α i przez B w chwili β są identyczne, skoro tylko stwierdzę, że pierwszy mój palec dotyka A w chwili α i B chwili β.
 Rozwiązanie to, jak zrozumiemy niebawem, nie jest jeszcze zupełnie zadawalniające. Istotnie, zobaczmy, ile według niego wymiarów należałoby przypisać przestrzeni. Chcę porównać dwa punkty zajęte przez A, B w chwilach α i β, lub też (co na jedno wychodzi, albowiem przypuszczam, że palec mój dotyka A w chwili α i B w chwili β) chcę porównać punkty, które zajmuje palec mój w chwilach α i β. Jedynym po temu środkiem, którym rozporządzam, jest szereg Σ czuć mięśniowych, które towarzyszyły ruchom mego ciała między temi chwilami. Wszelkie wyobrażalne szeregi Σ stanowią oczywiście continuum fizyczne o bardzo wielkiej liczbie wymiarów. Zgódźmy się (jak powyżej) na to, aby nie uważać za różne od siebie dwa szeregi Σ i Σ + S + S′, skoro tylko szeregi S i S′ są — w poprzednio już ustalonem znaczeniu słowa — odwrotne względem siebie; niebacząc na tę konwencyę ogół różnych szeregów Σ wciąż jeszcze stanowić będzie continuum fizyczne, a liczba jego wymiarów, acz mniejsza niż pierwotnie, zawsze jeszcze będzie bardzo wielką.
 Każdemu z szeregów takich Σ odpowiada punkt przestrzeni; dwóm szeregom Σ i Σ′ odpowiadać będą dwa punkty M i M′. Środki, któremi aż dotąd rozporządzamy, dają nam możność rozpoznania, że M i M′ nie są różne od siebie w dwóch tylko wypadkach: 1° jeżeli Σ jest identyczne z Σ′; 2° jeżeli Σ′ = Σ + S + S′, gdzie S i S′ są odwrotne względem siebie. Gdybyśmy we wszystkich innych wypadkach uważali M i M′ jako różne od siebie, ogół punktów posiadałby tyleż wymiarów, co ogół różnych szeregów Σ, to jest znacznie więcej niż 3.
 Tym, co znają już geometryę możnaby to łatwo wytłumaczyć w sposób następujący. Pośród wszelkich wyobrażalnych szeregów czuć mięśniowych istnieją takie, iż podczas ruchów, którym towarzyszą, palec mój pozostaje nieruchomym. Twierdzę, że, skoro nie uważamy jako różne od siebie szeregi Σ i Σ + σ, gdzie σ odpowiada ruchom, podczas których palec się nie porusza, ogół szeregów stanowić będzie continuum trójwymiarowe, że natomiast, skoro uważalibyśmy każde dwa szeregi Σ i Σ′ jako różne byle tylko nie było Σ′ = Σ + S + S′ (gdzie S i S′ są odwrotne względem siebie), ogół szeregów stanowiłby continuum o większej od trzech liczbie wymiarów.
 Istotnie, niechaj A będzie powierzchnią w przestrzeni, B — linią na tej powierzchni, M — punktem na tej linii; C0 niechaj oznacza ogół wszystkich szeregów Σ, zaś C1 ogół takich szeregów Σ, iż przy końcu odpowiednich ruchów palec znajduje się na powierzchni A, i podobnie niechaj C2, względnie C3 będzie ogółem takich szeregów Σ, iż na końcu odpowiednich szeregów ruchów palec znajduje się na linii B, względnie w punkcie M. Oczywista jest nasamprzód, że C1 będzie przekrojem dzielącym C0, dalej C2 — przekrojem dzielącym C1 i wreszcie C3 przekrojem dzielącym C2. Stąd zaś, według naszych określeń, wynika, że, skoro C3 stanowi continuum n — wymiarowe, C0 będzie tworzyło continuum fizyczne o n + 3 wymiarach.
 Niechaj tedy Σ i Σ′ = Σ + σ będą dwa szeregi wchodzące w skład C3; dla każdego z nich w końcu ruchów palec znajduje się w M; wynika stąd, że na początku i na końcu szeregu σ palec znajduje się w tym samym punkcie M. Szereg σ jest więc jednym z szeregów odpowiadających ruchom, przy których palec pozostaje nieruchomy. Skoro nie uważamy Σ i Σ + σ jako różne, wszystkie szeregi należące do C3 zleją się w jeden jedyny; C3 będzie więc miało wymiar zero, zaś C0, czego chciałem właśnie dowieść, będzie miało trzy wymiary. Jeżeli natomiast nie uważamy Σ i Σ + σ jako tożsame (byle tylko nie było σ = S + S′, gdzie S, S′ są względem siebie odwrotne), C3 będzie oczywiście zawierało wielką liczbę szeregów czuć różnych; albowiem, nie bacząc na to, że palec się nie porusza, ciało może przybierać mnóstwo różnych »pozycyj«. C3 będzie więc stanowiło continuum i C0 będzie miało więcej niż trzy wymiary, czego również mieliśmy dowieść.
 Nam atoli, którzy nie znamy jeszcze geometryi, nie wolno w ten sposób rozumować; my jedynie stwierdzać możemy. Nasuwa się atoli pytanie, w jaki sposób, nie znając jeszcze geometryi, doszliśmy do odróżniania tych szeregów σ, przy których palec się nie porusza, od innych szeregów; istotnie, dopiero po tem odróżnieniu moglibyśmy dojść do utożsamienia Σ i Σ + σ, i pod tym jedynie warunkiem, jak widzieliśmy, możemy dotrzeć do przestrzeni trójwymiarowej.
 Wyróżniamy szeregi σ dlatego, że częstokroć, gdy wykonywamy ruchy odpowiadające tym szeregom σ czuć mięśniowych, czucia dotykowe dochodzące nas przez nerw biegnący od pierwszego palca trwają nadal i nie doznają zmiany na skutek tych ruchów. Tego zaś uczy nas doświadczenie, i ono tylko mogło nas tego nauczyć.
 Jeżeli wyróżniliśmy szeregi czuć mięśniowych S + S′ utworzone przez połączenie się dwóch szeregów względem siebie odwrotnych, to dlatego, że nie zmieniały one ogółu naszych wrażeń; jeżeli teraz wyróżniamy szeregi σ, to dlatego, że nie zmieniają one pewnych naszych wrażeń. (Skoro twierdzę, że jakiś szereg czuć mięśniowych S nie zmienia czyli »zachowuje« jedno z naszych wrażeń A, chcę przez to powiedzieć, iż stwierdzamy, że gdy doznajemy wrażenia A, następnie zaś czuć mięśniowych S, wciąż jeszcze doznawać będziemy wrażenia A również po tych czuciach S).
 Jak powiedziałem wyżej, zdarza się często, że szeregi σ nie zmieniają wrażeń dotykowych, których doznaje pierwszy nasz palec; nie powiedziałem »zawsze«, lecz »często«; w codziennym języku wyrażamy to, mówiąc, że wrażenie dotykowe nie zmieniłoby się, gdy palec się nie poruszył, pod warunkiem, że przedmiot A, który dotykał tego palca, również się nie poruszył. Dopóki nie znamy geometryi, nie możemy dać tego objaśnienia, lecz jedynie stwierdzić, że wrażenie trwa nadal, i to często, lecz nie zawsze.
 Wystarcza to jednak, aby szeregi σ stały się dla nas godnemi uwagi, abyśmy umieścili w jednej klasie szeregi Σ i Σ + σ i abyśmy je odtąd przestali uważać jako różne od siebie. W tych, jak widzieliśmy, warunkach zrodzą one continuum fizyczne o trzech wymiarach.
 Oto więc przestrzeń trójwymiarowa utworzona przez pierwszy mój palec. Każdy z mych palców utworzy podobną przestrzeń. Co skłania nas do utożsamienia tych przestrzeni z przestrzenią wzrokową, z przestrzenią geometryczną? Oto, co zbadać jeszcze należy.
 Zanim jednak dalej pójdziemy, zastanówmy się nad tem, że według powyższych wywodów znamy punkty przestrzeni lub — ogólniej — położenie końcowe naszego ciała jedynie tylko za pośrednictwem szeregów czuć mięśniowych, ujawniających nam ruchy, które przeniosły nas z pewnego położenia początkowego do tego położenia końcowego. Jasną jest atoli rzeczą, że to położenie końcowe zależeć będzie z jednej strony od tych ruchów, z drugiej zaś strony od położenia początkowego, z któregośmy wyszli. Otóż ruchy te objawiają się nam przez czucia mięśniowe; nic jednak nie zapoznaje nas z położeniem początkowem; nic nie może uzdolnić nas do odróżnienia go od wszystkich innych możliwych położeń. To właśnie ujawnia dobrze zasadniczą względność przestrzeni.

§ 4. — Tożsamość różnych przestrzeni.

 Dochodzimy tedy do porównywania dwóch continuów C i C′ utworzonych np. przez pierwszy mój palec D, względnie — przez drugi D′. Każde z tych continuów fizycznych posiada trzy wymiary. Każdemu elementowi continuum C lub, jeżeli chcemy, każdemu punktowi pierwszej przestrzeni dotykowej, odpowiada pewien szereg czuć mięśniowych Σ towarzyszących przejściu od pewnego położenia początkowego do pewnego położenia końcowego[4]. Co więcej, jeden i ten sam punkt pierwszej tej przestrzeni odpowiadać będzie szeregowi Σ i szeregowi Σ + σ, skoro tylko σ jest szeregiem, przy którym palec D się nie porusza.
 Podobnie też każdemu elementowi continuum C′, czyli każdemu punktowi drugiej przestrzeni dotykowej odpowiada szereg czuć Σ′, i tenże sam punkt odpowiadać będzie zarówno Σ′ jak i Σ′ + σ′ skoro tylko σ′ jest szeregiem, przy którym palec D′ pozostaje nieruchomy.
 Wyróżniamy tedy szeregi σ i σ′ dzięki tej okoliczności, że pierwsze nie zmieniają wrażeń dotykowych doznawanych przez palec D, drugie zaś nie zmieniają wrażeń, których doznaje palec D′.
 Oto, co konstatujemy: na początku palec mój D′ doznaje czucia A′; wykonywam ruchy, którym towarzyszą czucia mięśniowe S; palec mój D doznaje wrażenia A; wykonywam ruchy, którym towarzyszy szereg czuć σ; palec D nadal doznaje wrażenia A; to bowiem jest własnością charakterystyczną szeregów σ; wykonywam następnie ruchy, którym towarzyszy szereg czuć mięśniowych S′ odwrotny względem S, w powyżej objaśnionem znaczeniu słowa. Stwierdzam wówczas, że palec mój D znowu doznaje wrażenia A′. (W tym celu należy oczywiście obrać szereg S w odpowiedni sposób). To właśnie znaczy, że szereg S + σ + S′, nie zmieniający wrażeń dotykowych palca D′, jest jednym z tych, które nazwałem σ′. Odwrotnie, jeżeli weźmiemy jakikolwiek szereg σ′, natenczas S′ + σ′ + S będzie jednym z szeregów, które nazywamy σ.
 Tak więc, skoro S jest odpowiednio dobrane, S′ + σ + S stanowić będzie szereg σ′ a zmieniając σ na wszelkie możliwe sposoby, otrzymamy wszelkie możliwe szeregi σ′.
 Nie znając jeszcze geometryi, ograniczamy się do skonstatowania wszystkich tych stosunków; ci jednak, co znają geometryę, objaśniliby to w następujący sposób. Nasamprzód palec nasz D′ znajduje się w punkcie M, dotykając przedmiotu a, który wywiera nań wrażenie A′; wykonywamy ruchy odpowiadające szeregowi S; jak powiedziałem, szereg ten powinno się wybrać odpowiednio, a mianowicie tak, aby ruchy te sprowadziły palec D do punktu pierwotnie zajętego przez palec D′, t. j. do punktu M; palec D zetknie się więc z przedmiotem a, który wywrze na nim wrażenie A.
 Wykonywam następnie ruchy odpowiadające szeregowi σ; podczas ruchów tych nie zmienia się, według założenia, położenie palca D, pozostaje więc on w zetknięciu z przedmiotem a, doznając nadal wrażenia A. Wykonywam wreszcie ruchy odpowiadające szeregowi S′. Ponieważ S′ jest odwróceniem S, ruchy te sprowadzą palec D′ do punktu zajmowanego pierwotnie przez palec D, t. j. do punktu M. Jeżeli, jak wolno przypuścić, przedmiot a nie poruszył się, palec D′ zetknie się z tym przedmiotem i dozna znowu wrażenia A′, — co było do dowiedzenia.
 Zobaczmy, co stąd wynika. Rozważam szereg Σ czuć mięśniowych; szeregowi temu odpowiadać będzie pewien punkt M pierwszej przestrzeni dotykowej. Weźmy znowu odwrotne względem siebie szeregi S i S′, o których była mowa. Szeregowi S + Σ + S′ odpowiadać będzie punkt N drugiej przestrzeni dotykowej; dowolnemu bowiem szeregowi czuć mięśniowych odpowiada, jak powiedziano wyżej, jakiś punkt bądź to w pierwszej, bądź w drugiej przestrzeni.
 Otóż tak określone punkty N i M będę uważał jako odpowiadające sobie. Cóż mnie do tego upoważnia? Niezbędnym warunkiem odpowiedniości tej jest to, że, skoro zachodzi tożsamość między punktami M i M′ odpowiadającemi, w pierwszej przestrzeni, szeregom Σ i Σ′, mają też być identyczne ze sobą dwa odpowiednie punkty N i N′ drugiej przestrzeni, t. j. punkty odpowiadające szeregom S + Σ + S′ i S + Σ′ + S′. Otóż zobaczymy, że warunek ten jest spełniony.
 Zauważmy nasamprzód, że, ponieważ S i S′ są względem siebie odwrotne, mamy S + S′ = o, a więc S + S′ + Σ = Σ + S + S′ = Σ, jakoteż Σ + S + S′ + Σ′ = Σ + Σ′; stąd jednak nie wynika, aby było S+ Σ + S′ = Σ nie bacząc bowiem na to, że użyliśmy znaku dodawania, aby wyrazić następstwo naszych czuć, porządek tego następstwa nie będzie, oczywiście, sprawą obojętną: nie możemy więc, jak w zwykłem dodawaniu, zmienić porządku wyrazów; jednem słowem, działania nasze są łącznościowe [asocyacyjne], lecz nie przemiennościowe.
 Otóż, jeżeli Σ i Σ′ mają odpowiadać temuż samemu punktowi M = M′ pierwszej przestrzeni, musi być, i wystarcza aby było, Σ′ = Σ + σ. Otrzymamy wówczas:

S + Σ′ + S′ = S + Σ + σ + S′
= S + Σ + S′ + S + σ + S′.

 Powyżej jednak stwierdziliśmy, że S + σ + S′ jest jednym z szeregów σ′. Będzie więc:

S + Σ′ + S′ = S + Σ + S′ + σ′,

t.  j.: szeregi S + Σ′ + S′ i S + Σ + S′ odpowiadają jednemu i temuż samemu punktowi N = N′ drugiej przestrzeni, — co było do dowiedzenia.
 Dwie nasze przestrzenie odpowiadają więc sobie punkt w punkt; można je »przekształcić« jednę na drugą; są one izomorficzne; co jednak skłania nas do wysnucia stąd wniosku, że są one identyczne?
 Rozważmy szeregi σ i S + σ + S′ = σ′. Powiedziałem, że często wprawdzie, lecz niezawsze, szereg σ nie zmienia wrażenia dotykowego A, którego doznaje palec D, i podobnie szereg σ′ — wrażenia dotykowego A′ doznawanego przez palec D′. Otóż, konstatuję, że zdarza się bardzo często (t. j. znacznie częściej, niż gdy powiadam wprost »często«), iż skoro szereg σ nie zmienił wrażenia A palca D, jednocześnie też szereg σ′ nie zmienia wrażenia A′ palca D′, i odwrotnie, gdy pierwsze wrażenie ulega zmianie, drugie zmienia się również. Zdarza się to bardzo często, lecz nie zawsze.
 Doświadczalny ten fakt interpretujemy, mówiąc, że nieznany przedmiot a, sprawiający wrażenie A na palcu D, jest identyczny z nieznanym przedmiotem a′, który sprawia wrażenie A′ na palcu D′. Istotnie też, gdy pierwszy przedmiot zmienia swe położenie, o czem powiadamia nas zniknięcie wrażenia A, drugi również zmienia swe położenie, gdyż znika też wrażenie A′. Jeżeli pierwszy przedmiot pozostaje nieruchomy, nie porusza się też drugi. Skoro dwa te przedmioty są identyczne, pierwszy zaś znajduje się w punkcie M pierwszej przestrzeni, drugi w punkcie N drugiej przestrzeni, dwa te punkty będą również identyczne. Oto jak dochodzimy do utożsamienia tych dwóch przestrzeni; oto, co chcemy powiedzieć, twierdząc, że są one identyczne.
 To, co powiedzieliśmy o tożsamości dwóch przestrzeni dotykowych zwalnia już nas od rostrząsania sprawy tożsamości przestrzeni dotykowej i przestrzeni wzrokowej; sprawę tę możnaby bowiem w podobny zupełnie rozważyć sposób.

§ 5. — Przestrzeń i empiryzm.

 Mogłoby się zdawać, że wnioski, do których doszliśmy, są zgodne z poglądami empiryków. Istotnie, starałem się ujawnić rolę doświadczenia i zbadać fakty doświadczalne biorące udział w genezie przestrzeni trójwymiarowej. Jakkolwiek ważne byłoby jednak znaczenie tych faktów, nie należy zapominać o jednej rzeczy, o której wspominałem już zresztą wielokrotnie. Doświadczalne te fakty sprawdzają się często, lecz niezawsze. Nie znaczy to oczywiście, aby przestrzeń miewała często, lecz nie zawsze, trzy wymiary.
 Wiem wprawdzie, że trudność ta daje się łatwo ominąć, że, ilekroć fakty te się nie sprawdzą, wytłomaczyć to możemy, twierdząc, że przedmioty zewnętrzne poruszyły się. Jeżeli doświadczenie udaje się, powiadamy, że poucza nas ono co do przestrzeni; jeżeli nie udaje się, przyczepiamy się do przedmiotów zewnętrznych, obwiniając je, że się poruszyły, innemi słowy, jeżeli doświadczenie nie powiodło się, dopomagamy mu lekkiem pchnięciem [on lui donne un coup de pouce].
 Nie przeczę, że te pchnięcia są uprawnione; wystarczają one jednak, aby ostrzedz nas, że własności przestrzeni nie są prawdami doświadczalnemi w znaczeniu właściwem słowa. Gdybyśmy zechcieli sprawdzić inne prawa, moglibyśmy tego również dopiąć za pomocą innych podobnych pchnięć. Czyż nie moglibyśmy zawsze usprawiedliwić pchnięć tych w podobny sposób? Najwyżej możnaby nam zarzucić: »niewątpliwie pchnięcia wasze są usprawiedliwione, lecz nadużywacie ich; pocóż tak często przypisywać ruch przedmiotom zewnętrznym?«
 Jednem słowem, doświadczenie nie dowodzi, że przestrzeń ma trzy wymiary, lecz tylko, że wygodnie jest przypisywać jej trzy wymiary, tym bowiem sposobem liczba owych »pchnięć« sprowadza się do minimum.
 Mamże dodać jeszcze, że doświadczenie zapoznawałoby nas tylko z przestrzenią wyobrażeniową, stanowiącą continuum fizyczne, nie zaś z przestrzenią geometryczną, która stanowi continuum matematyczne. W najlepszym razie mogłoby nas ono nauczyć, że wygodnie jest przypisać przestrzeni geometrycznej trzy wymiary, aby miała ich tyleż właśnie, co i przestrzeń wyobrażeniowa.
 Pytanie empiryczne może też przybrać inną postać. Czy nie można pomyśleć sobie zjawisk fizycznych, np. mechanicznych, inaczej jak tylko w przestrzeni trójwymiarowej? Mielibyśmy wówczas dowód doświadczalny, że tak powiem, przedmiotowy, niezależny od naszej fizyologii, od form naszej wyobraźni.
 Tak jednak nie jest; nie będę tu rostrząsał sprawy tej szczegółowo, lecz przytoczę tylko jaskrawy przykład, jakiego nam dostarcza mechanika Hertza.
 Wiadomo, że wielki ten fizyk nie wierzył w istnienie sił, właściwie tak zwanych; przypuszczał on, że punkty materyalne widzialne są związane przez połączenia niewidzialne z innemi punktami niewidzialnemi, i że to, co przypisujemy siłom, jest właśnie skutkiem tych połączeń niewidzialnych.
 Stanowi to jednak część tylko jego pomysłów. Weźmy układ złożony z n punktów materyalnych, widzialnych lub niewidzialnych; da nam to ogółem 3n spółrzędnych; uważajmy je jako spółrzędne jedynego punktu w przestrzeni o 3n wymiarach. Punkt ten byłby zniewolony do pozostawania na pewnej powierzchni (o liczbie wymiarów jakiejkolwiek, lecz < 3n), a to na mocy wspomnianych połączeń; otóż, aby na powierzchni tej przejść od jednego do drugiego miejsca, punkt ten obierze zawsze najkrótszą drogę; taką byłaby jedyna zasada, streszczająca całą mechanikę.
 Cokolwiek sądzilibyśmy o tej hypotezie: czy ujmowałaby nas jej prostota, czy też odstraszałaby nas jej sztuczność, — sam chociażby fakt, że Hertz mógł ją pomyśleć i uważać jako wygodniejszą od zwykłych naszych hypotez, dowodziłby już, że powszednie nasze pojęcia, w szczególności zaś trzy wymiary przestrzeni, bynajmniej nie narzucają się mechanikowi z jakąś siłą nieprzezwyciężoną.

§ 6. — Umysł i przestrzeń.

 Doświadczenie odegrało tedy jedyną tylko rolę, służąc mianowicie za okazyę. Niemniej jednak rola ta była bardzo ważną, a dlatego też uważałem za niezbędne uwydatnić ją jaknajlepiej. Rola ta byłaby zbyteczna, gdyby istniała przestrzeń trójwymiarowa jako forma a priori, narzucająca się naszej zmysłowości.
 Czy forma taka istnieje, lub też lepiej: czy możemy wyobrazić sobie przestrzeń o więcej niż trzech wymiarach? Przedewszystkiem zaś jak należy pytanie to rozumieć? We właściwem znaczeniu słowa nie możemy sobie wyobrazić, oczywiście, przestrzeni ani o czterech, ani o trzech wymiarach; przedewszystkiem nie możemy wyobrazić ich sobie jako próżne, następnie zaś nie możemy też wyobrazić sobie jakiegoś przedmiotu ani w przestrzeni czterowymiarowej, ani też w trójwymiarowej: 1°) dlatego że obie te przestrzenie są nieskończone, nie możemy zaś przedstawić sobie jakiejś figury w przestrzeni, t. j. części w całości, nie wyobrażając sobie całości, a to jest niemożliwe, skoro całość ta jest nieskończoną; 2°) dlatego że obie te przestrzenie są to continua matematyczne, my zaś fizyczne tylko continuum wyobrazić sobie możemy; 3°) dlatego że przestrzenie te są jednorodne, ramy zaś, w które zamykamy nasze czucia, jako ograniczone, nie mogą być jednorodne.
 Tak więc pytanie powyższe w jeden tylko sposób rozumieć można, a mianowicie:
 Czy można wyobrazić sobie, że, gdyby wyniki przytoczonych powyżej doświadczeń były inne, przypisalibyśmy przestrzeni więcej niż trzy wymiary; czy można np. wyobrazić sobie, aby czucie akomodacyi nie było ustawicznie w zgodzie z czuciem zbieżności oczu, albo też, że doświadczenia omówione w § 2, a których wynik wyraziliśmy, mówiąc, że »dotyk nie działa na odległość«, że doświadczenia te doprowadziły nas do przeciwnego wniosku?
 Na tak postawione pytanie należy oczywiście, odpowiedzieć twierdząco; jeżeli wyobrażamy sobie jakieś doświadczenie, tem samem już wyobrażamy sobie dwa wprost przeciwne sobie wyniki, które ono dać może. Jest to więc możliwe, aczkolwiek trudne, albowiem mamy tu do przezwyciężenia mnóstwo skojarzeń pojęciowych, będących owocem długoletniego doświadczenia osobistego i dłuższego jeszcze doświadczenia całych pokoleń. Czy o tych to właśnie skojarzeniach (lub o tych przynajmniej z pośród nich, które odziedziczyliśmy po naszych przodkach), mających stanowić ową formę a priori, powiadają nam, że znamy je przez intuicyę czystą? W takim jednak razie nie pojmuję, dlaczego mielibyśmy ogłosić ją [ową formę] jako oporną wszelkiej analizie i odmówić sobie prawa dochodzenia jej źródła.
 Mówiąc, że czucia nasze są »rozciągłe« [»étendues«], można jedno tylko przez to rozumieć, a mianowicie, że kojarzą się one zawsze z pojęciem pewnych czuć mięśniowych odpowiadających ruchom, które pozwoliłyby dosięgnąć wywołującego je przedmiotu, które — innemi słowy — pozwoliłyby nam obronić się przeciw nim. Dlatego też właśnie, że asocyacya ta jest użyteczna dla obrony organizmu, trwa ona od tak dawnych czasów w historyi rodzaju ludzkiego i wydaje się nam niezniszczalną. Bądź co bądź, jest to tylko asocyacya, i można pomyśleć sobie, że została zerwaną; nie należy więc twierdzić, że żadne czucie nie może wejść do świadomości nie wchodząc do przestrzeni, lecz tylko, że w rzeczy samej nie wchodzi ono do świadomości, o ile nie wchodzi do przestrzeni, t. j. o ile nie jest wplecione w tę asocyacyę.
 Nie pojmuję też, jak można twierdzić, że pojęcie czasu jest logicznie późniejsze od przestrzeni dlatego, że nie możemy wyobrazić go sobie inaczej jak pod postacią linii prostej; zupełnie jak gdyby ktoś powiedział, że czas jest logicznie późniejszy od uprawy łąk dlatego, że powszechnie wyobrażamy go sobie uzbrojonym w kosę. Że nie można wyobrazić sobie jednocześnie różnych części czasu, rozumie się samo przez się; cecha bowiem istotna tych części polega na tem, że nie są one spółczesne. Nie chcę przez to powiedzieć, abyśmy nie posiadali intuicyi czasu. W takim razie, nie mielibyśmy też intuicyi przestrzeni, i jej bowiem nie możemy sobie, we właściwem słowa znaczeniu, wyobrazić, a to dla wyłuszczonych powyżej przyczyn. To, co pod nazwą prostej sobie wyobrażamy, jest grubym obrazem, który do prostej geometrycznej jest również mało podobny jak do samego czasu.
 Dlaczegóż powiada się, że wszelkie usiłowania udzielenia przestrzeni czwartego wymiaru redukują go zawsze do jednego z trzech innych? Nietrudno to zrozumieć. Rozpatrzmy nasze czucia mięśniowe i »szeregi«, które tworzyć mogą. Na skutek licznych doświadczeń pojęcia tych szeregów skojarzyły się ze sobą w splot bardzo zawiły; szeregi nasze sklasyfikowały się. Niechaj mi wolno będzie, dla łatwiejszego wysłowienia się, wyrazić myśl moją w postaci zupełnie nieociosanej, a nawet nieścisłej, a mianowicie — powiedzieć, że szeregi nasze czuć mięśniowych są rozdzielone na trzy klasy odpowiadające trzem wymiarom przestrzeni. Klasyfikacya ta jest, oczywiście, bardziej zawiła; wystarczy to jednak do zrozumienia mej myśli. Oto, chcąc wyobrazić sobie czwarty wymiar, założę istnienie jeszcze jednego szeregu czuć mięśniowych, który stanowić będzie część czwartej klasy. Ponieważ jednak wszystkie moje czucia mięśniowe weszły już do jednej z poprzednich trzech klas, przeto mogę sobie wyobrazić tylko szereg należący do jednej z tych trzech klas, tak iż czwarty mój wymiar sprowadza się do jednego z tamtych trzech.
 Czegóż to dowodzi? Oto tego, że należałoby nasamprzód znieść dawną klasyfikacyę i zastąpić ją przez inną, w której szeregi czuć mięśniowych byłyby rozmieszczone na cztery klasy. Trudność znikłaby wówczas.
 Przedstawia się ją czasami w sposób bardziej uderzający. Przypuśćmy, że jestem zamknięty w pokoju między sześcioma ścianami nieprzekraczalnemi, t. j. między czterema murami, sufitem i podłogą; nie będę mógł wyjść z tego pokoju, ani też wyobrazić sobie, że wychodzę. — Przepraszam, czy nie może Pan sobie wyobrazić, że drzwi się otwierają albo że rozstępują się dwie ściany? — Lecz, odpowiedzą mi, rozumie się, iż zakładamy, że ściany pozostają nieruchome. — Dobrze, lecz ja sam oczywiście mam prawo się poruszać; w takim zaś razie ściany, według założenia — nieruchome bezwzględnie, będą w ruchu względnym w stosunku do mnie. — Istotnie, lecz podobny ruch względny nie może być dowolny; skoro przedmioty jakieś znajdują się w spoczynku, ruch ich względem jakichkolwiek osi jest ruchem bryły niezmiennej; otóż, owe ruchy pozorne, które sobie Pan wyobraża, nie są w zgodzie z prawami ruchu bryły niezmiennej. — Słusznie, lecz jeno doświadczenie nauczyło nas praw ruchu takiej bryły; nic więc nie przeszkadzałoby mi wyobrazić sobie, że prawa te są inne. Jednem słowem, dla wyobrażenia sobie, że wychodzę z mego więzienia, powinienbym tylko wyobrazić sobie, że, gdy się poruszam, ściany zdają się rozstępować.
 Jeżeli tedy przez przestrzeń mamy rozumieć trójwymiarowe continuum matematyczne, chociażby bezpostaciowe zresztą, natenczas zdaniem mojem, można powiedzieć, że jest ona dziełem umysłu, lecz umysł nie buduje jej z niczego, a trzeba mu w tym celu materyałów i modeli. Otóż, zarówno materyały te jak i modele preegzystują w nim. Nie istnieje atoli jedyny jakiś model, który miałby mu się narzucać; ma on różne do wyboru; może wybierać, naprzykład, między przestrzenią o czterech wymiarach a przestrzenią trójwymiarową. Jakaż tedy jest rola doświadczenia? Oto przy wyborze tym daje mu ono wskazówki.
 Jeszcze jedna uwaga. Skąd pochodzi charakter ilościowy przestrzeni? Wypływa on z roli, jaką w genezie jej odgrywają szeregi czuć mięśniowych. Szeregi te mogą się powtarzać, a z powtarzania się ich wynika właśnie liczba, jeżeli zaś przestrzeń jest nieskończona[5], to dlatego, że szeregi te mogą się powtarzać bezgranicznie. Pod koniec § 3-go widzieliśmy, wreszcie, że dlatego również przestrzeń jest względna. Powtarzanie tedy zrodziło istotne cechy przestrzeni; otóż, powtarzanie implikuje czas; wynikałoby stąd, że czas logicznie poprzedza przestrzeń.

§ 7. — Rola przewodów półkolistych.

 Aż dotąd nie mówiłem jeszcze o roli pewnych narządów, którym fizyologowie słusznie przypisują kapitalne znaczenie; mam na myśli przewody półkoliste. Liczne doświadczenia okazały wyraźnie, że przewody te są niezbędne dla naszego zmysłu oryentacyjnego; fizyologowie atoli niezupełnie zgadzają się ze sobą; powstały dwie przeciwne teorye: jedna Macha-Delage’a, druga Cyona.
 Cyon jest fizyologiem, który wsławił się przez ważne odkrycia dotyczące innerwacyi serca; w zajmującej nas tu sprawie nie mógłbym atoli pogodzić się z jego poglądami. Ponieważ nie jestem fizyologiem, nie będę krytykował doświadczeń, które wytoczył on przeciw teoryi Macha-Delage’a; zdaje mi się jednak, że nie są przekonywające, gdyż w wielu z nich zmieniano ciśnienie w całej rozciągłości jednego z przewodów, podczas gdy fizyologicznie zmienia się różnica ciśnień panujących na obydwu krańcach przewodu, — w innych znowu (doświadczeniach) narządy uległy poważnemu okaleczeniu, co powinnoby zmienić ich funkcye.
 Mniejsza zresztą o to; gdyby doświadczenia te były nawet bez zarzutu, mogłyby się sprzeciwiać jedynie dawniejszej teoryi, nie przemawiałaby jednak za nową teoryą Istotnie, o ile zrozumiałem tę teoryę, dość będzie wyłożyć ją tu, aby przekonać czytelnika, że mogące ją potwierdzić doświadczenie nie daje się zgoła pomyśleć.
 Jedyna funkcya trzech par przewodów polegałaby, według tej teoryi, na powiadamianiu nas, że przestrzeń ma trzy wymiary. Myszy japońskie mają tylko dwie pary przewodów; sądzą one, jak zdawałoby się, że przestrzeń dwa tylko posiada wymiary, i objawiają pogląd ten w nader dziwny sposób: ustawiają się one w krąg, tak iż każda następna ma swój nos pod ogonem poprzedniej, i w takiem uszykowaniu zaczynają szybko biedz dookoła. Minogi morskie, jednę tylko parę przewodów posiadające, sądzą, te przestrzeń ma jeden tylko wymiar, acz objawiają to w sposób mniej gwałtowny.
 Oczywiste, że na podobną teoryę zgodzić się nie można. Zadanie narządów zmysłowych polega na tem, aby powiadamiać nas o zmianach zachodzących w świecie zewnętrznym. Nie możnaby pojąć, dlaczego Stwórca miałby nam dać narządy, których przeznaczeniem byłoby nawoływać bezustannie: »pamiętaj, że przestrzeń ma trzy wymiary«, — skoro liczba tych wymiarów nie podlega żadnym zmianom.
 Należy tedy powrócić do teoryi Macha-Delage’a. Nerwy owych przewodów mogą nas powiadamiać jedynie o różnicy ciśnień wywieranych na krańcach jednego i tegoż samego przewodu, a dzięki temu:
 1°) o kierunku pionowej względem trzech osi niezmiennie związanych z głową;
 2°) o trzech składowych przyspieszenia ruchu postępowego środka ciężkości głowy;
 3°) o siłach odśrodkowych wytwarzanych przez obrót głowy;
 4°) o przyspieszeniu ruchu obrotowego głowy.
 Z doświadczeń Delage’a wynika, że ostatni z tych punktów jest najważniejszy, niewątpliwie dlatego, że nerwy są mniej czułe na samą różnicę ciśnienia, niż na nagłe zmiany tej różnicy. Wobec tego trzy pierwsze punkty można nawet zaniechać.
 Znając dla każdej chwili przyspieszenie ruchu obrotowego głowy, wyprowadzamy stąd, przez nieświadome całkowanie, końcową oryentacyę głowy w stosunku do pewnej oryentacyi początkowej. Przewody półkoliste przyczyniają się tedy do powiadomienia nas o wykonanych przez nas ruchach, a to z tegoż samego tytułu, co czucia mięśniowe. Mówiąc więc powyżej o szeregu S lub o szeregu Σ, powinniśmy byli powiedzieć, że nie są to szeregi samych tylko czuć mięśniowych, lecz szeregi złożone zarówno z czuć mięśniowych i czuć zawdzięczanych przewodom półkolistym. Po za tym dodatkiem, powyższe nasze wywody nie wymagałyby żadnej zresztą zmiany.
 W szeregach S i Σ czucia odpowiadające przewodom półkolistym zajmują oczywiście nader ważne miejsce. Same przez się nie wystarczałyby one jednak; mogą nas one bowiem powiadamiać jedynie o ruchach głowy, lecz nie mówią nam niczego o ruchach względnych kadłuba lub członków w stosunku do głowy: Zdaje się nadto, że pouczają nas one jedynie co do ruchu obrotowego głowy, lecz nie co do możliwych jej ruchów postępowych.





  1. ↑ W oryginale: d’un seul tenant. Niemcy nazywają to »zusammenhängend«, a odróżniając różne stopnie spójności, jak np. dla wnętrza kuli, wnętrza pierścienia, i t. d., mówią »einfach —, zweifach — zusammenbängend«, i t. d., które to epitety wygodnie jest po polsku oddać przez »jednospójny, dwuspójny« i t. d. Z tego to względu użyłem w powyższem tłumaczeniu, przymiotnika »spójny«. (Przyp. tłum.).
  2. ↑ t. j. przerywa spójność continuum, czyli dziedziny ciągłej C.
  3. ↑ Poincaré nazywa omawiany zbiór elementów zarówno w pierwszym jak i w drugim wypadku jednem i tem samem imieniem: coupure; dlatego też użyłem również w tłumaczeniu jednego i tego samego dla obu wypadków wyrazu »przekrój«, aczkolwiek dla coupure wogóle, a więc też nie dzielącej C możnaby użyć wyrazu »cięcie«, zaś dla dzielącej — zachować wyraz »przekrój«. Niektórzy matematycy niemieccy posługują się terminami »Schnitt« (wogóle) i »Querschnitt« (przekrój dzielący C).
    (Przypis. tłum.).
  4. ↑ Zamiast powiedzieć, że odnosimy przestrzeń do osi niezmiennie z ciałem naszem związanych, należałoby może powiedzieć raczej, — zgodnie z powyższemi wywodami, — że odnosimy ją do osi związanych niezmiennie z położeniem początkowem naszego ciała.
    (Przyp. autora).
  5. ↑ W tekście jest: »infini«. Lepiej atoli byłoby powiedzieć nieograniczona.
    (Przypis. tłum.).





Tekst jest własnością publiczną (public domain). Szczegóły licencji na stronach autora: Henri Poincaré i tłumacza: Ludwik Silberstein.
Źródło: „https://pl.wikisource.org/w/index.php?title=Wartość_nauki/Nauki_matematyczne/Przestrzeń_i_jej_trzy_wymiary&oldid=3293248”